线线线面面面角的问题
专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。
三射线定理
三 射 线 定 理陕西定边县第三中学 白治清从一点发出的不在同一平面内的三条射线，形成三种空间角（即“线线角”，“面面角”与“线面角” ），这三种空间角之间的关系问题，是立体几何的一个基本问题，在立体几何的计算、证明中有着十分广泛的应用，本文将探讨这三种空间角之间的关系.一、由“线线角”求“面面角”定理1 OA 、OB 、OC 是不在同一平面内的三条射线，如果∠BOC=α 1，∠COA=α 2，∠AOB=α 3，二面角C-OA-B ，A-OB-C 与B-OC-A 的平面角分别等于β1 、β2 、β3 ，那么 cos β1=32321sin sin cos cos cos ααααα- ① cos β2=13132sin sin cos cos cos ααααα- ② cos β3=21213sin sin cos cos cos ααααα- ③ 证明：先证明①，分5种情况：（1） α 2与α3 ，均为锐角.如图1，在OA 上取一点P ，使OP=1，在平面AOB 内，作P M ⊥OA ，交OB 于M ，在平面AOC 内，作PN ⊥OA ，交OC 于N ，连结MN ，∠NPM=β1 .PN=tg 2α，PM= tg 3α，ON=sec 2α，OM=sec 3α，在△PMN与△OMN 中应用余弦定理，得MN 2=tg 22α确+tg 23α-2tg 3αtg 2α cos β1=sec 2α2+ sec 2α 3-2sec α2sec α3cos α1.用α1、α2、α3 的三角函数表示cos β1，得cos β1=32321sin sin cos cos cos ααααα- （2）α2与α3中有一个锐角，一个钝角.如图2，不妨设α3为锐角，α 2为钝角，作OC 的反向延长线OD.因为二面角D-OA-B 与C-OA-B “互补”，所以D-OA-B 的平面角等于1βπ-.∠BOD=.,21απαπ-=∠-AOD 对于射线OA 、OB 、OD 应用①， 得cos （1βπ-）=32321sin )sin(cos )cos()cos(ααπααπαπ----，即cos 1β32321sin sin cos cos cos ααααα-=. （3）α2与α3均为钝角.如图3， 作OB 、OC 的反向延长线OD 、OE ，二面角D-OA-E 与C-OA-B 是“对顶角”，所以D-OA-E 的平面角等于β1 .1α=∠DOE ，2απ-=∠AOE ，3απ-=∠AOD .对于射线OA 、OD 、OE 应用①，得 cos 1β)sin()sin()cos()cos(cos 32321απαπαπαπα-----= 32321sin sin cos cos cos ααααα-= . （4）α2与α3中有一个直角.如图4，不妨设α2 =.223παπ≠， 在平面AOB 内作OD ⊥OA ，则∠COD=β1 .若β1≠,2π因为，不论α3是锐角还是钝角，都有 ∠BOD=，223παπ≠-二面B-OD-C 是直二面角，对于射线OD 、OC 、OB 应用①、②、③，得 cos 2π=13131sin 2sin cos 2cos cos βαπβαπα---， 即cos 1β32sin cos αα= 另一方面，直接应用①，得cos β1=31331sin cos sin 2sin cos 2cos cos αααπαπα=-. 若β1=2π，则cos β1=0，这时，.21πα= 另一方面，直接应用①，得cos β1=.0sin 2sin cos 2cos 2cos33=-απαππ 可见，当α2、α3中有一个直角时，①仍旧适用。
高中数学 空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路
DBA C α空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
线线,线面,面面夹角公式
线线,线面,面面夹角公式线线、线面、面面夹角是数学中非常重要的概念，常见于几何图形的分析和计算中。
在实际生活中，许多工程领域的设计和制造也需要用到这些夹角公式。
下面我们就来详细介绍这些公式。
1. 线线夹角公式线线夹角是指两条直线在相交处形成的夹角。
这个角度的计算可以通过余弦定理来实现。
假设两条直线的方向向量分别为a和b，则它们夹角的余弦值可以表示为：cos(x) = a·b / (|a|·|b|)其中，·表示点乘，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。
根据余弦值可以通过反余弦函数计算出实际夹角。
2. 线面夹角公式线面夹角是指一条直线与一个平面相交处形成的夹角。
这个角度的计算也可以通过余弦定理来实现。
假设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则它们夹角的余弦值表示为：cos(x) = a·n / (|a|·|n|)其中，·表示点乘，|a|和|n|分别表示向量a和向量n的模长。
如果需要得到实际的夹角度数，可以通过反余弦函数计算。
3. 面面夹角公式面面夹角是指两个平面之间的夹角。
这个夹角的大小可以通过两个平面法向量之间的夹角来计算。
假设两个平面的法向量分别为n1和n2，则它们之间夹角的余弦值可以表示为：cos(x) = n1·n2 / (|n1|·|n2|)其中，·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示向量n1和向量n2的模长。
如果需要得到实际的夹角度数，可以通过反余弦函数计算。
总之，线线、线面、面面夹角公式是数学和工程学科中必不可少的基础概念。
掌握这些公式的计算方法及其应用，能够帮助我们更好地完成相关工作和项目设计。
专题一：立体几何中“线线角、线面角、面面角”的求法 课件
知识回顾
1. 异面直线所成角； 2. 直线与平面所成角； 3. 两平面所成角.
知识点一：线线角
关键：把空间角转化成平面角 步骤：①选点平移；
②定角； ③算角（解位线平移
知识点一：线线角
变式1. 已知四面体ABCD的各棱长均 相等，E、F分别为AB、CD的中点， 求AC与EF所成角的大小．
定义：以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角.
B
l
O
A
知识点三：面面角
方法：①定义法（点在棱上）
②三垂线法（点在一个平面内） 例3.在四面体ABCD中，平面ABD 平面BCD， ③射影法（找一个平面内对应的点 AB BD DA a, CD BD，DBC＝30． 在另一个平面内的射影）
