2013年湖南高考数学试题及答案卷(文科)

2013年湖南高考数学试题及答案卷(文科)
一、选择题 1． 复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 1．B [解析] z ＝i·(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，在复平面上对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，选B.
2． “1<x <2”是“x <2”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．A [解析] 1<x <2，一定有x <2；反之，x <2，则不一定有1<x <2，如x ＝0.故“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件，选A.
3． 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )
A ．9
B ．10
C ．12
D ．13
3．D [解析] 根据抽样比例可得360＝n
120＋80＋60
，解得n ＝13，选D.
4． 已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．B [解析] 由函数的奇偶性质可得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)．根据f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，可得2g (1)＝6，即g (1)＝3，选B.
5． 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π12
5．A [解析] 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ．又sin B ≠0，所以sin A ＝3
2
.因为A 为锐角，故A ＝π
3
，选A.
6．， 函数f (x )＝ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6．A [解析] 方法一：作出函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4的图像如图所示
可知，其交点个数为2，选C. 方法二(数值法)
x 1 2 4 f (x )＝ln x 0 ln 2(>0) ln 4(<4) g (x )＝x 2－4x ＋4
1
4
可知它们有2个交点，选C.
7． 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A.3
2
B ．1 C.
2＋1
2
D. 2 7．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.
8． 已知，是单位向量，＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )
A.2－1
B. 2
C.2＋1
D.2＋2
8．C [解析] 由题可知·＝0，则⊥，又||＝||＝1，且|－－|＝1，不妨令＝(x ，y )，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又||＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知||max ＝12＋12＋1＝1＋2，选C.
9． 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD
AB
＝( )
A.12
B.14
C.
32 D.74
9．D [解析] 依题可知，E ，F 是CD 上的四等分点，P 只能在线段EF 上，则BF ＝AB ，不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b 2
＋⎝⎛⎭⎫3a 42＝a 2，即b 2＝716a 2，故b a ＝74
，选D.
10． 已知集合U ＝{2，3，6，8}，A ＝{2，3}，B ＝{2，6，8}，则(∁U A )∩B ＝________． 10．{6，8} [解析] 由已知得∁U A ＝{6，8}，又B ＝{2，6，8}，所以(∁U A )∩B ＝{6，8}．
11． 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1
(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．
11．4 [解析] l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ，即x －2y －1＝0，l 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1，即2x －ay －a ＝0.由两直线平行，得21＝－a －2≠－a
－1
，解得a ＝4.
12． 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．
图1－1
12．9 [解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a ＝1，b ＝2→a ＝3→a ＝5→a ＝7→a ＝9，满足条件，输出a ＝9.
13． 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．
13．6 [解析] 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，
可知在点B (4，2)处x ＋y 取最大值为6.
14． 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，
使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．
14.3＋1 [解析] 如图，因PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，故|PF 2|＝1
2|F 1F 2|＝c ，则|PF 1|
＝3c ，又由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，故c a ＝2
3－1＝3＋1.
15．， 对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }，定义X 的“特征数
列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特
征数列”为0，1，1，0，0， 0
(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；
(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．
15．2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.
(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i ≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j ≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0，…，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P ∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．
16． 已知函数f (x )＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. (1)求f ⎝⎛⎭⎫
2π3的值；
(2)求使f (x )<1
4成立的x 的取值集合．
16．解：(1)f 2π3＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－122＝－1
4.
(2)f (x )＝cos x ·cos x －π
3
＝cos x ·12cos x ＋3
2sin x
＝12cos 2x ＋3
2sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋3
4sin 2x ＝12cos2x －π3＋14
. f (x )<14⇔12cos2x －π3＋14<14，即cos2x －π3<0.于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π
2，k ∈，解得k π＋
5π12<x <k π＋11π
12
，k ∈
17． 如图1－2所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．
(1)证明：AD ⊥C 1E ；
(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．
图1－2
17．解：(1)证明：因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以AD ⊥BC .①
又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥BB 1.②
由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C .
