复 数 的 运 算 法 则
复数的三角形式和运算
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与代数形式转换方法
三角形式转换为代数形式
根据三角形式的定义,将$r(costheta + isintheta)$展开得到$rcostheta + irsintheta$。
将实部和虚部分别对应到代数形式的$a$和$b$,即得到代数形式$a + bi$。
03 复数运算规则
加减法运算规则
同类项合并
在复数的加减运算中,实部与实部相加、虚部与行化简,得到最简复数表达式。
乘法运算规则
分配律
复数乘法遵循分配律,即先将一个复数与另一个复数的实部和虚部分别相乘,再将所得的积相加。
乘法公式
根据复数乘法公式,可将两个复数的乘积表示为实部和虚部的形式。
除法运算规则
共轭复数
01
在复数除法中,为了消去分母中的虚部,需要引入共轭复数的
表示其振幅和相位。
阻抗和导纳
在正弦交流电路中,阻抗和导纳是 描述电路元件对交流电信号响应的 重要参数,它们可以用复数表示。
复数运算
通过复数的加、减、乘、除等运算, 可以方便地分析正弦交流电路中的 电压、电流和功率等问题。
阻抗匹配问题
阻抗匹配概念
阻抗匹配是指使负载阻抗与源阻抗共轭相等,以实现最大功率传 输或最小反射功率的电路设计方法。
在复数 $z = a + bi$ 中,$a$ 称为复数的实部,$b$ 称为复数的虚部。
复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
复平面表示法
复平面
以实轴和虚轴为坐标轴的平面称为复 平面,其中实轴上的点表示实数,虚 轴上的点表示纯虚数。
复数的几何意义
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应的 点为 $(a, b)$,该点到原点的距离表 示复数的模长,与正实轴的夹角表示 复数的辐角。
复数的运算
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回顾总结
1.复数的四则运算; 2.复数运算的乘方形式; 3.共轭复数的相关运算性质; 4.复数运算中的常用结论。
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复数的定义与四则运算法则
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复数的定义与四则运算法则复数是数学中的一种特殊数形式,由实部和虚部组成。
实部通常用实数表示,而虚部通常以虚数单位 i 表示。
复数的一般表示形式为 a + bi,其中 a 表示实部,b 表示虚部。
一、复数的定义复数的定义是通过引入虚数单位 i 而获得的。
虚数单位 i 的定义是i^2 = -1。
根据这个定义,我们可以得出两个重要的结论:i 的平方等于-1,而 -1 的平方根是 i。
二、虚数与实数虚数是指虚部不为零的复数。
当虚部 b 不为零时,复数 a + bi 称为虚数。
实部为零,即虚部 b 不为零时,复数 a + bi 称为纯虚数。
与实数不同的是,虚数和纯虚数在实轴上没有对应的点。
三、四则运算法则1. 加法法则:复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di,它们的和为 (a + c) + (b + d)i。
2. 减法法则:复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di,它们的差为 (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法法则:复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di,它们的乘积为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法法则:复数的除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di(其中 c + di 不等于 0),它们的商为 [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
四、共轭复数对于复数 a + bi,其中 a 表示实部,b 表示虚部。
那么复数 a - bi 称为其共轭复数。
共轭复数的一个重要性质是,两个复数的乘积的虚部为零。
五、复数的绝对值复数 a + bi 的绝对值等于它的模长,记作 |a + bi|,定义为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)。
复数的模长是一个非负实数。
复数的指数形式运算法则
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复数的指数形式运算法则
复数的指数形式运算法则是学习复数运算的重要知识点之一。
在学习复数时,不仅需要掌握复数的基本概念和表示形式,还需要了解复数的四则运算方法。
其中,复数的指数形式运算法则是比较基础和重要的内容,下面将对其进行详细介绍。
一、复数的指数形式表示法
复数的指数形式也称为极形式,通常表示为z=r(cosθ+isinθ),其中r为复数的模,θ为其幅角。
二、复数的乘法运算法则
1. 两个复数相乘,其模等于两个复数的模的积,幅角等于两个复数的幅角之和。
2. 复数相乘时,需注意幂次相加,即
(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)
三、复数的除法运算法则
1. 单项除法的规则:z1/z2=r1/r2(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))
2. 复数除以自身的规则:z1/z1=1
四、复数的加减运算法则
1. 两个复数加减法需要将其实部和虚部分别相加减。
2. 复数的和等于实部的和加上虚部的和,差为实部之差加上虚部之差。
五、总结
1. 复数的指数形式运算包括乘法、除法和加减法。
2. 复数乘法运算法则为两个复数的模相乘,幅角相加。
3. 复数除法运算法则分为单项除法和复数除以自身。
4. 复数加减法运算法则需要将实部和虚部分别相加减。
5. 熟练掌握复数的指数形式运算法则对于学习高等数学和物理等学科
具有重要的帮助作用。
复数的运算
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6 7 8
i = __ , i = __ , i = __ , i = __
5
你能发现规律吗?有怎样的规律? 你能发现规律吗?有怎样的规律?
i
4n
=1 ,
i
4n +1
=i ,
i
4n +2
= −1
, i
4n +3
= −i
铜川同官高级中学
高一备课组
Tongchuan Tongguangaojizhongxue
|z1-z2|表示什么? 表示什么?
