复变函数与积分变换 第81 傅立叶变换的概念.

2 fT (t)仅有有限个极值点.
则fT (t)可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT (t)
a0 2
an cos nt
n1
bn sin nt
4
fT (t)
a0 2
an cos nt
n1
bn sin nt
其中 2 T ,
an
2 T
T2 -T 2
fT
(t )cos ntdt
数的线性组合来逼近.---- Fourier级数.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情
况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.
定理：fT
(t )为T
-
周期函数，在 -
T 2
,T 2
上满足：
Dirichlet条件：
1 fT (t)连续或仅有有限个第一类间断点；
2
1 8
4 -4
f8(t )e- jntdt
1 8
1 e- jnt dt
-1
1
1 e- jnt 1 e jn - e- jn
-8 jn
-1 8 jn
1 sinn 4 n
cn
1 4
sinc(n
)
(n 0, 1, 2,
)
16
则在T=8时,
cn
1 4
sinc(n
)
(n 0, 1, 2,
1 T
T2 -T 2
fT (t)
cos nt - i sin nt
dt
1 T
T2 -T 2
f
(t )T
e - int dt
1
dn T
T2 -T 2
fT (t)
cos nt i sin nt
dt
1 T
T2 -T 2
f
(t )T
e int dt
c-n n 1,2, (c-n cn )
6
合并为： cn
积分变换 第八章 Fourier变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分. (周期趋于无穷时的极限形式).
1
§1 Fourier变换的概念 一. Fourier 级数:在工程计算中, 无论是电学还是力学,
频率特征。
7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个 周期函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则
T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这说明当T 时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
)
n
n
n 2
T
n
2
,
可将cn以竖线标在频率图上
14
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一
周期为8的周期函数f8(t):
f8(t)
f (t 8n),
2 2 ,
T 84
n
n
n
4
n-
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
15
则
cn
1 T
T
2 -T
fT (t )e- jntdt
n-
n 1 sinn 2 n- n
e jn0t
12
例2. 抽样函数介绍: sinc( x) sin x x
严格讲函数在x 0处是无定义的,但是因为
lim sin x 1 x0 x
所以定义sinc(0) 1,则函数在整个实轴连续。
sinc(x)
x
13
Hale Waihona Puke Baidu
前面计算出
cn
1 2
sinc(n
)
(n 0, 1, 2,
5
级数化为：
a0
2
an
n1
e int
e-int 2
bn
e int
- e-int 2i
a0 2
an
n1
- ibn 2
eint
an
ibn 2
e-int
令 c0
a0 2
, cn
an
- ibn 2
,dn
an
ibn 2
,
则
c0
1 T
T2
-T 2 fT (t )dt
cn
n
0,1, 2,
2
bn T
T2 -T 2
fT
(t )sin ntdt
n
1, 2,
在间断点t处成立：
fT (t
0) 2
fT (t
- 0)
a0 2
an cos nt
n1
bn sin nt
引进复数形式：
cos nt eint e-int , sin nt eint - e-int
2
2i
)
n
n
n 2
8
n
4
,
再将cn以竖线标在频率图上
17
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn
1 8
sinc(n
)
(n 0, 1, 2,
)
n
n
n
2
16
n ,
8
再将cn以竖线标在频率图上.
18
一般地, 对于周期T
cn
1 T
T2 -T 2
fT
(t )e-intdt
n 0, 1, 2,
级数化为： cneint
n-
1 T n-
T2 -T 2
fT
(
)e
-
in
d
e
int
cn F n ：fT t 的离散频谱；
cn ：fT t 的离散振幅频谱；
arg cn：fT t 的离散相位频谱； n .
若以fT t 描述某种信号，则cn可以刻画 fT t 的
lim
T
fT (t)
f (t)
8
例1. 求下列矩形脉冲函数的离散频谱与其 Fourier级数的复指数形式.
1 | t | 1 f (t) 0 | t | 1
图象如图所示: f (t)
1
-1 o
1
t
9
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,
则
f4(t) f (t 4n),
1 2
sinc(n
)
(n 0, 1, 2,
)
11
1. cn
1 sinn 2 n
0,
1
n
n ,
n
0,2,4, 1,3,
n n
2
T
n
2
2
4
.
2
,
0, n 0,1,2,4,5,6,8,9
2.arg cn
,其它
3. f4(t) f (t 4n), n-
n
cne jn0t
经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时 间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所 有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函
n-
2
T
2
4
,
2
n
n
n
2
.
f4(t)
-1 1 3
t
T=4
10
则离散频谱
cn
1 T
T
2 -T
fT (t )e- jntdt
2
1 4
2 -2
f4 (t )e- jntdt
1 4
1 e- jnt dt
-1
1
1
-4 jn
e- jnt
-1
1
4 jn
e jn - e- jn
1 sinn 2 n