数学中考版课件-第十五讲概率
初三上数学课件(人教版)-概率
D
C
1 4
解：(1) 1 (2) 3
4
4
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且 它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那 么事件A发生的概率P（A）＝ m ，因为0≤m≤n，所以
n 0≤P（A）≤1.
特别地：当A为必然事件时，P（A）＝1；当A为不可 能事件时，P（A）＝0；当A为随机事件时，P（A）的取值 范围0≤P（A）≤1.
2.当试验具有以下特点时：①每次试验，可能出现的结 果只有_有__限__个；②每次试验，各结果出现的可能性相__等__.可 以从事件所包含的_各__种__可__能_的结果数在全__部__可__能__的结果数中
所占的_比__，分析出事件发生的概率.
3.一般地，如果在一次试验中，有_n_种可能的结果，并 且它们发生的可能性都_相__等_，事件A包含其中的_m_种结果，那
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确的是_①__④__⑤__.___.
解析：在相同的条件下重复试验n次，事件A发生的次数nA
为事件A发生的频数；事件A发生的比例
fn ( A)
nA n
称为事件
A发生的频率.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的
增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上.若这个
归纳：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且 它事们件A发发生生的的可概能率性P都（相A）等=，m事，件因A为包0含≤m其≤中n，的所m以种0结≤P果（，A）那≤么1.
n
特别地：当A为必然事件时,P(A)=1;当A为不可能事件 时,P(A)=0;当A为随机事件时,P(A)的取值范围0≤P(A)≤1.
么事件A发生的概率为_P_(_A_)_.m .
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在一定条件下:必然会发生的事 件叫必然事件; 在一定条件下：必然不会发生的事件 叫不可能事件; 在一定条件下：可能会发生，也可 能不发生的事件叫随机事件.
注意:必然事件和不可能事件统称为确定事件
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问题1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决 定每个人的出场顺序。盒中有5个看上去完全一 样的纸团，每个纸团分别写有出场的序号1，2， 3，4，5。小军首先抽，他在看不到纸团上数字 的情况下从盒中随机（任意）取一个纸团。 （1）抽到的序号有几种可能的结果？
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（1）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比为 3：7。如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上， “落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性 更大？
(2)一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样 的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其它 都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能 性最大？
活动1（摸球游戏）：三个不透明的箱子均装有 10个乒乓 人教版数学九年级上册教学课件-.. 概率ppt课件 球： 1号箱10个黑球， 2号箱10个白球，
3号箱5个黑球和5个白球。 猜一猜：每个箱能摸到什么颜色的球？
活动2（摸牌游戏）：三堆扑克牌中（每堆10张）： 第一堆 10张红牌，第二堆 10张黑牌， 第三堆 5张红牌和5张黑牌。 猜一猜：每一堆牌中能摸出什么颜色的牌？
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再猜猜，辩辩:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌”这一事件的发生情况?
必然发生
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九年级数学上册教学课件《概率》
5x=3y
拓展延伸
10.如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个9×9的小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷.
小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“3”，其意义表示该格的外围区域(图中阴影部分，记为A区域)有3颗地雷；接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“1”，其外围区域(图中阴影部分)记为B区域；“A区域与B区域以及出现数字‘1’和‘3’两格”以外的部分记为C区域．
结合(1)、(3)你发现了什么?
知识点2
用面积法求概率
两个相反事件发生的概率和为1.
小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如下图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）不算.你认为游戏公平吗？为什么？
可能性不相等,“摸出红球”的概率为 ,“摸出绿球”的概率为 .
【教材P133练习 第3题】
2. 回顾例3,如果小王在游戏开始时点击的第一个方格出现标 号1,那么下一步点去哪个区城比较安全?
1.概率的定义及基本性质
2.必然事件A: P(A)=1 不可能事件B: P(B)=0 随机事件C: 0＜P(C)＜1
小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击A、B、C中的哪个区域？请说明理由.
即点击C区域遇到地雷的可能性最小，所以小红在下一步点击时应点击C区域.