表示复平面上两点Z 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
高一备课组
o
x
铜川同官高级中学
Tongchuan Tongguangaojizhongxue
点化. 点化.润泽每一个生命
练习:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意 练习:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意 A, 义.
z1-z2=(a-c)+(b-d)i. =(a-c)+(b即:两个复数相加(减)就是实部与实部, 两个复数相加( 就是实部与实部, 虚部与虚部分别相加(减). 虚部与虚部分别相加(
高一备课组 铜川同官高级中学 Tongchuan Tongguangaojizhongxue
y
点化. 点化.润泽每一个生命
点化. 点化.润泽每一个生命
4.复数的除法法则 4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式, 先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数, 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即 写成代数形式(分母实数化).即 ).
(a + bi )(c − di ) (ac + bd ) + (bc − ad )i = = (c + di )(c − di ) c2 + d 2
复数的乘除法
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ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化:
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则:
①设复数a+bi (a,b∈R),除以c+di(c,d∈R),其商 为x+yi (x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组,得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法 给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解: (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法:先把两个复数相除写成分数形式,然后把分子 与分母都乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”,最 后再化简,这种方法叫做分母实数化法 。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
复数的四则运算

复数乘法运算法则的应用 复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将 i2 换成 -1,并将实部、虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍 适用于复数,如(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi,(a+bi)3= a3+3a2bi+3ab2i2+b3i3=a3-3ab2+(3a2b-b3)i.
复数的乘法运算
(1)(1-i)-12+ 23i(1+i)=(
)
A.1+ 3i
B.-1+ 3i
C. 3+i
D.- 3+i
(2)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,
则(a+bi)2=( )
A.5-4i
B.5+4i
C.3-4i
D.3+4i
(3)把复数 z 的共轭复数记作-z ,已知(1+2i) -z =4+3i,求 z.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数.(√ ) (2)若复数 z1,z2 满足 z1-z2>0,则 z1>z2.( × ) (3)在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加 得虚部.(√ ) (4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的z2+z3)可能不成 立.(× )
复数的除法运算
计算:
(1)(1+2i)22++i3(1-i);
(1-4i)(1+i)+2+4i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:选 A.复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+ 3)i=9+i,其对应的点为(9,1),在第一象限.
复数加、减法的几何意义
已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O,A,C 对应的复数分别为 0,3+2i,-2+4i. (1)求A→O表示的复数; (2)求C→A表示的复数.
复数四则运算
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若 z1, z2 是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2) z1 • z2 是一个怎样的数?
关于共轭复数的运算性质
z1 , z2 ∈C , 则
z z z z
得 a 1,b 3
z 1 3i
综上: Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
(b
4b a2 b2
)i
z 4R
z
b(1
a2
4
b2
)
0
b 0或a2 b2 4 ①
| z 2 | 2得| a bi 2 | 2
(a 2)2 b2 2 ②
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0 ∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将 a2 b2 4 代入② (a 2) Nhomakorabea 4 a2 4, 得 a 1
22
22
1
小结: 2 , ( )2 ,
3 1, ( )3 1.
例4:已知z (4 3i)(1 7i) ,求 z 2 i
解:z (4 3i)(1 7i) 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i|
5 8 10 6 .
3
3
例5 计算 (1 3i)3 (1 i)6
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a bi 及复数 c di对应,则 OZ1, (a,b)
复数的四则运算
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3.(2011·浙江高考)若复数z=1+i,i为虚数单位,则
(1+z)·z=
()
A.1+3i
B.3+3i
C.3-i
D.3
解析:∵(1+z)·z=z+z2=1+i+(1+i)2=1+i+2i
=1+3i.
答案:A
4.(2012·山东高考)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数
单位),则z为
()
(2)运算律:
①对任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1·z2= z2·z1 (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) z1(z2+z3)= z1z2+z1z3
②复数的乘方:任意复数z,z1,z2和正整数m,n,有 zmzn= zm+n ,(zm)n= zmn ,(z1z2)n= z1n z2n .
2.解决共轭复数问题时,除用共轭复数定义解题外, 也常用下列结论简化解题过程.
①z·z =|z|2=| z |2; ②z∈R⇔ z =z; ③z≠0,z 为纯虚数⇔ z =-z.
计算.
[精解详析] (1)(1+i)(1-i)+(-1+i) =1-i2+(-1+i) =2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(-2+11i+5)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i.
(3)原式=-12++23i i+i5=-1+ 2+2i3i1- 1-2i2i+(i2)2·i =4+5 7i+i=45+152i. (4)3-44i+23+i 2i2+(11- +ii)2 =3- 4+4i3i·8i+-2i2i =844++33ii-1 =8-1 =7.
