材料力学第8章组合变形强度计算
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材料力学组合变形
第八章 组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
第八章 组合变形
(cm)
max 22 100MPa [ c ]
木柱不安全。
讨论：木柱是否可用 ？怎样用 ？ 作业 ：8－7，－9，－11
第8章 复杂内力时杆件应力计算
8-3 弯扭组合变形
l
y
F
危险点处的主应力
x
z
M
'
D
32
3
mห้องสมุดไป่ตู้
M Z Fl W W Z Z T m Wt Wt
y
My
z
（a y 0）
iz2 z0 0, y0 a y yF
y0 0, z0 az
2 iy
( yF z F ) y
中性轴
（0 az）
zF
第8章 复杂内力时杆件应力计算
8-2 偏心压缩
F
x
z
（三）中性轴 zF yF 1 2 z0 2 y0 0 中性轴方程 iy iz
( yF z F ) y
z
中性轴4
3 4 5
中性轴3
1 2
y
iz2 ay yF
az i
2 y
中性轴1 中性轴2
zF
第8章 复杂内力时杆件应力计算
8-2 偏心压缩
F
x
z
iz2 ( yF z F ) a y yF
（三）中性轴 （四）截面核心
对于钢筋混凝土偏心受压柱，为避免出 现拉应力须控制荷载作用点位置，使中 性轴离开截面或仅与截面相切。这些点 位于截面的一区域内，这个区域称为截 面核心。
第8章 复杂内力时杆件应力计算
一、组合变形
在复杂外载作用下，构件的变形可以看成几种
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
第8章压杆变形与压杆的稳定性
max =u
第8章 组合变形及压杆稳定
强度理论
复杂应力状态下 max =（ 1 -3 ）/2 简单应力状态下 u =s/2 故有 r3 =1-3=s 强度条件为 1-3[]
第8章 组合变形及压杆稳定
强度理论
4. 畸变能理论(第四强度理论) 材料塑性屈服破坏的主要因素是畸变能密度d。 塑性屈服破坏的条件是
例 题 1
弯矩
轴力
FN＝Psin30°=25× sin30°=12.5kN
第8章 组合变形及压杆稳定
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
FAy
A M
18.75 kN· m
例 题 1
FBN P FAx
C
PCx
B
x FN x
12.5 kN
第8章 组合变形及压杆稳定
第8章 组合变形及压杆稳定
第8章 组合变形及压杆稳定
压杆稳定的概念 若受外界干扰后，
杆不能恢复到原来的
直线形状而在弯曲形 状下保持新的平衡， 则杆原来的直线形状 的平衡状态称为非稳 定平衡。
第8章 组合变形及压杆稳定
8.5 临界力的确定
临界力 压杆从稳定平衡过渡到非稳定平衡时 的压力称为临界力或称临界载荷，以Fcr表
组合变形和叠加原理 弯扭组合变形
第8章 组合变形及压杆稳定
组合变形和叠加原理 拉弯扭组合变形
第8章 组合变形及压杆稳定
组合变形强度计算的基本步骤： 1. 外力分析 将作用于杆件的外力沿由杆的轴线及横 截面的两对称轴所组成的直角坐标系分解。
2. 内力分析 并画出内力图。
用截面法计算杆件横截面上的内力，
FN
例 题 2
FN＝P＝15000 N M =Pe =15000×0.4 =6000 N· m
武汉理工大学材料力学课件8 组合变形及连接部分的计算--JK
9
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第八章组合变形及连接部分的计算
t . max
Mz 0 FN Iy A
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa F Mz c. max 1 N Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
50 150
425F 103 N.m
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm4
y1
z0
y
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 FN F 50 M 425103 F N.m （3）立柱横截面的最大应力
az
中性轴
z0 0 y0 0
i z2 a y yo ey 2 iy a z zo ez
截面核心
y
中性轴
F (e y , e z )
z
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
i z2 ay ey
a z1
az
2 iy
2 4 d d 64 2 iy i z2 2 A d 4 16
F
1， 首先将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos
L2
L2
Z y
My Wy
Fz F sin
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z y
Wz 70.758cm 3
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表： W y 692.2cm 3
Mz 0 FN Iy A
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa F Mz c. max 1 N Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
50 150
425F 103 N.m
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm4
y1
z0
y
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 FN F 50 M 425103 F N.m （3）立柱横截面的最大应力
az
中性轴
z0 0 y0 0
i z2 a y yo ey 2 iy a z zo ez
截面核心
y
中性轴
F (e y , e z )
z
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
i z2 ay ey
a z1
az
2 iy
2 4 d d 64 2 iy i z2 2 A d 4 16
F
1， 首先将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos
L2
L2
Z y
My Wy
Fz F sin
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z y
Wz 70.758cm 3
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表： W y 692.2cm 3
材料力学-第8章 强度理论
2 3 2
材料力学－第8章 强度理论
The end!