【教材P133练习 第2题】
1. 不进明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外 无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，“摸出红球”和“ 摸出绿球”的可能性相等吗？它们的概率分别为多少？
如问题1中：
中考数学备考复习概率课件(共31张PPT)汇总
考查的形式有：运用公式计算概率、几何概型、列表法或画树状图法求
1、概率的意义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能 性大小的数值称为随机事A发生的概率。 2、概率的计算： （1）试验法（估计法）：一般的，在大量的重复试验中，如果事件A发 生的频率会逐渐稳定在某个常数P附近，那么就把这个常数P作为这一事件
中考数学概率试题
20．（2012•德州）若一个三位数的十位数字比个位数字和 百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4 这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数． （1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数； （2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位 数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平 吗？试说明理由．
数目较多时，可采用列表法列出所有可能出现的结果，在根据 m P ( A ) = 概率公式 计算概率。 n （5）画树状图：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可 采用画树状图表示出所有可能出现的结果，在根据根据概率公
式 P ( A) =
m 计算概率。 n
典例2：某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下表所示：
B 某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖 C 点M（x1，y1），点N（x2，y2）都在反比例函数y= 的图象上，若x1＜x2，则y1＞y2 D 甲、乙两射击运动员分别射击10次，甲、乙射击成绩的方差 分别为4和9，这过程中乙发挥比甲更稳定
19．（8分）（2014•德州）
（3）学校欲从或A等级的学生中随机选取2人，参加市举办 的演讲比赛，请利用列表法或树形图法，求或A等级的小明 参加市比赛的概率．
解决实际问题,作出决策
本单元的考点
考点一：事件的分类 考点二：概率及有关计算和应用
初三数学第15讲：常见方法求概率(教师版)
第十五讲常见方法求概率1.列表法用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.使用条件：当一次试验中涉及2步并且可能出现的等可能结果数较多时.2.树状图法用树形图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.使用条件：当一次试验要涉及2步或2步以上完成的事件.3.利用频率估计概率：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P 附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．利用频率估计出的概率是近似值1.掌握列表法和树状图法求概率的区别。
列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件2. 概率=所求情况数与总情况数之比例1．同时掷两个质地均匀的骰子，点数的和小于5的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点数的和小于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12∵共有36种等可能的结果，点数的和小于5的有6种情况，∴点数的和小于5的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．例2．从﹣1，2，﹣3，4，﹣5，从中随机取出3个数，其中三个数的和为正数的概率为．考点：列表法与树状图法．专题：计算题；压轴题．分析：列出出从5个数中随机取出3个数所有的可能，找出之和为正数的个数，即可求出所求的概率．解答：解：从﹣1，2，﹣3，4，﹣5，从中随机取出3个数，所有的可能为：﹣1，﹣3，4；﹣1，﹣3，﹣5；﹣1，4，﹣5；﹣1，2，﹣3；﹣1，2，4；﹣1，2，﹣5；2，﹣3，4；2，﹣3，﹣5；2，4，﹣5；﹣3，4，﹣5共十种，其中三个数和为正数的有：﹣1，2，4；2，﹣3，4；2，4，﹣5三种，则P三个数和为正数=．故答案为：点评：此题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．例3．从﹣3，﹣1，0，1，3这五个数中，任取两个不同的数分别作为m，n的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点（m，n）落在双曲线y=﹣上的概率为．考点：列表法与树状图法；二元一次方程组的解；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：首先用列表法或树形图得到所用可能的情况，若使点（m，n）落在双曲线y=﹣上，则mn=﹣3，由此得到mn的关系式，再根据恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，即可求出m，n的值，由此可得到点（m，n）落在双曲线y=﹣上的概率．解答：解：画树状图得：若使点（m，n）落在双曲线y=﹣上，则mn=﹣3，∴m=﹣1，﹣3，3．对应的n=3，1，﹣1∵恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，∴点（m，n）可以是（﹣1，3），（﹣3，1），（3，﹣1），∴且点（m，n）落在双曲线y=﹣上的概率为，故答案为：．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．例4．甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？．考点：游戏公平性．分析：运用概率公式计算出相应概率，比较找到最大的概率即可．解答：解：∵掷得朝上的数字比3大可能性有：4，5，6，∴掷得朝上的数字比3大的概率为：=，∵朝上的数字比3小的可能性有：1，2，∴掷得朝上的数字比3小的概率为：=，∴这个游戏对甲、乙双方不公平．故答案为：不公平．点评：此题主要考查了游戏公平性，有关可能性大小的问题；用到的知识点为：可能性相等，包含的情况数相等．例5．某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共50个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在20%，则袋中红色球是个．考点：利用频率估计概率．分析：根据题意得出摸出红球的频率，继而根据频数=总数×频率计算即可．解答：解：∵小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在20%，∴口袋中红色球的个数可能是50×20%=10个．故答案为：10．点评：本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．例6．某同学练习定点投篮时记录的结果如表：投篮次数100 200 300 400 500投中次数80 151 238 320 400则这位同学投篮一次，投中的概率约是（结果保留小数点后一位）．考点：利用频率估计概率．分析：计算出每一组投中次数和投篮次数的比值，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．解答：解：由记录表可知每一组投中次数和投篮次数的比值分别为：0.8；0.755；0.793；0.8；0.8，由此可估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.8，故答案为：0.8．点评：本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．A档1．将一个正六面体骰子连掷两次，它们的点数都是4的概率是（）A.16B.14C.116D.136考点：列表法与树状图法．分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．解答：解：每个骰子上都有6个数，那么投掷2次，将有6×6=36种情况，它们的点数都是4的只有1种情况，∴它们的点数都是4的概率是．故选D．点评：考查了列表法和树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．注意本题是放回实验．2．已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球．