波动方程推导过程(课堂PPT)

tan
1
u
x,
x
t
2
可得：
即： T2 T1 T
u x dx,t u x,t
T
x
dx
x
dx
Hale Waihona Puke Baidu
F
x,
t
dx
dx
2u
t
x,
2
t
T
2u x,t
x2
dx
F
x, t
dx
dx
2u x,t
t 2
T a2, f x,t F x,t
记：
3
可得：
2u x, t
t 2
a2
2u x, t
一维波动方程推导：
四个条件
横振动 微小振动 弦是柔软的 弦是均匀的
张力沿切线方向 密度均匀 ρ
u ux+Δx
ux
单位长度外力 F(x,t)
P
α1
T1(x,t)
x
α2 张力T2(x,t)
Q
x
x+Δx
x 0
1
由牛二定律：
因运动为微小横振动，可得：
注：
tan 1 x
0
u
x
dx,t
x
u
x,
t
f
x,
y,
z, t
三维非齐次波动方程
注： 在没有外力f的作用下，方程变为齐次。
4
x2
f
x,t
一维非齐次波动方程
2u x, y, t
t 2
a2
2u x, y, t
x2
2u x, y, t
y2
f
x,
y, t
二维非齐次波动方程
2u x, y,
t 2
z, t
a2
2u x, y,
x2
z, t
2u x, y, z, t
y2
2u x, y, z, t
z 2