近五年河北省数学中考知识点
2024河北省中考数学考点分析
2024河北省中考数学考点分析一、四则运算四则运算是数学基础中最基本的内容之一，在中考中也是考察的重点。
四则运算主要包括加法、减法、乘法和除法，考生应掌握运算的规则和方法，并能够熟练应用到解题中。
二、整数运算整数运算是数学中的一个重要内容，考生需要掌握整数的加减乘除运算规则，并能够应用到解决实际问题中。
三、分数运算分数运算也是中考中的重点考点。
考生需要掌握分数的加减乘除运算法则，并能够应用到解决实际问题中。
四、百分数与数学百分数与数学是数学中的重要知识点之一、考生需要理解百分数的意义，并能够进行百分数的变化和计算。
五、比例与均分比例和均分是数学中的重要概念，也是中考考点。
考生应掌握比例和均分的基本概念、计算方法以及应用能力。
六、勾股定理与几何勾股定理是几何中的基本定理之一，也是中考的重点。
考生需要理解勾股定理的含义，并能够应用到解决实际问题中。
七、线性方程与一元一次方程线性方程和一元一次方程是数学中的基础知识，也是中考考点。
考生需要掌握方程的求解方法，并能够应用到解决实际问题中。
八、统计图与统计平均数统计图和统计平均数是数学中的重要概念，也是中考的考点。
考生需要能够根据统计图进行数据分析，并能够计算统计平均数。
九、解题方法与思维能力解题方法和思维能力是中考数学中非常重要的内容。
考生需要能够灵活运用各种解题方法解决问题，并能够培养一定的数学思维能力。
总结以上的考点分析，2024年河北省中考数学考点主要包括四则运算、整数运算、分数运算、百分数与数学、比例与均分、勾股定理与几何、线性方程与一元一次方程、统计图与统计平均数以及解题方法与思维能力等内容。
考生在备考过程中应重点掌握这些考点，并通过大量的练习来提高自己的解题能力。
希望以上分析对考生们能有所帮助，祝愿大家在中考中取得优异的成绩！。
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第一单元数与式
第1节实数的性质及运算
第2节方根和二次根式
整式与因式分解
分式
第二单元方程与不等式
一元一次方程及一元二次方程
第2节二元一次方程（组）
第4节一元一次不等式（组）
函数及图像
一次函数的图像与性质
一次函教关系的实际应用
反比例函数
二次函数的图像与性质
二次函数的应用
统计
概率
简单图形的认识
相交线与平行线
第3节三角形
全等三角形
第5节相似三角形
第6节多边形与平行四边形
第7节特殊的平行四边形
第8节与圆有关的知识
第9节图形的平移、旋转和对称
第10节投影与视图
第11节解直角三角形。
2023初中数学河北省中考考点
2023初中数学河北省中考考点初中数学河北省中考考点一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k 0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k 0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b 0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b 0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k 0时，直线只通过一、三象限;当k 0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
冀教版初中数学知识点
冀教版初中数学知识点
一、整数
1.整数的定义与表示方法
2.整数的加减法运算规则与性质
3.整数乘法与除法的规则与性质
4.整数的绝对值与相反数
5.有理数的比较大小及其表示法
二、分数
1.分数的定义及其表示法
2.分数的四则运算（加、减、乘、除）
3.分数的化简与通分
4.分数的比较大小及其性质
5.分数的倒数与互为倒数的数
6.分数的加减混合运算
三、代数式与方程
1.代数式的定义与表示
2.代数式的加减混合运算
3.一元一次方程的定义与解法
4.方程的应用（如文字题等）
5.公式的运用（如长方形面积、周长等）
四、图形的认识与性质
1.平面图形的分类（如三角形、四边形、圆等）
2.平面图形的性质（如相似性、对称性等）
3.空间图形的认识与性质（如立方体、球体等）
4.图形的坐标表示（如平面直角坐标系等）
五、数据与统计
1.数据与统计的基本概念与方法
2.数据的表示与分析（如条形图、折线图等）
3.平均数的计算与应用
六、几何运动
1.平移、旋转、翻转的概念与性质
2.平移、旋转、翻转的应用（如几何图形的变换等）
七、比例与相似
1.比例的定义与性质
2.比例的运用（如比例尺、速度比等）
3.相似与全等的概念与性质
4.相似与全等的运用（如物体的放大与缩小等）
八、平面与空间
1.平面的认识与性质（如平行、垂直、相交等）
2.空间几何体的认识与性质。
河北省中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第2节一元二次方程及应用精讲试题
第二节 一元二次方程及应用河北五年中考命题规律年份题号 考查点 考查内容 分值 总分19 一元二次方程的解法 综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程 37 26(2) 一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况 414 一元二次方程根的判别式 利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 212 一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值范围 2 221 解一元二次方程 (1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式； (2)用配方法解一元二次方程10 10未考查命题规律纵观河北近五年中考，、、、考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.河北五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a ，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a(b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(沧州中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是( B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(河北中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a<1 B ．a>1 C ．a ≤1 D ．a ≥15．