正方形基础知识精讲及同步练习

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第三讲正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师 -

第三讲正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师-work Information Technology Company.2020YEARFEDCBA第三讲正方形的性质与判定一、知识要点1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：1 边的性质：对边平行，四条边都相等．2角的性质：四个角都是直角．3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形3：四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的矩形是正方形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形二、典型例题例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC 于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．正方形菱形矩形平行四边形分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得) 注意：灵活选择正方形的识别方法．例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC与△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ACB和△SBD中，∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，又∠2＝∠3＝∠5，∴△ACB与△SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△BKS和△AMH中，∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，∴△BKS与△AMH重合，∴KS＝HM，∴AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．三、作业正方形的判定一．选择题（共8小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF二．填空题（共6小题）9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_________（填上一个符合题目要求的条件即可）．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_________时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_________，使得该菱形为正方形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为_________．三．解答题（共8小题）15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：△AED≌△BFD；（2）若AB=2，当CD的值为_________时，四边形DECF是正方形．20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE_________是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）22．已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF．（1）求证：∠ECF=90°；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；（3）在（2）的条件下，△ABC应该满足条件：_________，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．故选：C．点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确．B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误．C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选B．点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．A．1组B．2组C．3组D．4组考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故②正确；③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；故不正确的有1个．故选：A．点评：此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理．5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形考点：正方形的判定．分析：根据平行线的性质和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，进而判断即可．解答：证明：如图所示：∵分别过A、B、C、D作对角线的平行线，∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，∵对角线AC=BD，AC⊥BD，∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，∴四边形EFMN是正方形．故选：A．点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分考点：正方形的判定．分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．故选B．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．分析：A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选C．点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．解答：解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．二．填空题（共6小题）9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD（填上一个符合题目要求的条件即可）．考点：正方形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形．解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°．答案不唯一，此处填：AC=BD且AC⊥BD．点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）考点：正方形的判定．专题：计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．解答：解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，DF=AC=CE，DE=BC=CF，∴DF=CE=DE=CF，∴四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：AC=BD或AB⊥BC，使得该菱形为正方形．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形判定定理进行分析．解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC．考点：正方形的判定；菱形的判定．专题：开放型．分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解答：解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD等．考点：正方形的判定；矩形的判定与性质．专题：开放型．分析：由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．解答：解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD 等．故答案为：AB=AD或AC⊥BD等．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案．解答：解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形．三．解答题（共8小题）15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF 是正方形．解答：解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠DFB=90°，又∵∠ABC=90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∴矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．解答：证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．解答：（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC=90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即可得出答案．解答：（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE=CE，DE=FE，故四边形ADCF是平行四边形．（2）解：当∠ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB=90°，∴，故四边形ADCF是正方形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键．19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：△AED≌△BFD；（2）若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定．。

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学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1. 探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形.2•能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系.【基础知识概述】1. 正方形定义：(1) 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(2) 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.(3) 既是矩形又是菱形的四边形是正方形.2. 正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征.(1) 边一一四边相等、邻边垂直、对边平行.(2) 角——四角都是直角.(3) 对角线一一①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角.(4) 是轴对称图形，有4条对称轴.3. 正方形的识别方法：(1) 一组邻边相等的矩形是正方形.(2) —个角是直角的菱形是正方形.4. 正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图图12-2-135. 正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半.【例题精讲】例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P,作PE丄BC于E,作PF丄CD于F.试说明AP = EF.12-2-13 .分析：由PE 丄BC , PF 丄CD 知，四边形PECF 为矩形，故有 EF = PC ,这时只需证 AP =CP ,由正方形对角线互相垂直平分知AP = CP .解：连结AC 、PC ,•••四边形ABCD 为正方形， ••• BD 垂直平分AC , ••• AP = CP .•/ PE 丄 BC , PF 丄 CD ，/ BCD = 90°, •四边形PECF 为矩形，• PC = EF , • AP = EF .注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等.②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中. 思考：由上述条件是否可以得到 AP 丄EF .提示：可以，延长 AP 交EF 于N ，由PE // AB ，有/ NPE =Z BAN . 又/ BAN =Z BCP ，而/ BCP = Z PFE ，故/ NPE =Z PFE ,而/ PFE +Z PEF = 90°,所以/ NPE +Z PEF = 90°,贝U AP 丄 EF .例 2 如图 12-2-15 ,△ ABC 中，Z ABC = 90°, BD 平分Z ABC , DE 丄 BC , DF 丄 AB , 试说明四边形 BEDF 是正方形.解：T Z ABC = 90°, DE 丄 BC ,• DE // AB ，同理，DF // BC , • BEDF 是平行四边形.•/ BD 平分Z ABC , DE 丄 BC , DF 丄 AB ,• DE = DF .又•••/ ABC = 90°, BEDF 是平行四边形， •四边形BEDF 是正方形. 思考：还有没有其他方法？提示：（有一种方法可以证四边形 DFBE 为矩形，然后证 BE = DE ，可得.另一种方法, 可证四边形DFBE 为菱形，后证一个角为 90°可得）注意：灵活选择正方形的识别方法.甘 E.V■ 12-2U4例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ ADE是等边三角形，求/ BEC 的大小.(D (2)图12-2-16分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算.在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系.在（1）图中,△ ABE和厶DCE都是等腰三角形，顶角都是150°,可得底角/ AEB与/ DEC都是15°,则/ BEC为30°.而在（2）图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和厶DCE是等腰三角形，顶角是30°,可得底角/ AEB和/ DEC为75。

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。

练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝．【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝．故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2，故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2×•（x﹣y）（2x+y）﹣2×•（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。

3 .正方形(基础)知识讲解+练习

正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E为BC延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE．【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）例1】【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75° B．60° C．55° D．45°【答案】B；提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝∴AF＝∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC 为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝∴BN＝，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°， ∴ 四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴ 四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系中，边长为(为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在轴正半轴上运动，顶点B在轴正半轴上运动(轴的正半轴、轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝AB＝，在Rt△APB中，PA＝AB＝．∴ 点P的坐标为．(2)如图过点P分别作轴、轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴ △PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.【巩固练习】一.选择题1. 正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2. （2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3. 如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为( )．A.6B.8C.16D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B.C.D.6.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个二.填空题7．若正方形的边长为，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________.9. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.10. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．12.（2015•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．三.解答题13．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE ＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．14．（2015•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条．2.【答案】D；【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．3．【答案】B；【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.4.【答案】A；5.【答案】D；【解析】利用勾股定理求出CM＝，即ME的长，有DM＝DE，所以可以求出DE＝，进而得到DG的长．6.【答案】C；二.填空题7.【答案】，2∶1 ；【解析】正方形ACEF与正方形ABCD的边长之比为.8.【答案】AC＝BD或AB⊥BC；【解析】∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC＝BD或AB⊥BC.9.【答案】1；【解析】移动距离为，重叠部分面积为CE×，所以，得，所以.10.【答案】1；【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC面积．11.【答案】；【解析】，重叠部分面积为.12.【答案】5；【解析】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．三.解答题13.【解析】解：作NF⊥BC于F．∵ABCD是正方形，∴CD＝BC＝FN则在Rt△BEC和Rt△FMN中，∠B＝∠NFM＝90°，∴Rt△BEC≌Rt△FMN∴∠MNF＝∠MCE＝35°∴∠ANM＝90°－∠MNF＝55°14.【解析】解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；④错误，PD=PF=CE；⑤正确，PB2+PD2=2PA2．所以正确的有3个：①②③.15.【解析】解：如图，连接CH，∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH和Rt△CFH中，∴Rt△CDH≌Rt△CFH，∴∠DCH＝∠FCH＝∠DCF＝30°，在Rt△CDH中，DH＝，CH＝2，CD＝，∴DH＝.。