高二数学复数的四则运算1

复数的运算
;美国夏校 https:///summer-school
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上下功夫。 口福和眼福俱饱矣,耳福呢? 无一座城市致力于“音容”,无一处居所以“寂静”命名。 我们几乎满足了肉体所有部位,唯独冷遇了耳朵。 甚至连冷遇都不算,是折磨,是羞辱。 做一只现代耳朵真的太不幸了,古人枉造了“悦耳”一词,实在对不住,我们更多的是“虐耳”。 有个说法叫“花开的声音”,一直,我当作一个比喻和诗意幻觉,直到遇一画家,她说从前在老家,中国最东北的荒野,夏天暴雨后,她去坡上挖野菜,总能听见苕树梅绽放的声音,四下里噼啪响 “苕树梅”,我家旁的园子里就有,红、粉、白,水汪汪、亮盈盈,一盏盏,像玻璃纸剪出的小太 阳。我深信她没听错,那不是幻听和诗心的矫造,我深信那片野地的静、那个年代的静,还有少女耳膜的清澈她有聆听物语的天赋,她有幅画,《你能让满山花开我就来》,那绝对是一种通灵境界我深信,一个野菜喂大的孩子,大自然向她敞开得就多。 我们听不见,或难以置信,是因为失聪日 久,被磨出了茧子。 是的,你必须承认,世界已把寂静 这大自然的“原配”,给弄丢了。 是的,你必须承认,耳朵 失去了最伟大的爱情。 我听不见花开的声音。 我只听见耳朵的惨叫。 ? 让事物恢复它的本来面目 ? 林间松韵,石上泉声,静里听来,识天地自然鸣佩; 草际烟光,水心云影, 闲中观去,见乾坤最上文章。 (明)洪应明《菜根谭》 1 我越来越笃信两点: 好东西都是原配的,好东西应是免费的。 近爱翻古人书,如《水经注》《帝京景物略》《夜航船》《闲情偶寄》之类,本以为年龄之故,后醒悟:我太想知道原先的世界何等模样,太急于在古代攀几位熟人,可随 时去串串门,偷得浮生半日闲,来一回精神私奔总之,我想看看这世间变化有多大,看看不一样的人生、不一样的活法。 还有,我迷上了古画,尤其《清明上河图》《南都繁会图》《皇都积胜图》这类市井风情长卷。我看的是画里的人生,我会对一个小人物凝视半天:夹袱疾行的汉子,挑帘张 望的妇人,酒旗下瞌睡的小二,拱桥上抱拳作揖的商贾我会猜其所有信息,年龄、职业、财路、性格,猜他为何出现在这里,其生存路线图,其梦想、快乐和烦忧我甚至想,以他的身份,今天会是什么境遇。比如一个挑担的游贩,我忍不住想,这个进城务工人员,会不会被勒令办暂住?何以躲 避城管的驱赶、地痞的纠缠、黑社会的保护费?他租得起房吗?娶得上媳妇吗?能供孩子上学吗? 谁还记得从前的世界?谁还记得生活本来的样子? 天本是蓝的,山本是绿的,河本是涌的,水本是清的,庙本是有佛的,菩萨本是热心肠的,人本是知羞的,猪本是自然长大的,房子本是连地皮 的,娃本是想生就生的,燕雀本是登堂入室的,承诺本是值千金的,商铺本是童叟无欺的 这些自然元素、风物资源,这些生活原理、道德逻辑,皆为世间“原配”,乃上天早早给人设计好、配置好了的作为祖业和古训,作为安身立命之本。就像中医里的方子,怎么兑、如何煎,早就酝酿好、交 代齐了。 遵循即获益。 古人还有个伟大共识:露天的事物、街面的东西,皆理所当然、天经地义地被视为阳光下的公产,没人会瞎琢磨、动邪念。比如路是免费的,桥是免费的,饮水是免费的,进城是免费的,入厕是免费的,烧香许愿是免费的,拴马歇轿是免费的,击鼓喊冤是免费的,询人 问路是免费的,山色湖光、游山玩水是免费的 东西越必需、越珍贵,越需要免费,越值得免费。 渐渐,你会发现,无论山岳江河还是市井俗习,无论风物万象还是生活美学,只要不去干预和涂改,只要保存和延续到今天,就是有价值、受器重的,就成了珍贵的物质或非物质文化遗产。这说明 了什么呢? 只能实一点:人类对自然犯了错,对生活犯了错。 我们用50年推翻了5000年。 2 世界尚存多少原配?人间还剩几许古意? 我们改变了山岳的形貌,改变了河流的习性,改变了季节的脾气,改变了几千年常识和老理我们拼命往地里灌农药化肥,往饲料和食物里投添加剂,还有什么 “转基因”“太空种子”“辐照食品” 我们把人之外的东西吃了个遍,把大地翻了个底朝天,盗出最贵重的珠宝,然后埋下垃圾。 像窃贼,像匪徒,我们扑向所有的乳房,把她们吸瘪、抽干、榨尽在贪欲面前,地球已毫无秘密,藏不住任何东西。 我们消灭了“原配”和母体,颠覆了古老与经 典。我们在混乱的逻辑中挣扎,以更大的亏损去生产,以更大的消耗去收获,以更大的破坏去修葺 这是个“二奶”的时代。 我们在“二奶”的基础上迎娶繁荣,畅想未来。 天地的质与本,上苍配给生命的天然元素和神圣契约,被消解了。我们离造物主颁发的秩序和法则,越来越远。 自从发 明空调暖气,我们连春夏秋冬都不想要了。有中医告诫我:夏天你一定要出汗,冬天你一定要知冷。 没错。身体是有原始记忆和密码的,它和大自然有约定百万年前就约好了。它耐心守候寒暑轮回、时序更替,若对方迟迟未临如同约好了人,苦苦翘首却不见其影,那悲愤可想而知。日子久了, 它 即紊乱即自暴自弃,以生病惩罚人的毁约,报复世界的失信。 所以,现代人身体多为病体。 没有山,只剩下矿山。没有河,只剩下河床。 守着一点点“原配”的残羹,人搬个板凳,开始吆三喝五地收费。