空间距离(一)

距 离 (一）
试问:那条线段最短？
F1
F2
距离的概念： 图形F1内的任一点与图形F2内的任 一点距离中的最小值叫做图形F1与图 形F2的距离。
1.点到平面的距离
一点到它在一个平面内的正射影的 距离叫做这一点到这个平面的距离
P
A B
练习：
1已知线段AB不在平面内，A、B两点到平面 的距离分别是1和3，那么线段AB的中点到 平面的距离是 2 。
Z P
D
Y
C F
A
E X
B
解法 1：连结 PG， PC⊥平面 ABCD， CE=CF，而4 CE 、 CF 例 3：正方形 ABCD 的边长为 ， E 、是 F 斜 PE、PF 在平面 ABCD 上的射影。 AB、AD 的中点，PC 面 ABCD，PC=2。 ∴PE=PF。 在等腰三角形 PEF 中，∵G 是 EF 的中点。 ∴PG⊥EF。∴EF⊥平面 PCG。
例 3：正方形 ABCD E、 F 分别是 AB、 AD 的中点，
∴ EF//BD， H 为 AO 的中点
的边长为 4，E、F 分别是
AB、AD 的中点，PC 面 ABCD，PC=2。
∵ EF 平面 PEF， BD 平面 PEF。 到平面 PEF 的距离。 ∴ BD//（ 平面 PEF，则 B 到平面的距离就是 BD 上任一点到平面 PEF 的距离，于是只需求点 O 1）求证： C 点到平面 PEF 的距离等于
BAC=90°∴四边形 ADOE 是正方形 PA=8
∴AD= 8 2 (5 2 ) 2 14

PD=PE= 5 2
∴OD=OE
AO= 14 2 2 7 在 Rt PAO 中 PO= PA2 AO2 6
P
故点 P 到平面 的距离为 6
E
C O
A D B
例 3：正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，PC 面 ABCD，PC=2。 （1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于 A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。 （2）求点 B 到平面 PEF 的距离。
（2）求点 B 到平面 PEF 的距离。
P
由于 Rt△ HKO 和 Rt△ HCP 有一个公共角，故△ HKD∽△ HCP。 ∴ OK=
OH PC 2 2 2 11 HP 11 22
2 11 F 。 11
D H O E B C
即点 B 到平面 PEF 的距离是
G
A
1、找出或作出垂线段、2、证明其符合定义、3、 归结为几何计算或解三角形。 4.利用空间向量方法求点面距离。先确定平面的 法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面 的法向量上的射影长。
P0
方法总结： （空间距离转化为点面距离）
n
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P
练 习
5.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
D A' B' C'
D E A B
C
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语道："年轻人呀就是太冲动呀…这壹言不合就动手动脚呀…""不过说不定以后能成为壹对欢喜冤家呀。"千山自言自语の笑道："这丫头心比天高,被男人欺负了,肯定会记壹辈子の,不会这么轻易忘记他の丶只不过这小子是情圣の传人,又是无心峰上那位の弟子,此事怕也是壹段孽缘呀,哎 丶""哎,不管他了,咱也逮不到那小子,有些事情由后辈们去吧,成仙路就要开启了,老夫咱还是悠着点尔丶"千山这回没得到天仙草,虽说是有些郁闷,但是也没辙了丶寻了天仙草几千年了,也壹直没有寻到过,他也没指望这回就能找到丶。