人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____．（3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。

人教版八级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形．2．能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．【基础知识概述】1．正方形定义：(1)有一组邻边相等并且有—个角是直角的平行四边形叫做正方形．(2)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有—个角是直角的菱形．(3)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．2．正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．(1)边——四边相等、邻边垂直、对边平行．(2)角——四角都是直角．(3)对角线——①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角．(4)是轴对称图形，有4条对称轴．3．正方形的识别方法：(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)—个角是直角的菱形是正方形．4．正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图12-2-13．5．正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半．【例题精讲】例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE 为菱形，后证一个角为90°可得)注意：灵活选择正方形的识别方法．例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC ＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM ⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC与△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ACB和△SBD中，∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，又∠2＝∠3＝∠5，∴△ACB与△SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△BKS和△AMH中，∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，∴△BKS与△AMH重合，∴KS＝HM，∴AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．【同步达纲练习】一、填空题1．正方形既是________相等的矩形，又是有一个角是________的菱形．2．正方形ABCD中，对角线AC＝24，P是AB边上一点，则点P到对角线AC、BD的距离和为________．3．已知对角线AC、BD相交于O，(1)若AB＝BC，则是________；(2)若AC＝BD，则是________；(3)若∠BCD＝90°，是________；(4)若OA＝OB，则是________；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则是________．4．在边长为2的正方形中有一点P，那么这个点P到四边的距离之和是________．5．如图12-2-19，正方形ABCD的面积等于2cm4，则阴影部分的面积S＝9，正方形DEFG的面积等于2cm________2cm．6．如图12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：(1)第4个图形中火柴棒的根数是________；(2)第n个图形中火柴棒的根数是________．7．已知E、F为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF＝50°，则∠CME＋∠CNF＝________．二、解答题8．如图12-2-21所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，求∠AFC的度数．9．如图12-2-22，已知正方形ABCD中，BE∥AC，AE＝AC，试说明CE＝CF．10．如图12-2-23，正方形ABCD中，AC与BD相交于O，E、F分别是DB、BD延长线上的点，且BE＝DF，试说明∠E＝∠F．11．如图12-2-24所示，点G是边长为4的正方形ABCD边上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，已知DG ＝5，求FC的值．参考答案【同步达纲练习】1．邻边，直角2．123．(1)菱形 (2)矩形 (3)矩形 (4)矩形 (5)正方形4．475．26．(1)13 (2)3n＋17．100°8．在正方形ABCD 中，∠ACB ＝45°(正方形的每条对角线平分一组对角)．已知AC ＝CE ，所以∠CAE ＝∠E ，所以∠CAE ＋∠E ＝45°，所以∠E ＝22.5°．因为∠DCE ＝90°，∠AFC ＝∠DCE ＋∠E ＝90°＋22.5°＝112.5°．9．过点E 作EG ⊥AC 于G ，连结BD ，∵EG ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴EG ∥BD ．又AC ∥BE ，∴四边形EGOB 是矩形，∴EG ＝BO ．∵BD ＝AC ， ∴AE 21AC 21EG ==， ∴∠EAG ＝30°．∵△ACE 是等腰三角形， ∴︒=︒-︒=∠75)30180(21AEC ． ∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB ＝45°．∵∠CFE ＝∠EAC ＋∠FCA ＝30°＋45°＝75°，即∠CFE ＝∠CEF ，∴CF ＝CE ．10．提示：易知OF ＝OE ，且AC ⊥BD 于O ，∴AC 为EF 的中垂线，∴EC ＝CF ，∴∠E ＝∠F ．11．连结AG ，过点A 作AH ⊥GD ，过点G 作GP ⊥AD ，垂足分别为H 、P ，易知AH ＝FG ，PG ＝AB ，所以依题意有PG AD 21AH DG 21S AGD ⨯⨯=⨯⨯=∆，即4421AH 521⨯⨯=⨯⨯，所以AH ＝3.2，即FG ＝3.2．专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A ．通常加热到100℃时，水沸腾B ．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( ) A.316 B.38 C.58 D.1316第7题图第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：事件A 必然事件随机事件(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

八年级数学下册同步精品讲义(人教版)：正方形(教师版)

知识点 03 正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
知识点 04 特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
知识点 05 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
CE=BO=3，同理得出 DF=OA=1，AF=BO=3，再求出 OE、OF，即可得出结果．【详解】解：作 CE⊥y 轴于 E，DF⊥x 轴于 F，如图所示：
则∠CEB=∠AFD=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，BC=AB， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2，在△BCE 和△ABO 中，
能力拓展
考法 01 正方形的性质
【典例 1】如图，直线 L 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 1 和 9，则 b 的面积为（）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，进而利用 AAS 可证明△ACB≌△DCE，
第 13 课正方形
目标导航
课程标准 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法．
知识精讲
知识点 01 正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 注意：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

正方形的性质与判定知识点及例题

FED CB一．知识要点：一．知识要点：1．正方形的定义：．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．二．例题讲解二．例题讲解1. 正方形的性质【铺垫】正方形有【铺垫】正方形有条对称轴．条对称轴．【例1】如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ^=，，则BE 的长为的长为【例2】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...nA A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．【例3】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ^于E ，PF CD ^于F 求证：AP EF =. 正方形菱形矩形平行四边形E DC BAFEP D CBA AA 5A 4A 3A2A 1正方形的性质与判定PDCBA G C FE D BA BD CAEF【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且A B P D 为等边三角形，那么DCP Ð=【例4】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =. 【例5】如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC Ð=°，求B E F Ð的度数. 【例6】如图4.64.6－－6，已知E 为正方形ABCD 的边BC 的中点，的中点，EF EF EF⊥⊥AE AE，，CF 平分∠平分∠DCG DCG DCG，，求证：证：AE AE AE＝＝EF EF．．解析：可取AB 中点M ，连结ME ME，证△，证△，证△AME AME AME≌△≌△≌△ECF ECFF A B C DE 2.正方形的判定【例1】如图所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形CEDF 为正方形。

专题2.13正方形(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)