从口袋中随机取出一个球（不放回），接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为（）A.34B.23C.916D.12考点：列表法与树状图法．专题：数形结合．分析：列举出所有情况，看取出的两个都是黄色球的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：共12种情况，取出2个都是黄色的情况数有6种，所以概率为．故选D．点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的易错点．3．一个立方体玩具的展开图如图所示．任意掷这个玩具，上表面与底面之和为偶数的概率为（）A.16B.13C.12D.23考点：列表法与树状图法；专题：正方体相对两个面上的文字．分析：由数字3与4相对，数字1与5相对，数字2与6相对，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵数字3与4相对，数字1与5相对，数字2与6相对，∴任意掷这个玩具，上表面与底面之和为偶数的概率为：．故选D．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，则两次摸出的卡片的数字之和等于4的概率（）A.34B.12C.14D. 1考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的卡片的数字之和等于4的情况，即可求出所求的概率．解答：解：列表得：1 2 3 42 3 4 5 63 4 5 6 7所有等可能的情况有8种，其中两次摸出的卡片的数字之和等于4的情况有2种，则P==，故选C点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（）A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球考点：列表法与树状图法．分析：根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球．解答：解：观察树形图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球．故选A．点评：此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验．B档6．（2015•蓬溪县校级模拟）同时掷二枚普通的骰子，数字和为1的概率为，数字和为7的概率为，数字和为2的概率为．考点：列表法与树状图法．分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．解答：解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∴一共有36种情况，∴数字和为1的概率为0，数字和为7的概率为=，数字和为2的概率为．点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．学校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院慰问老人，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为．考点：列表法与树状图法．分析：列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：设3辆车分别为A，B，C，共有9种情况，小王与小菲在同一辆车的情况数有3种，所以坐同一辆车的概率为．故答案为：．点评：此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．8．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解答：解：由树状图可知共有3×2=6种可能，选看的2场恰好都是乒乓球比赛的有2种，所以概率是．点评：画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x、y、5的三条线段能构成三角形的概率为．（注：长度单位一致）考点：列表法与树状图法；三角形三边关系．分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解答：解：列表得：1 2 3xy1 （1，2）（2，2）（3，2）2 （1，4）（2，4）（3，4）3 （1，6）（2，6）（3，6）因此，点A（x，y）的个数共有9个；则x、y、5的三条线段能构成三角形的有4组：2，4，5；3，4，5；2，6，5；3，6，5；可得P=．故答案为：．点评：此题主要考查了三角形三边关系和列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个．考点：利用频率估计概率．分析：由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．解答：解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴=，解得：x=12，故白球的个数为12个．故答案为：12．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．C档11．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复．下表是由试验得到的一组统计数据：摸球的次数100 200 300 400 500 600摸到白球的次数58 118 189 237 302 359摸到白球的频率0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.598从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为．（结果精确到0.1）考点：利用频率估计概率．分析：用所有频率的平均数即可表示时间发生的概率．解答：解：是白球的概率为：=0.6，故答案为：0.6．点评：本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率．12．一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是12 ．考点：利用频率估计概率．分析：小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．解答：解：3÷=12（个）．故答案为：12．点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．13．某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共60个．通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为个．考点：利用频率估计概率．分析：首先求得摸到红球的频率，然后利用概率公式求解即可．解答：解：∵摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，∴摸到蓝色球的频率为1﹣30%﹣45%=25%，设有蓝球x个，根据题意得：=25%，解得：x=15，故答案为：15．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．14．在一个不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其它完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在40%附近，则口袋中白球可能有个．考点：利用频率估计概率．分析：先设口袋中白球可能有x个，根据摸到红球的频率稳定在40%附近，得出口袋中摸到黑色球的概率为40%，再根据概率公式列出方程，求出方程的解即可．解答：解：设口袋中白球可能有x个，∵摸到红球的频率稳定在40%附近，∴口袋中摸到红色球的概率为40%，∴=40%，解得：x=12，故答案为12．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．15．在一个不透明的箱子里放有x个除颜色外其它完全相同的球，这x个球中白球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在30%，那么可以推算出x最有可能是个．考点：利用频率估计概率．分析：根据白球的个数除以它占总数的比例即为球的总数m，求出即可．解答：解：m=3÷30%=10（个）．故答案为：10．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，利用总体=部分的个数除以它占的比例得出是解决问题的关键．1．小明是学校乒乓球男队的3名队员之一，小红是学校乒乓球女队的3名队员之一，现在学校分别从两队中各随机抽取一名队员组成一对混合双打组合，小明和小红正好组成混合双打组合的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．解答：解：设小明为1号，其他男运动员为2，3；小红为1′，其他女运动员为2′，3′画树形图得：由树形图可知：小明和小红正好组成混合双打组合的概率是．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．