教师招聘考试真题(中学数学科目)及答案

教师招聘考试真题［中学数学科目］

（满分为120分）

第一部分数学教育理论与实践

一、简答题（10分）

教育改革已经紧锣密鼓，教学中应确立这样的思想“以促进学生的全面发展为本，以提高全体学生的数学素质为纲”，作为教师要该如何去做呢？谈谈高中数学新课程改革对教师的要求。

二、论述题（10分）

如何提高课堂上情境创设、合作学习、自主探究的实效性？

第二部分数学专业基础知识

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数(1+i)(1-i)=（）

A．2 B．-2 C．2i D．-2i

2．

2

(3x2+k)dx=10,则k=（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．在二项式(x-1)6的展开式中，含x3的项的系数是（）

A．-15 B．15 C．-20 D．20

4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在［50,60)的汽车大约有（）

A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆

5．某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为

f(t)=

2

100

t

,则在时刻t=10 min的降雨强度为（）

A．1

5

mm/min B．

1

4

mm/min C．

1

2

mm/min D．1 mm/min

6．定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy（x，y∈R），f(1)=2，则f(-3)等于（）

A．2 B．3 C．6 D．9

7．已知函数f(x)=2x+3，f-1(x)是f(x)的反函数，若mn=16（m，n∈R+），则f-1(m)+f-1(n)的值为（）

A．-2 B．1 C．4 D．10

8．双曲线

22

22

x y

-

a b

=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角

为

30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）

A．6B．3C．2D．

3 3

9．如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别是a和b，AB与α，β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影分别是m和n，若a>b，则（）

A．θ>φ，m>n B．θ>φ，m

C ．θ<φ，m

D ．θ<φ，m>n y ≥1

10．已知实数x ，y 满足 y ≤2x-1如果目标函数z=x-y 的最小值为-1，则实数m 等于( ) x+y ≤m A ．7 B ．5 C ．4 D ．3

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上。

11．x 2+4y 2=16的离心率等于 ,与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是x+3y=0的双曲线方程是 。

12．不等式|x+1|+|x-2|≥5的解集为 。 y=sin θ+1

13．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 x=cos θ（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 。 14．已知函数f(x)=2x ,等差数列{a x }的公差为2，若f(a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4,则log 2［f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)］= 。

15．已知：如右图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝ 。 三、解答题（本大题共5小题，共45分。）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．(本小题满分8分) 在△ABC 中,∠B=

4

,AC=25,cos C=255。

(Ⅰ)求sin A;

(Ⅱ)记BC 的中点为D,求中线AD 的长。

17．(本小题满分8分)

在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题。规定每位考生必须且只须在其中选做一题。设4名考生选做这两题的可能性均为

12

。 (Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;

(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个,求的分布列及数学期望。

18．(本小题满分8分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD,

若E、F分别为PC、BD的中点。

(Ⅰ)EF//平面PAD；

(Ⅱ)求证:平面PDC⊥平面PAD；

(Ⅲ)求二面角B-PD-C的正切值。

19．（本小题满分9分）

已知函数fx=x3+3ax-1,gx=f′x-ax-5，其中f′x是f(x)的导函数。

（Ⅰ）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有gx<0，求实数x的取值范围；

（Ⅱ）设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=fx的图像与直线y=3只有一个公共点。20．（本小题满分12分）

把由半椭圆

22

22

x y

+

a b

=1(x≥0)与半椭圆

22

22

x y

+

b c

=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a>0，

b>c>0。如下图所示，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x，y轴的交点。

（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）当|A1A2|>|B1B2|时，求b

a

的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由。