(河北中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为06．(唐山十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(唐山二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3；①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3. 一元二次方程的应用8．(邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为( D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市投入教育经费2 500万元，预计要投入教育经费 3 600万元．已知至的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(河北中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x ＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m.解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0，∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13，∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0，∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50)＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法：(1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论．6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(保定十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22；(2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3；(3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，得x(x －2)＝0.即x 1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A ) A ．(x ＋2)2＝9 B ．(x －2)2＝9 C ．(x ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＝1 3．用公式法解方程：(1)(广东中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(兰州中考)x 2－1＝2(x ＋1)． 解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(包头中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是( A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(唐山丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是( D ) A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根5．(保定博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 一元二次方程的应用【例3】(达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染( A ) A ．17人 B ．16人 C ．15人 D ．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x ＋1)人，每人传染x 个人，则传染x(x ＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x 个人＋第二轮传染的x(x ＋1)人，列方程：1＋x ＋x(1＋x)＝256，解得x 1＝15，x 2＝－17.因为x 表示人数，所以x ＝－17不合题意，应舍去；取x ＝15，故选C .【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x 元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x 件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x 2－35x ＋300＝0. 解得x 1＝15，x 2＝20. ∵要尽快减少库存，∴x ＝15不合题意，舍去，只取x ＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(南通中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m ，宽为40 m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m .(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．(巴中中考)某地外贸收入为2.5亿元，外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为( A )A ．2.5(1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C ．2.5(1＋x)(1＋2x)＝4D ．2.5(1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x 棵树苗． 120×60＝7 200(元)． ∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8 800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．。
2023河北中考数学考点梳理
2023河北中考数学考点梳理数学术语也包括如同胚及可积性等专有名词。
但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。