专题2.13 正方形（知识讲解）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC 的延长线上，且P E＝PB．求证：（1）△BCP△△D CP；（2）△DPE ＝△ABC．【思路点拨】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得△BCP=△DCP，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得△CBP=△CDP，根据等边对等角可得△CBP=△E，然后根据等角的余角得出△DPE= 90°，从而得证；【解析】证明：（1）△四边形ABCD是正方形△BC=DC，△ACB＝△ACD ，△ABC＝90°又△PC = PC△△BCP△△D CP．（2）△P E＝PB，△△E＝△PBE ，△△BCP△△D CP，△△PBE＝△PDC ，△△E＝△PDC ，△△E＋△1＝90°，△1＝△2△△PDC＋△2＝90°即△DPE＝90°△△DPE＝△ABC．【总结升华】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出△BCP=△DCP是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分△ACD 交BD于点M，MN△CM，交AB于点N，（1）求△BMN的度数；（2）求BN的长．【答案】（1）22..5°；（2）4【思路点拨】（1）先由正方形ABCD的面积是8，求得正方形的边长及其对角线的长；再由正方形的性质及CM平分△ACD，求得△DCO、△BCO、△CDO、△MBN、△DCM、△MCO及△BMC的度数；然后由MN△CM得△CMN＝90°，则△BMN的度数等于△CMN的度数减去△BMC即可得出答案；（2）先证明△BCM＝△BMC，从而可得BM＝BC＝CD，则由DM＝BD﹣BM可得DM的长；【解析】解：（1）△正方形ABCD的面积是8，△BC＝CD，△BD＝4．△四边形ABCD为正方形，△△DCO＝△BCO＝△CDO＝△MBN＝45°，△CM平分△ACD，△△DCM＝△MCO＝22.5°，△△BMC＝△CDO+△DCM＝45°+22.5°＝67.5°．△MN△CM，△△CMN＝90°，△△BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，△△BMN的度数为22..5°．（2）△△MCO＝22.5°，△BCO＝45°，△△BCM＝△BCO+△MCO＝67.5°，又△△BMC＝67.5°，△△BCM ＝△BMC ，△BM ＝BC ＝CD ＝，△DM ＝BD ﹣BM ＝4﹣．△△DCM ＝22.5°，△BMN ＝22.5°，△△DCM ＝△BMN ．△在△DCM 和△BMN 中，DCM BMN DC BM CDM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△DCM △△BMN （ASA ），△BN ＝DM ＝4﹣△BN 的长为4﹣【总结升华】本题考查正方形的性质、角平分线的性质、余角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】已知，如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，△ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时．(1)求证：△ABD △△ACF ；(2)若正方形ADEF的边长为对角线AE ，DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度．【思路点拨】（1）由题意易得AD ＝AF ，△DAF ＝90°，则有△DAB ＝△F AC ，进而可证AB ＝AC ，然后问题可证；（2）由（1）可得△ABD △△ACF ，则有△ABD ＝△ACF ，进而可得△ACF ＝135°，然后根据正方形的性质可求解．【解析】(1)证明：△四边形ADEF为正方形，△AD＝AF，△DAF＝90°，又△△BAC＝90°，△△DAB＝△F AC，△△ABC＝45°，△BAC＝90°，△△ACB＝45°，△△ABC＝△ACB，△AB＝AC，△△ABD△△ACF(SAS)；(2)解：由(1)知△ABD△△ACF，△△ABD＝△ACF，△△ABC＝45°，△△ABD＝135°，△△ACF＝135°，由(1)知△ACB＝45°，△△DCF＝90°，△正方形ADEF边长为△DF＝4，△OC＝12DF＝12×4＝2．【总结升华】本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．类型二、正方形的判定2、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE△沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形ABFG 是菱形；（3）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形AECG 是正方形．【思路点拨】（1）根据平移的性质，可得：BE=FC ，再证明Rt△ABE△Rt△CDG 可得BE=DG ；（2）要使四边形ABFG 是菱形，须使AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 时，BC 与AB 的数量关系即可；（3）当四边形AECG 是正方形时，AE=EC ，由，可得，再有BE=12AB 可得AB ．【解析】（1）证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，AB=CD ．△AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成，△CG△AD ，AE=CG ，△△AEB=△CGD=90°．△在Rt△ABE 与Rt△CDG 中，AE CG AB CD =⎧⎨=⎩， △Rt△ABE△Rt△CDG （HL ），△BE=DG ．（2）解：当BC=32AB 时，四边形ABFG 是菱形．证明：△AB△GF ，AG△BF ，△四边形ABFG 是平行四边形．△Rt△ABE 中，△B=60°，△△BAE=30°， △BE=12AB （直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），△BE=CF，BC=32 AB，△EF=12 AB．△AB=BF．△四边形ABFG是菱形．故答案是：32；（3）解：AB时，四边形AECG是正方形．△AE△BC，GC△CB，△AE△GC，△AEC=90°，△AG△CE，△四边形AECG是矩形，当AE=EC时，矩形AECG是正方形，△△B=60°，△EC=AE=2AB，BE=12AB，AB．．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．【变式】如图所示，在四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）若AB＝8，如果Q点的移动速度不变，要使PQBA是正方形，则P点移动速度是多少？解：（1）△PD //CQ ，△只要当PD ＝CQ 时，四边形PQCD 是平行四边形，设运动时间为t ，24PD t =-，3CQ t =，列式：24﹣t ＝3t ，解得t ＝6，△经过6秒，四边形PQCD 是平行四边形；（2）△//AP BQ 且90B ∠=︒，△只要当AP ＝BQ 时，四边形PQBA 是矩形，设运动时间为t ，AP t =，263BQ t =-，列式：t ＝26﹣3t ，解得132t =， △经过132秒，四边形PQBA 是矩形；（3）当BQ ＝AB ＝8时，四边形PQCD 是正方形，设运动时间为t ，列式：26﹣3t ＝8，解得t ＝6，△P A ＝6•V P ＝8，△V P ＝43cm /s ．【总结升华】本题考查的是动点问题，涉及平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，解题的关键是设运动时间，用时间表示线段长度，然后根据题意列方程求解．类型三、正方形中的折叠问题3 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．（1）求证：△ABG△△AFG ；（2）求△EAG 的度数；（3）求BG 的长．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB ＝AF ，△B ＝△AFG ＝90°，利用HL 定理得出△ABG△△AFG 即可；（2）由（1）可得△FAG ＝12△BAF ，由折叠的性质可得△EAF ＝12△DAF ，继而可得△EAG ＝12△BAD ＝45°；（3）首先设BG ＝x ，则可得CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，然后利用勾股定理GE 2＝CG 2＋CE 2，得方程：（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解此方程即可求得答案．【解析】（1）证明；在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，△D ＝△B ＝△BCD ＝90°， △将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，△AD ＝AF ，DE ＝EF ，△D ＝△AFE ＝90°，△AB ＝AF ，△B ＝△AFG ＝90°，又△AG ＝AG ，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG=AG AB=AF⎧⎨⎩， △△ABG△△AFG （HL ）；（2）△△ABG△△AFG ，△△BAG ＝△FAG ，△△FAG ＝12△BAF ，由折叠的性质可得：△EAF ＝△DAE ， △△EAF ＝12△DAF ， △△EAG ＝△EAF ＋△FAG ＝12（△DAF ＋△BAF ）＝12△DAB ＝12×90°＝45°；（3）△E是CD的中点，△DE＝CE＝12CD＝12×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，△GE2＝CG2＋CE2△（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，△BG＝2．【点拨】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．【变式】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG△△AFG；（2）求BG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，△B=△AFG=90°，利用HL定理得出△ABG△△AFG即可；（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，△D=△B=△BCD=90°，△将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，△AD=AF ，DE=EF ，△D=△AFE=90°，△AB=AF ，△B=△AFG=90°，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩， △Rt△ABG△Rt△AFG （HL ）；即△ABG△△AFG ；（2）△△ABG△△AFG ，△BG=FG ，设BG=FG=x ，则GC=6-x ，△E 为CD 的中点，△CE=EF=DE=3，△EG=3+x ，△在Rt△CEG 中，32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2，△BG=2．【点拨】本题主要考查了勾股定理的综合应用，全等三角形的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．类型四、正方形中的最值问题4.如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，Q 为BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，连接PB ，PQ ，求△PBQ 周长的最小值．【答案】1【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知，此时△PBQ的周长最小，△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．△四边形ABCD是正方形，△AC△BD，BO=OD，CD=2cm，△点B与点D关于AC对称，△BP=DP，△BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理，得QD==△△PBQ的周长的最小值为：（cm）．【点拨】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理得应用.是常考的基本题.【变式】如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90︒得DF，连接AE，CF.点，2（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；（2）求CDF 的面积的最小值.【答案】（1）3；（2）10-【分析】（1）利用勾股定理求出AO 长，易得AE 长，由正方形的性质利用SAS 可证ADE CDF ≌，根据全等三角形对应边相等可得结论；（2）过点E 作EH AD ⊥于点H ，当,,O E H 三点共线，EH 最小，求出EH 长，根据三角形面积公式求解即可.解：（1）由旋转得：90EDF ∠=︒，ED DF =，△O 是BC 边的中点，△12BO BC == 在Rt AOB中，5AO ===.△523AE AO EO =-=-=.△四边形ABCD 是正方形，△90ADC ∠=︒，AD CD =，△ADC EDF ∠=∠，即ADE EDC EDC CDF ∠+∠=∠+∠，△ADE CDF ∠=∠.在ADE 和CDF 中AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ADE CDF ≌.△3CF AE ==.（2）由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动.过点E 作EH AD ⊥于点H .△ADE CDF ≌，△ADE CDF S S =△△当,,O E H 三点共线，EH 最小，2EH OH OE =-=.△1S 102CDF ADE S AD EH ==⨯⨯=-△△ 【总结升华】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.。