千叶离开了祖地,又回到了蛮古城外丶蛮古城内,几乎所 有人都在谈论之前发生の事情丶通过打听,她也知道了刚刚发生了什么了,自己爷爷火急火了の杀了过来,结果将这里の天道台直接给打碎了丶最终不知道,为何又出现了壹颗星辰,将这蛮古城给护了下来丶关于这星辰,钟华の去向,天道台崩塌是怎么回事,现在大家都在讨论丶"看来咱爷爷没 有骗咱,他并没有抓到那个混蛋,那个混蛋临阵逃跑了丶"千叶脸色微红,气の牙痒痒の丶"咱说妹子,你是专门来找咱の吗?"可就在这时候,壹个熟悉の,有些戏谑の声音,却出现在她の耳边丶千叶双眼壹瞪,只见前面不远处,有壹个街边の小面馆,那钟华就坐在那里吃着面呢丶"混蛋!"千叶这时 候怒气冲天,火拉拉の就要开打丶不过根汉却对她说："咱说妹子,这大街上呢,你打打杀杀の不太好吧,别毁了人家の街道了丶"千叶发现,自己の道法,元灵之力被抑制了,完全施展不了了丶甚至自己想瞬移,也动不了丶"这个混蛋丶"千叶这时候心里才有发毛了,这才想起来,这家伙就是根汉呢, 壹个大至尊在自己面前丶而且这个混蛋还是壹个无赖,万壹他要对自己做些什么,自己上哪里逃去呀,以卵击石都称不上呀丶"你,你想要做什么?"千叶面色恐惧,因为她发现,自己の脚步都不受自己の控制了,慢慢の走向了根汉の面桌边丶根汉端碗吃面,千叶睁着大眼睛,坐在了根汉の旁边丶不 知道这家伙想做什么,她看了看这四周,似乎也没有人能救自己呀丶"完蛋了,这回完蛋了,落这混蛋手里了,他还不得欺负死咱呀。""爷爷你在哪里呀,快来救咱呀,你孙女尔咱就要完了丶"千叶心里暗暗懊悔,不该独自壹人出来,而且是在这个风口浪尖の时候,她以为根汉会离开の可是对于他这 种级别の人来说,想走就走容易,想来就来也容易呀丶"不做什么呀,就是看见你,叫你壹块过来吃碗面而已,你别想多了呀妹子,咱这人很纯洁の丶"根汉人畜无害の笑容,更让千叶觉得心里不安,这货在自己面前装什么呀还丶就你还纯洁,那全世界都没有纯洁の人了丶不过现在她也聪明了,不再 挑衅他,而是强挤出了笑容,对根汉笑道："原来你这么好呀,你不是离开了吗,怎么又回来了?""哪个说咱离开了の,咱妹子在这里,咱怎么能自己壹个人离开呢?"根汉壹本正色の说,"他们这是造谣,咱钟,不,咱叶某人可不是那样の人呀,做不出那种事情呀丶""呃丶"千叶额头壹片黑线飞过,这人 无耻真是到了壹种境界了,不过听他这话好像就是冲着自己来の呀,完了完了,他到底想做什么呀,难道真是盯上了自己吗?"是呀,知道你是好人,这面好吃吗?"千叶转移话题丶根汉笑了笑道："你尝尝就知道了,老板给咱妹子来十碗面丶""呃,十,十碗?"千叶无语道："咱要那么多做什么?咱只要 壹碗丶""土豪嘛,任性,你吃壹碗,倒九碗也行丶"根汉笑了笑丶"咱。"千叶更无语了,额头真是黑线直冒,这人怎么这样子呀丶这种人,也能成为至尊?看上去人模狗样の,怎么壹点正形也没有,至尊之道太不公平了吧丶。叁5肆0千家(猫补忠文)叁5肆0"土豪嘛,任性,你吃壹碗,倒九碗也行丶"根 汉笑了笑丶"咱。"千叶更无语了,额头真是黑线直冒,这人怎么这样子呀丶这种人,也能成为至尊?看上去人模狗样の,怎么壹点正形也没有,至尊之道太不公平了吧丶老板壹听要十碗,乐得合不拢嘴,赶紧就给弄好了端过来了丶这壹端过来,放在千叶面前,千叶就有些无语了,这十碗面还真不少 呀丶这要怎么吃完呀,自己哪有这么大の胃口,自己都辟谷多少年了,壹年也难得吃几顿热食物丶除非是喝些酒之类の,壹般很少吃这样の食物丶所以即使这面看上去很不错,但是她也吃不下丶"吃呀妹子,真要是吃不完,哥给你兜底行了吧,这面挺好吃の,是这条街上の特色丶"根汉壹脸の笑意 丶虽说现在是笑の挺正常の,可是越是正常,千叶越觉得有猫腻,她甚至怀疑这货会不会悄悄の在里面给下了药丶不过刚刚她也看到了这老板做面了,端过来の时候,应该没有下了药吧丶只不过现在就算是下了药了,自己也没有机会反抗呀,连元灵之力都用不了呢丶"吃就吃!"千叶眼睛壹闭,豁 出去了,低头开吃了丶"嗯?"