今天小编在这给大家整理了一些河北中考数学考点梳理，我们一起来看看吧!河北中考数学考点梳理一、基本概念1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)2. 分类：二、解方程的依据—等式性质1.a=b←→a+c=b+c2.a=b←→ac=bc (c≠0)三、解法1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2. 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法(注意特征)⑵配方法(注意步骤—推倒求根公式)⑶公式法：⑷因式分解法(特征：左边=0)3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。
5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法(如， )⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例，)⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
中考数学考点梳理三角形分类：⑴按边分;⑵按角分1.定义(包括内、外角)2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n边形外角和。
⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
⑶角与边：在同一三角形中，3.三角形的主要线段讨论：①定义②_线的交点—三角形的×心③性质① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质5.全等三角形⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法6.三角形的面积⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
河北中考数学知识考点
河北中考数学知识考点数学命题的正确性，没法像物理、化学等学科那样，能够借助于可以重复的实验、视察或测量来检验，而是直接利用严谨的逻辑推理加以证明。
今天作者在这给大家整理了一些河北中考数学知识考点，我们一起来看看吧!河北中考数学知识考点一、平行四边的定义1、定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，2、性质：(1)平行四边形的对边相等,(2)对角相等,(3)对角线相互平分。
3、判定：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2)两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(5)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
(6)一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。
两个假命题：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。
二、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特别的平行四边形。
2、性质：(1)具有平行四边形的性质，(2)对角线相等，(3)四个角都是直角。
(4)矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
3、判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形。
(2)对角线相等的平行四边形是矩形。
三、菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质：(1)具有平行四边形的性质,(2)四条边都相等,(3)两条对角线相互垂直,每一条对角线平分一组对角。
(4)菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
3、判定：(1)四条边都相等的四边形是菱形。
(2)对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
(3)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
四、正方形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
3、判定：(1)有一个内角是直角的菱形是正方形;(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形;(4)对角线相互垂直的矩形是正方形。
河北九年级数学知识点归纳
河北九年级数学知识点归纳一、有理数有理数的概念：有理数由整数和分数组成，可以表示为有限小数或无限循环小数。
1. 整数运算- 整数的加法与减法：同号相加、异号相减。
- 整数的乘法与除法：同号得正、异号得负。
- 整数的混合运算：按照顺序进行运算，先乘除后加减。
2. 分数运算- 分数的加法与减法：分母相同，分子相加减。
- 分数的乘法与除法：分子相乘除，分母相乘除。
- 分数的混合运算：按照顺序进行运算，先乘除后加减。
- 分数的化简与约分：化简分数的算数运算，将分数约分至最简形式。
3. 有理数的比较- 正数与负数的比较：正数大于零，零大于负数。
- 比较绝对值大小：先比较绝对值大小，再根据符号判断结果。
4. 数轴与有理数的表示- 数轴的绘制与利用：根据数字的大小及正负性，在数轴上标出对应位置。
二、代数式与方程式代数式的概念：用字母和数的组合表示数学关系的式子。
1. 代数式的加减运算- 同类项的加减：字母幂相同的代数项可以进行加减。
- 式子的化简：合并同类项，化简代数式。
2. 一元一次方程- 一元一次方程的解的概念：使得方程成立的未知数的取值。
- 解一元一次方程的方法：变形、倍数法、消元法等。
- 一元一次方程的应用：根据实际问题建立方程，求解未知数的值。
3. 一元一次方程组- 一元一次方程组的解的概念：满足方程组中所有方程的未知数的取值。
- 解一元一次方程组的方法：减法法、代入法、加法法等。
- 一元一次方程组的应用：根据实际问题建立方程组，求解未知数的值。
三、图形与几何图形的性质与变换、几何的相关定理与计算。
1. 直线、线段、射线- 直线、线段、射线的定义：直线没有端点，线段有两个端点，射线有一个起点。
- 直线、线段、射线的绘制与认识：根据定义与画图工具绘制出对应图形。
2. 角的性质与分类- 角的定义及符号：角是由两条射线共同起源于一个点的部分。
- 角的分类：锐角、直角、钝角、平角。
3. 三角形- 三角形的定义：由三条线段组成的图形。
河北中考数学考点总结
