自动控制原理—第五章

由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其 表示为复数形式，即输入信号为Rej0 ，输出信号为 A(ω)Rej 。 则输入输出之比为
A( )Re j0 Re
j ( )
A( ) e
j ( )
可见，输入输出的复数比恰好表示了系统的频率特 性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。
N(s) D(s)
r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为 Rω N(s) C（s）= (s+p )(s+p )...(s+p × = (s + j ω )(s j ω ) ) 1 2 n
K1 K2 Kn Kc K-c + + ...+ + + s + p1 s + p2 (s + p n ) (s + jω ) (s - jω )
2 4
相频特性为
( ) arctan

2
利用频率特性的概念， 系统的稳态输出为 将ω=2代入得：
c(t ) A( ) sin[2t ( )]
因此，频率特性可定义为： 线性定常系统（或元件）在零初始条件下， 当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变 化时，系统输出与输入信号的幅值比与相位差 随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频 率特性。 频率特性可以反映出系统对不同频率的输 入信号的跟踪能力，只与系统的结构与参数有 关，是线性定常系统的固有特性。
5.1频率特性的基本概念
5.1.1频率响应
频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦 输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常系 统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输 入同频率的正弦信号，且输出的幅值与相位是输入正 弦信号频率的函数。 下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：
示例：
向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号 r（t）=Rsinωt 在 0→∞ 的范围内不断改变 ω 的取值，并测量与每一个 ω值对应的系统的稳态输出 Css（t）= A(ω)Rsin（ωt+（ω）） 测量并记录相应的输入输出幅值比与相角差。根据所 得数据绘制出幅值比与相角差随 ω 的变化曲线，并据 此求出元件或系统的幅频特性 A(ω) 与相频特性 （ ω ） 的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。
Rsinωt
线性定常系统，传递函数为G（s）
G（jω ）= G（s）|s=jω
A(ω)· R· sin[ωt+ (ω)]
= A(ω )· ej
图5-4 由系统传递函数求取频率特性示意图
A(ω)是幅频特性， 是相频特性
因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以 避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接 利用频率特性的物理意义简化求解过程。 例5.1已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Ui与 分别为输入为信号的振幅与角频率，可以运用时 域法求电路的输出。 输出的拉氏变换为：
ui(t)=Uisin t时
Uo(s)=
1 U iω × 2 2 Ts+1 s +ω
对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：
输出由两项组成，第一项是瞬态响应分量，呈指数衰 减形式，衰减速度由电路本身的时间常数 T 决定。第 二项是稳态响应分量，当t→∞时，瞬态分量衰减为0， 此时电路的稳态输出为：
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G （ jω ） =∣G （ jω ）∣ · ej∠G （ jω ） =A （ ω ） · ej 指数表示法 G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法 G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G（ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图5.3表示。
5.1.3由传递函数求取频率特性
实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性描述系 统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统 的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转 换类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通 过简单的转换得到，这种求取方法称为解析法。
设n阶系统的传递函数为
N(s) G(s) = = (s+p1 )(s+p2 )...(s+pn ) 为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。输入信号为
第5章——控制系统的频域分析
5.1频率特性的基本概念 5.2幅相频率特性及其绘制 5.3对数频率特性及其绘制 5.4奈奎斯特稳定判据 5.5相对稳定性 5.6利用开环频率特性分析系统的性能
频率特性法
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用 的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输 出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标 直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的 优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时 域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是 相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才 能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域 法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频
特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值 上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。 而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相 频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相 位上是超前（＞0º ）还是滞后（＜0º ）。 系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面， 并且强调频率ω是一个变量。
对输出求拉氏反变换可得
c(t) (K1e
p1t
K2e
p2t
K n e ) (Kc e
pnt
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的 全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地 分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主 要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这 就是根轨迹法与频率特性法，本章将详细介绍控制系 统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性 （元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性） 来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统 的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采 用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。
频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直 观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。 近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多 输出量系统，称为多变量频域控制理论。 本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率 特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳 定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频 率特性分析系统闭环性能的方法。
可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，但幅 值与相位不同，输出滞后于输入。 输入输出幅值比为
A=
1 1+T ω
2 2
输入信号为
输入输出相位差为
ui(t)=Uisin t
= -arctanTω
二者均仅与输入频率 ，以及系统本身的结构与参数有关。
实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线 性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r（ t ） =sint时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为 Css（t）=Asin（ωt+），如图所示。
频率特性分析法的特点
频率特性分析法（Frequency Response） ，又称为频域分析 法是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表 达式，而可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环的响 应性能，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如： ①根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态 性能, 得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节 或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。 ②具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频 率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建 立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析 的方法去建立数学模型的系统尤其有利。 ③时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分 析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的 分析与设计。
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统

图5-2，线性系统及频率响应示意图
5.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比 A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A 与相位差 仅是 ω 的函数，可以分别表示为 A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率 ω 在 0→∞ 的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
G（jω）= G（s）|s=jω= A(ω)· ej
由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性 可由系统的传递函数G（s）将jω代替其中的s而得到。 由拉氏变换可知，传递函数的复变量s =σ+jω。当σ=0 时，s = jω。所以G（jω）就是σ=0时的G（s）。即当 传递函数的复变量s用jω代替时，传递函数转变为频率特 性，这就是求取频率特性的解析法。可以用图5-4表示为
如图 5-1 所示一阶 RC 网络， ui(t) 与 uo(t) 分别为输入与 输出信号，其传递函数为