离散数学期末测试卷I及答案
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19．设 S(x) 表示 x 是学生。T (x) 表示 x 是老师， A(x, y) 表示 x 钦佩 y 。则命题“ 所有学生都钦佩某些老师”符号化为后的表达式是什么？
答案： xy(S(x) T ( y) A(x, y))
20．谓词公式 x (P(x) yR(x, y)) Q(x) S(x) 中量词（ y ）辖域是
8. 设 S a,3, 4,,则表示空元素属于 S 怎样写？
答案:Ø∈S 9. 什么是前束范式？下面哪个是前束范式？
A． Q(x, z) (x)(y)R(x, y, z) ； B． (x)(y)Q(x, y) ．
答案：前束范式：如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末端，则 该公式叫做前束范式。B。 解析：如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末端，则该公式叫做 前束范式，显然 B 选项满足定义。 9. 无向图 G 中有 16 条边，且每个结点的度数均为 2，则结点数是多少？ 答案：16 解析：由于每个结点的度数为 2，所以可以排除 G 中存在孤立点（度数为 0）和悬挂点 （度数为 1）。由此可知，G 中的任何一个结点皆是使用一度与上一个结点相连再使用 另一度与下一个结点相连，从而每条边与两个结点关联（上一个结点与下一个结点）， 但是每个结点又与两条边相连，故结点数为：16×2÷2=16 个。 10. 含 n 个命题变元的命题公式的不同的真值指派有几种？ 答案：2n 种 11. 集合论的创始人是？ 答案：G.Cantor(康托尔) 13．以下推理错误的是？
A． P Q Q P ；B． P Q P Q ；C． P Q Q P ； 答案：A 7. 设 G 为 4 阶有向图，度数列为（3,4,2,3），若它的入度列为（1,2,2,1），
则出度列为哪项？ A．（1,2,1,2）； B．（2,2,0,2）； C．（2,1,1,2）． 答案：B 解析：有向图中：度数=出度数+入度数。
答：错误。不一定：取 A={a,b,c,d},令 R={(a,b),(b,c),(a,c)},S={(b,c),(c,a),(b,a)},易知 R,S 是 A 上的传递关系。然而，R S={(a,c),(a,a),(b,a)},其中(b,a)R S,(a,c)R S,但是 (b,c)R S， 因此 R S 不传递。 13．对命题变元 p 和 q，则命题公式 p∧(p→ q）是中性的。
10．A 上的关系 R 是等价的意味着 R 必须具有自反性、对称性和传递性。 答：正确。
11．若关系 R 的 MR 中主对角线元素全为 1，则 R 是反自反的。 答：错误。若关系 R 的 MR 中主对角线元素全为 1，表示 R 是自反的。
12．设 R，S 是集合 A 上的传递关系，则 R◦S 一定是传递的。
答：正确。
14．图
是强连通图。
答：错误。应为弱连通图。 15．(R, +, )是环的主要特性之一是 对+可分配。 答：正确。 16．整数集合 Z 上的整除关系“|”是对称的。 答：错误。1|2，但是 2 不整除 1，故整数集合 Z 上的整除关系“|”是反对称的。 17．实数集合 R 是的小于等于关系“≤”不是对称的。 答：正确。 18．任意非永假命题公式都存在多个的主析取范式。 答：错误。任意非永假（非永真）命题公式都存在唯一的主析取范式（主合取范式）。 19．设 A 和 B 是两个命题公式，则 A = B 的充要条件是 A B 为永真式 。 答：正确。
格。
பைடு நூலகம்
13．设(R,+,)是环，怎样成为交换环、含幺环、无零因子环？ 答案：环的定义：(R,+,•)是含有两个二元运算的代数结构，若：