封山,封湖,封岛,封户,封寨,封庙,封城那么多路障,那么多门票,若李白、张 岱、徐霞客们高寿至今,要携多少银两出门?多少人惦记他的盘缠?他哪里还会吟诗,只骂娘了。 我一直以为,山水门票,是人类发明的最丑陋和最无耻的东西。当一张黄山票卖300元时,那株傲立风霜的迎客松,即成了老鸨一样的摇钱树。 人,诗意地栖息在大地上。这诗意,一定和“免费” 有关。 3 小时候,我痴迷地图册。最讨厌的是行政页,最热爱的是自然版:褐色乃山,绿色为林,蓝色喻水,色度象征山水之高低深浅我还莫名地想,“爱祖国”“爱世界”“爱人民”,即因为有这些好看的颜色吧?有了五颜六色,江山才叫美,生活才值得过,世界才让人爱啊! 所以,我一 面对地图,童心里就涨起“爱国主义”潮水,用不着教育。 那会儿的大自然,基本还算原配。 那天,网上读到个帖子,《请饶了故乡,不要种速生林》。 “家乡的木兰湖畔,正有人大规模毁山砍树,准备种速生林本人致电国家林业局、环保总局,接听者称不在管辖之列。致电国家信访办,永 远是忙音。致电《焦点访谈》,无人理睬本人感到空前绝望。故乡处生态脆弱的丘陵地带,河流短小急促,水土流失严重,而种速生林,生长周期短,又需大量水,易造成土壤板结,形成生态灾难。革命时期故乡14万烈士为新中国捐躯,恳请看在牺牲重大和生态脆弱的份上,饶了故乡,不要种 速生林,尤其别毁坏天然林 ” 读这篇帖子,内心几度哽咽。吾学浅薄,无力判断其科学逻辑,但经验告诉我:“原配”一定优于“二奶”!大自然选定的天然林,一定优于人工发明的速生林! 我向这位孤独的陌生人致敬,向遥远山冈上的那份呐喊致敬。 它捍卫的是古老,是祖业。 4 卢梭说: “事物之所以美好并符合秩序,乃其事物本质使然,与人的约定无关。” 是的,人只能发现世界的美好并接受赐予,自己并不能创造世界的美好。 人其实很渺小,很无能。他不是地球主人,和草木虫兽一样,仅仅是孩子,是被抚养者。不知为何,他老想革命,想主持天下,想做皇帝。 从剥削 万物的角度看,人确实是在地球上建了个奴隶王国,且是最坏的那个朝代。若把所有物种都请上一个台面,人肯定是最道德败坏的那一席,就像我们最痛恨的人群中的败类。 发明有两种:一是适度发明,一是过度发明。 人,常常自殁于过度的创举。托马斯·米基利乃美国化学家,凭加铅汽油 和氯氟烃两项发明,他被封为“地球历史上对大气影响最大的个体生物”和“历史上杀戮最多的个体”。后来,他染上了脊髓灰质炎和铅中毒并瘫痪,即便如此,他也不甘寂寞,设计了一套绳索滑轮以便于自己起床。55岁那年,不幸发生了,他突然被绳索缠住,窒息身亡。 纵其一生,这个聪明 人亲手发明了自己的死。 我不知道,对人类来说,这是个怎样的寓言? 真想,真想对马达轰鸣的世界大叫一声:停! 让万物归位,让生活恢复它的本来面目吧 天是蓝的,山是绿的,河是流的,水是清的 我衷心怀念大自然的原配,人间游戏的原配。 末了,请容我爆一句粗口:打倒二奶! ? 怎样才算一个好的时代 一死囚在临刑前哭喊对不起家人,他参与了一桩灭门杀人案。一个人在医院偷患者钱包,因母病重急需钱。一个官员贪污几千万,为了让深爱的女人锦衣玉食。一父亲为了女儿上大学,设局顶替了别人家的女儿。一老板拖欠民工的血汗钱,称别人欠自己的也没还。一妇女 从产房里将婴儿偷走,理由是太喜欢孩子却不能生育 一个坏的时代,在人性、伦理、规则、逻辑上,默认或怂恿如下做法 宠爱自己的孩子却漠视别人的孩子,孝敬自己的父母却欺凌别人的父母,善待自己的兄弟却盘剥别人的兄弟,荫护自己的眷属却虐待别人的眷属,爱惜自己的姐妹却侮辱别 人的姐妹,扩充自己的钱包却压榨别人的钱包,造福自己的家乡却掠夺别人的家乡 天使与魔鬼,两种人格,两个身份,两套本能。 而这,每天都发生在贪官、恶奴、街霸、骗子、奸商、盗贼身上。偶尔,也会若无其事地发生在普通人身上。 一个好的时代,应最大限度地消解以上荒谬和悖论。 一个好的时代,会让天下孩子都遇到呵护,所有父母都得到孝敬;会以政府的担当替代百姓的焦虑,会以政府的信用激励民间的诚实;会以完善的制度保障游戏的公正、分配的合理、权力的谦卑;会让富人失去骄横、学会仁爱,会让弱者得到帮助却不失尊严;会让每个做梦的人都有光明之感, 会让美德和纯真不被嘲笑与辜负;会让命运不亏待那些劳苦,会像麦田那样承诺耕耘与收成、汗水和果实成正 比 一个好的时代,个人的幸福不以别人的痛苦为肥料,个人的满足不以别人的忧愁为成本,个人的衣冠楚楚不以别人的破衫褴褛为背 景甚至,人类“以人为本”的时候不再虐待别 的物种,壮大人间的时候不再奴役大自然。 一个好的时代,空气中最大成分是氧和爱,大街上最流行的风景是笑容,是问候、礼让、牵手、携扶,非怨恨、牢骚、争抢和骂骂咧咧。 一个好的时代,应尽快到来!应尽快变成共识和承诺,变成效率和实践。应只争朝夕地去呼唤,夜以继日地去兑 现。 一个好的时代,不会把它的任务让渡给下个时代,它会对公民此生的幸福负责。
复数的乘除法总结
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x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1,
如果不是,你能求出其他的解吗?