材料力学－第8章 强度理论
§9-2 关于断裂的强度理论
根据第二强度理论，无论材料处于什么应力状态， 只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元的最大 拉应变达到了某个共同的极限值。
2 1 3
max
= b
1 1 v( 2 3 ) E E
max
0 max
材料力学－第8章 强度理论
§9-2 关于断裂的强度理论
第一强度理论(最大拉应力理论) 第二强度理论(最大拉应变理论)
材料力学－第8章 强度理论
§9-2 关于断裂的强度理论
第一强度理论(最大拉应力理论)
第一强度理论又称为最大拉应力理论 （maximum tensile stress criterion），最早由英 国的兰金（ Rankine ． W ． J ． M ．）提出，他认 为引起材料断裂破坏的原因是由于最大正应力达 到某个共同的极限值。对于拉、压强度不相同的 材料，这一理论现在已被修正为最大拉应力理论。
适用材料及应力状态
缺点
没有考虑 2 , 3 的影响 不适合无拉应力 1 的状态
材料力学－第8章 强度理论
§9-2 关于断裂的强度理论
第二强度理论(最大拉应变理论)
第二强度理论又称为最大拉应变理论（maximum tensile strain criterion），它也是关于无裂纹脆性材 料构件的断裂失效的理论。
1
3
失效判据 强度条件
材料力学－第8章 强度理论
§9-3 关于屈服的强度理论
畸变能理论（第四强度理论）
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学第8章 组合变形
b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
材料力学刘鸿文第六版最新课件第八章 组合变形
667 667
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
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M
e
偏心受拉——拉弯组合 偏心受压——压弯组合
正应力计算
任意一点单向应力状态 正应力代数相加
M
N
内力单独作用
N N A My M Iz
e N
(-) (+) (+) (+)
组合应力 N My N M
A
N
M
Iz
最大最小正应力
e
截面边缘应力最大或最小 边缘到弯矩中性轴的距离分别为y1和y2
F e a 1 , A 5
F e b 1 A 5
A 180 30 10 3600 F a b 2 2
N
2.5 A 2.5 180 a b 30 10 2.5 mm e F 3600
b E b 200103 50106 10
MPa MPa
梯形分布
（2）计算 F 和 e 的数值
Wz h 5 mm , A 30 6 180 mm2 A 6
max
min
N e F e 1 1 A Wz / A A 5
103 kPa
103k和抗压能力相同，最大应力满足条件
2. 脆性材料
e N M N 1 max f 或 [ ] A Wz A Wz / A
常用作受压，当压力作用于截面核心内时
c max
e N M N 1 f c 或 [ c ] A Wz A Wz / A N e 1 f t 或 [ t ] A Wz / A
压力梯 M 216 h 3 e 0.206 m 0.5 m 形分布 N 1050 6 6
N M 1050 216 max A Wz 2 3 2 32 / 6
175 72 247 kPa
N M min 175 72 A Wz
基本方法
叠加原理 等效应力
一般步骤
荷载分解（分类），每组荷载只产生一种基本变形 分别计算基本变形下的应力 应力叠加：单向应力状态，代数相加 等效应力：复杂应力状态，计算主应力，等效应力
横截面内力特点
轴力N：作用于截面形心 弯矩M：对过形心的z轴之矩 该力系可简化为作用于截面形心 以外的一个力 偏心受力
min min