河北中考数学考点总结河北中考数学考点总结知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到x轴的距离等于(2)点P(x,y)到y轴的距离等于(3)点P(x,y)到原点的距离等于中考数学考点总结1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).中考数学考点直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
河北初中数学知识点大全
数学必须掌握知识点集锦-中考数学超长发挥提分必备目录第一章有理数 (1)第二章实数 (3)第三章整式 (6)第四章分式 (8)第五章二次根式 (9)第六章一次方程(组) (10)第七章分式方程 (11)第八章一元二次方程 (12)第九章不等式(组) (13)第十章函数及其图象 (14)第十一章一次函数 (15)第十二章二次函数 (17)第十三章反比例函数 (20)第十四章图形初步认识 (21)第十五章命题、定理与证明 (22)第十六章相交线与平行线 (23)第十七章图形的变换 (24)第十八章投影与视图 (26)第十九章三角形 (27)第二十章全等三角形 (30)第二十一章图形的相似 (31)第二十二章锐角三角函数 (35)第二十三章平行四边形 (38)第二十四章圆 (40)第二十五章数据的收集、整理、描述与分析 (42)第二十六章概率初步 (43)第一章有理数1、有理数的基本概念(1)正数和负数定义：大于0的数叫做正数。
在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。
0既不是正数，也不是负数。
(2)有理数正整数、0、负整数统称整数。
正分数、负分数统称分数。
整数和分数统称为有理数。
2、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3、相反数代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数。
0的相反数是0。
a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。
很显然，a =0。
4、绝对值定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即：如果a >0，那么|a|=a；如果a =0，那么|a|=0；如果a <0，那么|a|=-a。
a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。
很显然，a≥0。
河北省中考数学知识点总结(完整版)
河北省中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不循环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
河北中考数学必考知识点归纳
河北中考数学必考知识点归纳
河北中考数学作为中学阶段的重要考试之一，其必考知识点涵盖了初中数学的多个方面。
以下是对这些知识点的归纳：
一、数与代数
1. 有理数：包括正数、负数和零的概念，有理数的四则运算。
2. 整数：正整数、负整数和零的分类，整数的性质。
3. 分数：分数的加减乘除运算，分数的化简与通分。
4. 代数式：整式、分式、多项式的概念和运算。
5. 等式与不等式：解一元一次方程、一元一次不等式。
6. 函数：一次函数、二次函数的图像和性质。
二、几何
1. 平面图形：线段、角、三角形、四边形、圆等基本图形的性质和计算。
2. 空间图形：立体图形的认识，包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
3. 图形的变换：平移、旋转、反射等几何变换。
4. 相似与全等：相似三角形、全等三角形的判定和性质。
5. 圆的性质：圆周角、切线、弧长、扇形面积等。
三、统计与概率
1. 数据的收集与处理：数据的分类、整理，条形图、折线图、饼图的绘制。
2. 描述统计：平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算。
3. 概率：事件的确定性与不确定性，概率的计算。
四、综合应用
1. 数学问题的实际应用：将数学知识应用于解决实际问题。
2. 数学思维：逻辑推理、抽象思维、空间想象等能力的培养。
结束语
河北中考数学的知识点广泛，要求学生不仅要掌握基础的数学运算，还要能够灵活运用数学知识解决实际问题。
通过系统的复习和练习，学生可以更好地准备中考，发挥出自己的最佳水平。
希望以上的归纳能够帮助学生们更有效地复习，取得理想的成绩。
初三数学知识河北石家庄
初三数学知识河北石家庄初三数学知识河北石家庄是指河北省石家庄市初中数学课程的内容和要求。
根据教育部的要求，初三数学主要包括代数、几何、函数、统计与概率等方面的知识。
其中，代数部分主要包括方程与不等式的解法、分式方程的求解、二次根式等的运算与化简、整式的运算法则、整式的因式分解等内容。
学生需要掌握各种方程、不等式的解法，理解方程的解集、不等式的解集以及它们的图像表示，还需要学会通过因式分解等方法化简和求解复杂的代数式。
几何部分主要包括平面图形和空间图形的性质与判断、平面图形和空间图形的变换、平行线与相交线的性质、三角形的性质与判定等内容。
学生需要掌握各种图形的性质与判断方法，比如圆的性质、多边形的性质、直线与平面的关系等，同时还需要学会进行图形的旋转、翻转、平移等基本变换操作，并能根据图形的特点进行判定和推理。
函数部分主要包括一次函数、二次函数和简单分段函数的表示、性质与应用等内容。
学生需要理解函数的概念和函数图像的特点，能够根据函数的表达式进行图像的绘制，并通过函数的图像分析函数的性质及其在实际问题中的应用。
统计与概率部分主要包括数据的整理与处理、统计指标的计算与解释、事件的概率计算等内容。
学生需要学会根据所给数据制作统计图表，计算统计指标，解读统计结果，并能够计算事件的概率，进行基本的概率推理。
初三数学知识的学习是学生继续深入学习数学的基础，也是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要环节。
希望同学们在学习初三数学知识的过程中，能够用心学习，坚持思考，灵活运用所学知识解决问题，为将来的数学学习打下坚实的基础。
河北初中数学知识点总结
河北初中数学知识点总结一、数与代数1. 有理数- 有理数的概念与分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。
- 有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方。
- 有理数的性质：绝对值、相反数、倒数。
2. 整数- 整数的性质：奇数、偶数、质数、合数。
- 整数的运算：因数分解、最大公约数和最小公倍数。
3. 分数与小数- 分数的概念：真分数、假分数、带分数。
- 分数的运算：加减乘除、分数的化简。
- 小数与分数的互化。
4. 代数表达式- 代数式的概念：单项式、多项式。
- 代数式的运算：加减、乘除、因式分解。