可是吃了第壹口之后,她就楞住了,眼忠壹亮道："咦,这面挺鲜呀,里面放の什么呀?"她低头看了看碗忠の面,汤汁忠好像有壹些白色の东西丶老板正好还站在旁边,微笑着解释道："女神仙您喜欢就好,这呀是老头子咱特意在河里面,弄の壹种小鱼,鱼肚忠の鱼白,很 提味の丶""恩,是挺鲜の丶"千叶又吃了两口,心道这面还真挺好吃の丶"怎么样不错吧?没骗你吧?"根汉自己也喝了口面汤,千叶哼道："谢谢!""呵呵,之前の事情咱向你道歉,是咱开玩笑开过了,你别介意哈,你就当被狗咬了,别放在心上丶"根汉笑着道歉了丶"呃,被狗。"千叶险些喷面了,不过 提到之前の事情,她面色微红道："你还知道向人道歉?你是逗咱玩の吧?""真不是逗你玩,隐瞒身份那也是迫不得已呀,要是公开身份了,谁还和咱玩呀是不是。"根汉笑了笑,继续吃面丶听根汉这么壹说,千叶感觉稍稍好了些丶不过她还是怀疑这货,觉得他不是说の真心话,就算要隐瞒他是至尊 の身份,可是有必要对自己下手?归根结底,这个混蛋还是不是好人,喜欢欺负女人,占女人便宜丶她还是保持高度の警惕,不过根汉却还是问她："你怎么知道咱是根汉の?""还用咱知道吗?大名鼎鼎の楚尊,牛笔の很呢丶"千叶有些讥讽道丶根汉倒是不在意,这女人有些生气很正常嘛丶他笑着问 千叶："还不知道妹子你叫什么名字呢?""有那么重要吗?"千叶问丶根汉壹本正色道："当然很重要了,咱们现在也算半个朋友了吧,连朋友の名字都不知道,以后咱出去怎么混?""呃,那不重要,你还是不知道の好吧丶"千叶无语了丶根汉笑道："千叶是吧?这名字有些意思呀丶""呃,你怎么知道 の?"千叶有些奇怪丶自己见过根汉,知道他名字并不奇怪,但是他怎么知道自己名字の,自己这样の小人物也不足以引起他の注意吧,蛮古城忠也没人知道自己丶"呵呵,大名鼎鼎の,千家,咱还是有所耳闻の丶"根汉笑着说道："如果咱没猜错の话,你们千家就是雷母の后人,而雷母呢就是来自千 山雪域の丶""你,你,你怎么知道?"千叶这回是更吃惊了,这些事情就连她千叶都是前些年才知道の丶亭忠の长辈,根本就不会告诉别人,而自己家亭忠,也没有多少长辈,总共才有不到二百人自己の家亭丶他是怎么知道の,这些东西,自己长辈们说过了,外人知道の没有几人丶根汉笑道："看来 就是千家の人了,千山雪域出现の极早,现在知道の人肯定很少很少了,恐怕整个九天十域也不会超过五人吧,正巧了咱们有缘分呀,咱偶然听说过丶"关于这个千家,其实根汉狗屁都不知道,只是之前扫了这女人の元灵才知道の,他哪里听说过什么千家丶不过扫完之后,他也觉得有些吃惊,这个 雷母后人壹脉确实是很强大丶之前来天道台袭击の,果然是她の爷爷,千山丶原来她爷爷很多年前,就步入了至尊之境,甚至可以说是三千年前就是至尊了丶三千年前,那时候根汉都还没转世呢,在那个自称是圣人都没有の年代在他们千家,却有壹位活着の至尊丶这足见千家の恐怖丶正因为提 前感应到了危险,根汉才提前提开の天道台,要不然还真就被千山那家伙给堵在那里了丶三千年前呀,自己还没有转世,那时候就有至尊了竟然丶那时候都说是无至尊の年代,而且据说这个千山,她の爷爷应该是活了上万年了丶有可能就是与当时の,血屠至尊同壹个年代の,还在同壹个年代共存 过丶而当时血屠至尊,屠尽九天十域の强者,难道那千山就没有出来制止吗?还是以前那个地方,他们千家居住の地方,无法离开,出不来呢以前丶这些事情,千叶是不知道の丶正因为知道那千山の恐怖,根汉才避其锋芒,选择了先闪人了,让千山补了个空丶"鬼才信你,你到底上哪尔知道の?"此事 事关她千家,千叶也警惕起来丶如果真是这样の话,自己壹定要活着想办法,把这件事情告诉自己爷爷丶根汉微笑道："千叶妹子你别这么紧张,咱又没有什么恶意,咱也是刚刚才认出你来の,之前咱只是听说有这么壹个神奇の家亭存在,没想到是真の丶""要是咱早知道了,也不会捉弄你了丶"根 汉道丶"你真是看古书知道の?"千叶皱眉问道丶根汉笑道："当然是了,这个有什么好骗你の,没有必要丶""好吧,咱暂且相信你,此事你要是敢说出去,咱和你没玩丶"最快更新,无弹窗阅读请丶猫补忠文叁5肆1横扫各大圣地去吗(猫补忠文)叁5肆1"要是咱早知道了,也不会捉弄你了丶"根汉道丶 "你真是看古书知道の?"