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.)
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
2 2i i i 2 2 i 1 3i
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算,满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商,
a+bi
记作 c+di
例1、复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i,求z 。
1.知识
(1)复数的乘法; (2)复数的除法; ( 3)共轭复数。 通过本节课的学习,你有哪些收获?
归 纳 小 结
2.思想方新
1 3 1 3 i, =- - i 练习2 设 - 2 2 2 2
2 2 3
( 计算( 1 ) ( , 2) , 3 ) , (4) 。
1 i i. 1 i
1 i 8 ) . 练习 计算( 1 i 8 2 1 i ( 1 i ) 8 解 ( ) 1 i ( (1 i ) 1 - i)
2i 8 ( ) 2
i 1
8
2009浙江(理)
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位),则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
a b2
2 2
2020学年新教材高中数学 第七章 复数 7.2.2 复数的乘、除运算课件 新人教A版必修第二册
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2.复数的除法运算的实质 (1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程,这与实数的除法 有所不同. (2)复数除法的法则形式复杂,难于记忆.所以有关复数的除法 运算,只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”,然后 结果再写成一个复数 a+bi(a,b∈R)的形式即可.
【解析】 (1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i;
(2)-12+
3
2
i
23+21i(1+i)
=-
43-14i+34i+
43i2(1+i)
=-
43+12i-
43(1+i)Biblioteka =-23+12i(1+i)
=- 23- 23i+12i-12
=-1+2 3+1-2 3i;
(3)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i. (4)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =9-12i+33i-44i2+2i=53+23i. 根据复数乘法的运算法则进行求解计算.
解析:11+-3ii=11+-3ii11++ii=-1+2i,故选 B. 答案:B
3.已知复数 z=1-3+3ii,-z 是 z 的共轭复数,则-z 的模等于(
)
A.4 B.2
C.1
1 D.4
解析:|-z |=|z|=1-3+3ii=|1| -3+3ii||=22=1. 答案:C
4.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则 x=________.
解析:(x+i)i=-1+xi=-1+2i,由复数相等的定义知 x=2. 答案:2
复数四则运算的公式

复数四则运算的公式
复数四则运算公式是指对两个复数进行加、减、乘、除的运算。
复数是由实数和虚数构成的数,其中虚数单位i满足i²=-1。
加法公式:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,即实部相加,虚部相加。
例如,(2+3i)+(4+5i)=(2+4)+(3+5)i=6+8i。
减法公式:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,即实部相减,虚部相减。
例如,(2+3i)-(4+5i)=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。
乘法公式:(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,即实部相乘减虚部相乘。
例如,(2+3i)×(4+5i)=(2×4-3×5)+(2×5+3×4)i=-7+22i。
除法公式:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i,即分子分母同乘分母的共轭复数,再化简。
例如,(2+3i)/(4+5i)=((2×4+3×5)/(4²+5²))+((3×4-2×5)/(4²+5²))i=23/41-2/41i。
复数四则运算公式是复数运算的基础,掌握了这些公式,就能够进行复数的加减乘除运算。
在实际应用中,复数广泛应用于电路分析、信号处理、量子力学等领域。
复数的运算(2)最新版
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数轴上的点) 表—解示—方坐—程标x—2平=—-面1 —上—的点— 虚数
2. 对 虚数单位i 的规定 ① i2=-1; ② i可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运算律不变.
3. 根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为 a+bi(a、bR)的形式. 3(2+i)= 6+3i ; (3-i)i= 1+3i ;i = 0+i ;-5= -5+0i ; 0= 0+0i ;2-i= 2+(-1)i .
z=a+bi
•Z
用来表示复数的直角坐标平面
其中, x轴 叫实轴,
(a,b)
y轴除去原点 叫虚轴
O
x
注意:虚轴不包含原点
复数的几何意义 复数集C与 复平面上的点集是一一对应的.
