最全最详细抽象函数地对称性、奇偶性与周期性常用结论

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力

1、周期函数的定义：

对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量

)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：

[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩

⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：

设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或

①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-

②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性

3、函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --

②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--

③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=

④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-

⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--=

（2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。

①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-

=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax

②函数))(2()(2)(2

222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。

③0))(2,)(2(0),(2222=+++-+++-=B

A C By Ax

B y B A

C By Ax A x F y x F 与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；

若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：

“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线2

2)()(b a x b x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2

(c b a +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称

2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数

3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称

4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称

5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2

a b x -=对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称

推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称

推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝f(a －x)

（2）f(2a －x)＝f(x)

（3）f(2a ＋x)＝f(－x)

性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)

（2）f(2a －x)＝－f(x)