2．甲、乙二人玩掷骰子游戏，规定同时掷出两枚骰子，点数和为奇数，甲得1分，点数和分偶数，乙得1分，谁先积满20分为胜，你认为这个游戏（填“公平”或“不公平”）．考点：游戏公平性．分析：首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数和为奇数、点数和分偶数的情况，利用概率公式即可求得甲胜与乙胜的概率，比较大小，即可知是否公平．解答：解：列表得：6 7 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10 114 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6∵共有36种等可能的结果，点数和为奇数的有18种情况，点数和分偶数的也有18种情况，∴P（甲胜）=P（乙胜）==．∴这个游戏公平．故答案为：公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．3．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有个白球．考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．解答：解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，∴白球所占的比例为=，设盒子中共有白球x个，则=，解得：x=12．故答案为：12．点评：本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．4．某水果公司新进10000千克柑橘，随机抽取若干柑橘进行“柑橘损坏率”统计，获得的数据记录如下：柑橘总质量（n）/千克200 250 300 350 400 450 50019.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54损坏柑橘质量（m）/千克0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103柑橘损坏的频率（）/千克根据表中数据，估计这批新进柑橘损坏率为（精确到0.1）考点：利用频率估计概率．分析：根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘损坏率大约是0.1．解答：解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以可估计柑橘损坏率大约是0.1．故答案为0.1．点评：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．5．同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，求出正面都向上的概率即可．解答：解：列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）所有等可能的情况有4种，正面都向上的情况有1种，则P=，故答案为：点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．1．从①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④AD=BC四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是．考点：列表法与树状图法；平行四边形的判定．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，∴选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．从﹣2，﹣8，5中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第三象限的概率为．考点：列表法与树状图法；点的坐标．分析：列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：画树形图得：∵共有6种等可能的结果，该点在第三象限的有2种情况，∴该点在第二象限的概率是：=．故答案为：．点评：本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在第三象限的情况数是解决本题的关键．3．甲、乙、丙三位同学站成一排，其中甲、乙两位同学相邻的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两位同学相邻的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学相邻的有4种情况，∴甲、乙两位同学相邻的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．甲、乙两队进行足球比赛，裁判员用掷一枚硬币的方法决定双方比赛场地，这样对两队（填“公平”或“不公平”）．考点：游戏公平性．分析：要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法使这两个队选取比赛场地的可能性是否相等即可解答：解：因为一枚硬币只有正反两面，所以正面朝上或朝下的概率均为即两个队选择场地的可能性相等，所以这种方法公平．故答案为：公平．点评：本题考查了游戏规则公平性的判断，要判断游戏规则是否公平，看使游戏双方获胜的可能性是否相等即可．5．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有个．考点：利用频率估计概率．分析：由频数=数据总数×频率计算即可．解答：解：∵摸到红色球的频率稳定在0.15左右，∴口袋中红色球的频率为0.15，故红球的个数为60×0.15=9个．故答案为：9．点评：本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．6．一名球员在罚球的结果记录如表：50 100 150 200 250 300 500投篮次数n投中次数28 60 78 104 123 152 251m投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50先将表中数据补全（精确到0.01）；根据以上数据可以统计，这名球员投篮一次，投中的概率约是．（精确到0.1）考点：利用频率估计概率．分析：计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．解答：解：填表如下：投篮次数50 100 150 200 250 300 500n投中次数28 60 78 104 123 152 251m投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50根据以上数据可以统计，这名球员投篮一次，投中的概率约是0.5，故答案为：0.5．点评：此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．7．在一个不透明的布袋中装有黄白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小兵通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则摸到白球的概率为．考点：利用频率估计概率．分析：根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”直接写出答案即可．解答：解：∵通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，∴摸到白球的概率为0.4，故答案为：0.4．点评：本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，属于基础题，难度不大．8．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有个．考点：利用频率估计概率．分析：让球的总数×黄色玻璃球的概率即为所求的黄色玻璃球的球数．解答：解：∵摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，∴摸到黄球的概率为0.25，故口袋中黄色玻璃球有0.25×72=18（个）．故答案为：18．点评：此题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．部分数目=总体数目乘以相应概率．。
2024年中考数学一轮复习课件--概率(63张PPT)
白2红），（黑白2红白1），（黑白2白1红）；
（白1白2黑红），（白1白2红黑），（白1黑白2红），（白1黑
红白2），（白1红黑白2），（白1红白2黑）；
（白 2 白 1 红黑），（白 2 白 1 黑红），（白 2 红白 1 黑），（白 2 红
黑白 1 ），（白 2 黑白 1 红），（白 2 黑红白 1 ）.共4×6＝24种等
1种，
∴P（A）＝ ，∴顾客首次摸球中奖的概率为 ；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美
礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.