(-)
(+)
(+)
(+)
max
max
max
偏心拉伸截面上不出现压应力或偏心压缩截面上不 出现拉应力的条件 h
矩形截面 e
D 圆形截面 e 8 当偏心受压构件截面上不出现拉应力时，荷载作用 范围（偏心范围）称为截面核心。 只要压力荷载作用在截面核心，就可以保证杆件全 截面受压，而没有拉应力存在。
常见的组合类型
水平面弯曲 + 竖直面弯曲变形 轴向变形 + 弯曲变形 扭转变形 + 弯曲变形 轴向变形 + 扭转变形
组合变形的实例
烟囱压弯组合 桥塔压弯组合，主梁压、弯、扭组合 房柱压弯组合 边梁、雨篷梁弯剪扭组合 机械上旋转轴弯扭组合
8.1.2 组合变形强度计算方法
y1
y
如果截面对称于z轴（Wz1= Wz2 ），则
N M N e 1 max 应力分布规律 A Wz / A A Wz min 应力分布规律与偏心距 e 有关
（1）e < Wz/A，梯形分布，无中性轴
（2） e = Wz/A，三角形分布，中性轴位于 截面边缘； （3）e > Wz/A，双三角形分布，中性轴位于 截面之中。 0
变形特点
轴力引起伸缩变形 弯矩导致弯曲变形
最后变形是这两种 变形的综合结果。
工程实例
（1）厂房排架柱 屋盖荷载： 对上柱偏心 对下柱偏心 吊车荷载： 对下柱偏心
（2）斜拉桥的加劲梁 自重、车辆载荷、拉索竖向分力：弯曲 拉索的水平分力：轴向受压
（3）框架结构柱截面 水平荷载作用 竖向荷载作用 截面内力：N、M、V N、M 可合成为压弯组合 或偏心受压 偏心距为 M e N N N
Wz e A
6
例8-1
图示偏心受拉构件，已知：a=150×10-6， b=50×10-6， 取 E=200 GPa。求: （1）绘制横截面上的正应力分布 （2）求拉力F 和偏心距 e 的数值
解：
（1）应力分布
F
a
30 MPa
F
30 6
b 10 MPa
a E a 200103 150106 30
当压力作用于截面核心之外时，还应验算抗拉强度
t max
N M A Wz
8.1 8.2 8.3 8.4
组合变形的概念 拉伸(压缩)与弯曲组合 弯曲与弯曲组合(斜弯曲) 扭转与弯曲组合
8.1.1 组合变形的实例
起吊臂
组合变形的定义
轴向拉伸（压缩）、剪切、 扭转、弯曲为杆件的基本变形
杆件同时发生两种或两种以上基本变形，称为组 合变形
构件上点的应力状态可能是： 简单应力状态 复杂应力状态
例8-2
柱基础底面尺寸为2m3m，基础高度0.9m。上部荷 载和基础自重 F+G=1050 kN，作用于基础顶面 M0=126kN.m、V=100kN。试确定基底压力（压应力 ）分布。
解
（1）基底内力
（2）偏心距
N F G 1050 kN M M 0 V 0.9 126 100 0.9 216 kN.m
M N
或 M Ne
N My A Iz
M N
最大应力
e N My1 N Ne N 1 max A W z1 / A A W z1 A Iz
y2 z
最小应力
e N My2 N Ne N 1 min A Wz 2 / A A Wz 2 A Iz
e
偏心受拉——拉弯组合 偏心受压——压弯组合
正应力计算
任意一点单向应力状态 正应力代数相加
M
N
内力单独作用
N N A My M Iz
e N
(-) (+) (+) (+)
组合应力 N My N M
A
N
M
Iz
最大最小正应力
e
截面边缘应力最大或最小 边缘到弯矩中性轴的距离分别为y1和y2
F e a 1 , A 5
F e b 1 A 5
A 180 30 10 3600 F a b 2 2
N
2.5 A 2.5 180 a b 30 10 2.5 mm e F 3600
b E b 200103 50106 10
MPa MPa
梯形分布
（2）计算 F 和 e 的数值
Wz h 5 mm , A 30 6 180 mm2 A 6
max
min
N e F e 1 1 A Wz / A A 5
103 kPa
103k和抗压能力相同，最大应力满足条件
2. 脆性材料