(1) (R,+)是阿贝尔群。 (2) (R,•)是半群。 (3) •对+可分配。 则称(R,+,•)是环。另外： R 中的乘法运算可交换，则称(R,+,•)是交换环。 R 中的乘法运算有幺元，则称(R,+,•)是含幺环。 14．命题公式中的对偶式分别是怎样定义的？ 答案：将至多含有 3 个逻辑联结词（否定联结词，析取联结词，合取联结词）的命题公 式 A 中的析取联结词换成合取联结词，将 1 换成 0，将 0 换成 1，合取联结词换成析取 联结词后所得到的命题公式 A*称为命题公式 A 的对偶式。 15．一个集合的上/下确界是怎样定义的？ 答案：在偏序集(A,≤)，∅≠S A，S 的最小上界称为上确界 sup(S)，S 的最大下界称 为下确界 inf(S). 三、判断题 1． (A, f1, f2,…, fk)=(B, g1, g2,…, gk) 表示这两个代数结构是同构的。 答：错。 (A, f1, f2,…, fk) (B, g1, g2,…, gk)才表示这两个代数结构是同构的。 2．关系图 GR 中的每一对不同点之间的边都是成对出现的，则称 R 是对称的。 答：正确。 3．若(S, *)是有限半群，则一定存在幺元 e，并构成独异点(S, *，e)。 答：错误。代数结构(S,*)中，若 S 为有限集合，*是 S 上满足结合律的二元封闭运算， 则称(S,*)为有限半群。例如：S={0,2,4},*8 是模 8 乘法运算。则(S,*8)是有限半群， 但 不存在幺元。 4．有向图 G=(V, E)中的u, vV, u 和 v 相互可达，则称 G 为强连通图。 答：正确。
答案：R(x,y) 21．图论的创始人是谁？
答案：瑞士数学家 L.Euler(欧拉) 22．两个图同构是指其中一个图近经过哪些变换可以变为另一个图？
答案：1.挪动点的位置； 2.伸缩边的长短。
23. 什么是孤立点和悬挂点？ 答案：孤立点：在任意图 G(V,E)中，度数为 0 的结点。
悬挂点：在任意图 G(V,E)中，度数为 1 的结点。 24.域和环相比增加了哪些要求？ 答案：域：设(F,+,•)是环，若(F-{0},•)是阿贝尔群，则称(F,+,•)是域。 25.阿贝尔群具有哪些特点？比普通群增加了什么？ 答案：阿贝尔群：设(G,•)是群，若其运算•是可交换的，则称(G,•)为阿贝尔群。 二、填空题 1．鸽笼原理是指什么？ 答：n+1 只或更多的鸽子飞进 n 个笼子时，一定有一个笼子里面至少有 2 只鸽子。 2．哪位挪威数学家和法国数学家先后为群的研究做出了杰出的贡献？ 答案：挪威数学家 Niels Henrik Abel （尼尔斯· 亨利克·阿贝尔）和法国数学家 Évariste Galois（埃瓦里斯特•伽罗瓦） 为群的研究做出了杰出的贡献。 3．单独一个节点 v 构成的序列 v 到 v 的长度为多少的路？叫做什么？ 答案：单独一个节点 v 构成的序列 v 到 v 的长度为 0 的路叫做平凡路 4．命题公式(p→q)→r 的析取范式与合取范式各为什么？
5．在关系图 GR 中，对任意的 x,y,zA,只要 x 到 y 有边且 y 到 z 有边，就一定有 x 到 z 有 边，则 R 是传递的。 答：正确。 6．设 G, 是一个群， a G ，则 (a1)1 0。
答：错误。设 G 是非 0 实数集，*是其上的数的乘法运算，显然(G,*)是群。则任意属于 G 的元素 x，其逆元 X-1 = 1 ，从而(X-1)-1=X。 x
命题“有些实数是有理数”符号化为： x(Q(x) R(x)) 8．布尔代数的定义是怎样的? 答案：元素个数 2 的有补分配格称作布尔代数。 9．设 R A A, 则 R 在 A 是反自反的充要条件是什么？ 答案：IA R=∅ 10．什么情况下称 f 是 A 到 B 的双射？ 答案：f 既是 A 到 B 的单射，也是 A 到 B 的满射时称 f 是 A 到 B 的双射。 11．补元的定义是怎样的？ 答案： A A U，A A ∅.则称 A 是 A 的补元。 12．什么是分配格？ 答案：若格 (L, ) 的乘法运算“•”对格的加法运算“+”相互可分配，则称 (L, ) 是分配