定义：过斜线AP上且斜足以外的一点P向平面引 垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平 面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
知识点二：线面角 关键：①找垂足 ②等体积法求高
例2.如图，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a, （1）求直线AB1与平面A1B1CD所成的角； （2）求直线AB与平面ACB1所成角的正弦值.
(1)求二面角A DC B的大小；
④垂面法（点在面外）
(2)求二面角A BC D的平面角的正切值.
⑤补形法
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作业：
线线角、线面角、面面角(解析版)
一、选择题(共8小题,每小题5.0分,共40分)1.有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条3.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC 所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°4.两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，则该直线与这两个平行平面所成的角等于()A．90°B．60°C．45°D．30°5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°6.在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°分卷II二、填空题(共6小题,每小题5.0分,共30分)7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．8.直线l与平面α所成的角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.三、解答题(共3小题,每小题12.0分,共36分)10.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ACEF所在平面垂直．(1)求证：BD⊥平面ACEF；(2)求直线DE与平面ACEF所成角的正弦值．11.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．12.a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，若这样的c 共有四条，则θ的范围为________．13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2CD，E为PB的中点．(1)证明：CE⊥AB；(2)若二面角P－CD－A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；(3)若AB＝kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．答案解析1.【答案】B【解析】由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.2.【答案】A【解析】如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．3.【答案】B【解析】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别是为CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝12AC，EG＝12BD.又∵AC＝BD，∴FG＝EG，∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.4.【答案】D【解析】设该直线与这两个平行平面所成角为α，∵两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，∴sinα＝1224＝12.∴α＝30°故选D.5.【答案】C【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.6.【答案】C【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.6.【答案】D【解析】如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.7.【答案】45°30°90°【解析】(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)连接A1D、AD1、BC1，A1D∩AD1＝O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.8.【答案】[30°，90°]【解析】直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.9.【答案】1【解析】∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.10.【答案】(1)证明∵ACEF为正方形，∴AF⊥AC，又∵平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF＝AC，∴AF⊥平面ABCD，即AF⊥BD，又AC⊥BD，AC∩AF＝A，∴BD⊥平面ACEF.(2)解设AC∩BD＝O，连接OE，则由(1)知，∠OED为直线DE与平面ACEF所成的角．设正方形ABCD的边长为2，则OC＝OD＝2，CE＝AC＝22，DE＝DC2+CE2＝23，＝∴sin∠OED＝ODDE∴直线DE与平面ACEF【解析】11.【答案】(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角．12.【答案】70°，90°【解析】设平面α上两条直线m ，n 分别满足m ∥a ，n ∥b ，则m ，n 相交，且夹角为40°，若直线c 与a ，b 均异面，且所成角均为θ，则直线c 与m ，n 所成角均为θ，当0°≤θ＜20°时，不存在这样的直线c ，当θ＝20°时，这样的c 只有一条，当20°＜θ＜70°时，这样的c 有两条，当θ＝70°时，这样的c 有三条，当70°＜θ＜90°时，这样的c 有四条，当θ＝90°时，这样的c 只有一条，故答案为70°，90°.13.