第二讲 地球重力场

《应用重力学》第二讲地球重力场一、重力(Gravity)重力 = 地球引力惯性离心力微弱,可忽略=吸引力FF GM E R 3惯性离心力Cm RC = m ⎤ 2r重力GG=F+C地球重力场：在地球内部及其附近存在重力作用的空间。

④重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力 ( =G/m )④重力加速度g=G/m④重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。

重力加速度重力重力场强度④重力勘探所提的重力都是指重力加速度或重力场强度。

重力(重力加速度)单位④在CGS单位制(克、厘米、秒)：“cm/s2 ”，“伽”或“Gal”1 cm/s2 = 1 Gal④在SI单位制(千克、米、秒)：“m/s2”，“g.u.”1 m/s2 = 106 g.u.1 Gal = 1 cm/s21 g.u. = 10-6m/s21 Gal = ? g.u.1 Gal (伽) = 1 cm/s2 = 10-2 m/s2 = 104 g.u.1 mGal (毫伽) = 10-5 m/s2 = 10 g.u.1 uGal (微伽) = 10-8 m/s2 = 10-2 g.u.重力的变化④包括随不同测点位置的空间变化以及同一测点的重力随时间的变化。

④空间上:地球形状、地形：引起约 6万 g.u. 的变化；地球自转：重力有 3.4万 g.u. 的变化;地下物质密度分布不均匀：能达到几千 g.u.变化人类的历史活动遗迹和建筑物等北赤南极道极在地球表面上，全球重力平均值约为9.8m/s2，赤道重力平均值为9.780m/s2，两极平均值为9.832 m/s2，从赤道到两极重力变化大约为0.05m/s2。

④时间上：潮汐变化：太阳、月亮等天体引力引起的重力的周期性变化，其大小可达 3 g.u.非潮汐变化：地球形状的变化和地下物质运动等引起的非周期性变化，其变化大小一般不超过 1 g.u.④海水每天有两次涨落运动，其中早晨出现的潮涨称为潮，晚上出现的潮落称为汐，总称潮汐。

④地球上海潮涨落主要是由月球还是太阳引起的？月球和太阳对地球的引力不但可以引起地球表面流体的潮汐（如海潮、大气潮），还能引起地球固体部分的周期性形变（固体潮）。

太阳的质量虽比月球的质量大得多，但月球同地球的距离比太阳同地球的距离近，月球的引潮力比太阳的引潮力大。

④在日、月引力作用下，地球固体表面也会像海水一样产生周期性的涨落，这就是地球的潮汐现象，称为地球固体潮。

④固体潮随时间和空间的变化，除了和地球、太阳、月亮三者之间相对位置的变化有关外，还和地球内部物质的物理性质有关。

因而，利用固体潮资料可以研究地壳内部物质的物理性质和各种物质的分布规律。

④它在空间上的变化主要反映地壳和上地幔区域结构的变化。

④它在时间上的变化可能与某些灾难性的地震有直接和间接的联系。

因而，通过这种资料的研究，有可能找出它们与天然地震发生的对应关系，从而为天然地震的预报工作提供一定的依据。

④重力在时间上的变化要比在空间上的变化小很多，需要高精度测量。

④从1968年美国制成灵敏度达到0.1g.u.的超导重力仪后，重力学从静力学向动力学过渡，地球重力场研究开始从三维向四维过渡。

④我们不仅可利用不同地点重力变化来研究地质构造，还可利用不同时间重力变化来研究地质构造的运动。

〉 = 〉重力的数学表达式④ 单位质量A 引力FF =G +Mdm ρρ2 ρ④ 其在X 、Y 、Z 三个坐标轴方向的方向余弦cos(F , X ) = ∑ x ↔♠ ♠cos(F , Y ) y ♠←♠cos(F , Z ) = ⎛ z♠〉 ↑←④ 惯性离心力C④ 其方向余弦C = ⎤ 2rcos(C , X ) = x ↔r ♠♠ cos(C ,Y ) = y ♠r ♠cos(C , Z ) = 0↑引力和惯性离心力在三坐标轴方向的分量∑ x ↔= = + ♠ F ()x F cos(F , X ) G 3 dm M 〉♠y ♠ F ()y F cos(F , Y ) G + = 3 dm= = ←M 〉♠ ⎛ z♠ F ()z F cos(F , Z ) G + = 3 dm = = ♠C ( x ) = C cos(C , X ) M 〉 ↑= ⎤ 2x ↔♠ C = Ccos(C , Y ) = ⎤ 2y( y ) ← ♠C ()z = C cos(C , Z ) = 0 ↑♠重力g 在三坐标轴方向的分量( x )∑ x2↔+M〉3♠g = Gdm + ⎤ x♠( y )y 2♠ +M 〉3← g = Gdm + ⎤ y♠( z )⎛ z♠ +♠(z) g = Gdm↑④重力g 的大小为[g (x)2+g (y)2+g 2]1／2④其方向与过该点的水平面内法线方向一致，即铅垂线方向。

④假设地球为质量M = 5.976×1024 kg，半径R =6371 km的正球体，则引力值为9.8 m/s2，在赤道上惯性离心力最大约为0.0339 m/s2。