由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AD ⊥C 1E .
(2)因为AC ∥A 1C 1，所以∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设∠A 1C 1E ＝60°. 因为∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，所以A 1C 1⊥A 1B 1. 又AA 1⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1， 于是A 1C 1⊥A 1E .
故C 1E ＝A 1C 1cos 60°
＝2 2.又B 1C 1＝A 1C 21＋A 1B 2
1＝2， 所以B 1E ＝C 1E 2－B 1C 21＝2.
从而V 三棱锥C 1－A 1B 1E ＝13S △A 1B 1E ·A 1C 1＝13×12×2×2×2＝2
3
.
图1－3
18． 某人在如图1－3所示的直角边长为4 m 的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4 Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m. (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y 51 48 45 42 频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．
18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y 51 48 45 42 频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝690
15＝46.
(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝4
15
.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝2
5
.
19． 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈ (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．
19．解：(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 2
1. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.
令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.
当n ≥2时，由2a n －1＝S n ，2a n －1－1＝S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －
1.
于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －
1.所以数列{a n }的通项
公式为a n ＝2n －
1.
(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －
1.
记数列{n ·2n －
1}的前n 项和为B n ，于是
B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －
1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，②
①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －
1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .
从而B n ＝1＋(n －1)2n .
20． 已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2
＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝
0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．
(1)求圆C 的方程；
(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 最大时，求直线l 的方程．
20．解：(1)由题设知，F 1，F 2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．
设圆心的坐标为(x 0
，y 0
)，由⎩⎨⎧y 0
x 0
＝1，x 0
2＋y 0
2－2＝0
解得⎩⎪⎨⎪
⎧x 0＝2，y 0
＝2.所以圆C 的方程为(x －2)2
＋(y
－2)2＝4.
(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋2，
则圆心到直线l 的距离d ＝|2m |
1＋m 2，
所以b ＝2 22－d 2＝4
1＋m 2
.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 25＋y 2
＝1
得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－
4m m 2
＋5，y 1y 2＝－1
m 2＋5
. 于是a ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2
＝（1＋m 2）（y 1－y 2）2
＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝
（1＋m 2
）16m 2（m 2＋5）2＋4
m 2
＋5
＝2 5（m 2＋1）m 2＋5
.
从而ab ＝8 5·m 2＋1m 2＋5＝8 5·m 2＋1
（m 2＋1）＋4
＝
8 5m 2
＋1＋
4
m 2＋1
≤8 5
2
m 2＋1·4
m 2
＋1
＝2 5.
当且仅当m 2＋1＝
4
m 2＋1
，即m ＝±3时等号成立． 故当m ＝±3时，ab 最大，此时，直线l 的方程为x ＝3y ＋2或x ＝－3y ＋2， 即x －3y －2＝0或x ＋3y －2＝0.
21． 已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x
.
(1)求f (x )的单调区间；
(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2<0. 21．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2e x ＝x 2－2x －1（1＋x 2）2＋1－x 1＋x 2e x
＝－x （x －1）2＋2（1＋x 2）2
e x
.
当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0，
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明：当x <1时，由于1－x 1＋x
2>0，e x
>0，故f (x )>0； 同理，当x >1时，f (x )<0.
当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0，1)． 下面证明：∀x ∈(0，1)，f (x )<f (－x )，即证
1－x 1＋x 2e x <1＋x 1＋x 2
e －x
. 此不等式等价于(1－x )e x －1＋x
e x <0.
令g (x )＝(1－x )e x －1＋x
e
x ，
则g ′(x )＝－x e －
x (e 2x －1)．
当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，从而g (x )<g (0)＝0，即
所以∀x ∈(0，1)，f (x )<f (－x )． 由x 2∈(0，1)，所以f (x 2)<f (－x 2)， 从而f (x 1)<f (－x 2)．
由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1<－x 2，即x 1＋x 2<0.。