【答案】(1)证明取AB 的中点F ，连接EF 、FC ，则EF ∥PA ，CF ∥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∵AB ⊂平面ABCD ，∴EF ⊥AB ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥CF ，∵EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ，∴AB ⊥平面EFC ，∵CE ⊂平面EFC ，∴CE ⊥AB .(2)解∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，∴∠PDA 为二面角P －CD －A 的平面角，∴∠PDA ＝60°，∴PA ＝3AD ，∵AB ＝AD ＝2CD ，∴PA ＝3AB ＝3AD ，由(1)知，∠CEF 为CE 与平面PAB 所成的角，∵tan ∠CEF ＝CF EF ＝AD EF ＝∴直线CE与平面PAB(3)解过P作PG∥CD，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥PG，由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，PG⊥PD，∴∠APD为所求锐二面角的平面角，∴cos∠APD＝PA＝PD。
线面角和面面角两个典型例题
EB BC, CB 面SEB，SB 是SC 在面SEB内射影，
SE SC。
BSC 就是面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角。
在RtSBC中， tan BSC BC 1 2 , SB 2 2
A
得SO 1, SD 11. 1 1 2 ABS的面积S1 AB SA ( AB) 2 2 2 2 1 连接DB， 得△DAB的面积 S 2 AB AD sin 135 0 2. 2
设D到平面 VS-ABD， 得 h S1 SO S 2 . 3 3
E D 1 解法一： 因AB、CD共面， AD BC，故 AB，CD相交，设其交点为 E
2
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。
2
A
B
C
E CD，CD 面SCD ， E 面SCD ，同理E SAB，
连SE ，侧面SCD 面SAB SE ， 那么E在面SCD、面SAB的交线上，
tan 2 . 2
练习:
选择题： 1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线BE 与PA所成角的余弦值等于（ D ）
A,
1 2
B,
2 2
2 C, 3
D,
3 3
2、在正三棱锥S-ABC中，D为AB中点，且SD与BC所成角为450，则SD 与底面所成角的正弦值为（
C
3 3
例1、
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧 面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， S BC 2 2, SA SB 3.
（1）证明SA⊥BC； （2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式及其中蕴含的数学基本思想
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。
1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。
（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。
2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。
高中数学必修二立体几何角的问题-教师版(含几何法和向量法)
立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.答案：B例 2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3 B.22C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。
高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC 成60角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。
（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。
（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C DPA B C H S M 线面角与线线角专练（小练习二）例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。
线线角,线面角
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。
探究:
（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线 垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直? 即a∥b，若a⊥c，则b⊥c c
ab
（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
下面我们来探究更一般的角的问题
平移法： 即根据定义，以“运动” 的观 点，用“平移转化”的方法，使 之成为相交直线所成的角。
O
小结归纳
2.计算直线与平面所成角采用的思想： 空间角转化为平面角
3.解题技巧： 线线角找平行
线面角找射影
小结归纳
1. 直线与平面所成角的计算步骤
作
证
构
出
明
造
所
所
三
求
作
角
的
的
形
空
角
并
间
符
求
角
合
角
“一作” “二证” “三算”
【课外延伸】
1.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的 正方形，PD⊥底面ABCD, PD=AD, E为 AB的中点。求：(1)异面直线PB与CE 所成 角的余弦值(2)直线DC与平面PBC所成角
2
AD= ,因此cos∠ANDN=D2 NA2 AD2 30 .
