运筹学PPT 第二章 线性规划

2.9 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1 0 2 1
1.5 1 0 1 余料 0.1 0.3 0.9
03 2 1 0 30 2 3 4 0 1.1 0.2 0.8 1.4
10 50
30
设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 分别为上述8种方案下料的原材料根数， 建立如下的LP模型：
min Z =x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
X*
经求解交出 X * 的
二约束直线联立的方程
可解得 X* (2,02)4T 0
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40 50
x 100 1 26
由图解法的结果得到例1的最优解 X* (2,02)4T， 还可将其代入目标函数求得相应的最优目标值 z* 42。8说明当甲产量安排 20 个单位，乙产量 安排 24 个单位时，可获得最大的收入 428。
x x
1 1
5x2 10 x
200 2 300
40 30
x 1, x 2 0
各约束的公共部分即
模型的约束，称可行域。 0
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40 50
x 100 1 24
对于目标函数
zcxcx
11
nn
任给 z二不同的值，
便可做出相应的二
直线，用虚线表示。
（2）做目标的图形
x2
以例1为例，其目标为
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x2
练习：用图解法求解
下面的线性规划。
1.5
Minz 6 x 4 x
1
2
2 x1
x 2
1
s
.t
.
3
x
1
4
x 2
1 .5
x
,
1
x
2
0
1
0.375
X*
X *(0 .5 ,0 )T,z*3 0
0.5
1
x1
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问题：在上两例中
线性规划的可行域是一个什么形状？ —— 多边形，而且是“凸”形的多边形。
b(36 ,200 ,300 )T 0 表示资源限制向量；
9 A4
4 5
表示产品对资源的单耗系数矩阵。
3 10
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一般地
Maxz CX
s
.t
.
AX X
0
b
X 称为决策变量向量，C称为价格系数向量,
A 称为技术系数矩阵,b称为资源限制向量。
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线性规划应用举例
0.1x1 0 x 2 0.4
s
.t
.
0 0
x1 .1
x1
0
.1x 2 0 .2
x2
0
.6 2
.0
0
.
2
x
1
0 .1 x
2
1 .7
x 1, x 2 0
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线性规划模型的一般形式：（以MAX型、约束为例）
决策变量： 目标函数： 约束条件：
x,,x
1
n
M a c x x zc x
例1 （下料问题） 某工厂要做100 套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使 所用原料最省？
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例1 （下料问题） 某工厂要做100套钢架，每套用 长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s
.t .
AX X
0
b
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LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
REDUCED COST 0.000000 0.000000
11
nn
a x a x b
11 1
1n n
1
s.t
.am
1
x 1
a x mn n
b
m
x 1
,
,x n
0
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模型一般式的矩阵形式
记 X ( x , , x ) T , C ( c , , c ) A ( a , ) , b ( b , , b ) T
1
n
1
n
ij m n
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x1, x 2 0
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例2 某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以
大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表：
资源 住宅体系
砖混住宅
造价 (元/m2)
105
钢材
水泥
(公斤/m2) (公斤/m2)
12
110
砖 (块/m2)
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 84.000000
0.000000
3) 0.000000
1.360000
4) 0.000000
0.520000
NO. ITERATIONS= 2
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回顾例1的模型
其中
X(x,x)T表示决策变量的向量； 12
C(7,12) 表示产品的价格向量；
m z 8 x 1 i 7 n 1 x 1 1 2 x 1 1 1 3 x 2 0 6 1 x 2 9 2 x 23
（3）约束条件
12 x119x2125 x1220 x2217 x1313 x2360 s t0 3 37 5 x xx 1 1i1 1 j4 51,2 x 3 xi2 21 1 1,122;8 x 8 x j1122 1 ,3 2 2,3x 14 x2222 526 x9 x1133 429 x0 x2233 115205
210
人工 (工日/m2)
4.5
壁板住宅
135
30
190
——
3.0
大模住宅 资源限量
120
110000 (千元)
25
20000 (吨)
180
——
3.5
150000 147000 4000 (吨) (千块) (千工日)
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。
最优解在什么位置获得？ —— 在边界，而且是在某个顶点获得。
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2. 由图解法得到线性规划解的一些特性
（1）线性规划的约束集（即可行域）是一个凸多 面体。
凸多面体是凸集的一种。所谓凸集是指：集中任两点的连线仍属 此集。试判断下面的图形是否凸集：
90x1 x1
30x2
40x3 1000（酬金预算） 45 （电视数目）
x1,x2,x3 0
最优解：X=(0, 20, 10)T
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案例2 控制大气污染
分析： （1）决策变量的设置 令x11、x12、x13分别为鼓风炉的各种将污方法所实施的比例；
x21、x22、x23分别为反射炉的各种将污方法所实施的比例； （2）目标函数：总成本最低
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解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为
x1,x2,x3 m2, z为总面积,则本问题的数学模型为:
M x a 1 x 2 x x 3 z
0.105x1 0.135x2 0.120x3 110000
0.012x1 0.030x2 0.025x3 20000 0.110x1 0.190x2 0.180x3 150000 s.t0.210x1 147000
策变量的表达式表示； 3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制，
用决策变量的等式或不 等式表示；
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4
在本例中
决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 x ,x ；
1
2
目标函数：总收入，记为z,则z=7x1+12x2，为体现对其
追求极大化，在z 的前面冠以极大号Max；
约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束，和产 量非负的约束，表示为
饲料 M
售价 10
每公斤含营养成分
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
N
4
0
牲畜每日每头需要量 0.4
0.1
0.2 0.1
而使支出的总费用为 最少？
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解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
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1
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
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2
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
甲乙
资源限量
资源
煤
9
4
360
电
4
5
200
油
3 10
300
单位产品价格
7 12
试拟订使总收入最大的生产方案。
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线性规划模型的三要素
1.决策变量：需决策的量，即待求的未知数； 2.目标函数：需优化的量，即欲达的目标，用决
z7x1x2，分别令
1
2
z8和 4z16，8做出
14
相应的二直线，便可看出 7
z 增大的方向。
0
12 24
x1
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（3）求出最优解
将目标直线向使目 x2 标 z优化的方向移，直
90
至可行域的边界为止， 这时其与可行域的“切”
点 X * 即最优解。
如在例1中， X * 40
是可行域的一个角点， 30
如9 x 4 x 360，它表示以 9 x 4 x 360为边界的
1
2
1
2
一个半平面。因此，它 的做图方法是：
先做直线 9 x 4 x 360, 用两点连线方法（令
1
2
x 0,则x 90,再令 x 0,则x 40,于是该直线过
1
2
2
1
点（0，90）、（ 40，0））；
再确定不等式 9 x 4 x 360表示上述直线的哪
1
2
半平面，可用代入点的 方法（如把原点（ 0，0）代入
不等式，满足，说明原 点所在的半平面即该不 等式
所表示的区域）。
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1. 图解法的步骤
（1）做约束的图形
x2
先做非负约束的图形； 再做资源约束的图形。 90
以例1为例，其约束为
9 x 1 4 x 2 360
s
.t
4 3
9 x1 4 x 2 360
s
.t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x1, x 2 0
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5
z 解：设安排甲、乙产量分别 为 x1,x2 ,总收入为 ，
则模型为：
M 7 a x 1 1 x x 22 z
9 x1 4 x 2 360
s
.t
.
4 3
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案例1 超级食品公司的广告混合问题
分析： （1）决策变量的设置 令x1、x2、x3分别为三种媒介的广告数量；
（2）目标函数：广告总受众量（千人）最大
mza 1x3 x 1 0 60 x 0 2 5 0x 0 3 0
（3）约束条件
300x1 150x2 100x3 4000（广告预算）
2x1
+ x2 + 2x2 +
x3 x3
+
x4
+
3x5
+
2x6
+
x7
= 100 = 100
s.t.
xx1,1
x2,
+ x3+ 3x4 x3, x4, x5,
x6,
+ 2x6 + 3x7 x7, x8 ≥ 0
+
4x8
=
100
最优解为：
x1=10,x2=50,x3=0,x4=30,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0
0.0045x1 0.003x2 0.0035x3 4000 x1, x ,2 x3 0
前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上
述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
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练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取A、
B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、N两种。 有关数据如下：
7.4 m
2.1m
1.5 m
2.9m
方案 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
2.9 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1 0 2 1 0 3 2 1 0
1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 余料 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
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方案 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
鼓风炉
反射炉
最 优 解：
增加烟囱高度 加入过滤装置
x11=1 x12=0.34
x21=0.62 x22=1
2020/5/4 假如高级燃料 x13=a0.05
x23=1
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二、线性规划模型的图解法
图解法是用画图的方式求解线性规划的一 种方法。它虽然只能用于解二维（两个变 量）的问题，但其主要作用并不在于求解， 而是在于能够直观地说明线性规划解的一 些重要性质。
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1. 图解法的步骤
x2
（1）做约束的图形 先做非负约束的图形； 再做资源约束的图形。
以例1为例，其约束为
9 x 1 4 x 2 360
s
.t
4 3
x x
1 1
5x2 10 x
200 2 300
x 1, x 2 0
0
x1
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问题：不等式的几何意义是什么？怎样做图？