解：（2）他应往袋中加入黄球；理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列
表如下：
红
红
黄①
黄②
黄③
新
黄①
黄②
红，黄① 红，黄②
概率
事件的类型
事件
定义
发生
概率
在一定条件下，在每次试验
确定事件
必然事件
中
必然 发生的事件叫做
必然事件
1
事件
确定事件
不确定
事件
不可能
事件
定义
在一定条件下，在每次试验
中 不可能 发生的事件叫
做不可能事件
在一定条件下，可能发生
随机事件 也可能不发生的事件叫做
随机事件
发生
概率
0
0～1之间
（不含0
和1 ）
个白球（仅有颜色不同）.若从中任意摸出一个球是红球的概
2
率为 ，则n＝
5
9
.
8.（2023·大连）一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球.从
九年级数学概率课件
考点 突破
考点一：事件的分类
例1、一个菱形的四个内角度数之比依次为1：2：3：4，这个事件是（C ）
A. 必然事件 B. 随机事件
C. 不可能事件
D. 以上都不是
变式1、口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列
事件为随机事件的是（B ） A. 随机摸出1个球，是白球
B. 随机摸出1个球，是红球
例5、一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小 明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下 颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口 袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根
据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是__1_2_____．
结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结 果，那么事件A发生的概率_P_(_A_)_=_mn 3、面积法求概率：当一次实验涉及的图形面积是n，事件A发 生时涉及的图形面积是m,则事件A发生的概率是_P_(_A_)_=m_n___ 4、列表法和树状图法求概率：当一次实验要涉及两个或两个 以上因素，并且可能出现的结果数目较多时，可用_画_树__状_图__或
命题 研究
考点
年份
确定、不确定事件 2015-2019
简单事件的概率 2015
2016
2015
画树状图或列表法 2016 求事件发生的概率 2017
2018
2019
题型 无 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 解答题 选择题
题号 无 6 3 10 15 8 21 10
考查内容 无 用概率公式求概率
于2的概率是________．
新人教版九年级上25.1.2《概率》PPT课件【最新】
h
5
概率的定义：
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其 发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生 的概率，记作P（A）。
归纳：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结
果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含
其中的m种结果，那么事件A发生的概率
P（A）= m
n
h
6
回忆刚才两个试验，它们有什么共同特点吗？
可以发现，以上试验有两个共同特点： （1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； （2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
必然事件的概率和不可能事件的概 率分别是多少呢？
P(必然事件)＝1
P(不可能事件)＝0
h
7
在上述类型的试验中，通过对试验结果以
及事件本身的分析，我们就可以求出相应
事件的概率，在P（A）=
随
机
事
件
发
生
的
可
能
我可没我朋
性 究 竟 有
友那么粗心， 撞到树上去， 让他在那等 着吧，嘿嘿!
多
大
？
h
1
h
2
复习：下列事件中哪些事件是随机事件？哪些 事件是必然事件？哪些是不可能事件？
（1）抛出的铅球会下落 （2）某运动员百米赛跑的成绩为２秒 （3）买到的电影票，座位号为单号
（4）ｘ２＋１是正数
m n
中，由m和n
的含义可知0≤m≤n,进而 0≤m/n≤1。因此
0≤P(A) ≤1.
特别地： 必然事件的概率是1，记作：P(必然事件)＝1； 不可能事件的概率是0，记作： P(不可能事件)＝0
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8
事件发生的可能性越大，它的概率越 接近1；反之，事件发生的可能性越小， 它的概率越接近0
概率课件初中数学PPT课件(2024)
等可能事件具有对称性、互斥 性和完备性。
8
排列组合公式及应用
排列公式
从n个不同元素中取出m个元素（ 0≤m≤n）按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个元素中取出m个元
素的一个排列。排列的种数用符 号P(n,m)表示，计算公式为 P(n,m)=n!/(n-m)!。
2024/1/29
组合公式
23
命题逻辑基本概念和运算规则
命题与命题变元
介绍命题的定义，命题的 真假性，以及命题变元的 概念。
2024/1/29
逻辑联结词
详细解释逻辑联结词“与 ”、“或”、“非”的含 义和运算规则。
命题公式与真值表
阐述命题公式的构成，以 及如何利用真值表判断命 题公式的真假。24源自谓词逻辑基本概念和运算规则
概率课件初中数学PPT课件
2024/1/29
1
目
CONTENCT
录
2024/1/29
• 概率基本概念 • 古典概型 • 几何概型 • 条件概率与独立性 • 随机变量及其分布 • 数理逻辑初步知识
2
01
概率基本概念
2024/1/29
3
概率定义与性质
2024/1/29
概率定义
描述随机事件发生的可能性大小 的数值。
长度单位换算
1km=1000m, 1m=100cm, 1cm=10mm等
02
角度单位换算
1°=60′, 1′=60″等
01
03
体积单位换算
1m³=1000dm³, 1dm³=1000cm³等
2024/1/29
13
几何概型计算方法
直接法
通过直接计算图形的面积、长度 、角度或体积等度量值，进而求
九年级数学概率含义PPT优秀课件
6.一次有奖销售活动中，共发行奖券 1000张，凡购满100元商品者得奖券 一张，这次有奖销售设一等奖1名，奖 金500元，二等奖2名，奖金各200元， 三等奖10名，奖金各50元，四等奖100 名，奖金各10元. (1)求出奖金总额，并与95折销售相比， 说明哪一种销售方法向消费者让利较多；
