传送带上的力学问题

传送带上的动力学问题

物体在传送带上运动时，往往会牵涉到摩擦力的突变和相对运动，这是一个难点。当物体与传送带相对静止时，物体与传送带间可能存在静摩擦力，也可能是滑动摩擦力，也可能不存在摩擦力；当物体与传送带相对滑动时，物体与传送带间有滑动摩擦力，这时物体与传送带间会有相对滑动的位移。当物体达到与传送带相同的速度（未必此后就相对静止）时，要做假设判断，即假设此后物体相对于传送带静止，由牛顿第二定律解出假设前提下的静摩擦力F f,若F f≤F max，则进入摩擦自锁状态，此后物体相对于传送带静止，否则此后将发生相对滑动。

要正确解决此类问题，就必须分析清楚物体的运动过程。

传送带问题一般可分为两类：

一、传送带水平

1、传送带水平匀速运动

物体m轻轻的放上传送带时初速度为零，因此相对传送带向左运动，受到向右的摩擦力作用，产生向右的加速度。可能发生两种情况：

A、物体m在全过程中始终都没有达到与传送带有相同的速度，则物体m在全

过程中都处于匀加速运动状态；

B、先经过一段匀加速运动，当其速度达到和传送带相等时，此时摩擦力突变为

零，物体则在重力和支持力的共同作用下，保持和传送带相同的速度做匀速直线运

动到达B轮的上方。

例题1、一水平传送带以2m/s的速度做匀速直线运动，传送带两端的距离为20m，将一物体轻轻的放在传送带一端，物体由一端运动到另一端所需的时间t=11s，求物体与传送带之间的动摩擦因数μ？（g=10m/s2）

例题2、水平传送带被广泛的应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图，一水平传输

带装置如图，绷紧的传输带AB始终保持v＝1m/s的恒定速率运行，一质量为m=4kg

的行李无初速的放在A处，传输带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线

运动，随后行李又以与传输带相等的速率做匀速直线运动，设行李与传输带间的

动摩擦因数μ＝0.1，AB间的距离L=2m，取g=10 m/s2。

(1)求行李刚开始运行时所受到的摩擦力大小和加速度大小？

(2)求行李做匀加速直线运动的时间？

(3)如果提高传输带的运行速率，行李就能被较快地传输到B处，求行李从A处传输到B处的最短时间和传输带对应的最小运行速率？

2、传送带水平匀加速运动

传送带与物体的初速度均为零，传送带的加速度为a0，则把物体轻轻的放在传送带上时，物体将在摩擦力的作用下做匀加速直线运动，而此时物体与传送带之间是静摩擦力还是滑动摩擦力（即物体与传送带之间是否存在相对滑动）取决于传送带的加速度与物体在最大静摩擦力作用下产生的加速度为a之间的大小关系，这种情况下则存在着两种情况：

A、若传送带的加速度a0小于物体在最大静摩擦力作用下产生的加速度为a时，物体则与传送带相对静止，物体此时受到的摩擦力为静摩擦力，物体随传送带一起以加速度a0做匀加速直线运动。

B、若传送带的加速度a0大于物体在最大静摩擦力作用下产生的加速度为a时，物体则与传送带之间发生相对滑动，物体此时受到的摩擦力为滑动摩擦力，物体将在滑动摩擦力的作用下做匀加速直线运动。

例3、一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质点)，煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v o后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。

二、传送带倾斜，做匀速直线运动。

当把物体轻轻的放在传送带上时，此种情况可分为两种情况：

1、当传送带的上表面以恒定的速率向下运行时，物体的

初速度为零，有相对传送带有向上的相对速度，物体受到滑动

摩擦力方向沿传送带向下，第一阶段受力如图所示，

则有：N－mgcosθ＝0

mgsinθ+μN=ma

a=gsinθ+μgcosθ

物体将做初速度为零的加速度a=gsinθ+μgcosθ的匀加速直线运动，直到物体和传送带具

有相同的速度。

当物体加速到与传送带有相同速度时，进入第二阶段，受力如图所示，又存在两种

情况：

①若mgsinθ≤F max＝μmgcosθ即μ≥tanθ，则物体有相对传送带向下滑动的趋势，而不是相对滑动，摩擦力不但由滑动摩擦力突变为静摩擦力，而且方向也发生了突变。此时有mgsinθ＝F f（静摩擦力），物体将保持和传送带相同的速度做匀速直线运动直到B端。