④惯性离心力约为引力的1/300 左右，地球引力是组成重力的主要部分。

二、重力位④重力场满足：力的大小和方向是研究点坐标的单值连续函数；力场所做的功与路径无关。

④根据场论，存在一个原函数，它是坐标的单值连续函数，而且它沿不同的方向求导数，恰好等于重力场强度在求导方向的分量，这个原函数就重力位。

M E④ 引力位( x , y , z )m i +dm V=G = G④ 惯性离心力位iR iER1 22 1 2 2 2④ 重力位U (,x y , z ) = = ⎤ r = = ⎤ ( x + y )2 2W ( x , y , z ) = V + U = G +Mdm 1 + = ⎤ 2 ( x 2 + R 2y 2 )=引力和惯性离心力各分量：V= F ( x )x V= F ( y )y U= C ( x )x U= C ( y )yV= F ( z )zUC ( z ) zg重力Wx ⎩2↔W↔+M3♠ x ♠= G d m + ⎤ x = g x ER W y +M3♠2 y♠ x ♠ W ♠y = G d m + ⎤ ← ® = ←y ER♠y ♠ Wz ⎛+M3♠ W ♠z= G d m♠ = g ♠ zER↑z ↑④重力矢量：g=gxi+ gyj+ gzkW W W= i+ j+ kx y z= gr a dW④重力等于重力位的梯度W= l g radWlW= gradlWg()l== gradlWl重力沿任意l方向的分量等于重力位梯度沿该方向的投影。

④重力位函数不仅一阶可导，而且具有二阶、三阶、……可导。

④在重力勘探中，除了需要用到的重力位一阶导数（梯度）外，有时还用到重力位的二阶、三阶、甚至更高阶的偏导数。

重力位的二阶偏导数 ④ W xx 、W yy 、W zz 、W xz 、W xy 、W yz2WW ↔= = = =W xx 2g ( x ) ♠x x x x ♠♠ ♠ 2W WW ← W xz = = = = = = = =♠ x z x z z x ♠♠ = g ( x )= g ( z ) ♠ z x ↑④ 重力位二阶导数是重力在某一坐标轴的分量沿同一或另一坐标轴的变化率。

重力位二阶导数的单位④单位：1/s2，“厄缶”或“E”1E=10-9 1/s2④相当于在1m的距离内，重力变化0.001g.u.或在1km的距离内，重力变化了1g.u.重力位三阶导数④经常用到的是W zzzW()zzz2W = = Wzzz z2 z④它表示重力垂向梯度沿铅垂方向的变化率。

重力位三阶导数的单位④单位：“1/(m·s2)”，“1MKS”1MKS = 1/(m·s2)④实用中用1nMKS = 10-9 1/(m·s2)或1pMKS = 10-12 1/(m·s2)④1nMKS相当于在lm的距离上重力位二阶导数变化了1E。

2U U U 2由场论可知： ④ 在物体的内部，引力位V 满足泊松方程2V = 4 G ⎛④ 在物体的外部，引力位V 满足拉普拉斯方程2V 2V 2V 2V= + + = 0x 2 y 2 z2④ 离心力位U 不满足拉普拉斯方程2 2 2= = + = + = = ⎤U 2 x 2 y 2 z2④重力位W具有以下性质：④在地球内部：2W =4 G⎛ + 2⎤ 2④在地球外部：2W = 2⎤ 2④重力位及其一阶导数是处处连续的，但其二阶导数是不连续的。

④重力位函数不是调和函数，只有在物体外部空间引力位函数是调和函数。

三、重力等位面与地球的形状④ 当位移方向l 与重力g 的方向垂直时W= grad l W = 0 lW(x,y,z)=C(常数)④ 在W(x,y,z)=C 方程所确定的曲面上，重力位各处 都等于常数C ，称这曲面叫重力等位面。

④水准面是重力等位面。

④人们将与平均海洋面相重合的水准面称为大地水准面。

大地水准面也是重力等位面。

④在研究地球形状时，人们把平均海洋面顺势延伸到大陆所形成的封闭曲面（即大地水准面）的形状，作为地球的基本形状。

④ 地球形状的一级近似为平均半径为6376km 的正球面。

④ 二级近似是两极半径略小于赤道半径的二轴椭球 面。

赤道半径 a=6378.160km极半径c=6356.755km地球扁率 ∑ a c 1 = =a 298人造地球卫星观测研究大地水准面形状。

④在地面上某点的高度并不是从大地水准面起算，而是从某一个参考椭球面起算。

④大地水准面到参考椭球面法线方向的距离，称为大地水准面的高程异常。

全球大地水准面高度图(据Lemoine et al., 1998)④ 当位移方向l 与重力g 的方向一致时，即W= g lΔW=g ·Δl④ 对两个相邻的重力等位面，其重力位之差为一常数。

④ 若等位面上点的重力值大，则其法线方向的距离就小；反之重力值小，其距离就大。

④由于等位面上各点的重力值并不是处处相等，因而两个相邻的重力等位面不一定互相平行。

④由于重力等位面上各点的重力都是有限量，故两等位面永远不会相交。

④由于重力的大小和方向随地而异，故重力等位面应是一簇互不平行、又不交叉的曲面。

E四、正常重力公式④ 当地球的形状及其内部物质密度分布为已知时，应用重力位函数下式可以求出地面上任一点的重 力位。

W ( x , y , z ) = V + U = G +Mdm 1 + = ⎤ 2 ( x 2 + R 2y 2)④ 然而，地球表面的形状十分复杂，而地球内部的密度分布并不清楚，因此，不可能直接利用上式求得地球的重力位。

④重力变化的空间因素：地球形状和地形、地球自转、地下物质密度分布不均匀、人类的历史活动遗迹和建筑物等。