(2)某人购买100元的商品，他中 一等奖的概率是多少？中二等奖 的概率是多少？中三等奖的概率 是多少？中四等奖的概率是多少？ (3)某人购买1000元的商品，他中 奖的概率是多少？
3.从装有3个红球和2个白球的袋中任取 3个，那么取到的“至少有1个是红球” 与“没有红球”的概率分别为 与 4.某产品出现次品的概率0.05，任意抽 取这种产品800件，那么大约有 件 是次品. 5.设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配
有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，设事 件A为“从这3把钥匙中任选2把，打 开甲、乙两把锁”，则P（A）＝
么 0<P(A)<1。
一副象棋，正面朝下，任 意取其中一只，取到“马” 的概率是多少？
[Ｐ（取到“马”）1= ]
8
问题：“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏， 游戏时甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布” 种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀 胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须 继续比赛．假定甲乙两人每次都是等可能地做这 三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势（即 不分胜负）的概率是多少？请先用树状图的方法 解决，再用重复实验的方法，计算平均多少次中 有一次会出现不分胜负的情况，比较以上两个结 果，看能否互相验证。
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所以P（同种手势）＝ 3 ＝ 1
9
3
从壹角、伍角、壹圆3枚硬币 中任取2枚，其面值和大于壹 圆，这个事件发生的概率是多 少？请画出树状图。
中考数学单元复习：《概率》复习课件
活动与实践：
做一做：
1、请将下列事件发生的概率标在图中：
（1）清晨，太阳从东方升起； （2）随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （3）自由转动下面的转盘（转盘被等分成6个扇形），指 针停在红色区域中。
2、 如图所示有10张卡片，分别写有0至9十个数字。 将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张.
3
6
2
2、举例说明第2节中，你是如何计算摸 到红球的概率的？
P (摸到红球）=
摸到红球可能出现的结果数 摸到一球可能出现的结果数
3、举例说明第3节中，你是如何计算 小猫最终停留在黑砖上的概率的？
P (停留在黑砖上）=
停留在黑砖上所有可能结果所组成的图形面积 停留在方砖上所有可能结果所组成的图形面积
一、利用概率判断游戏是否公平
• 1．游戏对双方公平是指双方获胜的概 率相等；游戏对双方不公平是指双方 获胜的概率不等．
• 2．必然事件发生的概率为1， 即P(必 然事件)=1，不可能事件发生的概率为 0，即P(不可能事件)=0；如果A为不确 定事件，则 0＜P(A)＜1．
• 3．可以利用列表法或画树状图求某个 事件发生的概率．
（3）你认为怎样修改规则，才对双方都公平？
议一议
2、在如图所示的长方形地板 ABCD中，D、F分别是AB、 CD的一个三等份点，E、G分 别是BC、DA的一个五等份点， 一只小猫在地板上自由自在的
3
5走来走去，则最终停留在四边 形DEFG内（阴影部分）的概 率有多大？
解：因为四边形DEFG的面积 = 长方形A BCD的面积 3 ， 5
0123456789
（1）P（抽到数字9）=_______； （2）P（抽到两位数）=______，
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第十五讲 概率刘书妹** 随机事件与概率基础盘点1.在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件. 在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件.在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也称为不确定事件. 必然事件和不可能事件统称为确定性事件.2.事件A 发生的概率P （A ）的取值范围是0≤P （A ）≤1，特别地，当A 为必然事件时，P （A ）=1；当A 为不可能事件时，P （A ）=0.3.一般地，如果在一次试验中有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率P(A)=m n. 4.利用列表格或画树状图，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.考点呈现考点1 事件的判断例1 （2015·沈阳）下列事件为必然事件的是（ ） A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B.明天会下雨C.抛出的篮球会下落D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数解析：由生活常识知A 、B 、D 三项为随机事件，C 项为必然事件，故选C. 考点2 简单的概率计算例2（2015·河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是（ ）A.21 B.31 C.51 D.61 解析：向上一面的点数共有6种等可能的结果，分别是1，2，3，4，5，6；与点数3相差2的结果有两种，分别是1，5；因此概率为26=13.故选B.评注：当随机事件只需一个步骤完成或只涉及一个因素时，可以直接列举出所有等可能的结果，从中找出某事件可能发生的结果数，再利用概率计算公式求解.考点3 几何概型概率的计算例3（2015·铁岭）一只蚂蚁在如图1所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（ ）A.13B.12C.34D.23解析：由正方形的中心对称性，知阴影部分的面积=正方形面积的12，所以蚂蚁停留在阴影部分的概率为12，故选B.评注：解此类题的一般思路为将面积进行转化，化不规则的面积为规则面积，再利用几何概型计算公式“()A P A 事件可能结果组成的图形面积所有可能结果组成的图形面积”进行计算.考点4 用列表法或画树状图计算概率例4（2015·玉林）现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃x （1≤x ≤13，且x 为奇数或偶数）．把牌洗匀后第一次抽一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．图1（1）求两次抽得相同花色的概率；（2）当甲选择x为奇数，乙选择x为偶数时，他们两次抽得数字和是奇数的可能性大小一样吗？请说明理由．