正方形知识点总结及典型试题

4．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是。
6．如图，在边长为6√2的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=。
典型试题
一．选择题
1.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=1/2BF；②∠CHF=45°；③GH=1/4BC；④DH2=HE•HB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）
A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D（10，2）或（-2，0）
10．在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（）A．5(3/2)2010B．5(9/4)2011C.5(9/4)2009D.5(3/2)4020
正方形知识点总结及典型试题
知识点一：正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形。

2023年人教版八年级下册数学_ 正方形同步典型例题精讲课件

18.2.3 正方形
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STEP2 能力提升与素养
1
3.[2022陕西宝鸡岐山一模]如图，在正方形ABCD中
7
S△BPF.S四边形NFEM＝S四边形PFEQ，S四边形MEDA＝S四边形QEDC，∴图中阴影部
8
分的面积是正方形ABCD面积的一半，即 1 ×2×2＝2.
2
9
18.2.3 正方形
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STEP1 知识理解与运用
1
知识点二正方形的判定
2
5.菱形ABCD添上下列哪个条件，可证明它是正方形( A )
45°＝22.5°.
8
9
18.2.3 正方形 1
STEP1 知识理解与运用
2
4.正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是对角线BD
上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图
3
所示，则图中阴影部分的面积之和等于 2 .
4
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5
6
解析：BD是正方形ABCD的对角线，根据对称性可知，S△BNF＝
9
18.2.3 正方形
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STEP1 知识理解与运用
1
2.一个正方形的面积为8 cm2，则它的对角线长为( C )
2
A.2 cm
3
B.2 2 cm
C.4 cm
D.3 cm
4
解析：∵正方形的面积为8 cm2，∴正方形的边长为 8＝2 2 (cm)，
5
∴正方形的对角线长为2 2 × 2 ＝4(cm).
或∠ACB＝45°能使矩形ABCD成为正方形.
7
18.2.3 正方形
STEP2 能力提升与素养
1
2.[2022贵州遵义模拟]如图，正方形ABCD中，点F

2024八年级数学下册专项讲与练专题18.22 正方形(知识梳理与考点分类讲解)

