例说二项式定理的常见题型及解法

例说二项式定理的常见题型及解法

二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

一、求二项展开式

1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x

x +

的展开式；

解：原式=4

)1

3(

x

x +=2

4)13(x x + =

])3()3()3()3([144342

243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(1

2342++++x x x x x

=541

12848122++++x

x x x

小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x

x -

的展开式；

分析：解决此题，只需要把4)13(x

x -

改写成4)]1(3[x

x -+的形式然后按照二项展开式的格式展

开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”

例3．计算c C C C n

n n n n n n 3)1( (279313)

2

1

-++-+-；

解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3

33

22

11

-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

二、通项公式的应用

1．确定二项式中的有关元素

例4．已知9

)2

(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为

解：92

3

929991

2)1()2

()(----+⋅⋅⋅-=-=r r r r r r r r r x

a C x x a C T 令392

3

=-r ，即8=r

依题意，得

4

92)1(89488

9=⋅⋅---a C ，解得1-=a

2．确定二项展开式的常数项

例5．103

)1(x

x -展开式中的常数项是

解：r r

r r r r

r x

C x

x C T 6

5

5103

10101)1()1()(--+⋅-=-=

令06

5

5=-r ，即6=r 。

所以常数项是210)1(6

106=-C

3．求单一二项式指定幂的系数

例6．（03全国）92)21

(x x -展开式中9x 的系数是 ；

解：r r r r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r

x C 3189)2

1(--

令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：2

21)21(33

9-=-C ，∴填221-

三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数

例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于 解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有

20)()1()1()1()1(3

5241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C

例8．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：

① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为66

7)2(-C ；

② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为44

7)2(-C

3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(44

766

7C C 填1008。

四、利用二项式定理的性质解题

1． 求中间项

例9．求（103

)1x

x -的展开式的中间项；

解：,)1()(310101r r r

r x

x T C -=-+ ∴展开式的中间项为53

55

10)1()(x

x C -

即：6

5252x -。

当n 为奇数时，n b a )(+的展开式的中间项是2

12

121-+-n n n n b

a

C

和2

12

121+-+n n n n

b

a

C

；

当n 为偶数时，n

b a )(+的展开式的中间项是2

22n n n n

b a C 。 2． 求有理项 例10．求103

)1(x

x -的展开式中有理项共有 项；

解：3

410103

10101)1()1()(r r r

r r r

r x

x

r T C C -

-+-=-

=

∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。

① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；

② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。

3． 求系数最大或最小项

（1） 特殊的系数最大或最小问题

例11．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r r r

r x T C )1(11111-=-+

∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r

11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(55

11-=-C

（2） 一般的系数最大或最小问题 例12．求84)21(x

x +

展开式中系数最大的项；