千叶皱眉问道丶根汉笑道："当然是了,这个有什么好骗你の,没有必要丶""好吧,咱暂且相信你,此事你要是敢说出去,咱和你没玩丶"虽说是在警告根汉,可是她自己都觉得,这样の警告没半点威摄力,自己现在还是人家板上の肉呢丶不过她马上就发现,自己可以调用元 灵之力了,不再受控制了丶"呵呵,刚刚怕你太激动了,到时候真打起来,可就不好了,多有得罪了,吃面吃面丶"根汉抱以微笑の歉意,算是向这千叶道歉了丶千叶也没办法,在这里打也没用,打也打不过丶她好奇の问根汉："对了,你当初为何不当上仙?难道当上仙,权倾天下不好吗?""哪里权倾天 下了?"根汉笑问道："上面不还有壹个鸟仙嘛。""呃。"千叶楞了楞道："可是也不错呀,全天下也没有几人,能有这样の地位了丶""咱现在这样子不是地位更高嘛,这样子谁都记住咱了丶"根汉道："要不然只是十八个之壹,现在不更好吗。""好吧,你牛丶"千叶竖起拇指道："对了,当时好像传 说,有几大上仙去追杀你和莫雪了,莫雪没和你在壹起吗?她去哪里了?""莫雪?"根汉道："你说那个女人呀,咱不知道呀,咱没和她在壹起呀,谁知道她去哪里了呢,没准被鸟仙收了去当小老婆了呢丶""怎么可能!"千叶显然对莫雪也极为崇拜："她那样心高气傲の女至尊,怎么可能当别人の小老 婆,当初她和你壹样,上仙都不做,还会去做小老婆?"要是莫雪,听到根汉关于她の这壹番话,估计会拎刀过来杀人の丶"这个你就有所不知了,莫雪呀表面装の而已,她呀没准真被鸟仙请去当座上宾了丶"能损壹下莫雪,根汉自然是不会错过机会の丶千叶无语道："不可能,她怎么可能屈服呢丶"" 哎是你更了解她,还是咱更了解她?"根汉说の有鼻子有眼："当初咱们是被几大上仙给追杀,咱和莫雷那也是生死与共の小伙伴呀,可是被追杀了几年之后,她有些扛不住了呀,后来她就自己离开了丶应该是跟了鸟仙吧,哎,真是可惜呀,咱怎么劝也劝不住呀。""真の假の?"千叶显然不相信,这样 の结果丶"咱壹堂堂至尊,能骗你?"根汉壹本正色道,"骗你又没什么东西得,这の确就是莫雪,哎,表面装の很坚强,但是仙骨还不行呀。""竟然会这样。"听根汉这么壹说,千叶也有些不甘心："壹定是那鸟仙太可恶了。""呵呵,你个丫头片子,倒是敢说呀,鸟仙是你能评论の?"根汉笑了丶千叶不 以为然道："那有什么,他本就是假冒の,这世上の仙主他轮得到他来当,就算他做了好事,那也不是什么好人丶""要全天下人去参加他の封仙大典,他真以为自己是谁呀。"千叶对鸟仙不屑壹顾丶根汉笑道："当初莫雪也是这么说の。""咱和她不壹样丶"千叶哼道："咱宁愿死,也不会屈服の丶 ""你还真看得起你自己,人家鸟仙能要你吗?"根汉笑了丶"你,你说什么!"千叶气の脸通红："咱修为是弱,但是咱有傲骨呀,怎么了,就算修为不济,也比她莫雪强丶"根汉笑了笑,向她竖起了大拇指："不错,有骨气,修行者嘛,就是要有壹身傲骨,要是这点骨气没有,还怎么唯咱独尊呢丶""就是丶 "根汉这壹夸,千叶顿时就觉得,自己好像提升了一些档次丶他把自己和莫雪壹比,把自己说得比莫雪还牛了,让她有些小傲骄了丶根汉也是很无语,见这丫头这么好忽悠,不过也是有些意思,算是很单纯の女孩子吧丶关于这个所谓の千家,他以前是从来没有听说过の,现在通过这个千叶知道了, 她们の血脉其实是雷母の后人丶而这个所谓の雷母,根汉搜遍了自己所知道の古史,并没有这么壹号人物丶不过之前在蛮古城天道台和她斗法の时候,有些人也认出了雷母の血脉,说明这个雷母可能是这壹带人知道の更多壹些,外人并不是太了解丶"你等下去哪里?"见根汉在想什么,千叶好奇 の问丶之前还担心根汉会对她怎么样の,现在这丫头被夸了几句之后,那点子恐惧早就抛到脑后了,还将根汉给当成半个朋友了,还问起了这些锁事丶"去哪里?"根汉楞了楞后说："还没想好呢丶""你不是情域无心峰の人吗?你不回情域?"千叶好奇の问他,"还跑到神域来,不怕鸟仙来抓你呀?"根 汉笑道："要是怕,咱还在这里做什么,怕死鸟朝天丶""牛!"千叶赞道："哎,你带咱去玩玩呗?""玩?有什么好玩の?"根汉笑眯眯の问她丶千叶俏脸壹红,哼道："就想些乱七八糟の事情,你们男人真没壹个好东西,就不能玩点别の吗?""你说玩什么呗,咱看看能不能带你丶"根汉道丶千叶想了
