Gauss消元 结式与多元代数方程组
数学代数方程组计算
数学代数方程组计算方程组是数学中重要的研究对象之一，它描述了数学模型中的关系和约束。
在代数学中，方程组的求解一直是一个重要的课题。
本文将介绍一些常见的数学代数方程组计算方法，以帮助读者更好地理解和解决方程组求解问题。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
其基本思想是通过消元和回代的方式，将方程组化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解未知数的值。
举例来说，考虑一个2×2的线性方程组：```a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2```首先，我们可以通过消元的方式将第二个方程中的x1消去。
具体步骤如下：1. 将第一个方程乘以a21/a11，得到新的第一个方程。
2. 将第二个方程减去第一个方程的a21/a11倍，得到新的第二个方程。
整个过程就是对方程组进行变换，最终将其化为上三角矩阵的形式。
然后，我们可以通过回代的方式求解未知数的值。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的求解线性方程组的方法。
它的基本思想是将方程组转化为矩阵的形式，然后求解矩阵的逆矩阵，最后将逆矩阵与常数向量相乘得到未知向量。
举例来说，考虑一个2×2的线性方程组：```a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2```我们可以将其表示为矩阵形式：```A * X = B```其中，```A = [a11 a12; a21 a22]X = [x1; x2]B = [b1; b2]```如果A可逆，我们可以通过求解逆矩阵的方式得到未知向量X的值：```X = A⁻¹ * B```三、雅可比迭代法雅可比迭代法是求解线性方程组的迭代方法之一。
它的基本思想是通过迭代的方式，逐步逼近方程组的解。
以一个3×3的线性方程组为例：```a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3```首先，我们可以使用初始值猜测未知向量X的值，然后将方程组中的某个未知数表示为其他未知数的函数，再代入方程组中，得到迭代公式：```x1(k+1) = (b1 - a12x2(k) - a13x3(k)) / a11x2(k+1) = (b2 - a21x1(k) - a23x3(k)) / a22x3(k+1) = (b3 - a31x1(k) - a32x2(k)) / a33```其中，k表示迭代次数。
用列主元高斯消元法求线性代数方程组的解
课程设计任务书前 言回顾普通解方程组的方法，一般都是先逐个削去未知变量，最终得到只有一个未知变量的方程，解之，把得到的值回代到消去变量过程中得到的方程组，逐个求出未知变量。
这种解线性方程组的基本方法就是这里要介绍的高斯消去法。
数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。
高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。
高斯消元法可以用来找出一个可逆矩阵的逆矩阵。
用关联矩阵表述网络拓扑结构,并根据厂站拓扑结构和网络拓扑结构等概念简化了电力系统的拓扑结构。
根据广义乘法和广义加法的运算规则,将改进的高斯消元算法应用于电力系统拓扑结构分析中,并引入稀疏、分块处理等技术提高了上述拓扑分析的效率。
采用上述高斯消元算法对山东电网220kV 以上的变电站进行拓扑结构分析,结果表明了运用该高斯消元法进行网络拓扑分析的正确性和有效性。
用列主元素法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。
然后换行使之变到主元位子上，在进行消元计算。
设)()(k k b X A ，确定第k 列主元所在位置k i ，在交换k i 行和k 行后，在进行消元，并用MATLAB 软件进行求解。
目录摘要......................................................................................... 错误!未定义书签。
第1章绪论 ........................................................................... 错误!未定义书签。