（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑x）解析：（1）列表如下：红2 红3 黑x红2 红2，红2红2，红3红2，黑x红3 红3，红2红3，红3红3，黑x黑x 黑x，红2黑x，红3黑x，黑x共有9种等可能的结果，其中两次抽得相同花色的结果有5种，所以P（两次抽得相同花色）=59.（2）甲乙两次抽得数字和是奇数的可能性一样大．用列表法说明：甲：x为奇数红2 红3黑x红2偶数奇数奇数红3奇数偶数偶数黑x奇数偶数偶数乙：x为偶数红2红3黑x红2偶数奇数偶数红3奇数偶数奇数黑x偶数奇数偶数由上表，可得甲乙两次抽得数字和是奇数的可能性一样大，均为49．评注：此题为两步试验概率题，需先画树状图或列表格列举出所有等可能的结果数，再利用概率计算公式求解.例5（2015·黄冈）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”（用√表示）或“淘汰”（用×表示）的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级．（1）请用树状图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；（2）求选手A晋级的概率．解析：（1）画树状图如下：由树状图，可知选手A 一共可以获得8种等可能的结果．（2）由（1）可知，评委给出选手A 所有可能的结果共有8种，其中选手A“晋级”的结果有4种，故P （A 晋级）=48=12． 评注：此题为三步试验概率题，只能通过画树状图列举出所有等可能的结果数，再利用概率计算公式求解.考点5 概率与统计综合题例6（2015·阜新）为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图2所示.根据统计图所提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了 名学生，两幅统计图中的m= ，n= ； （2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读A 类图书的学生约有多少人；（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男l 女的概率是多少.解析：（1）这次调查共抽查的学生人数为42÷35%=120. m=120－42－18－12=48.18120×100%=15%，所以n=15. 故分别填120，48，15. （2）960×35%=336（人）.调查问卷你最喜欢阅读的图书类型是（ ） A.文学名著 B.名人传记 C.科学技术 D.其他 （注：每人只选一项）n %40%35%B A DC 人数图书类型m181242DCBA6040200图2（3）将2名男生分别记作“男1”“男2”，列表如下：男1 男2 女男1 （男1，男2）（男1，女）男2 （男2，男1）（男2，女）女（女，男1）（女，男2）共有6种等可能的结果，其中选送的2名参赛同学是1男1女的结果有4种：（男1，女）（男2，女）（女，男1）（女，男2），所以P（1男1女）=46=23.考点6 概率与代数、几何的综合例7（2015·巴彦淖尔）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y.（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=6x的图象上的概率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y＜6x的概率．解析：（1）列表如下：小兰小田1 2 3 41 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（2）由（1）知，点（x，y）共有16种等可能的结果，其中落在反比例函数y=6x的图象上的结果有（2，3），（3，2），共2种，所以P（落在反比例函数y=6x的图象上）=21=168.（3）满足y＜6x的结果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（3，1），（4，1），共8种，所以P（y＜6x）=81=162.误区点拨1.不识“或”字真面目例1有一个正六面体，6个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是 .错解：填13或13.剖析：错解不理解“或”字在此问题中的意义. 投掷这个正六面体一次，所有等可能发生的结果共有6种，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的结果有4种，因此概率为46=23.正解：填23.2.搞不清“放回”与“不放回”例2 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有数字1，2，3，4．小林从布袋中随机摸取两个乒乓球，求取得的两个乒乓球的数字之积为奇数的概率．错解：列表如下：1 2 3 4共有16种等可能的结果，其中两个乒乓球上的数字之积为奇数的结果有4种，所以P （数字之积为奇数）=416=14. 剖析：小林从布袋中随机摸取两个乒乓球相当于两步试验中的“不放回”问题，错解认为是“放回”问题，导致错误.正解：列表如下：1 2 3 4 1 （1，2）（1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3）（2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）共有12种等可能的结果，其中两个乒乓球上的数字之积为奇数的结果有2种，所以P （数字之积为奇数）=212=16． 跟踪训练1.（2015·龙岩）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A.63的值比8大B.购买一张彩票，中奖C.地球自转的同时也在绕日公转D.袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球2. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为13，则a 等于（ ）** B.2 C.3 D.43.（2015·株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a 和b ，那么点（a ，b ）在函数y=12x图象上的概率是（ ）A.12 B.13C.14D.16 4.（2015·湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）A ．49B ．13C ．16D ．195.（2015·荆门）在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球(记作为第一次传球)，则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ）A.12B.14C.38D.586.（2015·深圳）从1，2，3这三个数中，任意抽取两个不同．．数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 ．7.