5．什么是真命题？命题“如果雪是黑的，则 1+1=0”是真命题吗？ 答案：真值为真的命题为真命题。命题“如果雪是黑的，则 1+1=0”是真命题！ 解析：p:雪是黑的；q:1+1=0;如果雪是黑的，则 1+1=0:p→q。由于 p 为假，所以无论的 真值如何，“p→q”的真值都为真。 6. 下列哪个等价公式有错？
答案：握手定理：在任何（n,m）图 G=（V，M）中，其所有结点度数之和等于边数 m 的两倍，即：∑deg(v)=2m。 16．下面哪一种图不一定是树？
A．有 n 个结点 n 1条边；
B．无圈连通图； C．每对结点间有唯一的一条路的图 D．无圈但增加一条边，就得到一个且仅有一个圈． 答案：A 17．对于任意素数 p 和正整数 n，存在多少个元素的有限域？ 答案： Pn 18．下面所示的偏序集中，哪个是格？ 答案：B 【解析】要想对偏序格进行正确地判断，前提是一定要吃透概念和定义：设(L,≤)是偏 序集，若 L 中的任意两个元素组成的子集均存在上确界及下确界，则称(L,≤)为偏序格。 另外，加设∅≠S L。 上确界：子集 S 的最小上界：lub(S)或 sup(S) 下确界：子集 S 的最大下界：glb(S)或 inf(S) 注意：1.只有一条线上的两个元素可以比较大小。未在一条线上的两个元素没有偏序关 系（无法比较大小）2.若对于 a L,x S 均有 x a ,则 a 为 S 的上界，反之，为下界。 A 选项中{a,b}的下界元素有 c 和 0，但是由于 c 和 0 无偏序关系而无法比较大小，导致 {a,b}没有下确界。C 选项{a,b}没有上确界。D 选项{a,b}没有上、下确界,{c,d}没有上、 下确界。 B 选项中（{a,c}上确界:a,下确界:c;{a,b}上确界：1，下确界：c;{d,e}上确界：c,下 确界：0；.....）任意两个元素组成的子集都存在上确界和下确界，故 B 选项是偏序格！
A． P, P Q Q ； B． P, P Q Q ； C． Q, P Q P
答案：B 14．设 G 为 4 阶有向图，度数列为（4,4,2,2），若它的入度列为（2,2,1,1）， 则出度列为哪项？C
A．（2,1,1,2）； B．（1,2,1,2）； C．（2,2,1,1） 15．图论中的握手定理的内容是什么？
第三部分、考试复习范围
一、选择题 1．含 n 个元素的集合 A 的幂集的元素个数为多少？ 答案：2n 个。 2．数理逻辑的创始人是谁？ 答案：莱布里茨。
3．设(R,+,)是环，它有哪些特性？ 答案：1.(R,+)是阿贝尔群。2.(R,•)是半群。3.•对+可分配。
4．排中律满足哪些性质？
A 答案： ∧ A 不成立。（不应同时否认一个命题（A）及其否定（非 A）） x（F（x）∨F（x））对任何个体 x 而言，x 有性质 F 或没有性质 F。
答案：析取范式： ( p q) r 合取范式： ( p r) (q r) 5．集合 A, B 的对称差 AB 可以表示为什么？ 答案： ( A B) ( A B) 6．半群（S, *）满足哪些特性? 答案：S 是非空集合，*是 S 上满足结合律的二元封闭运算。 7．在谓词逻辑中，命题“所有有理数是实数”符号化为什么？命题“有些实数是有理 数”符号化为什么？ 答案：设 Q(x):x 是有理数，R(x):x 是实数。 则命题“所有有理数是实数”符号化为： x(Q(x) R(x))
《离散数学》期末考试复习题及答案
第一部分、考试形式和时间 答题时限： 120 分钟 考试形式：闭卷笔试 第二部分、考试题型和得分构成
大题号
一
二
三
四
总分
100
20
10
10
60
一、选择题：对每一道小题，从其 4 个备选答案中选择最适合的一项，每小题 2 分， 共 10 道小题，20 分。 二、填空题：每空 1 分，共 5 道小题，10 个空白处待填，10 分。 三、判断题：每一道小题均以陈述语句描述，对的打√，错的打 х。每小题 1 分，共 10 道小题，10 分。 四、综合题：每小题 10 分，共 6 道小题，60 分。
7．设 A, 是一个偏序集，如果 A 中任意两个元素都有上确界和下确界，则称 A, 是一个格。 答：正确。也称(A, )为偏序格。