5. 口答P1795、6、7 6. 共轭复数 实部相同,虚部相反的两个复数
复数z=a+bi的共轭复数记为 zabi 口答P1798、9
复 数 的 概 念
第一课
基础知识
1. 数的发展 计数的需要 自然数 (正整数和零) —表示—解相方—反程—意x—+义3—=的1—量负数
—测量—解、—方分—程配—3中x—的=5—等分—分数(分数集 有理数集循环小数集)
—解度—方量—程—x2=—2 无理数(实数集 小数集
_循__环_小__数____ 不__循__环__小__数__
4 3
、y=
3 2
3. 全体实数集与 数轴上的点集 形成一一对应; 复数z=a+bi与有序实数对(a,b)形成 一一对应 ;
有序实数对(a,b)与 直角坐标平面上的点形成一一对应.
因此,复数z=a+bi可以用 坐标平面上的点 表示.
-高中数学 3.2复数的四则运算课件 苏教版选修2-2
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z1 z 2 = z 2 z 1 交换律 ( z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3 ) 结合律 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)= z1z2+z1z3
(2)在复数范围内,正整数指数幂的运算律仍然成立,即对于
m+n 任意复数z,z1,z2和正整数m,n,有zmzn= z , (zm)n =
解 (1)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]
=5i-(4+i)=-4+4i. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i =(a-2a)+[b-(-3b)-3]i =-a+(4b-3)i.
题型二 复数的乘除运算
【例2】 计算下列各题: 1+i7 1-i7 3-4i2+2i3 (1) + - ; 1-i 1+i 4+3i
(3)法一
(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+
(-2 008+2 009i)+(2 009-2 010i) =[(1-2)+(3-4)+…+(2 007-2 008)+2 009]+[(-2 +3)+(-4+5)+…+(-2 008+2 009)-2 010]i =(-1 004+2 009)+(1 004-2 010)i=1 005-1 006i.
2 4 1
1 = -2+
3 34 i +(-8+8 3i) 2
=1-8+8 3i=-7+8 3i.
对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外, 对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高,计算 过程就可以简化,达到快速简捷出错少的效果.比如下列 结果,要记住: 1+i 1-i 1 ① i =-i;② =i;③ =-i;④a+bi=i(b-ai). 1-i 1+i
5.复数的除法法则 给出两个复数a+bi,c+di(c+di≠0),将满足等式 (c+di) (x+yi)=a+bi(c+di≠0) 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 除以 c a+bi +di所得的 商 ,记作 c+di 或者 (a+bi)÷(c+di) .
复数代数形式的加减运算及其几何意义 课件

1.复数的加法法则 (1)设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么 (a+bi)+(c+di)=_(_a_+_c_)_+_(_b_+_d_)_i_._
(2)复数加法的运算律 对任意z1,z2,z3∈C,z1+z2=_z_2_+_z_1 ,(z1+z2)+z3=_z_1+_(_z_2_+_z_3_). (3)复数加法的几何意义 复数的加法可以按照向量的_加__法__来进行.
2.方法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi
+(1-3i) =5-2i ,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.
方法二:因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
3.设z=x+yi(x,y∈R),则|z|= x2 y又2,|z|+z=1+3i,所以
1 sin2 1 cos2
3 2(sin cos) 3 2 2sin( )
4 32 2.
1.对复数加、减法的理解 (1)复数的加、减法法则是在复数的代数形式下进行的; (2)复数的加、减法运算结果仍为复数; (3)实数的移项法则在复数中仍然成立.
2.对复数加、减法几何意义的理解 (1)复数的加、减运算可以通过向量的加、减运算进行;反之, 向量的加、减运算也可以通过复数的加、减运算进行; (2)利用复数加、减法的几何意义可以直观地解决复数问题.
【解析】1.因为|z-z0|= 所2,以复数z所对应的点Z在以C(2,2)
复数的加减法
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∴满足|Z+ 2- 2i |≤1 所对应的点Z,
组成以C(- 2, 2)点为圆心,以r为半
x
径的圆的内部(如图), |Z|就是圆
C及其内部各点到圆点的距离,使|Z|取得最大值与最小值
的点就是OC与圆C的两个交点。
直线OC的方程是y=-x,圆C的方程是
(x+ 2)²+(y+ 2)² =1 18
二、复数加法与减法运算的几何意义
同理可证: Z1-=Z2 -Z1 Z2 .
7
二、复数加法与减法运算的几何意义
1、复数加法的运算的几何意义
设:oz, 1
o分#43;di
,
8
二、复数加法与减法运算的几何意义
(1) o,z 不oz共线
1
2
y
Z
Z2
Z1
S
0
QP
R
x
ZZ1S~= Z2OQ , 且 Z1 PRS 是矩形,因此
3
一、复数加法与减法的运算法则
2、复数减法的运算法则 复数减法规定是加法的逆运算 (a+bi )-(c+di) = x+yi ,
(c+di )+(x+yi) = a+bi ,
由复数相等定义,有 c+x=a , d+y=b
由此,x=a-c , y=b-d ∴ (a+bi )-(c+di) = (a-c) + (b-d)i
14
二、复数加法与减法运算的几何意义
y
B
0
A
C
x
(3)
如图(3),在 OBAC中, =OC =BA -OA OB
∴ C对O 应的复数是
复数的运算和复数的模

一.复数的模
复平面上复数表示的点到原点 的距离。而实数的绝对值是数
y
Z(a,b)
轴上的点到原点的距离,所以
复数的模是实数绝对值概念的 o
x
扩充。|z|=|OZ|=|OZ |
对复数的模有:|z|=|a+bi|= a2 b2 ≥0;
= | z a | =1.
| z || a z |
评析:运用复数模的性质计算,能简捷.