5. 一元一次方程- 方程的概念：解、根、方程的解集。
- 方程的解法：移项、合并同类项、去分母、去括号、回代。
6. 二元一次方程组- 方程组的概念：相容、不相容、无穷解。
- 解方程组的方法：代入法、消元法、图解法。
7. 不等式- 不等式的概念：严格不等、非严格不等。
- 不等式的解法：移项、同向相乘、取倒数。
- 不等式的解集表示：用集合表示、用数轴表示。
8. 函数- 函数的概念：定义域、值域、函数图像。
- 函数的性质：单调性、奇偶性。
- 线性函数、二次函数的图像和性质。
二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质。
- 角的概念：邻角、对角、同位角、内角、外角。
- 三角形：分类、性质、内角和定理、外角定理。
- 四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定。
- 圆的基本性质：圆心、半径、直径、弦、弧、切线。
2. 立体几何- 立体图形的基本概念：体积、表面积。
- 常见立体图形的性质：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球。
3. 几何变换- 平移：概念、性质、坐标变化。
- 旋转：概念、性质、角度计算。
- 轴对称：概念、性质、对称轴的确定。
4. 相似与全等- 全等三角形的判定条件：SSS、SAS、ASA、AAS。
- 相似三角形的判定条件：SAS、SSS、ASA。
- 相似多边形的判定和性质。
5. 三角函数- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切。
河北初中数学知识点大全
数学必须掌握知识点集锦-中考数学超长发挥提分必备目录第一章有理数 (1)第二章实数 (3)第三章整式 (6)第四章分式 (8)第五章二次根式 (9)第六章一次方程(组) (10)第七章分式方程 (11)第八章一元二次方程 (12)第九章不等式(组) (13)第十章函数及其图象 (14)第十一章一次函数 (15)第十二章二次函数 (17)第十三章反比例函数 (20)第十四章图形初步认识 (21)第十五章命题、定理与证明 (22)第十六章相交线与平行线 (23)第十七章图形的变换 (24)第十八章投影与视图 (26)第十九章三角形 (27)第二十章全等三角形 (30)第二十一章图形的相似 (31)第二十二章锐角三角函数 (35)第二十三章平行四边形 (38)第二十四章圆 (40)第二十五章数据的收集、整理、描述与分析 (42)第二十六章概率初步 (43)第一章有理数1、有理数的基本概念(1)正数和负数定义：大于0的数叫做正数。
在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。
0既不是正数，也不是负数。
(2)有理数正整数、0、负整数统称整数。
正分数、负分数统称分数。
整数和分数统称为有理数。
2、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3、相反数代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数。
0的相反数是0。
a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。
很显然，a =0。
4、绝对值定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即：如果a >0，那么|a|=a；如果a =0，那么|a|=0；如果a <0，那么|a|=-a。
a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。
很显然，a≥0。
河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题(提升题)知识点分类
河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类一．多项式乘多项式（共1小题）1．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．二．一次函数综合题（共2小题）2．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．（1）求AB所在直线的解析式；（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．3．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q （x，y）．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x，y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．三．二次函数图象与几何变换（共1小题）4．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．四．二次函数综合题（共1小题）5．（2021•河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD （包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中不必写x的取值范围]五．四边形综合题（共2小题）6．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P 在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；（2）如图2，连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．7．（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P 与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4．（1）求证：△PQM≌△CHD；（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．六．正多边形和圆（共1小题）8．（2021•河北）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．七．圆的综合题（共1小题）9．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN 于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．八．几何变换综合题（共1小题）10．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．九．中位数（共1小题）11．