e N M N 1 max f 或 [ ] A Wz A Wz / A
常用作受压，当压力作用于截面核心内时
c max
e N M N 1 f c 或 [ c ] A Wz A Wz / A N e 1 f t 或 [ t ] A Wz / A
压力梯 M 216 h 3 e 0.206 m 0.5 m 形分布 N 1050 6 6
N M 1050 216 max A Wz 2 3 2 32 / 6
175 72 247 kPa
N M min 175 72 A Wz
基本方法
叠加原理 等效应力
一般步骤
荷载分解（分类），每组荷载只产生一种基本变形 分别计算基本变形下的应力 应力叠加：单向应力状态，代数相加 等效应力：复杂应力状态，计算主应力，等效应力
横截面内力特点
轴力N：作用于截面形心 弯矩M：对过形心的z轴之矩 该力系可简化为作用于截面形心 以外的一个力 偏心受力
min min
(-)
(+)
(+)
(+)
max
max
max
偏心拉伸截面上不出现压应力或偏心压缩截面上不 出现拉应力的条件 h
矩形截面 e
D 圆形截面 e 8 当偏心受压构件截面上不出现拉应力时，荷载作用 范围（偏心范围）称为截面核心。 只要压力荷载作用在截面核心，就可以保证杆件全 截面受压，而没有拉应力存在。
常见的组合类型
水平面弯曲 + 竖直面弯曲变形 轴向变形 + 弯曲变形 扭转变形 + 弯曲变形 轴向变形 + 扭转变形
组合变形的实例
烟囱压弯组合 桥塔压弯组合，主梁压、弯、扭组合 房柱压弯组合 边梁、雨篷梁弯剪扭组合 机械上旋转轴弯扭组合
8.1.2 组合变形强度计算方法
y1
y
如果截面对称于z轴（Wz1= Wz2 ），则
N M N e 1 max 应力分布规律 A Wz / A A Wz min 应力分布规律与偏心距 e 有关
（1）e < Wz/A，梯形分布，无中性轴
（2） e = Wz/A，三角形分布，中性轴位于 截面边缘； （3）e > Wz/A，双三角形分布，中性轴位于 截面之中。 0
变形特点
轴力引起伸缩变形 弯矩导致弯曲变形
最后变形是这两种 变形的综合结果。
工程实例
（1）厂房排架柱 屋盖荷载： 对上柱偏心 对下柱偏心 吊车荷载： 对下柱偏心
（2）斜拉桥的加劲梁 自重、车辆载荷、拉索竖向分力：弯曲 拉索的水平分力：轴向受压
（3）框架结构柱截面 水平荷载作用 竖向荷载作用 截面内力：N、M、V N、M 可合成为压弯组合 或偏心受压 偏心距为 M e N N N
Wz e A
6
例8-1
图示偏心受拉构件，已知：a=150×10-6， b=50×10-6， 取 E=200 GPa。求: （1）绘制横截面上的正应力分布 （2）求拉力F 和偏心距 e 的数值
解：
（1）应力分布
F
a
30 MPa
F
30 6
b 10 MPa
a E a 200103 150106 30
当压力作用于截面核心之外时，还应验算抗拉强度
t max
N M A Wz
8.1 8.2 8.3 8.4
组合变形的概念 拉伸(压缩)与弯曲组合 弯曲与弯曲组合(斜弯曲) 扭转与弯曲组合
8.1.1 组合变形的实例
起吊臂
组合变形的定义
轴向拉伸（压缩）、剪切、 扭转、弯曲为杆件的基本变形
杆件同时发生两种或两种以上基本变形，称为组 合变形
构件上点的应力状态可能是： 简单应力状态 复杂应力状态
例8-2
柱基础底面尺寸为2m3m，基础高度0.9m。上部荷 载和基础自重 F+G=1050 kN，作用于基础顶面 M0=126kN.m、V=100kN。试确定基底压力（压应力 ）分布。
解
（1）基底内力
（2）偏心距
N F G 1050 kN M M 0 V 0.9 126 100 0.9 216 kN.m
M N
或 M Ne
N My A Iz
M N
最大应力
e N My1 N Ne N 1 max A W z1 / A A W z1 A Iz
y2 z
最小应力
e N My2 N Ne N 1 min A Wz 2 / A A Wz 2 A Iz