（2015·贵阳）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖，若直角三角1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 第7题图形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是．8.（2015·常州）甲、乙、丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．9. 随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家.某数学兴趣小组抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A：车价在40万元以上；B：车价在20～40万元；C：车价在20万元以下；D：暂时不购车）进行了统计，并将统计结果绘制成条形统计图和扇形统计图.请结合图中信息解答下列问题：（1）调查样本人数为__________，样本中B类人数百分比是__________，其所在扇形统计图中的圆心角度数为__________；（2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从这5个人中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．** 频率与概率基础盘点对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的规稳定性，这个固定数就是这个随机事件发生的概率. 因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.考点呈现考点1 频率与概率的关系例1（2015·巴中）下列说法正确的是（）A.“打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件B.“抛一枚硬币，正面朝上的概率为12”表示每抛两次就有一次正面朝上C.“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在16附近D.为了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查解析：A项中的事件为随机事件，该项错误；B项，“抛一枚硬币，正面朝上”是随机事件，不能得出确定性结论，该项错误；C项，由频率与概率的意义知该项正确；D项中的调查具有破坏性，不适合全面调查，该项错误.综上，选C.考点2 用频率估计概率第9题图例2 （2015·本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）**个 B.20个 C.25个 D.30个解析：由频率估计概率，知从盒子中摸到黄球的概率约为0.2，则盒子中红球的个数为440.2=16（个）.故选A.评注：根据频率与概率的关系，我们可以用试验次数较大时的频率估计概率，从而借助概率计算公式估计物体的数目.例3（2015·扬州）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：抽取的体检表数（n）50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000色盲患者的频数（m） 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138色盲患者的频率（m/n）** ** ** ** ** ** ** ** ** **根据上表，估计在男性中男性患色盲的概率为 .（结果精确到0.01）解析：观察表格，知随着试验次数的增加，频率越来越稳定于0.07，由此可估计男性患色盲的概率约为0.07.评注：对于生活中的随机事件，或一些较为复杂的随机事件，无法用理论方法计算概率时，一般通过大量的重复试验或模拟试验，利用频率估计概率.误区点拨例在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球若干个，（1）班做摸球试验，每位同学将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.下表是试验中的一组统计数据：摸球的次数（n）100 200 300 500 800 1000 3000摸到白球的次数（m）65 124 178 302 481 599 1803摸到白球的频率（mn）** ** ** ** ** ** **试估计摸到白球的概率是多少.错解：（0.65+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601）÷7≈0.61，所以估计摸到白球的概率约是0.61.剖析：观察表中数据可以发现，随着摸球次数的增加，摸到白球的频率越来越接近0.6，所以可以估计摸到白球的概率约是0.6. 错解对频率、概率的关系理解不透，误认为平均数更准确，导致错误.正解：0.6.跟踪训练1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2.下列说法正确的是（）A.“明天降雨的可能性是80%”表示明天有80%的时间降雨B.“抛一枚硬币正面朝上的可能性是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上C.“彩票中奖的可能性是1%”表示买100张彩票一定会中奖D.“抛一枚正方体骰子，朝上的数为奇数的可能性大小是0.5”，表示如果这骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝上的数为奇数3. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽到的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是44.（2015·兰州）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数100100050001000050000100000摸出黑球次数4648725065008 2499650007根据列表，可以估计出n的值是．5.（2015·广州）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少.第3题图参考答案** 随机事件与概率1. B2. A3. D4. D5. B6.137.158.（1）13．（2）共有6种等可能的结果，分别为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，其中甲比乙先出场的结果有3种，所以P(甲比乙先出场)=36=12.9. 解：（1）50，20%，72°（2）略.（3）列表如下（①、②表示甲科室人员，1、2、3表示乙科室人员，“√”表示来自同一科室，“○”表示来自不同科室）：①② 1 2 3①√○○○②√○○○1 ○○√√2 ○○√√3 ○○√√共有20种等可能的结果，其中来自不同科室的结果有12种，所以P（2人来自不同科室）=1220=35．** 频率与概率1. D2. D3. D4. 105.（1）14.（2）12.（3）16．。