（2023•河北）某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．多项式乘多项式（共1小题）1．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．【答案】（1）S1＝a2+3a+2，S2＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝23；（2）S1＞S2，理由见解析．【解答】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；（2）S1＞S2，理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，又∵a＞1，∴（a﹣1）2＞0，∴S1＞S2．二．一次函数综合题（共2小题）2．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．（1）求AB所在直线的解析式；（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C （c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．【答案】（1）y＝﹣x+11；（2）①2m+n＝0；②5个．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣8，19），B（6，5）代入，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+11；（2）①由题意直线y＝mx+n经过点（2，0），∴2m+n＝0；②∵线段AB上的整数点有15个：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）．当射线CD经过（2，0），（﹣7，18）时，y＝﹣2x+4，此时m＝﹣2，符合题意，当射线CD经过（2，0），（﹣1，12）时，y＝﹣4x+8，此时m＝﹣4，符合题意，当射线CD经过（2，0），（1，10）时，y＝﹣10x+20，此时m＝﹣10，符合题意，当射线CD经过（2，0），（3，8）时，y＝8x﹣16，此时m＝8，符合题意，当射线CD经过（2，0），（5，6）时，y＝2x﹣4，此时m＝2，符合题意，其他点，都不符合题意．解法二：设线段AB上的整数点为（t，﹣t+11），则tm+n＝﹣t+11，∵2m+n＝0，∴（t﹣2）m＝﹣t+11，∴m＝＝﹣1+，∵﹣8≤t≤6，且t为整数，m也是整数，∴t﹣2＝±1，±3，±9，∴t＝1，m＝﹣10，t＝3，m＝8，t＝5，m＝2，t＝﹣1，m＝﹣4，t＝﹣7，m＝﹣2，t＝11，m＝0（不符合题意舍去），综上所述，符合题意的m的值有5个3．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q （x，y）．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x，y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．【答案】（1）直线l1的解析式为y＝﹣x+6；直线l2的解析式为y＝﹣x+15；（2）①x＝m+10，y＝20﹣m；②直线l3的解析式为y＝﹣x+30；图象见解析过程；（3）a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．【解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴l1的解析式为y＝﹣x+6，将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15；（2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次，∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m，∴x＝m+10，y＝20﹣m；②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30，∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30；函数图象如图所示：（3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30），当a≠b≠c，﹣a+6≠﹣b+15≠﹣c+30时，设直线AB的解析式为y＝mx+n，由题意可得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝（﹣1+）x+6﹣，∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上，∴c（﹣1+）+6﹣＝﹣c+30，∴5a+3c＝8b，当a＝b＝c时，则点A，点B，点C共线，当﹣a+6＝﹣b+15＝﹣c+30时，﹣2a+b+c＝33，∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．三．二次函数图象与几何变换（共1小题）4．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．【答案】（1）对称轴是直线x＝6，y的最大值为4，a＝7；（2）5．【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，∴抛物线的顶点为Q（6，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，∴x＝5或7，∵点P在对称轴的右侧，∴P（7，3），∴a＝7；（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，∴平移后的顶点Q′（3，0），∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．四．二次函数综合题（共1小题）5．（2021•河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD （包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中不必写x的取值范围]【答案】（1）点A的横坐标为﹣2，点P会落在台阶T4上．（2）y＝﹣x2+14x﹣38，抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．（3）点B横坐标的最大值比最小值大﹣2．