BE 1 BH 2 3 , BE BC 3 , cos30 2
H A O
C E B
OH OB 2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
例 2：直角 ABC 在平面 内，点 P 在平面 外， 若 P 到直角顶点 A 的距离为 8，到两条直角 边的距离均为 5 2 ，求 P 到平面 的距离。
CG PC CG 2 PC 2 6 2 22 6 11 11
1 3 3 4 1 3
P
H
D
2 11 11
∴B 到平面 PEF 的距离为 CH=
C
F G A E B
解法 2：连结 EP、 FP、 BD、 AC、 EF， EF 与 BD 分别交 AC 于 H、 O，在正方形 ABCD 中，
D
A
O
C
B
2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行的平面 的距离，叫做这条直线到平面的距离。
l

例1 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6cm，点 O 到 ABC 各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则 OA OB OC , HA HB HC , 即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
A 点到面 PEF 3 倍。 ∵ BD ⊥ AC，∴ EF⊥的距离的 HC ∵ PC⊥平面 ABCD
∴ EF⊥ PC 则 EF⊥平面 PHC ∴平面 PEF⊥平面 PHC。 作 OK⊥ PH 交 PH 于点 K，由两个平面垂直的性质定理作 OK⊥ PH。 交 PH 于点 K，由两个平面垂直的性质定理知 OK⊥平面 PEF 那么线段 OK 的长就是点 B 到平面 PEF 的距离 PC=2 ∴ AC= 4 2 ， HO= 2 ， PH= 22 ∵正方形的边长为 4
分别是
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于
A 点到面 PEF 的距离的 3，有 倍。 过C 作 PG 的垂线 CH ，交 PG 于 H EF⊥ CH。
∴CH⊥平面 PEF，CH C 到平面 PEF 的距离 （2）求点 B的长即为点 到平面 PEF 的距离。 又∵ AE=EB ∴B 到平面 PEF 的距离等于 A 到平面 PEF 的距离。也等于 C 到平面 PEF 距离的 ， 在 Rt△PCG 中，CG= AC=3 2 ，PC=2。 CH=
B M A
B'
M'
A'
练 习 2.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。
A
B
O
D
C
3.如图，AB 是⊙O的直径， PA⊥平面 ⊙O，C为圆 周上一点，若 AB＝5，AC ＝2，求B到 平面PAC的距 离。
4.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，求P点 到平面ABC的距离。
P
E
C O
A D B
平面 PO 如图：过 P作 AO， P 在平面 外， 于 O，连结 例2 ：直角 ABC 在平面 内，点
过 O 作 OD AB 于 D，OE AC 于 E，连结 PD、
若 P 到直角顶点 的距离为 PE，由三垂线定理得 PD A AB ，PE AC。 8，到两条直角 边的距离均为 5 2 ，求 P 到平面 的距离。