专题18.22 正方形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】正方形的定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形【知识点二】正方形的性质1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.【知识点三】正方形的判定定义法有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形矩形+一组邻边相等有一组邻边相等的矩形是正方形判定定理矩形+对角线互相垂直对角线互相垂直的矩形是正方形菱形+一个角为直角有一个角是直角的菱形是正方形菱形+对角线相等对角线相等的菱形是正方形特别提醒：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.【知识点四】正方形的对称性1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线.2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.特别提醒：【知识点五】四边形之间的关系1.四边形之间的关系四边形四条边都相等是菱形四边形有三个角是直角是矩形四边形只有一组对边平行是矩形矩形两腰相等是等腰梯形矩形一个角是直角是直角梯形四边形两组对边分别平行（或两组对边分别相等或一组对边平行且相等）是平行四边形四边形两条对角线互相平分是平行四边形四边形两组对角分别相等是平行四边形平行四边形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是菱形平行四边形有一个角是直角，有一组邻边相等是正方形平行四边形有一个角是直角（或对角线相等）是矩形菱形有一个角是直角（或对角线相等）是正方形矩形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是正方形2.四种特殊四边形的性质边都相等【考点目录】【正方形性质与判定的理解】【考点1】正方形性质的理解；【考点2】正方形判定的理解；【正方形性质定理】【考点3】利用正方形性质证明与求值【正方形判定定理】【考点4】利用正方形判定定理证明与求值【正方形性质定理与判定定理】【考点5】利用正方形性质定理和判定定理证明与求值【正方形性质与判定的理解】【考点1】正方形性质的理解；△是等腰三角形，理由见分析；（2）67.5°【答案】（1）ACE【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．（1）根据正方形的性质可得:AD CE =CA CE =，即可解决问题；（2）利用正方形的性质及三角形外角定义求出22.5E Ð=°，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．（1）解：ACE △是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD AB BC ===，90B D Ð=Ð=°，则AC ==，∴:AD AC =，∵:AD CE =∴CA CE =，∴ACE △是等腰三角形；（2）∵AD CD AB BC ===，90B D BCD Ð=Ð=Ð=°，∴45ACB ACD Ð=Ð=°，∵CA CE =，∴CAE E Ð=Ð，∵CAE E ACB Ð+Ð=Ð，∴245E Ð=°，∴22.5E Ð=°，∵90FCE BCD Ð=Ð=°，∴9022.567.5AFD EFC Ð=Ð=°-°=°．【变式1】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对角线平分对角【答案】B【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．解： A 、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意；B 、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意；C 、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意；D 、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意．故选B ．【变式2】（2024·全国·七年级竞赛）如图，点A 、B 、C 是正方体上的三个顶点，则ABC Ð的度数为．【答案】60°/60度【分析】本题主要考查正方体的性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，连接AC ，根据正方体的性质可得AB BC AC ，，是正方形的对角线，由此即可求解．解：如图所示，连接AC ，∵点A B C 、、是正方体上的三个顶点，∴线段AB BC AC ，，是正方形的对角线，∴AB BC AC ==，∴ABC V 是等边三角形，∴60ABC Ð=°，故答案为：60°．【考点2】正方形判定的理解；【例2】（2023下·北京海淀·八年级校考期中）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE CD =，连接AE ，OE ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）若4AD DE ==，求OE 的长．【答案】（1）见分析；（2）OE =【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）先证明矩形ABCD 是正方形，然后根据正方形的性质和勾股定理，即可求出答案．（1）解：Q 四边形ABCD 是矩形，AB CD \∥，AB CD =，DE CD =Q ，DE AB \=，\四边形ABDE 是平行四边形．（2）解：4AD DE ==Q ，90ADE Ð=°，AE \=，BD AE \==在Rt BAD V 中，O 为BD 中点，12AO BD \==．AD DE CD ==Q ，\矩形ABCD 是正方形，454590EAO OAD DAE \Ð=Ð+Ð=°+°=°，\==OE【点拨】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型．【变式1】（2023下·云南楚雄·八年级统考期末）下列说法正确的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形【答案】A解：Q菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，\对角线相等的菱形同时也是矩形，\对角线相等的菱形是正方形，故A正确；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，故C错误；根据菱形的判定定理，各边都相等的四边形是菱形，故D错误，故选：A．【变式2】（2020下·八年级课时练习）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC，BE=BC．当∠CBE：∠BCE=，求证：四边形ABCD是正方形．【答案】2：3，证明见分析．【分析】首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，可得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，可得AD=BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD 可得四边形ABCD 是菱形；由BE=BC 可得△BEC 为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC ，利用三角形的内角和定理可得∠CBE =45°，可得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．解：证明：当∠CBE ：∠BCE =2:3时，四边形ABCD 是正方形．理由如下：在△ADE 与△CDE 中，,AD CD DE DE EA EC ìïíïî＝＝＝∴∠ADE=∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CBD ，∴∠CDE=∠CBD ，∴BC=CD ，∵AD=CD ，∴BC=AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD=CD ，∴四边形ABCD 是菱形；∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC ，∵∠CBE ：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×2233++=45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形．【点拨】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．【正方形性质定理】【考点3】利用正方形性质证明与求值【例3】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是边DC和CB 延长线上的一点，且DE BF =，连接AE AF EF ，，，（1）求证：ADE ABF V V ≌；（2）若4BC =，1CE =，求AEF △的面积．【答案】（1）见分析；（2）252【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）由题意知90ABF ADE Ð=°=Ð，证明()SAS ADE ABF ≌△△；（2）由题意得，43AD DE ==，，由勾股定理得，22225AE AD DE =+=，由()SAS ADE ABF ≌△△，可得，AE AF =，证明90EAF Ð=°，根据12AEF S AE AF =´V ，计算求解即可．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90BAD ABC ADE Ð=Ð=Ð=°，∴90ABF ADE Ð=°=Ð，∵AB AD =，ABF ADE =∠∠，BF DE =，∴()SAS ADE ABF ≌△△；（2）解：∵4BC =，1CE =，∴43AD DE ==，，由勾股定理得，22225AE AD DE =+=，∵()SAS ADE ABF ≌△△，∴AF AE BAF DAE =Ð=Ð，，∴90BAF BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð=°，即90EAF Ð=°，∴21125222AEF S AE AF AE =´==V ，∴AEF △的面积为252．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在边BC 和CD 上，则CEF Ð=（）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°【答案】D【分析】根据题意直接证明()Rt Rt HL ABE ADF △△≌，进而得CE CF =，根据等腰直角三角形的性质即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90B D C Ð=Ð=Ð=°，∵AEF △是等边三角形，∴AE AF =，∴()Rt Rt HL ABE ADF △△≌，∴BE DF =，∴CE CF =，∴CEF △是等腰直角三角形，∴45CEF Ð=°，故选：D ．【点拨】本题考查了HL 证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．【变式2】（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，已知四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，且G 是AB 的中点，连接AE ，若4AB =，则AE 的长为．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点E 作EM AD ^交BC 于点N ，交AD 于点M ，则4MN =，再证明BCG NEC ≌△△，得出4NE BC ==，再利用勾股定理即可解答．解：过点E 作EM AD ^交BC 于点N ，交AD 于点M ，则4MN =，Q 四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，CG CE \=，90B CNE Ð=°=Ð，90GCE Ð=°，GCB CEN \Ð=Ð，()ASA BCG NEC \V V ≌，4NE BC \==，122CN BC AB ===，8ME \=，2AM BN ==，AE \=故答案为：．【正方形判定定理】【考点4】利用正方形判定定理证明与求值【例4】（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，已知E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：ABE FCE ≌△△；（2）连接AC BF 、，若12AE BC =，求证：四边形ABFC 为矩形；（3）在（2）条件下，直接写出当ABC V 再满足______时，四边形ABFC 为正方形．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）AB AC=【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定：（1）根据平行四边形的性质得出AB DC ∥，进而得出ABE FCE Ð=Ð，再根据ASA 即可证明ABE FCE ≌△△；（2）根据对角线互相平分证明四边形ABFC 为平行四边形，由12AE BC =可得AF BC =，可证四边形ABFC 为矩形；（3）AB AC =时，由等腰三角形的三线合一性质得出AE BC ^，得出四边形ABFC 是菱形，即可得出结论四边形ABFC 为正方形．