8．命题公式 P Q 的逆反式是 Q P 。
答：正确。左边= P Q P Q Q P Q P =右边
9．图
是弱连通图。
答：正确。该图为强连通图且属于弱连通图。
答案： xy(S(x) T ( y) A(x, y))
20．谓词公式 x (P(x) yR(x, y)) Q(x) S(x) 中量词（ y ）辖域是
8. 设 S a,3, 4,,则表示空元素属于 S 怎样写？
答案:Ø∈S 9. 什么是前束范式？下面哪个是前束范式？
A． Q(x, z) (x)(y)R(x, y, z) ； B． (x)(y)Q(x, y) ．
答案：前束范式：如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末端，则 该公式叫做前束范式。B。 解析：如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末端，则该公式叫做 前束范式，显然 B 选项满足定义。 9. 无向图 G 中有 16 条边，且每个结点的度数均为 2，则结点数是多少？ 答案：16 解析：由于每个结点的度数为 2，所以可以排除 G 中存在孤立点（度数为 0）和悬挂点 （度数为 1）。由此可知，G 中的任何一个结点皆是使用一度与上一个结点相连再使用 另一度与下一个结点相连，从而每条边与两个结点关联（上一个结点与下一个结点）， 但是每个结点又与两条边相连，故结点数为：16×2÷2=16 个。 10. 含 n 个命题变元的命题公式的不同的真值指派有几种？ 答案：2n 种 11. 集合论的创始人是？ 答案：G.Cantor(康托尔) 13．以下推理错误的是？
A． P Q Q P ；B． P Q P Q ；C． P Q Q P ； 答案：A 7. 设 G 为 4 阶有向图，度数列为（3,4,2,3），若它的入度列为（1,2,2,1），
则出度列为哪项？ A．（1,2,1,2）； B．（2,2,0,2）； C．（2,1,1,2）． 答案：B 解析：有向图中：度数=出度数+入度数。
答：错误。不一定：取 A={a,b,c,d},令 R={(a,b),(b,c),(a,c)},S={(b,c),(c,a),(b,a)},易知 R,S 是 A 上的传递关系。然而，R S={(a,c),(a,a),(b,a)},其中(b,a)R S,(a,c)R S,但是 (b,c)R S， 因此 R S 不传递。 13．对命题变元 p 和 q，则命题公式 p∧(p→ q）是中性的。
10．A 上的关系 R 是等价的意味着 R 必须具有自反性、对称性和传递性。 答：正确。
11．若关系 R 的 MR 中主对角线元素全为 1，则 R 是反自反的。 答：错误。若关系 R 的 MR 中主对角线元素全为 1，表示 R 是自反的。
12．设 R，S 是集合 A 上的传递关系，则 R◦S 一定是传递的。
答：正确。
14．图
是强连通图。
答：错误。应为弱连通图。 15．(R, +, )是环的主要特性之一是 对+可分配。 答：正确。 16．整数集合 Z 上的整除关系“|”是对称的。 答：错误。1|2，但是 2 不整除 1，故整数集合 Z 上的整除关系“|”是反对称的。 17．实数集合 R 是的小于等于关系“≤”不是对称的。 答：正确。 18．任意非永假命题公式都存在多个的主析取范式。 答：错误。任意非永假（非永真）命题公式都存在唯一的主析取范式（主合取范式）。 19．设 A 和 B 是两个命题公式，则 A = B 的充要条件是 A B 为永真式 。 答：正确。
格。
பைடு நூலகம்
13．设(R,+,)是环，怎样成为交换环、含幺环、无零因子环？ 答案：环的定义：(R,+,•)是含有两个二元运算的代数结构，若：
