电磁场的矢势和标势

所满足的方程，得到：
2
A
1 c2
2 t
A
2
(
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
2
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
()
0 j
此时，标势所满足的方程与静电场相同。
b)
采用洛仑兹规范(
A
1
0)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
j
D t
D 0E , B 0H .
针对磁场 引入
B 0 B A
A 的物理意义可由下式看出：
L
A
dl
S
B
ds
即在任一时刻，矢量 A 沿任一闭合回路L的线积
分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。
对于电场 E不能像静电场那样直接引入电势。由 Faraday电磁感应定律可得：
设
为任意的标量函数，即
(x,
t)，作下
述变换式：
A
A
A
t
于是我们得到了一组新的 A . ，很容易证明：
A ( A ) A ( )
A B
A
(
)
( A
)
t
t t
( ) A ( )
t A
E
t t
t
由此可见，(A . ) 和 ( A. ) 描述同一电磁场。
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
1、用势
A,
描 述电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D
E
B t
B 0
H
E
B
(
A)
A
t t
t
E
A t
0
E
A
t
是标势不 是静电势
即
E
A
t
电磁场和势之间的关系如下
B A
E
A t
注意： a) 当 A与时间无关，即
这时 就直接归结为电势；
A t
0时,且
E
b)
绝对不要把
E
A
中的标势
t
与电势 况下，
E
(E ) 混为一谈。因为在非稳恒情
1 c2
1 c2
2
t
2
0
2A t 2
0
A
i(kxt )
e0
i(kxt ) A e0
由Lorentz规范条件
A
1
0，即得
ik
A
1 c2
c 2 t
(i)
0
c2
k
A
这表明，只要给定了
A
，就可以确定单色平面电
磁波，这是因为：
B A ik A ik ( A横 A纵 )
2A t 2
0
其解的形式为
A
A0ei
(
kxt
)
由库仑规范条件得到
A ik A 0
即保证了
A
只有横向分量，即
A
A横
，从而得到
B E
A ik
A
t
A
ik A横
A
iA
t
ห้องสมุดไป่ตู้
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
用，库可仑直规接范由的电优荷点分是布： 它求的出标，势它的 矢描势述库A 仑只作有
种等虽价然的方E式和，B但，由以于及EA、和B和是描A 、述电之磁间场是的微两分
方的，程这的是关因系为，矢所势以它A 们可 之以间加的上关一系个不任是意一标一量对函数应
的梯度，结果不影响
B
，而这个任意标量函数
的梯度在
E
A
中对E 要发生影响，但
t
将
E
A
中的与此融合也作相应的
t
变换，则仍可使 E 保持不变。
洛仑兹规范条件为
A
C12
t
0
，即规
定 A 是一个有旋有源场（即 A包含横场和纵场两
部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为
特别简单的对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
rr
rr
及
B=0H
r
D 0E
r E
A
r
r
B A
t
出发推导矢势
A和标势
从而得到：
因此有：
c2
k
A
0
B E
A ik
A
t
A
ik A横
A
iA
t
iA横
其中：
(k A 0)
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2 0
2
A
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势
，
则只有 0
2 A
1 c2
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势 构成的势方程具有对称性。它的矢势
A的纵和向矢部势A
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
不再是保守力场，不存在势能的概念，
这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
整体c，) 必在须时把变矢场势中A，和磁标场势和电场作是为相一互个作整用体着来的描
述电磁场。
2、规范变换和规范不变性
a) 库仑规范(Coulomb gauge) 库仑规范条件为 A 0，即规定
A
是一个
有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E 的纵
场场部部分分完 由全A描由述 （描即述（A即具有无 具源有性无）旋。性由)，横
t
E
A
t
可见，
项对应库仑场
E库
，
A t
对应着感应
场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方 法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流 分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来 描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。
本章主要内容
1 c2
2
t 2
2A t 2
0 0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势
Solution:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
ik A横 ik A纵
E
ik A横
A
0（对于单色平面波而言）
ik iA
t
ik (
c
2
k
A)
iA
i c2
k (k A) k 2 A
i
c2
k (k
A)
c2
k
B
cnˆ
B
如果取 有
A
A横
，即只取 A具有横向分量，那么
k A k A横 0