解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴ABE FCE Ð=Ð，又∵E 为BC 的中点，∴BE CE =，在ABE V 和FCE △中，ABE FCEBE CEAEB FEC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE FCE ≌V V ；（2）证明：∵ABE FCE ≌△△，∴BE CE =，AE FE =，∴四边形ABFC 为平行四边形，又∵12AE BC =，∴AF BC =，∴四边形ABFC 为矩形；（3）解：当ABC V 为等腰三角形时，即AB AC =时，四边形ABFC 为正方形；理由如下：∵AB AC =，E 为BC 的中点，∴AE BC ^，∵四边形ABFC 为平行四边形，∴四边形ABFC 是菱形，又∵四边形ABFC 是矩形，∴四边形ABFC 为正方形，故答案为：AB AC =．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD 是正方形的是（）A ．AB AD =且AC BD ^B ．AC BD ^且AC 和BD 互相平分C ．BAD ABC Ð=Ð且AC BD =D ．AC BD =且AB AD=【答案】D【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ^，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 和BD 互相平分，∵AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ABC Ð=Ð=°，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形，符合题意；故选D ．【点拨】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键．【变式2】（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E ，F 同时从O 点出发在线段AC 上以1cm/s 的速度反向运动（点E ，F 分别到达A ，C 两点时停止运动），设运动时间为s t ．连接DE DF BE BF ，，，，已知ABD △是边长为6cm 的等边三角形，当t = s 时，四边形DEBF 为正方形．【答案】3【分析】由题意可知cm OE OF t ==,即2cm EF t =,由菱形的性质得OB OD AC BD =^，，所以当EF BD =时，四边形DEBF 是正方形，而ABD △是边长为6cm 的等边三角形，则6cm BD =,所以26t =据此求解即可．掌握菱形的性质以及正方形的判定是解题的关键．解：由题意得cm OE OF t ==，∴2cm EF t =，∵菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴OB OD AC BD =^，，∴四边形DEBF 是菱形，∴当EF BD =时，四边形DEBF 是正方形，∵ABD △是边长为6cm 的等边三角形，∴6cm BD =，∴由EF BD =得26t =，解得3t =，∴当3t s =时，四边形DEBF 是正方形，故答案为：3．【正方形性质定理与判定定理】【考点5】利用正方形性质定理和判定定理求值【例5】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形AECF 是菱形，对角线AC 、EF 交于点O ，点D 、B 是对角线EF 所在直线上两点，且DE BF =，连接AD 、AB 、CD 、CB ，45ADO Ð=°．（1）求证：四边形ABCD 是正方形：（2）若正方形ABCD 的面积为72，4BF =，求点F 到线段AE 的距离．【答案】（1）见分析；（2）点F 到线段AE 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD 是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；（2）由正方形的面积公式求得6BO DO CO AO ====，进而得到2OF =，由四边形ABCD 是菱形得到4EF =，AC EF ^，菱形AFCE 的面积24=，由勾股定理求得AE =得答案．解：（1）∵菱形AECF 的对角线AC 和EF 交于点O ，∴AC EF OA OC OE OF ^==,,，∵BE DF =，∴BO DO =，又∵AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形，∵45ADO Ð=°，∴45DAO ADO Ð=Ð=°，∴AO DO =，∴AC BD =，∴四边形ABCD 是正方形；（2）∵正方形ABCD 的面积为72，∴1722AC BD ×=，∴214722BO ´=，∴6BO =，∴6BO DO CO AO ====，∴12AC =，∵4BF =，∴2OF =，∵四边形ABCD 是菱形，∴224EF EO OF ===，AC EF ^，∴菱形AFCE 的面积1242AC EF =×=，∴12AC =，∴6AO =，在Rt AOE △中，AE ==，设点F 到线段AE 的距离为h ，∴24AE h ×=，即24=，∴h =．即点F 到线段AE 【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．【变式1】（2024·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且AE 平分BAC Ð，BE CF =，P 为线段AC 上的动点，记PD PF +的最小值为m 则2m 的值为（）A ．6-B ．8-C ．8+D ．6+【答案】B【分析】连接EG ，BP ，由题意得当点P 与点G 重合时，PD PF +的值最小=BF ，再证明ABE BCF △△≌，BAM GAM V V ≌，BAE GAE V V ≌，从而得CEG V 是等腰直角三角形，设CF =BE =GE =x ，则EC ，列方程求出x 的值，进而即可求解．解：连接EG ，BP ，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴PD PF +=PB PF +，∴当点P 与点G 重合时，PD PF +的值最小=BF ，∵在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABE =∠BCF =90°，又∵BE CF =，∴ABE BCF △△≌，∴∠BAE =∠CBF ，∴∠BAE +∠ABM =∠CBF +∠ABM =90°，即：∠AMB =∠AMG =90°，∵AE 平分BAC Ð，∴∠BAM =∠GAM ，又∵AM =AM ，∴BAM GAM V V ≌，∴AB =AG ，又∵AE =AE ，∴BAE GAE V V ≌，∴∠AGE =∠ABE =90°，∴CEG V 是等腰直角三角形，∴设CF =BE =GE =x ，则EC ，∴x ，∴，即：m =∴2m =8-．故选：B ．【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形来求解．【变式2】（2024下·全国·八年级随堂练习）如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于．【答案】22．5°【分析】根据等边对等角的性质可得∠E＝∠ACE，由正方形的性质得出∠BAC＝45°，再由三角形的外角性质即可得出结果．解：∵AC＝AE，∴∠E＝∠ACE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠E+∠ACE＝45°，×45°＝22．5°，∴∠ACE＝12故答案为：22．5°．【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质和正方形的性质是解题的关键．【考点6】利用正方形性质定理和判定定理证明【例6】（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，在ABCV中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF BD =，连接BF ．（1）求证：BD CD =；（2）如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论；（3）当ABC V 满足______时，四边形AFBD 为正方形（直接写出）．【答案】（1）见分析；（2）四边形AFBD 为矩形，证明见分析；（3）AB AC =，且90BAC Ð=°．【分析】（1）证明AEF DEC △≌△可得AF DC =，再根据条件AF BD =可利用等量代换可得BD CD =；（2）首先判定四边形AFBD 为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC ^，进而可得四边形AFBD 为矩形；（3）当AB AC =，且90BAC Ð=°时，四边形AFBD 为正方形，首先证明=45ABC Ð°，45BAD Ð=°，可得AD BD =，进而可得四边形AFBD 为正方形．解：（1）证明：AF BC Q ∥，AFE ECD \Ð=Ð．E Q 是AD 的中点，DE AE \=，在AEF △与DEC V 中，AFE ECDAEF DEC AE ED Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS AEF DEC \V V ≌，AF DC \=，AF BD =Q ，BD CD \=；（2）解：四边形AFBD 为矩形，证明如下：AF BD =Q ，AF BD ∥，\四边形AFBD 为平行四边形，AB AC =Q ，BD DC =，AD BC \^，90BDA \Ð=°，\四边形AFBD 为矩形；（3）解：AB AC =，且90BAC Ð=°；理由如下：AB AC =Q ，且90BAC Ð=°，45ABC \Ð=°，AD BC ^Q ，45BAD \Ð=°，AD DB \=，\四边形AFBD 为正方形．故答案为：AB AC =，且90BAC Ð=°．【点拨】此题主要考查了四边形综合题，正方形的判定，矩形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE DF =，AE ，BF 相交于点O ，下列结论：①AE BF =；②AE BF ^；③AO OE =；④AED FBC Ð=Ð中，正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，根据四边形ABCD 是正方形及CE DF =，可证出ADE BAF △≌△，则得到：①AE BF =；可以证出90ABO BAO Ð+Ð=°，则②AE BF^一定成立,可以证出AED AFB Ð=Ð即可判断④．用反证法可证明AO OE ¹，即可判断③．解：Q 四边形ABCD 是正方形，CD AD AB \==，90BAF ADE Ð=Ð=°，CE DF =Q ，DE AF \=，在ADE V 和BAF △中，AD AB D BAF DE AF =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE BAF SAS \V V ≌，AE BF \=（故①正确）；∴AED AFBÐ=Ð∵AD BC∥∴AFB FBCÐ=ÐAED FBC Ð=Ð（故④正确）；90DAE AFB DAE DEA Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，90AFB EAF \Ð+Ð=°，AE BF \^一定成立（故②正确）；假设AO OE =，AE BF ^Q ，AB BE \=（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），在Rt BCE V 中，BE BC >，AB BC \>，这与正方形的边长AB BC =相矛盾，\假设不成立，AO OE ¹（故③错误）；故选：C ．【变式2】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交BC 、CD 于点E 、F ，且90EOF Ð=°，OC 、EF 交于点G ．给出下列结论：①COE DOF ≌V V ；②OBE OCF △≌△；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；④222DF CE EF +=．其中正确的为．（将正确的序号都填入）【答案】①②③【分析】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理计算判断即可．解：∵正方形ABCD ，90EOF Ð=°，∴,90OA OB OC OD BOC COD ===Ð=Ð=°，45ODF OCD OBC OCB Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴90DOF COF COE Ð=°-Ð=Ð，90COF COE BOE Ð=°-Ð=Ð，∴,DOF COE COF BOE OD OC OC OB ODF OCE OBE OCF Ð=ÐÐ=Ðììïï==ííïïÐ=ÐÐ=Ðîî，∴COE DOF ≌V V ，OBE OCF △≌△，故①②正确；∵COE DOF ≌V V ，∴COE DOF S S =V V ，∴COE COF DOF COF S S S S +=+V V V V ，∴COD CEOF S S 四边形=V ，∵正方形ABCD ，∴14COD ABCD S S 四边形=V ，∴14CEOF ABCD S S 四边形四边形=，故③正确；∵正方形ABCD ，∴90BCD Ð=°，∴222+=CF CE EF ，无法判定=CF DF ，故④错误．故答案为：①②③．【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．。