(2)中由已知条件|z|=1,巧妙用了z· z
代换1。
例题
例5.已知Z是复数, z 1 1 , z
求证: 1 5 | z | 1 5
2
2
例题
例5.已知Z是复数, z 1
z
1,求证: 1
2
5 | z | 1 5 2
=2(z1 z1 +z2 z2 )=2(|z1|2+|z2|2)
(2)∵|zk|=r,∴
1 zk
zk r2
∴原式=
| z1 z2 1
zn |
r 2 | z1 z2 zn |
= r2
z1 z2 z1 z2
zn zn =r2.
例10.若Z为虚数,且|Z|=1,求证:z 1
是纯虚数.
z 1
例11:已知|Z|=1,求|Z2-Z+1|的最大值和最 小值.
例12.已知a,b∈R,且|a|≠|b|, |Z|=1
u a bz b az
,求证:|u|=1
例13.设z为虚数,求 z2 4 为实数的充要条件 z
解:若z2 4 为实数,则z2 4 ( z2 4)
高中数学3

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
=(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i]
=[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i,
又∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),
(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3),∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
这就是复数加法的几何意义.
归纳总结1.因为复数具有数与形的双重性,因此复数加法也应从
数与形两个方面来领会.代数形式上,复数加法类似于多项式加法
的合并同类项;几何形式上,复数加法类似于向量加法.
2.两个复数的和是一个确定的复数.
【做一做 2】 向量1 对应的复数是 5 − 4i, 向量2
对应的复数是 − 5 + 4i, 则1 + 2 对应的复数是(
(2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.
(3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行加、减法运算.
拓展:复数加法运算律的证明.
设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,其中a1,b1,a2,b2,a3,b3∈R.
交换律:z1+z2=z2+z1.
证明:∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,
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第三章:MATLAB的基础知识(基本符号,数据类型,运算符,复数运算,三角函数运算)
在这一部分将会介绍基本组成部分,数值,符号,函数,等等
MATLAB命令的组成
MATLAB语言是基于最为流行的C++语言,因此语法特征与C++语言十分接近,更加符合科技人员对数学表达式的书写格式,而且可移植性好,可拓展性好。
一.基本符号:
指令行头首的是指令输入提示符,是自动生成的,也可以称为运算提示符,表示MATLAB处于准备就绪状态,如在提示符之后输入一条命令或者一段程序之后按下ENTER键,MATLAB就会给出相应的结果,并会将结果保存在工作区窗口
注意:在中文状态下输入的括号和标点不被认为是命令的一部分,所以在输入命令的时候一定要在英文状态下进行。
以下介绍命令输入过程之中常见的几种错误:
(1)输入的括号为中文格式:
(2)函数使用格式错误:
(3)缺少步骤,未定义变量
正确的格式:
二.功能符号:
除了必须的符号外,,为了解决输入命令太过于繁琐复杂的问题,
采取很多符号;
左箭头:
1.分号:
一般情况下,在MATLAB命令行之中输入命令,系统会随机根据指令给出计算结果,
而如果不想让MATLAB每次都显示运算结果,只需要在运算式最后加上分号;
2.续行号
由于命令过长,或者出于某种需要,输入指令必须要多行书写,需要使用特殊符号”…“来处理,MATLAB用三个或者三个以上的连续黑点表示”续行“,即下一行是上一行的继续。
3.插入变量:
在需要解决的问题比较复杂的情况下,直接输入会比较麻烦,我们可以引入变量,赋予变量名称和数值,最后进行计算。
变量定义之后才可以使用,如果未定义就会出错,
存储变量可以无需定义,随时需要随时定义,,但是有时候如果变量很多,需要提前声明,先把它注释掉,
4.常用指令
(1)cd:
显示或者改变工作区目录
清除命令行窗口,自动清除命令行窗口中的所有程序
清楚内存变量:
还有一些其他命令:
三.数据类型:
1.变量与常量
(1)变量
是任何程序设计语言的基本元素之一,MATLAB语言并不要求事先对所使用的变量进行声明,也不需要指定变量类型,MATLAB语言会自动依据所赋予变量的值或对变量所进行的操作来识别变量的类型,再赋值的过程之中,如果赋值变量已经存在,MATLAB会使用新值代替旧值,并以新值类型代替旧值类型。
在MATLAB之中变量的命名应该遵循以下规则:
1)变量名必须是以字母开头,之后可以是任意的字母,数字或者下划线;
2)变量名区分字母的大小写;
3)变量名不超过31个字符,第31个字符之后的字符将会被自动忽略;
注意:MATLAB语言之中的也存在着变量作用域的问题:
1)未加特殊说明的情况下,MATLAB语言将所有识别到的变量都视为局部变量,即仅在其使用的m文件之中有效;
2)若要将变量定义为全局变量,则需要在该变量前面加关键字global,一般来说,全局变量都要用大写字母来表示;
(2)常量
MATLAB语言本身也有一些预定义的变量,这些特殊的变量就称为
常量。
1)如果计算时用户没有给表达式设定变量,系统将会自动将当前结果赋给ans变量
2)在定义变量时应避免与常量名字相同,以免改变这些变量的值,如果已经改变了某个常量的值,可以通过clear+常量名命令来恢复该常量的初始值,重启MATLAB当然也可以做到
若不想让MATLAB每次都显示运算结果,只需要在运算式的最后加上分号即可;
MATLAB以矩阵为基本运算单元,而矩阵的基本单元是数值。
数值类型
(1)整型:
整形数据是不包含小数部分的数值型数据
整型数据的分类:
(1)char:字符型数据
(2)unsigned char:无符号字符型数据,等等还有short,int,long
(2)浮点型:
浮点型数据只采用十进制,有两种形式,十进制形式和指数形式;
(1)十进制数:由数码和小数点组成,一定要含有小数点,
(2)指数形式:由十进制数,加上阶码标志(e或者是E);
例如:aEn 其中a是十进制数,n为十进制整数,表示的值是a*10的n次方;
例如:3E6就是3000000,3e6也是3000000,
下面很有必要介绍几种常见的不合法的实数表示:
345:没有小数点,没有阶码标志;
E7:阶码标志E之前没有数字,肯定是错的;
2.7E:无阶码,只有阶码标志;
浮点型变量可以分为两类:
1)float:单精度说明符,占据四个字节,32位内存空间,数值范围是3.4E-38~3.4E+38,只能提供7位有效数字;
2)double:双精度说明符:占据8个字节,64位内存空间,数值范围是1.7E-308~1.7E+308,提供16位有效数字;
(3)复数类型
把形如a+bi的形式叫做复数,a是实部,b是虚部,相应的加法。
乘法,除法,减法规则是一致的,
数字的显示格式
一般情况下,MATLAB之中数的存储和计算都是以双精度的形式进行的,但会有多种显示形式:
在默认显示情况下,若数据是整数,就以整数形式来表示,若数据是实数,则以保留小数点后面4位的精度近似表示。
用户还可以自己改变数字显示格式,控制数字显示格式的命令是format,
调用格式如下所示:format long ,pi 就会以15位小数的形式表示圆周率;
还有很多种不同的数字显示格式,一定要注意!!!
1.算数运算符:
+,-,*分别是算数加,减,乘,
.*这个是点乘;^是算术乘方,还有很多其他的运算符,平时一定要注意!
2.关系运算符:
关系运算符主要用于对矩阵与数,矩阵与矩阵进行比较,返回表示二者关系的由数字0和1组成的矩阵,0和1分别表示不满足和满足指定关系;
~=不等于
逻辑运算符
MATLAB在进行逻辑判断时,所有非0数值均被认为是真,而0为假,在逻辑判断结果之中,判断为真会输出1,为假则会输出0 常见的逻辑与算符:
and:逻辑与,两个操作数同时为1的时候结果才是1,否则为0;
or:逻辑或,两个操作数同时为0的时候才为0,否则为1;
~:逻辑非,当操作数为0时,结果为1,否则为0;
xor:逻辑异或,两个操作数相同时,结果为0,否则为1;
any:有非0元素的时候,结果就为1;
all:所有元素均非0则结果才为真;
函数运算:
MATLAB提供的复数函数包括以下9种:
Abs:模;
Angle:复数的相角,就是辐角主值;
Complex:用实部和虚部构造一个复数;
Coni:复数的共轭;
Imag:复数的虚部;
real:复数的实部;
unwrap:调整矩阵元素的相位;
isreal:是否是实数矩阵;
cplxpair:把复数矩阵排列成为复共轭对;
(1)复数的四则运算:
MATLAB会运用相应的法则来进行四则运算;
(2)复数的模:
c=a+bi是直角坐标下的表示方法,还有一种对应极坐标下的表示方法,对应极径为z,角度为x,
则a=zcosx,b=zsinx,z=根号下a的平房+b的平方
(3)复数的共轭:
(4)构造复数:
直接输入或者使用complex函数都可以构造出复数;
(5)实数矩阵:
isreal(X)就是用于判断矩阵X是否是实数矩阵,若是实数矩阵,则判断的结果为1,否则为0;
三角函数运算:
就是我们常用的,,平时我们怎么用,到这里面我们就怎么用就好:namespace std;template class Elem class
Complex Complex::operator*(const Complex c)--(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
MyComplex operator -(MyComplex z) {
Complex(double real, double imag) {
一般情况下,MATLAB之中数的存储和计算都是以双精度的形式进行的,但会有多种显示形式:
return input ary.before ary.after;
则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
这是结果,代数运算的话,只能实部和实部相加,虚部和虚部相加,化简,先看实部:
38 public Complex complexDivision(Complex c)
System.out.println(""+complex.real+complex.image+"i");。