(1) (R,+)是阿贝尔群。 (2) (R,•)是半群。 (3) •对+可分配。 则称(R,+,•)是环。另外： R 中的乘法运算可交换，则称(R,+,•)是交换环。 R 中的乘法运算有幺元，则称(R,+,•)是含幺环。 14．命题公式中的对偶式分别是怎样定义的？ 答案：将至多含有 3 个逻辑联结词（否定联结词，析取联结词，合取联结词）的命题公 式 A 中的析取联结词换成合取联结词，将 1 换成 0，将 0 换成 1，合取联结词换成析取 联结词后所得到的命题公式 A*称为命题公式 A 的对偶式。 15．一个集合的上/下确界是怎样定义的？ 答案：在偏序集(A,≤)，∅≠S A，S 的最小上界称为上确界 sup(S)，S 的最大下界称 为下确界 inf(S). 三、判断题 1． (A, f1, f2,…, fk)=(B, g1, g2,…, gk) 表示这两个代数结构是同构的。 答：错。 (A, f1, f2,…, fk) (B, g1, g2,…, gk)才表示这两个代数结构是同构的。 2．关系图 GR 中的每一对不同点之间的边都是成对出现的，则称 R 是对称的。 答：正确。 3．若(S, *)是有限半群，则一定存在幺元 e，并构成独异点(S, *，e)。 答：错误。代数结构(S,*)中，若 S 为有限集合，*是 S 上满足结合律的二元封闭运算， 则称(S,*)为有限半群。例如：S={0,2,4},*8 是模 8 乘法运算。则(S,*8)是有限半群， 但 不存在幺元。 4．有向图 G=(V, E)中的u, vV, u 和 v 相互可达，则称 G 为强连通图。 答：正确。
答案：R(x,y) 21．图论的创始人是谁？
答案：瑞士数学家 L.Euler(欧拉) 22．两个图同构是指其中一个图近经过哪些变换可以变为另一个图？
答案：1.挪动点的位置； 2.伸缩边的长短。
23. 什么是孤立点和悬挂点？ 答案：孤立点：在任意图 G(V,E)中，度数为 0 的结点。
悬挂点：在任意图 G(V,E)中，度数为 1 的结点。 24.域和环相比增加了哪些要求？ 答案：域：设(F,+,•)是环，若(F-{0},•)是阿贝尔群，则称(F,+,•)是域。 25.阿贝尔群具有哪些特点？比普通群增加了什么？ 答案：阿贝尔群：设(G,•)是群，若其运算•是可交换的，则称(G,•)为阿贝尔群。 二、填空题 1．鸽笼原理是指什么？ 答：n+1 只或更多的鸽子飞进 n 个笼子时，一定有一个笼子里面至少有 2 只鸽子。 2．哪位挪威数学家和法国数学家先后为群的研究做出了杰出的贡献？ 答案：挪威数学家 Niels Henrik Abel （尼尔斯· 亨利克·阿贝尔）和法国数学家 Évariste Galois（埃瓦里斯特•伽罗瓦） 为群的研究做出了杰出的贡献。 3．单独一个节点 v 构成的序列 v 到 v 的长度为多少的路？叫做什么？ 答案：单独一个节点 v 构成的序列 v 到 v 的长度为 0 的路叫做平凡路 4．命题公式(p→q)→r 的析取范式与合取范式各为什么？
5．在关系图 GR 中，对任意的 x,y,zA,只要 x 到 y 有边且 y 到 z 有边，就一定有 x 到 z 有 边，则 R 是传递的。 答：正确。 6．设 G, 是一个群， a G ，则 (a1)1 0。
答：错误。设 G 是非 0 实数集，*是其上的数的乘法运算，显然(G,*)是群。则任意属于 G 的元素 x，其逆元 X-1 = 1 ，从而(X-1)-1=X。 x
命题“有些实数是有理数”符号化为： x(Q(x) R(x)) 8．布尔代数的定义是怎样的? 答案：元素个数 2 的有补分配格称作布尔代数。 9．设 R A A, 则 R 在 A 是反自反的充要条件是什么？ 答案：IA R=∅ 10．什么情况下称 f 是 A 到 B 的双射？ 答案：f 既是 A 到 B 的单射，也是 A 到 B 的满射时称 f 是 A 到 B 的双射。 11．补元的定义是怎样的？ 答案： A A U，A A ∅.则称 A 是 A 的补元。 12．什么是分配格？ 答案：若格 (L, ) 的乘法运算“•”对格的加法运算“+”相互可分配，则称 (L, ) 是分配
5．什么是真命题？命题“如果雪是黑的，则 1+1=0”是真命题吗？ 答案：真值为真的命题为真命题。命题“如果雪是黑的，则 1+1=0”是真命题！ 解析：p:雪是黑的；q:1+1=0;如果雪是黑的，则 1+1=0:p→q。由于 p 为假，所以无论的 真值如何，“p→q”的真值都为真。 6. 下列哪个等价公式有错？