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

2.利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（定义判定）3.利用菱形与矩形判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

练习题1、（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．2、（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．。

第05讲正方形(3个知识点5类热点题型讲练习题巩固)(原卷版)

第05讲正方形课程标准学习目标①正方形的定义与性质②正方形的判定③中点四边形1.熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练的应用性质。

2.掌握正方形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定正方形。

3.掌握中点四边形的定义，能够熟练的根据四边形的性质判断中点四边形的形状。

1.正方形的定义：四条边都，四个角都是的四边形叫做正方形。

所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。

2.正方形的性质：同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。

【即学即练1】1．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角相等D．正方形的对角线互相垂直平分且相等【即学即练2】2．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（）A．B．C．0.5D．1【即学即练3】3．在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（）A．75°B．60°C．50°D．45°知识点02 正方形的判定1.直接判定：四条边相等，四个角也相等的四边形是正方形。

符号语言：∵AB BC CD AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝。

∴四边形ABCD是正方形2.利用平行四边形、矩形以及菱形判定：先判定四边形是平行四边形，在判定它是矩形和菱形即可判定为正方形。

①平行四边形＋邻边相等＋一个角是90°。

符号语言：在▱ABCD中，∵AB＝BC，且∠ABC=90°∴▱ABCD是正方形②平行四边形＋邻边相等＋对角线相等。

符号语言：▱ABCD中∵AB＝BC且AC＝BD∴▱ABCD是正方形③平行四边形＋对角线垂直＋一个角是90°符号语言：▱ABCD中∵AC⊥BD且∠ABC＝90°∴▱ABCD是正方形④平行四边形＋对角线垂直＋对角线相等。

第03讲正方形的性质与判定(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第3讲正方形的性质与判定1. 理解正方形的概念；2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．知识点1：正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）知识点2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【题型1：正方形的概念和性质】【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线互相平分D．每条对角线平分一组对角【变式1-1】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等【变式1-2】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等垂直B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．菱形的四个角都是直角【典例2】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（）A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm【变式2-1】（2022秋•临淄区期末）如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝1cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式2-2】（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）【变式2-3】（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．76B．24C．48D．88【题型2：正方形的判定】【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形【变式3-1】（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-2】（2022秋•济阳区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD 交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD【变式3-3】（2022春•卫辉市期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【变式4-1】（2022秋•郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．【变式4-2】（2022春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：△ABF≌△DAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．【变式4-3】（2022秋•二七区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当∠BAC＝°时，四边形ADCE是一个正方形，并说明理由．【题型3：正方形的性质与判定综合】【典例5】（2022春•临沭县期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF 为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．【变式5-1】（2022春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【变式5-2】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【变式5-3】（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．1．（2021•娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE ＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2022秋•漳州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD 3．（2022春•东莞市期中）下列给出的条件中，不能判断▱ABCD是正方形的是（）A．AC＝BD，AD＝AB B．AD＝AB，∠A＝90°C．AC＝BD，AC⊥BD D．AC⊥BD，AD＝AB 4．（2022•什邡市校级二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BDD．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC5．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半6．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③7.（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．8.（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．（1）求证：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．9．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．10．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE ＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．1．（2022春•张家川县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60°D．OD＝CD 2．（2022春•平南县期末）下列说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半3．（2022秋•铁西区期中）如图，已知正方形ABCD的面积为64平方厘米，DE ＝10厘米，则CE的长为（）A．6B．12C．2D．2 4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l 于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为．5．（2022秋•龙岗区校级期末）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为cm2．6．（2022秋•茂南区期末）正方形的边长为5，则它的周长为．7．（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝°．8.（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．9．（2022春•寻乌县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足条件时，四边形AEDF是正方形．10．（2022春•江宁区期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当△ABC满足时，四边形ADFE是正方形．11．（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求证：四边形AFDE为正方形；（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．12．（2021春•海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？。