2ND NA
10
5
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角。规定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
空间角问题
AB n sinα = cos < AB, n > | AB | | n |
A
B
| AB n | sinα = | AB | | n |
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所 成角的余角或补角的余角.
AA1 (0, 0, 2a) AB (0, a, 0) n AA1 0 (1, y, z ) (0, 0, 2a) 0 z 0 (1, y, z ) (0, a, 0) 0 n AB 0 y 0 3 1 n (1, 0, 0) AC1 ( a, a, 2a ) A 2 2
A B
6
例、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1）求AC1和CB1的夹角， 2）求AC1和面ABB1B所成的夹角 3）求二面角B—AB1—C1的大小 4）M是A1B1的中点，求点B1到面C1MB的距离 C1 5）求AM与B1C1的距离 2）直线与平面所成的角 A1 B1 解法2步骤： 1、求出平面的法向量 2、求出直线的方向向量 3、求以上两个向量的夹角， （锐角）其余角为所求角 C 设平面ABB1B的法向量：n (1, y, z )
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
定义:
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 这条直线叫做二面角的棱。 图形叫做二面角。 这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
二面角－AB－
A
C
B
D
l
5
B
A 二面角－ l－
二面角C－AB－ D
空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路知识分享
D B A C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理）AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
线线、线面、面面角的问题讲解
作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之.
②公式法：求斜线与平面所成
的角，还可以利用三面角的余 弦公式：cosα=cosβcosγ
α βγ
8
Aα
β γ
n A
P
在Rt△PAC中，cosβ=
AC AP
B
在Rt△ABC中，cosγ=
C
在Rt△PAB中，cosα=
AB
AC AB
AP
cosβ cos γ AC AB AB cos α
⑤向量法:
面面角等于两平面的法向
17.(本小题满分14分)
如图，边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的 两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所 成的角都是300 ，AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为 D. (Ⅰ) 直线AB与CD所成的角； (Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．
α
A
如何合理的选择正确的方 法解“立几”题？
条异面直线的关系.
7
注:当余弦值为负值时其对应角为钝角，这不符合 定义，故其补角为所求的角.
二、直线和平面所成的角
直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0º 直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；
斜线和平面所成的角是：斜线及斜
线在平面上的射影所成的角.关键是
找准斜线段在平面内的射影；
①直接法:通常是从斜线上找特殊点，
奋
斗
拼
博
1
【08深一模】18.(本小题满分14分) 如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，
CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的 中点，(Ⅰ) 求证：DM⊥EB； (Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.
立体几何专题之向量解决线线、线面、面面所成角(1)
C1 A1 E G D C B B1
x
A
y
由cos GE , BA1
GE BA1 | GE | | BA1 |
4 3 6 2 3 3
2 3
3.利用法向量可处理二面角问题
例3: 已知△ABC及平面ABC外一点D的坐标分别为 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C（1，2，2）、D（2，2，0）， 求二面角C-AB-D的大小。 分析：先求平面ABC与平面ABD的法向量：
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫 做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α L与α所成的角是0º 所成的角是直角，若L//α或 L α，则 的 角。 A L
o
θ B
α
一、概念 3.二面角及它的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以 二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
线线、线面、面面的所成角
一、概念
1.两条异面直线所成的角 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线 a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
O是空间中的任意一点
点o常取在两条异面直线中的一条上
b
bˊ θ aˊ
o
.
