重力场基本原理

v 0 就是把地球质量集中到地球质心处时的
点的引力位
v1
f r
M
R cos dm r
xx m yy m zz m cos Rr
v1
f 3 (x x mdm y y mdm z z mdm ) r M M M
由力学可知，物质质心坐标：
x0
x mdm M M
正常重力位是一个函数简单、 不涉及地球形状和密度便可直 接计算得到的地球重力位的近 似值的辅助重力位。
当知道了地球正常重力位，想法求出 它同地球重力位的差异(称扰动位)， 便可求出大地水准面与这已知形状(正 常位水准面)的差异。最后解决确定地 球重力位和地球形状的问题。
地球引力位的数学表达式
V f
3、重力场与重力场模型
地球重力场的函数模型,通常是指通过求解 某种形式的大地测量边值问题,从而给出一种表 达扰动位的数学模型。
重力场模型系数可认为是微分方程 的解，其实就是解微分方程。
这里需要全球重力数据，目前以卫 星重力数据为主（边值条件）
二、引力位与离心力位
本节内容向导
1、引力与离心力
M a f 2 r
2、对位函数求导：
dV M f 2 dr r
, 则有
dV a dr
•结论： 单位质点的物体在引力场中的加速度等于引 力位的导数，方向与径向方向相反。
2、离心力位
质点的坐标用质点向径,地心纬度，地心经度表示为：
x r cos cos y r cos sin z r sin
y0
y mdm M M
z0
z mdm M M
在建立坐标系时已经约定将坐标原点置于地 球质心，所以上述三式都为零所以：
f v1 r
M
R cos dm 0 r
v2
f r
M
2 ( ) (
R r
3 1 cos 2 ) dm 2 2
xx m yy m zz m 2 cos ( ) R r
（3）人造卫星、洲际导弹轨道的摄动与地球外 部重力场密切相关。 ——物理大地测量学
2、重力场与大地测量的关系
（1）测定地球外部重力场是大地测量的一个任务。 （2）大地测量的主要任务是测定地球表面点位，而点 位使用的大多数观测量需要进行重力改正。
2、重力场与大地测量的关系 （3）在大地控制和工程测量中的，使用的高程是相对 于重力场确定的。 （4）为了解地球表面广大区域的多种问题（如卫星定 轨）需要有全球重力场表示。对于大地测量和工程测 量中的大地控制网需要局部重力场表示。
M

dm

设地球上的点坐标为: ( x, y, z)
( , , r )
地球表面点坐标为: ( xm , ym , zm )
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
2 r 2 R 2 2Rr cos R 2 R 2 r [1 ( ) 2 cos ] r r
R 2 R l ( ) 2 cos r r
2、引力位
3、离心力位 4、重力位
1、引力与离心力
离心力P在赤道达最大值，但数值比地球引力 1/200还要小一些。故重力基本上由地球引力确定的。
当高出地面35730km处，重力加速度将改变符 号，背向地球。
1、引力位
位函数：设有一标量函数，它对被吸引点各坐标 方向的偏导数等于引力在相应方向上的分力。
D ( ym z m ) dm M E ( xm z m ) dm M F ( xm ym ) dm M
于是得用二阶惯性矩及被吸引点直角坐 标表示的二阶项
v2 f 2 2 2 2 2 2 [( y z 2 x ) A ( x z 2 y )B 5 2r
三、地球正常重力位
dm 2 W f ( x2 y 2 ) r 2 M
要精确计算出地球重力位，必须知道 地球表面的形状及内部物质密度，但前者 正是我们要研究的，后者分布极其不规则 ，目前也无法知道，故根据上式不能精确 地求得地球的重力位，为此引进一个与其 近似的地球重力位——正常重力位
地球重力场的基本原理
报告人：财 神 专 业：大地测量学与测量工程 班 导 级：硕研14-1班 师：章老师
研究方向：地球重力场与垂直基准
内容提纲
一、重力场概述
二、引力位与离心力位
三、地球正常重力位 四、总结
一、地球重力场概述
本节内容向导
1、重力场与本学科的联系
2、重力场与大地测量学的关系
推导如下:
万有引力定律： 假设沿力线方向做功为
，则有
此功等于位能的减少， 积分则有：
因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有 取 m=1，
因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有
取 m=1，
地球总体的位函数： V dV f
(M )
dm r
1、由牛顿第二定律可知：
F ma Mm F f 2 r
3、重力场与重力场模型
1、重力场与本学科的联系 （1）在精密卫星定位中为精密定轨必须有精密
地球重力场模型的支持才能实现。
——宁津生
1、重力场与本学科的联系
（2）保证以卫星绝对定位方法建立的由一定数 量基准点构成的地心参考框架可以使卫星相对点 定位达到相应的精度。 ——宁津生
1、重力场与本学科的联系
如果令g与l夹角等于π，则有：
dW dl g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。
对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于 使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度 的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， 地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两极重力 值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力有从 赤道向两极增大的趋势。
gx gy gz
重力位在任意方向的偏导数等于 重力在该方向上的分力：
W gl g cos( g , l ) l
当g与l相垂直时，那么dＷ=0，Ｗ＝常数
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位 面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多 个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重力等位 面，专称它为大地水准面。
坐标对时间的一阶导数等于地 球自转角速度
坐标对时间的二阶偏导数就是质 点的离心加速度
与引力位相似，上式离心力 加速度同样可以用离心力位 的偏导数表示。
设有离心力位
对其求偏导得： 此式除符号相反 外与离心力加速 度分量表达式完 全一样，因此， 此式为离心力位 函数
3、重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心力 位Q之和：
v1
M
f R 23 1 2 v 2 ( ) ( cos ) dm r M r 2 2
v3
f R 35 3 3 ( ) ( cos cos ) dm r M r 2 2
V v 0 v1 v 2
vi i
0
n
v0
f r
M dm f r M
2
R2 x m y m
2
2
zm
Байду номын сангаас
2
v2
f 2 2 2 2 [x (2x m y m z m ) dm 5 2r M y
2
(2y m M
M
2
xm xm
2
zm ) dm ym ) dm
2
2
z 2 (2z m
M
2
2
6xy x m y m d m 6xy x m z m d m 6xy
1


1
r
(1 l )

1 2
f 1 3 2 5 3 V (1 l l l ) dm r 2 8 16
R 2 R l ( ) 2 cos r r
V v 0 v1 v 2
vi i
0
n
v0
f r
f r
dm M
R cos dm r
( x2 y 2 2z 2 )C 6 yzD 6xzE 6xyF]
三阶项及更高阶项也可仿此推得
四、总结
一、重力场概述
二、引力位与离心力位
三、地球正常重力位
报告完毕 !
谢谢大家
M
z m y md m ] M
质点M对x,y,z的转动惯 量分别表示为：
把离心力矩分别表 示为：
2 2 A ( y m z m )dm M 2 2 B ( x m z m )dm M 2 2 C ( x m y m )dm M
W V Q
dm 2 2 W f (x y2 ) r 2
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
W V Q ( ) x x x W V Q ( ) y y y W V Q ( ) z z z