正方形基础知识精讲及同步练习

学科: 数学 年级：初二

本周教学内容：4.6 正方形 【基础知识精讲】

1.什么叫正方形

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.可以看成： (1)有一组邻边相等的矩形(如下图

)

(2)有一个角是直角的菱形(如下图

)

(3)一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形

2.正方形的性质

由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：

(1)两组对边分别平行

(2)四个角都是直角，四条边都相等

(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 (4)两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形

3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系(如下图)

4.关于正方形的判定

(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形)

(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形(有一个角是直角的菱形)

(3)还可以先判定它是平行四边形，再用(1)或(2)进行判定.

【重点难点解析】

本节重点是正方形的定义，说明正方形与矩形、菱形的关系，是本节学习的难点，因为它们之间的关系重叠交错，容易混淆.

例1 下列命题中，真命题是( )

A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

B.两条对角线相等的四边形是矩形

C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形

D.四条边相等的四边形是正方形

分析本题主要考查考生应用平行四边形、矩形、菱形、正方形定义解题的能力.命题B、C、D均易找到反例判断它们是假命题.对于命题A，对照平行四边形的定义及平行四边形的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了.

已知四边形ABCD是AD∥BC，∠B＝∠D(如图)，求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：∵AD∥BC(已知)

∴∠A+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵∠B＝∠D(已知)

∴∠A+∠D＝180°(等量代换)

∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)

∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)

例2 如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF⊥BE于F.CF交OB于

G，求证：OE＝OG.

分析本题是考查正方形的性质、同角的余角相等关系及全等三角形的判定与性质.OG 和OE可分别看作是△OGC与△OEB的最短边，若能证两三角形全等，则命题得证.由正方形性质有OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°而∠1和∠3为∠2的余角，于是∠1＝∠2 证明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC ∴AC⊥BD

∴∠COG＝∠BOE＝Rt∠

又∵CF⊥BE ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝Rt∠

∴∠1＝∠3 ∴△COG≌△BOE ∴OE＝OG

例3 下列四个命题中正确的命题是( )

①对角线互相平分的四边形是平行四边形；

②对角线相等的四边形是矩形

③对角线互相垂直的四边形是菱形

④四边相等且对角线相等的四边形是正方形

A.①④

B.①③

C.②③

D.③④

分析因为命题①就是平行四边形的判定定理3，所以命题①正确.命题④可以理解为是菱形又是矩形的四边形必是正方形.因为四边相等的四边形是菱形，它是特殊的平行四边形，而对角线相等的平行四边形是矩形.因此命题④是正确的命题.因为矩形和菱形都是特殊的平行四边形，而四边形对角线相等或对角线互相垂直不能推出此四边形的对角线互相平分，所以此四边形连平行四边形都不是，就更不可能是矩形或菱形了.因此②、③不正确.

解：A

例4 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE

分析本题考查正方形性质及全等三角形的判定与性质，要证CF、DE互相垂直，只需证明∠DGC＝Ｒt∠，可联想∠3与∠4互余.根据正方形性质，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE ≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°

证明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， BE＝BE

∴△ABF≌△CBF ∴∠1＝∠2

∵AB＝CD， BE＝CE，∠ABE＝∠DCE

∴△ABE≌△DCE ∴∠1＝∠3

∴∠2＝∠3 又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°

∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE

【难题巧解点拨】

例1 如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F.

求证：(1)DP＝EF；(2)DP⊥EF

分析本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力.延长FP交AD于G.注意到AEPG是正方形，要证DP＝EF，只要证△DPG≌△FPE.显然这两个三角形全等条件具备.延长DP交EF于H.由于△DPG≌△FPE，可得∠1＝∠2.而∠３＝∠4，这样可证∠2+∠3＝90°.从而DP⊥EF.

证明：(1)延长FP交AD于G，延长DP交EF于H.

∵四边形AEPG是正方形，

∴PG＝PE＝AE＝AG

∵正方形ABCD ∴AB＝AD

AD-AG＝AB-AE＝GF-PG

即 GD＝PF

∵PE⊥AB，PF⊥BC，

∴∠DGP＝∠FPE＝90°

∴△DPG≌△FEP ∴DP＝EF

(2)∵△DPG≌△FEP ∴∠1＝∠2

又∠3＝∠4，∠1+∠4＝90°

∴∠2+∠3＝90°

∴PH⊥EF，即DP⊥EF

例2 如图，已知正方形ABCD，以对角线AC为边作菱形AEFC，BF∥AC.求证：∠ACF＝5∠F.