②若mgsinθ＞F max＝μmgcosθ即μ＜tanθ，则物体将相对传送带向下滑动，滑动摩擦力的方向将发生突变，滑动摩擦力的方向由原来的沿斜面向下突变为沿斜面向上。

则有：N－mgcosθ＝0

mgsinθ－μN=ma

a=gsinθ－μgcosθ

物体将以第一阶段的末速度即传送带的速度为初速度，以a=gsinθ－μgcosθ做匀加速直线运动直到B端。

2、当传送带的上表面以恒定的速率向上运行时，物体的初速度为零，有相对传送带有向下的相对速度，物体受到滑动摩擦力方向沿传送带向上，物体受力如图，此种情况也存在两种情况：

①当mgsinθ＜μmgcosθ即μ＞tanθ时，物体将被传送带卷上去。

②当mgsinθ＝μmgcosθ即μ＝tanθ时，物体将相对地面静止。

③当mgsinθ＞μmgcosθ即μ＜t anθ时，

则有：N－mgcosθ＝0

mgsinθ－μN=ma

图 1 图2 a =gsinθ－μgcosθ

此种情况下不存在物体与传送带具有相同的速度的情况，只有速度大小相等时，但方向不同，所以摩擦力不放生突变，受力情况在全过程中不发生变化，物体在全过程中做初速度为零的、加速度为a =gsinθ－μgcosθ的匀加速直线运动直到B 端。 例：如图所示，传送带与水平面间的倾角为θ=37。，传送带以 10 m ／s 的速率运行，在传送带上端A 处无初速地放上质量为0．5 kg 的物体，它与传送带间的动摩擦因数为0．5．若传送带A 到B 的长度为16 m ，求物体从A 运动到B 的时间为多少?(g 取l0m/s 2)

解：首先判定μ和tanθ的大小关系，μ＝0.5，而tanθ=0.75，所以物体一定沿传送带对地下滑，不可能对地上滑或对地相对静止，不管传送带运动方向如何．其次传送带运行速度方向未知，而传送带运行速度方向影响物体所受摩擦力的方向，所以应分别讨论。

当传送带的上表面以10 m ／s 的速度向下运行时，刚放上的物体相对

传送带有向上的相对速度，物体所受滑动摩擦力方向沿传送带向下(如图)，该阶段物体对地加速度：

a =gsinθ+μgcosθ＝10 m ／s 2，方向平行传送带向下，物体达到传送带对地速度所需时间：t l ＝v /a 1=1 s ．

在t 1内物体沿传送带对地位移:x 1=(a 1t 12)/2=5m.

当物体速度超过传送带运行速度时，物体受滑动摩擦力沿传送带向上，物体对地加速度 a 2= gsinθ－μgcosθ=2 m/s 2，

设物体以2 m ／s 2加速度运行剩下的11 m 位移需时间t 2，则x 2=vt 2+(a 2t 22)/2，代入数据得t 2=1 s(t 2=-11 s 舍去)，所需总时间t =t 1+t 2=2 s ．

当传送带上表面以10 m/s 的速度向上运动时，物体相对于传送带一直具有沿传送带向下的相对速度．物体所受滑动摩擦力方向沿传送带向上且不变，设加速度为a 3,

则：a 3＝gsinθ－μgcosθ＝2 m/s 2．

物体从传送带顶滑到底所需时间为t /，则x ＝(a 3 t’2)/2，t /＝4s

总之，审题时一定要注意由题给条件作必要的定性分析或定量分析，从而确定摩擦力是否突变以及怎样突变的问题是解决这种问题的关键所在。譬如，在最后的例题中给出的μ和θ值可作出判断：当μ≥tanθ时，物体在加速至与传送带相同后，将与传送带相对静止一起匀速运动；当μ＜tanθ时，物体在获得与传送带相同的速度后仍将继续做加速运动。 练习：

1、如图1所示，传送带与地面成夹角θ=30°，以10m/s 的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m =0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.6，已知传送带从A →B 的长度L =16m ，则物体从A 到B 需要的时间为多少？

2、如图2所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s 的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m =0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，已知传送带从A →B 的长度L =5m ，则物体从A 到B 需要的时间为多少？