【解答】解：（1）图形如图所示，由题意台阶T4左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），∴点A的横坐标为﹣2，当x＝4.5时，y＝9.75＞7，当x＝6时，y＝0＜7，当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，解得x＝﹣1或5，∴抛物线与台阶T4有交点，设交点为R（5，7），∴点P会落在台阶T4上．（2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，∴，解得或（舍弃），∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+14x﹣38，对称轴x＝7，∵台阶T5的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6），∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．（3）对于抛物线C：y＝﹣x2+14x﹣38，令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±，∴抛物线C交x轴的正半轴于（7+，0），当y＝2时，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或10，∴抛物线经过（10，2），Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2，∴当点D与（7+，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8+，当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10，∴点B横坐标的最大值比最小值大﹣2．五．四边形综合题（共2小题）6．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P 在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；（2）如图2，连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）①∠CBD＝90°，x＝13；②或；（3）．【解答】（1）证明：∵将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）得到MA′，∴A′M＝AM，∵∠A′MA的平分线MP所在的直线交折线AB﹣BC于点P，∴∠A′MP＝∠AMP，∵PM＝PM，∴△A′MP≌△AMP（SAS），∴A′P＝AP；（2）解：①∵AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝10，又∵，CD＝12，∴BD2+BC2＝100+44＝144，CD2＝144，∴BD2+BC2＝CD2，∴∠CBD＝90°；如图2所示，当n＝180时，∵PM平分∠A′MA．∠PMA＝90°，∴PM∥AB，∴△DNM∽△DBA，∴，∵DM＝2，DA＝6，∴，∴，∴，∵∠PBN＝∠MD＝90°，∠PNB＝∠DNM，∴△PBN∽△DMN，∴，即，∴PB＝5，∴x＝AB+PB＝8+5＝13．②如图所示，当P点在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP，∴AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，∴，∴，∴BP＝＝＝，∴，∴，如图所示，当P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°，∴∠QPB＝90°﹣∠PBQ＝∠DBA，∴△PQB∽△BAD，∴，即，∴，，∴，∵PQ⊥AB，DA⊥AB，∴PQ∥AD，∴△HPQ∽△HMA，∴，解得：，∴tan∠AMP＝tan∠AMP＝tan∠QPH＝＝＝，综上所述，tan∠A′MP的值为或；（3）解：∵当0＜x≤8时，∴P在AB上，如图所示，过点A′作A′E⊥AB于点E，过点M作MF⊥A′E于点F，则四边形AMFE 是矩形，∴AE＝FM，EF＝AM＝4，∵△A′MP≌△AMP，∴∠PA′M＝∠A＝90°，∴∠PA′E+∠FA′M＝90°，又∠A'MF+∠FA′M＝90°，∴∠PA′E＝∠A′MF，又∵∠A'E＝∠MFA＝90°，∴△A′PE∽△MA'F，∴＝＝，∵A′P＝AP＝x，MA′＝MA＝4，设FM＝AE＝y，A′E＝h，即∴，4（x﹣y）＝x（h﹣4），∴，整理得，即点A′到直线AB的距离为．7．（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P 与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4．（1）求证：△PQM≌△CHD；（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．【答案】（1）证明见解析部分；（2）①9+5π；②（4﹣3）s；③．【解答】（1）证明：∵四边形ABHD是矩形，∴AB＝DH＝2，∠DHB＝∠DHC＝90°，在Rt△AQM中，∠Q＝90°，∠QAM＝30°，AM＝4，∴QM＝AM＝2，∴QM＝DH，∵∠Q＝∠DHC＝90°，∠QAM＝∠C＝30°，在△PQM和△CHD中，，∴△PQM≌△CHD（AAS）；（2）解：①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面积．设QQ′交AM于点T．∵AQ＝QM＝6，QT⊥AM，∴AT＝AQ•cos30°＝3，∴PQ扫过的面积＝3×3+＝9+5π；②如图2﹣1中，连接DK．当DM运动到与DH重合时，∵BH＝AD＝3，BK＝9﹣4，∴KH＝3﹣（9﹣4）＝4﹣6，∴CK＝4﹣6+6＝4，∵CD＝2DH＝4，∴CD＝CK，∴∠CKD＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠KDH＝15°，∵∠QDK＝30°﹣15°＝15°，∴点K在△PQM区域（含边界）内的时长+＝（4﹣3）s；③如图3中，在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°，∴CH＝DH＝6，∵BH＝3，BE＝d，∴EH＝|3﹣d|，∵DH＝2，∠DHE＝90°，∴DE2＝EH2+DH2＝（3﹣d）2+（2）2，∵∠DEF＝∠CED，∠EDF＝∠C＝30°，∴△DEF∽△CED，∴DE2＝EF•EC，∴（3﹣d）2+12＝EF•（9﹣d），∴EF＝，∴CF＝BC﹣BE﹣EF＝9﹣d﹣＝．六．正多边形和圆（共1小题）8．（2021•河北）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．【答案】（1）比直径长．（2）PA1⊥A7A11．证明见解析部分．（3）12．【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，∴的长＝＝4π＞12，∴比直径长．