o
α
a
一、概念 2.直线与平面所成的角
的法向量 n 之间的夹角,则有
（图1）或 2） （图 2 2
v
ω θ α
图1
n
α
v
θ ω
图2
l
l
特别地
线线角-线面角-二面角的一些题目
B 1D 1A DC 1BCA 1線線角與線面角習題一、復習目標1.理解異面直線所成角の概念,並掌握求異面直線所成角の常用方法．2.理解直線與平面所成角の概念，並掌握求線面角常用方法．3.掌握求角の計算題步驟是“一作、二證、三計算”,思想方法是將空間圖形轉化為平面圖形即“降維”の思想方法. 二、課前預習1.在空間四邊形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分別為AB 、CD の中點且EF=3，AD 、BC 所成の角為 .2.如圖,在長方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 與底面所成の角分別為60ο和45ο，則異面直線B 1C 和C 1D 所成角の余弦值為 ( )(A).46 (B).36 (C).62 (D).633.平面α與直線a 所成の角為3π,則直線a 與平面α內所有直線所成の角の取值範圍是 ．4.如圖,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,則PA 與BD 所成の角の度數為(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο5.有一個三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是貼於桌面上,當三角尺與桌面成45ο角時,AB 邊與桌面所成角の正弦值 是 ． 三、典型例題例1.(96·全國) 如圖,正方形ABCD 所在平面與正方形ABEF 所在平面成60ο角,求異面直線AD 與BF 所成角の余弦值. 備課說明:1.求異面直線所成の角常作出所成角の平面圖形.作法有: ①平移法:在異面直線の一條上選擇“特殊點”,作另一條直線平行線 或利用中位線.②補形法:把空間圖形補成熟悉の幾何體,其目の在於容 易發現兩條異面直線の關係.2.解立幾計算題要先作出所求の角,並要 有嚴格の推理論證過程,還要有合理の步驟.例2.如圖在正方體AC 1中, (1) 求BC 1與平面ACC 1A 1所成の角; (2) 求A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.備課說明:求直線與平面所成角の關鍵是找直線在此平面上の射影,為此必須在這條直線上找一點作平面の垂線. 作垂線の方法常採用:①利用平面垂直の性質找平面の垂線.②點の射影在面內の特殊位置.A CB AD C 1D 1A 1B 1CB D A BPC D A C BF E例3. 已知直三棱住ABC-A 1B 1C 1,AB=AC, F 為棱BB 1上一點,BF ∶FB 1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 為BC の中點,E 為線段AD 上不同於A 、D の任意一點,證明：EF ⊥FC 1; (2)試問:若AB=a 2,線上段AD 上のE 點能否使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角,為什麼?證明你の結論. 備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點問題,解決這類問題,常假設命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.四、回饋練習1設集合A 、B 、C 分別表示異面直線所成の角、平面の斜線與平面所成の角、直線與平面所成の角の取值範圍,則 (A)A=B=C (B)A=B ⊂C (C)A ⊂B ⊂C (D) B ⊂A ⊂C.2兩條直線a ,b 與平面α所成の角相等,則直線a ,b の位置關係是 (A)平行 (B)相交 (C)異面 (D) 以上均有可能.3設棱長為1の正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分別為AA 1和BB 1の中點，則直線CM 和D 1N 所成角の正弦值為 . 4已知a 、b 是一對異面直線，且a 、b 成60o 角，則在過空間任意點P の所有直線中，與a 、b 均成60o角の直線有 條.5異面直線a 、b 互相垂直，c 與a 成30o 角，則c 與b 所成角の範圍是 .6∠ACB=90ο在平面α內,PC 與CA 、CB 所成の角∠PCA=∠PCB=60o ,則PC 與平面α所成の角為 .7設線段AB=a ,AB 在平面α內,CA ⊥α,BD 與α成30ο角,BD ⊥AB,C 、D 在α同側,CA=BD=b .求: (1)CD の長;(2)CD 與平面α所成角正弦值.A 1CB A B 1DC 1E F課前預習 1. 60ο2.A3. [3π,2π] 4.C 5.46 典型例題例1解:∵CB ∥AD∴∠CBF 為異面直線AD 與BF 所成の角.連接CF 、CE 設正方形ABCD の邊長為α,則BF=a 2∵CB ⊥AB, EB ⊥AB ∴∠CEB 為平面ABCD 與平面ABEF 所成の角 ∴∠CBE=∠60ο∴CE=a FC=a 2 ∴cos ∠CBF=42例2解:(1)設所求の角為α,先證BD ⊥平面ACC 1A 1,則sin α=sin ∠OC 1B=1BC OB =21.