答案：握手定理：在任何（n,m）图 G=（V，M）中，其所有结点度数之和等于边数 m 的两倍，即：∑deg(v)=2m。 16．下面哪一种图不一定是树？
A．有 n 个结点 n 1条边；
B．无圈连通图； C．每对结点间有唯一的一条路的图 D．无圈但增加一条边，就得到一个且仅有一个圈． 答案：A 17．对于任意素数 p 和正整数 n，存在多少个元素的有限域？ 答案： Pn 18．下面所示的偏序集中，哪个是格？ 答案：B 【解析】要想对偏序格进行正确地判断，前提是一定要吃透概念和定义：设(L,≤)是偏 序集，若 L 中的任意两个元素组成的子集均存在上确界及下确界，则称(L,≤)为偏序格。 另外，加设∅≠S L。 上确界：子集 S 的最小上界：lub(S)或 sup(S) 下确界：子集 S 的最大下界：glb(S)或 inf(S) 注意：1.只有一条线上的两个元素可以比较大小。未在一条线上的两个元素没有偏序关 系（无法比较大小）2.若对于 a L,x S 均有 x a ,则 a 为 S 的上界，反之，为下界。 A 选项中{a,b}的下界元素有 c 和 0，但是由于 c 和 0 无偏序关系而无法比较大小，导致 {a,b}没有下确界。C 选项{a,b}没有上确界。D 选项{a,b}没有上、下确界,{c,d}没有上、 下确界。 B 选项中（{a,c}上确界:a,下确界:c;{a,b}上确界：1，下确界：c;{d,e}上确界：c,下 确界：0；.....）任意两个元素组成的子集都存在上确界和下确界，故 B 选项是偏序格！
A． P, P Q Q ； B． P, P Q Q ； C． Q, P Q P
答案：B 14．设 G 为 4 阶有向图，度数列为（4,4,2,2），若它的入度列为（2,2,1,1）， 则出度列为哪项？C
A．（2,1,1,2）； B．（1,2,1,2）； C．（2,2,1,1） 15．图论中的握手定理的内容是什么？
第三部分、考试复习范围
一、选择题 1．含 n 个元素的集合 A 的幂集的元素个数为多少？ 答案：2n 个。 2．数理逻辑的创始人是谁？ 答案：莱布里茨。
3．设(R,+,)是环，它有哪些特性？ 答案：1.(R,+)是阿贝尔群。2.(R,•)是半群。3.•对+可分配。
4．排中律满足哪些性质？
A 答案： ∧ A 不成立。（不应同时否认一个命题（A）及其否定（非 A）） x（F（x）∨F（x））对任何个体 x 而言，x 有性质 F 或没有性质 F。
答案：析取范式： ( p q) r 合取范式： ( p r) (q r) 5．集合 A, B 的对称差 AB 可以表示为什么？ 答案： ( A B) ( A B) 6．半群（S, *）满足哪些特性? 答案：S 是非空集合，*是 S 上满足结合律的二元封闭运算。 7．在谓词逻辑中，命题“所有有理数是实数”符号化为什么？命题“有些实数是有理 数”符号化为什么？ 答案：设 Q(x):x 是有理数，R(x):x 是实数。 则命题“所有有理数是实数”符号化为： x(Q(x) R(x))
《离散数学》期末考试复习题及答案
第一部分、考试形式和时间 答题时限： 120 分钟 考试形式：闭卷笔试 第二部分、考试题型和得分构成
大题号
一
二
三
四
总分
100
20
10
10
60
一、选择题：对每一道小题，从其 4 个备选答案中选择最适合的一项，每小题 2 分， 共 10 道小题，20 分。 二、填空题：每空 1 分，共 5 道小题，10 个空白处待填，10 分。 三、判断题：每一道小题均以陈述语句描述，对的打√，错的打 х。每小题 1 分，共 10 道小题，10 分。 四、综合题：每小题 10 分，共 6 道小题，60 分。
7．设 A, 是一个偏序集，如果 A 中任意两个元素都有上确界和下确界，则称 A, 是一个格。 答：正确。也称(A, )为偏序格。
8．命题公式 P Q 的逆反式是 Q P 。
答：正确。左边= P Q P Q Q P Q P =右边
9．图
是弱连通图。
答：正确。该图为强连通图且属于弱连通图。