（2）结论：PA1⊥A7A11．理由：连接A1A7，A7A11，OA11．∵A1A7是⊙O的直径，∴∠A7A11A1＝90°，∴PA1⊥A7A11．（3）∵PA7是⊙O的切线，∴PA7⊥A1A7，∴∠PA7A1＝90°，∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，∴PA7＝A1A7•tan60°＝12．七．圆的综合题（共1小题）9．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN 于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．【答案】（1）7cm；（2）；（3），．EF＞．【解答】解：（1）连接OM，∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm，∴MC＝MN＝24cm，∵AB＝50cm，∴OM＝AB＝25cm，在Rt△OMC中，OC＝＝＝7（cm）；（2）∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH，∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D，∵∠ANM＝30°，ON＝25cm，∴，∴操作后水面高度下降高度为：；（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，∴∠DOB＝60°，∵半圆的中点为Q，∴，∴∠QOB＝90°，∴∠QOE＝30°，∴EF＝tan∠QOE•OE＝（cm），的长为（cm），∵＝＞0，∴EF＞．八．几何变换综合题（共1小题）10．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．【答案】论证：见解答过程；发现：60°或120°；尝试：；拓展：①＝；②．【解答】论证：证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（ASA），∴AO＝BO，∵AO+BO＝AB＝20，∴AO＝10；发现：①设AB的中点为O，如图：当AD从初始位置AO绕A逆时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B逆时针旋转60°，而BO＝BC'＝10，∴△BC'O是等边三角形，∴BC旋转到BO的位置，即C与O重合，∵AO＝AD＝CD＝10，∴△ADC是等边三角形，∴此时∠ADC＝60°；②如图：当AD从AO绕A逆时针旋转60°时，CD从CD'的位置开始也旋转60°，故△ADO和△CDO都是等边三角形，∴此时∠ADC＝120°，综上所述，∠ADC为60°或120°；尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，解得x＝，∴AQ＝，∴DQ＝＝，∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴＝，即＝，∴MN＝，∴点M到AB的距离为；拓展：①设直线CP交DB于H，过D作DG⊥AB于G，连接DP，连接BD，如图：∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，设BG＝m，则AG＝20﹣m，∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，∴m＝，∴BG＝，∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，∴△BHP∽△BGD，∴＝，∴BP＝＝；②方法一：过B作BG⊥CD于G，如图：设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，∴△ADN∽△BGN，∴＝＝，即＝＝，∴NG＝，BG＝，Rt△BCG中，BC＝10，∴CG＝＝，∵CD＝10，∴DN+NG+CG＝10，即++＝10，∴t+（20﹣t）+20＝10t，20+20＝10t，即2＝t﹣2，两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，∵t≠0，∴3t﹣40＝﹣4，解得t＝（大于20，舍去）或t＝，∴AN＝，∴cosα＝＝＝．方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，∴AC2＝200，∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，解得AK＝，∴CK＝＝，Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，设FH＝n，则CH＝FH＝n，AH＝5n，∵AC＝AH+CH＝10，∴5n+n＝10，解得n＝，∴AF＝＝n＝•＝，Rt△ADF中，cosα＝＝＝．九．中位数（共1小题）11．（2023•河北）某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？【答案】（1）该部门不需要整改．（2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分．【解答】解：（1）由条形图可知，第10个数据是3分，第11个数据是4分，∴中位数为3.5分，由统计图可得平均数为＝3.5分，∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，∴该部门不需要整改．（2）监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有，解得x＞4.55，∵满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，∵4＜5，∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列后，第11个数据不变还是4分，即加入这个数据后，中位数是4分，∴与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分．。
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第一单元数与式
第1节实数的性质及运算
第2节方根和二次根式
整式与因式分解
分式
第二单元方程与不等式
一元一次方程及一元二次方程
第2节二元一次方程（组）
第4节一元一次不等式（组）
第三单元函数
函数及图像
一次函数的图像与性质
一次函教关系的实际应用
反比例函数
二次函数的图像与性质
二次函数的应用
统计
概率
简单图形的认识
相交线与平行线
第3节三角形
全等三角形
第5节相似三角形
第6节多边形与平行四边形
第7节特殊的平行四边形
第8节与圆有关的知识
第9节图形的平移、旋转和对称
第10节投影与视图
第11节解直角三角形。