故α=30o .(2)△A 1BC 1是正三角形,且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱錐B 1-A 1BC 1是正三棱錐.過B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1,連A 1H, ∠B 1A 1H 是直線A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.設A 1B 1=a 則A 1B =a 2得A 1H =a 36.故cos ∠B 1A 1H=111B A H A =36.所求角為36arccos例3解:(1)連接OF ,容易證明AD ⊥面BB 1C 1C, DF 是EF 在面B 1C 1CB の射影,且DF ⊥FC 1, ∴FC 1⊥EF.(2) ∵AD ⊥面BB 1C 1C , ∠EFD 是EF 與平面BB 1C 1C 所成の角.在△EDF 中,若∠EFD=60ο,則ED =DF ·tan 60ο=3·5=a 15,∵AB=BC=AC=2a ,∴AD=a 3.∵a 15>a 3.∴E 在DA の延長線上,而不線上段AD 上;故線段AD 上のE 點不可能使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角.回饋練習1. D2. D3.954 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο7.解:(1)作DD ＇⊥α於D ＇,連接AD ＇,BD ＇.CA ⊥α,∴CA ∥DD ＇.四邊形CAD ＇D 是直角梯形,∠CAD ＇=∠D D ＇A =90ο,AB α⊂,AB ⊥DD ＇.又AB ⊥BD,∴AB ⊥平面BDD ＇,BD ＇⊂平面BDD ＇.∴AB ⊥BD ＇.∵∠DBD ＇是BD 與α所成の角,∴∠DBD ＇=30ο,BD =b ,DD ＇=2b ,BD ＇=23b .在△ABD ＇中,AB=a ,BD ＇=23b ,∠ABD ＇=90ο,∴AD ＇=22＇BD AB +=4322b a +.在CAD ＇D 中，CD=222'2')(b a D D AC AD +=-+.(2)作D ＇C ＇∥DC 交CA 於C ＇,∠C ＇D ＇A 是CD 與α所成の角,sin ∠C ＇D ＇A=22'2''ba bD C AC +=.線面角與面面角練習一、知識與方法要點：1．斜線與平面所成の角就是斜線與它在平面內の射影の夾角。
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角的余角.
线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所
成角的补角的余角.
8
三、平面和平面所成的角:(二面角的平面角) 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面
上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成
的角叫做二面角的平面角.二面角范围为[00，1800].
2、二面角的平面角的作法：α
①定义法：点P在棱上
A
A在平面α内的射影是P，
设ABC的面积为S，它和
P
平面α交成二面角θ(0º< θ<90 º)， 射影PBC的面 α
B
积为S1，
θ D
C
求证:S1=Scosθ.
④面积射影法: S射=S原cosθ
S1 =SPBC= BC×PD ，
S2 = SABC= BC×AD，
10
⑤向量法:
O
面面角等于两平面的法向 量所成的角或等于两平面 的法向量所成角的补角. 技巧:先由直觉判断二面角 为锐角还是为钝角然后取 等角或补角与之相等.
两直线的方向向量所成的角.
异面直线所成角的范围是: (0，900 ]
②平移法:即根据定义，以“运动”的观点，用
“平移转化”的方法使之成为相交直线所成的角.
选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异
面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之.
③补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两
D
？
设CB=a，AC与BD的交点为
Q
O，∠AOD=θ∠CAB=α，
P O C则有
AM
B
E
N
∴sinθ=sin(α+450)
又MP= 0.5EA=a，在Rt△MPQ中， 即二面角M-BD-A的余弦值为
… 12分 … 14分 2
解法二: 分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设
E
…… 7分
x (Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)
DB=(0，2a，－2a)由n⊥DB， n⊥DM得 3
… 10分
取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)，
又平面BDA的法向量为 n1=(1，0，0)， … 11分
z D
cos <n，n1>
M A
E x
C
即二面角M-BD-A的余
条异面直线的关系.
