矩形波导中的电磁波

中去，则有：
由 D E E E E 0
得：
E 0
0
同理，由
B H H 0
得：
H 0
由
E
B
H
H (
x)e
it
itH(x)e
t
it
t
iH
得：
E iH
同理得到：
H iE
故有：
E iH
H iE
E 0
H
0
(11) (12) (13) (14)
E
即
2E
0 0
2E t 2
0
同理，对（8）式两边取旋度，并将（6）式代入， 即可得到：
2B
0 0
2B t 2
0
令
C 1
0 0
则得到：
2
E
2
B
1 C2
1 C2
2E
t
2
0
2B t 2
0
(9) (10)
这就是众所周知的波动方程。由其解可知电磁场 具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另 一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁 场总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁 波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、
其解
E(x) ,
H(
x代) 表电磁波场强在空间中的分布情
况，每一种可能的形式称为一种波模。
概括起来，在一定频率下，Maxwell’s equations 可以化为以下方程：
2 E k 2 E 0
E 0
(18)
B
i
E
或者
2 B k 2 B 0
B
0
(19)
E
i
b) 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 由时谐电磁波的Maxwell’s equations可看出：
( E) i H
( E) 2 E
iE
即0
2E 2E 0
令
k
则
2E k2E 0
(16)
同理可得: 2H k2H 0
(17)
(16)、(17)即为Helmholtz方程。应该看到： Helmholtz方程是一定频率下的电磁波的基本方程，
的法线矢量，且等相面是平面，其满足
k
x
常数
这种波称为平面波。
一般情况下，考虑时间因子在内，则有
f
(x
t)
Ac
os(k
x
t
)
Aei(kxt )
A ei(kxt ) 0
这里
A0 Aei
光波、X射线和 射线等）都以速度C传播，C就
是最基本的物理常量之一，即光速。
b) 介质情形
当以一定角频率 作正弦振荡的电磁波入射
于介质内时，介质内的束缚电荷受场作用，亦以 同样频率作正弦振荡，可知
D() ()E()
B() ()H ()
对于不同频率的电磁波，介质的介电常数是不同 的，即
() , ()
B
3、平面电磁波 主要求解亥姆霍兹方程。
我们知道，时谐情形下的Maxwell’s equations 为所谓的Helmholtz方程，以电场为例：
2
E(
x)
k
2E(
x)
0
以任意一个标量f 表示 E和B 中的任一分量，则有
2 f k2 f 0
在直角坐标系中，其解的形式为
产区x 生域电内另，磁 ，外j场 在，的 此我存们源 区在f还，域的知如外区A道果，域co，线s，电度(0k,j荷l，x只j和即在电0空，)流间因(某此即一在,有距j )限离是
一般情况下，电磁场的基本方程是Maxwell’s
equations，即
D
(1)
E
B t
(2)
B0
H j
D t
(3) (4)
在自由空间中（即 0 ,
j
0
），电场和磁场
互相激发，电磁场的运动规律将由无源情况下的
Maxwell’s equations导出。即此时有：
D0
下面，我们只讨论一定频率的电磁波。设角
频率为ω，电磁场对时间的依赖总是cosωt ，其复
数形式为
E(
x
t
)
E(
x)eit
B(
x
t)
B(
x)e
it
(11)
a) 时谐情形下的Maxwell’s equations
由于在一定频率条件下，有
D
E ,
B H
把(11)式代入到一般情况下的Maxwell’s equations
本章只介绍关于电磁波传播的最基本 的理论。也就是说，只研讨电磁场在电介 质、导体以及在边界上的传播特性。
本章主要内容
平面电磁波 单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射 有导体存在时电磁波的传播 电磁波在波导中的传播
§4.1 平面电磁波
Plane Electromagnetic Wave
1、电磁场波动方程
第四章 电磁波的传播
Electromagnetic Wave Propagation
Maxwell’s equations的另一个重要 成果，就是它揭示了在非稳恒情况下，电 磁场变化具有波动性质。变化着的电场和 磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁 波。电磁波已在广播通讯、光学和其他科 学技术中得到广泛应用。
2、时谐电磁波（单色电磁波） 在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以
大致确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁 波也以相同频率作正弦振荡。这种以一定频率作 正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色电磁波）。
一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也 可以用Fourier频谱分析方法分解为不同频率的正 弦波的叠加。
ε由系和于式μ随色D频散(率t，) ω对而于E变(一t)化般不的非再现正成象弦立，变，称化这为的是介电因质为场的E色(t)散，。关
D(t)
1
D( )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱit d
1
(
)
E(
)e
it
d
2 0
2 0
1
E( )eit d
E(t)
2 0
B
因此在介质内不能导出E、 的一般波动方程， 千万不要把（9）、（10）两式中的0 0 ， 即由真空情况就转在介质情形，这是不正确的。
l
B
，j
x
0
A
C
这样，在 x>>l 的条件下， 和j 不为零的区域对
A点来说可视为一个“物理点”。即在A点附近， 场的大小只与距离有关，与方向无关，BC段是很
大球面上的一小部分，可视为平面，该平面上场 强的大小相等，所以离电荷ρ，电流j 很远处的 场可视为平面场。
其中A因代此表，振波幅动，方(k程 x的解形) 代式表f位相A，cko为s(k等 x相面 )
(5)
E
B t
(6)
B
H
0
D t
(7) (8)
其中：D
E
,
B H
a) 真空情形：即 D 0E , B 0H
对（6）式两边取旋度，并将（8）式代入，
即：
(
E)
B
t
( E) 2 E
t
0 H
0
0
t
t
D
0
t
t
0
E
00
2 t 2