《一元二次方程》常见考点分类总结

x 2 14
72
14 3 2
.
8
4
x1
14 3 4
2 , x2
14 3 2
.
4
评注:(1)将一元二次方程化为一般形式，先确定 a, b, c 的值;
(2)牢记使用公式的前提是 b2 4ac 0 .
同步练习 6 解方程: 2x2 2x 1 0 .
C.1 或 2
D.0
解:由题意，得 m2 3m 2 0 .
解得 m1 1, m2 2 .
又二次项系数 m 1 0 , m 1. m 2 .故选 B.
评注:本题考查一元二次方程的根的定义，处理这类问题的一般方法是将方程的根直接 代入方程求解.但要注意一元二次方程的二次项的系数不为 0.
进行严密的思考，做到不重不漏，本题第(2)问的解答极易漏掉
和
m2 3 1
2(m 1) 0 m2 3 0 这两种情况.
同 步 练 习 1 判 断 下 列 方 程 是 否 为 一 元 二 次 方 程 :① 4x2 81 ;② 2(x2 1) 3y2 ;③
5x2
②注意事项:当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积的形式 时，用因式分解法解较简便.
同步练习 4 解方程: x(2x 5) 4x 10 .
(三)用配方法解方程
例 5 解方程: x2 6x 3 0 . 解:移项，得 x2 6x 3 . 配方，得 x2 6x 9 3 9 ，即 (x 3)2 12 . 直接开平方，得 x 3 2 3 . x1 3 2 3, x2 3 2 3 .
同步练习 3 解方程: 4x2 12x 9 81 .
(二)用因式分解法解方程
例 4 解方程: x(x 2018) 2019x 2019 2018 .
解:原方程可变形为
x(x 2018) 2019(x 2018) . 移项，得 x(x 2018) 2019(x 2018) 0 . (x 2018)(x 2019) 0 . x 2018 0 或 x 2019 0 . x1 2018, x2 2019 . 评注:①基本思想:利用“若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0 ”的性质求方程的根.
同 步 练 习 2 已 知 , 是 方 程 x2 (m 2)x 1 0 的 两 个 根 ， 求
(1 m 2 )(1 m 2 ) 的值.
考点三 考查一元二次方程的解法 (一)用直接开平方法解方程
例 3 解方程: (3 2x)2 x2 2x 1 .
评注:注意到题目中的方程的二次项系数为 1，一次项的系数是偶数，考虑运用配方法 比较简便.
同步练习 5 解方程: x2 5x 7 3x 11.
(四)用公式法解方程
例 6 解方程: 4x2 2 14x 1 0 .
解: Q a 4,b 2 14, c 1，
b2 4ac (2 14)2 4 4 (1) 56 16 72 .
解:原方程可变形为 (3 2x)2 (x 1)2 .
直接开平方，得 3 2x (x 1) .
解得
x1

4 3
,
x2

2
.
评注:直接开平方法是解可以整理成 (x m)2 n 的形式的一元二次方程的一种方法，
它建立在数的开方的基础上，利用平方根的定义求解.当 n 0 时，两边开平方便可求得方 程的根;当 n 0 时，方程在实数范围内无解，因为负数没有平方根.
m 1
解得
.
m 3
m 3 .
当 m 5 或 2 或 3 时，原方程是一元一次方程.
评注:讨论关于 x 的方程是一元一次方程或一元二次方程的问题，关键要考虑两点:一是
未知数的最高次数;二是最高次项的系数不等于 0，本题运用了分类讨论的思想，讨论时要
m 5 2(m 1) 0
(2)若使原方程为一元一次方程，则 m 的情况应分以下三种情况讨论:
m 5 0
①
m

1

0
,
解得 m 5 .
m 5 2(m 1) 0
②
,
m2 3 1
m 1 (2 5)
解得 3
.
m 2
m 2 .
2(m 1) 0 ③ m2 3 0 ,
(五)用换元法解方程
例 7 用换元法解分式方程 2018x 1 x 2 时，如果设 y 2018x 1 ，并
x
2018x 1
x
将原方程化为关于 y 的整式方程，那么这个整式方程是
.ห้องสมุดไป่ตู้
解:设 y 2018x 1 . x
原方程可化为 y 1 2 . y
去分母整理，得 y2 2 y 1 0 .
《一元二次方程》常见考点
一元二次方程是初中数学的重要内容之一近几年来，不仅注重基础知识的考查，也注 重综合能力的考查.考题中体现了新课标的要求，计算上的难度有所降低，但增加了开放 性、增强了灵活性.为帮助同学们掌握本章的重点内容，迎接挑战.现以中考题为例，将常见 考点题型及数学思想方法归纳总结如下:
1
4x
;④
1 x2 1

2 x

0
;⑤ 3x(x
1)

5( x

2)
;⑥关于
x
的方程
mx2
3x

2

0
.
考点二 考查一元二次方程的根的定义
例 2 若关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 5x m2 3m 2 0 有一个根为 0，则 m
的值等于( )
A.1
B.2
考点一 考查一元二次方程的概念
例 1 已知关于 x 的方程 (m 5)xm2 3 2(m 1)x 1 0 .
(1) m 为何值时，它是一元二次方程; (2) m 为何值时，它是一元一次方程.
m 5 0
解:(1)
,
m2 3 2
解得 m 5 .
当 m 5 时，原方程是一元二次方程.