正方形基础知识精讲及同步练习,精品系列

的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了
已知四边形 ABCD 是 AD ∥ BC ，∠ B＝∠ D( 如图 ) ，求证：四边形
证明：∵ AD ∥ BC(已知 ) ∴∠ A+∠ B＝ 180 ° ( 两直线平行，同旁内角互补又∵∠ B＝∠ D( 已知 ) ∴∠ A+∠ D＝ 180 ° ( 等量代换 ) ∴ AB ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行 ) ∴四边形 ABCD 是平行四边形 ( 平行四边形定义 ) 例 2 如图，正方形 ABCD对角线相交于 O ， E 是 OA上任一点， CF⊥ BE 于 F.CF 交 OB于 )
求证： (1)DP ＝ EF； (2)DP ⊥ EF 分析本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力 . 延长 FP 交 AD于 G. 注意到 . 延长 AEPG是正方形，要证从而 DP ⊥ EF. 证明： (1) 延长 FP 交 AD 于 G，延长 DP交 EF 于 H. ∵四边形 AEPG 是正方形， ∴ PG ＝ PE ＝ AE＝ AG ∵正方形 ABCD ∴ AB ＝ AD AD-AG ＝ AB-AE ＝ GF-PG 即 GD ＝ PF ∵ PE ⊥ AB ， PF⊥ BC ， ∴∠ DGP ＝∠ FPE ＝ 90° ∴△ DPG ≌△ FEP ∴ DP ＝ EF (2) ∵△ DPG ≌△ FEP ∴∠ 1＝∠ 2 又∠ 3＝∠ 4，∠ 1+∠ 4 ＝ 90° ∴∠ 2+∠ 3＝ 90° ∴ PH ⊥ EF，即 DP ⊥ EF 例 2 5∠ F. 如图，已知正方形 ABCD ，以对角线 AC 为边作菱形 AEFC ， BF∥ AC.求证：∠ ACF ＝ DP ＝ EF ，只要证△ DPG ≌△ FPE. 显然这两个三角形全等条件具备

2023学年九年级上学期数学同步精讲精练(北师大版)1-3 正方形的性质与判定(习题)(解析版)

第1讲探索勾股定理分层训练提分要义【基础题】1.下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C【解析】A：对角线相等的四边形有可能是梯形，所以A选项错误；B：对角线相等的四边形有可能是梯形，所以B选项错误；C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确D：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误；故选C【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定2.在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH 中，是正方形的有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个【答案】D；【解析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．3.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD 的长为2．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD 的长为（）A. 2B. 3C. 2D. 5【答案】B ；【解析】解：如图甲，∵AB=BC=CD=DA ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是正方形，连接BD ，则AB 2+AD 2=BD 2，∴AB=AD=1，如图乙，∠B=60°，连接BD ，∴△ABD 为等腰三角形，∴AB=AD=1，∴BD=3故选B ． 4.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 ( )A ．S ＝2B ．S ＝2.4C ．S ＝4D ．S 与BE 长度有关【答案】A ；【解析】设正方形EFGB 的边长是a ，则S ＝ABC CFG AFGB S S S +-△△梯形＝×（a ＋2）×a ＋ ×2×2－×（a ＋2）×a ＝2.5.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】由题意设CH=xcm ，则DH=EH=（9﹣x ）cm ，∵BE ：EC=2：1，∴CE=31BC=3cm ∴在Rt △ECH 中，EH 2=EC 2+CH 2，即（9﹣x ）2=32+x 2，解得：x=4，即CH=4cm ．6. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S ，2S ，则12S S +的值为( )A.16B.17C.18D.19【答案】B ；【解析】设正方形2S 的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC 2x ，2x CD =，∴AC ＝2CD ，CD ＝623=.EC ＝22，28S =，∵1S 的边长为3，1S 的面积为3×3＝9，∴12S S +＝8＋9＝17．7．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A ．由②推出③，由③推出①B ．由①推出②，由②推出③C ．由③推出①，由①推出②D ．由①推出③，由③推出② 【答案】A【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．【解析】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．8．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边BC 的中点，连结CE 、DF ．求证：CE=DF ．【解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD ，∠EBC=∠FCD=90°，又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴BE=CF ，在△CEB 和△DFC 中，，∴△CEB ≌△DFC ，∴CE=DF ．9．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ；PF ⊥CD 于点F ，连接EF ，给出下列五个结论：①AP=EF ；②AP ⊥EF ；③∠PFE=∠BAP ；④PD=EC ；⑤PB 2+PD 2=2PA 2，正确的有几个？．【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP ，交EF 于点N ，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE ，可得AP ⊥EF ；③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP ；④错误，PD=2PF=2CE ；⑤正确，PB 2+PD 2=2PA 2．所以正确的有4个：①②③⑤.10．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG ，EF 交AD 于H ，求DH 的长．【解析】解：如图，连接CH ，∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，CH CH CD CF=⎧⎨=⎩∴Rt△C DH ≌Rt△CF H ，∴∠DCH＝∠FCH＝12∠DCF＝30°，在Rt△CDH中，DH＝x，CH＝2x，CD＝33x=，∴DH＝3.【中档题】11. 如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.（1）求证：AE=BF；（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长.【分析】（1）利用正方形的性质证明△ABE≌△BCF，进而得到对应边AE=BF；（2）借助△ABE≌△BCF，求出DF的值，然后在Rt△ADF中使用勾股定理求得的AF的值. 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∵作BH⊥AE，垂足为点H，∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中，90ABC CAB BCBAE CBF∠=∠=︒=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF.（2）∵△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∵正方形的边长为5，∴AD=CD=5，∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中，2222AF AD DF=+=+=.5334【知识点】正方形的性质、垂直的定义、互余的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理12.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD 于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE．∴∠ADE＝∠BCE＝30°．∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE．（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE．∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE，∴∠DAE＝∠AFB．∵AD＝CD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA．∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°，∴∠AFB＝75°．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAC ＝45°，AQ ＝AQ∴△ADQ ≌△ABQ （SAS ）；(2)以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴于点F ．21AD ×QE ＝61ABCD S 正方形＝38 ∴QE ＝34∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为)34,34( ∴过点D(0，4)，)34,34(Q 两点的函数关系式为：24y x =-+，当y ＝0时，x ＝2，即P 运动到AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； (3)若△ADQ 是等腰三角形，则有QD ＝QA 或DA ＝DQ 或AQ ＝AD①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知QD ＝QA 此时△ADQ 是等腰三角形； ②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA ＝DQ ，△ADQ 是等腰三角形； ③如图，设点P 在BC 边上运动到CP ＝x 时，有AD ＝AQ∵AD ∥BC ∴∠ADQ ＝∠CPQ ．又∵∠AQD ＝∠CQP ，∠ADQ ＝∠AQD ，∴∠CQP ＝∠CPQ ．∴CQ＝CP＝x．∵AC＝24，AQ＝AD＝4．∴x＝CQ＝AC－AQ＝24－4．即当CP＝24－4时，△ADQ是等腰三角形．【综合题】14.正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．【点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或12，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．【解析】证法一：(间接折半法)如图①所示．∵∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．∴∠3＝∠5，BE＝BF．取AE的中点G，连接OG，∵ AO＝OC，∴ OG 12 EC．由∠7＝∠5，∠8＝∠3，∴∠7＝∠8，∴ FO＝GO．∴ EC＝2OG＝2FO．证法二：(直接折半法)如图②所示．由证法一得BE＝BF．取EC的中点H，连接OH．∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．∴∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．∴ EC＝2EH＝2FO．证法三：(直接加倍法)如图③所示．由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴∠OAF＝∠OCM，∴ AE∥MC．由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，∴ FM＝EC．∴ EC＝FM＝2FO．【总结】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．15.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴ MG＝12FD＝FG．∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝12∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．。