6
注:当余弦值为负值时其对应角为钝角，这不符合 定义，故其补角为所求的角.
二、直线和平面所成的角
直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0º 直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；
斜线和平面所成的角是：斜线及斜
线在平面上的射影所成的角.关键是
找准斜线段在平面内的射影；
①直接法:通常是从斜线上找特殊点，
α
A
如何合理的选择正确的方 法解“立几”题？
通过解题的过程您将有会
lD
C 什么样的收获与启发？
本节将以此题为例探索解决
βB
立体中有关角的问题的规律.
5
一、异面直线所成的角 根据异面直线所成角的定义，求异面直线所
成角,就是要将其变换成相交直线所成有角.
求异面直线所成的角常用的方法有：
①向量法:线线角可转化为
作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之.
②公式法：求斜线与平面所成
的角，还可以利用三面角的余 弦公式：cosα=cosβcosγ
α βγ
7
Aα
β γ
n A
P 在Rt△PAC中，cosβ= 在Rt△ABC中，cosγ=
C
在Rt△PAB中，cosα=
B
cosα=cosβcosγ
B ③向量法
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成
【08深一模】18.(本小题满分14分) 如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，
CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的 中点，(Ⅰ) 求证：DM⊥EB； (Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.
D
解法一:(Ⅰ)证明:取BE的中点N,
连接MN，AN，则MN//CB//DA，
C 故M，N，A，D四点共面. … 2分
AM
∵DA⊥平面EAB， ∴DA⊥EB.
B
… 3分
E
N
又EA=AB ，∴AN⊥EB
由MN∩AN=N，∴EB⊥平面ANMD
… 4分 … 6分
∴DM⊥EB.也可以直接用“三垂线定理…” 7分 1
解: (Ⅱ)取AC的中点P，连MP，则MP//EA， ∴MP⊥平面ABCD，过P作PQ⊥BD，连QM，则 QM⊥BD，∴∠MQP是二面角M-BD-A的平面角 9分
B y 弦值为
… 14分
此题用“坐标法”解简单易行4！
由此我们联想[2006广州一模]一道立体几何题
17.(本小题满分14分)
如图，边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的 两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所 成的角都是300 ，AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为 D. (Ⅰ) 直线AB与CD所成的角； (Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．
l
根据定义作出来.
P
β
②作垂面：点P在二面角内作与棱垂 O
直的平面与两半平面的交线得到.
l
α
βB P
A
③应用三垂线：
α
A
点A在一个半平面上应用三
垂线定理或其逆定理作出来.
O l
B
β
9
注意:二面角的平面角必须满足: 1.顶点在棱上；2.两边在两面内；3.两边垂直于棱.
一“作”二“证”三“计算”
ABC的边BC在平面α内，
个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线
所成的角即二面角的平面角.
②.应用三垂线（逆）定理法：在二面角α-l-β的
面α上取一点A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，则
∠ACB即为α-l-β的平面角.
③.作垂面法:作棱的垂面，则它和二面角的两个面
的交线所成的角就是二面角的平面角 . A
④.向量法:利用两平面的
CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0， 2a，
0)，C(0， 2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a， )
z D
…… 4分 (Ⅰ)证:DM=(a，a，－1.5a)，
M A
EB=(－2a，2a，0)， … 5分
C
DM ·EB =a (－2a) +a ·2a +0=0 B y DM⊥EB，即DM⊥EB
借用公式
⑥公式法：如图，CBF= 为二面角的平面角
在CBF中，由余弦定理可求得，
m 再由Rt△ECF可得
Ed
EF2= d2+m2+n2－2mncos (0º，180º)
dm Bn Cl
F
用此公式就可以求出二面角的平面角 (异面直线上两点的距离公式) 11
求二面角方法:
①.定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两
法向量的夹角与二面角的