第2章高斯消元法的算法描述 (2)2.1高斯消元法的原理概述 (2)2.1.1高斯消元法的消元过程 (2)2.1.2高斯消元法的回带过程 (3)2.1.3高斯消元法的复杂度分析 (4)2.2列主高斯消元法原理简介 (5)2.2.1列主高斯消元法的消元过程 (6)2.2.2列主高斯消元法的回带过程 (6)2.2.3列主高斯消元法的算法描述 (6)第3章高斯消元法的物理应用 (9)3.1电网模型的描述 (9)3.2电网模型的问题分析 (9)3.3求解计算 (11)参考文献 (13)摘 要用列主元素高斯消去法法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。
高斯消元法与线性方程组的解法知识点总结
高斯消元法与线性方程组的解法知识点总结在数学中，线性方程组是一个常见的问题。
解决线性方程组的一个重要方法是高斯消元法。
本文将对高斯消元法及其相关知识点进行总结。
一、高斯消元法概述高斯消元法是一种通过进行行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而求解方程组的方法。
它通过不断的行变换，将系数矩阵化为单位矩阵，从而得到方程组的解。
二、高斯消元法的步骤1. 构造增广矩阵：将线性方程组中的系数矩阵和常数矩阵合并，形成增广矩阵。
2. 主元选择：选取增广矩阵中的第一个非零元作为主元，将主元所在列的其他元素进行行变换，使其化为零。
3. 交换行：如果主元所在行的系数为零，则可以进行行交换，将非零行移到主元所在行。
4. 迭代计算：从第二行开始，重复进行主元选择和行变换，使整个增广矩阵形成简化行阶梯形矩阵。
5. 回代求解：根据形成的简化行阶梯形矩阵，反向求解线性方程组，得到方程组的解。
三、高斯消元法的优缺点1. 优点：a. 算法简单，易于实现。
b. 可以准确求解线性方程组的解。
c. 可以判断线性方程组的解的个数和解的形式。
2. 缺点：a. 当方程组的系数矩阵存在大量零元或接近零元时，可能会产生较大的舍入误差。
b. 在某些情况下，方程组的解可能无法唯一确定，或者无解。
四、高斯消元法的应用高斯消元法在科学与工程领域有着广泛的应用，特别是在线性代数、计算机图形学、金融数学等领域。
它可以用于求解线性方程组的解，计算矩阵的逆、行列式等。
五、高斯消元法的拓展1. 高斯-约旦消元法：在高斯消元法的基础上，通过对主元所在列的其他元素进行行变换，将主元化为1，从而形成行简化阶梯形矩阵。
2. 列主元高斯消元法：在主元选择时，选取主元所在列中绝对值最大的元素作为主元，从而减小舍入误差的影响。
3. 高斯消元法的数值稳定性：在进行高斯消元法计算时，需要注意舍入误差的积累，通过一些数值稳定的改进方法，可以提高计算的精度。
六、总结高斯消元法是解决线性方程组的一种常用方法，通过不断的行变换，将系数矩阵化为简化行阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。
解多元一次方程组的基本方法
解多元一次方程组的基本方法解多元一次方程组是代数学中的一个基本问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍解多元一次方程组的基本方法。
1. 高斯消元法
高斯消元法是解多元一次方程组最常用的方法之一。
其基本思想是通过一系列行变换，将方程组化为阶梯形或行简化形，然后通过回代求解未知数的值。
高斯消元法的步骤如下：
（1）将方程组写成增广矩阵的形式；
（2）进行初等行变换，将增广矩阵化为阶梯形或行简化形；
（3）根据阶梯形或行简化形，通过回代求解未知数的值。
2. 矩阵法
矩阵法是解多元一次方程组的另一种常用方法。
将方程组的系数矩阵和常数矩阵相结合，通过矩阵的运算求解未知数的值。
矩阵法的步骤如下：
（1）将方程组写成系数矩阵和常数矩阵的形式；
（2）将系数矩阵和常数矩阵相组合，形成增广矩阵；
（3）通过矩阵的运算，将增广矩阵化为简化行阶梯形，然后通过回带求解未知数的值。
3. 克拉默法则
克拉默法则是另一种解多元一次方程组的方法，适用于未知数个数与方程个数相同的情况。
该方法通过计算方程组的行列式和代数余子式来求解未知数的值。
克拉默法则的步骤如下：
（1）计算方程组的系数矩阵的行列式；
（2）求解方程组的各个未知数的代数余子式；
（3）通过克拉默法则，将各个未知数的值表示出来。
总结
解多元一次方程组的基本方法包括高斯消元法、矩阵法和克拉默法则等多种方法。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
通过掌握这些方法，可以更好地解决多元方程组问题，提高数学问题的解决能力。
Gauss消元法解解线性方程组
Gauss消元法解解线性⽅程组摘要本⽂叙述了Gauss 顺序消元法解线性⽅程的算法思想以及其求解过程，同时简要叙述了Gauss 主元素消元法以及Gauss 全主元消元法。
紧接着给出了Gauss Seidel -迭代法的算法思想，本⽂给出了这三个消元⽅法以及⼀个迭代法的算法流程图，由于全主元消元法是前两个算法的基础上改进⽽来，故本⽂采⽤第三种⽅法进⾏编程计算，前两种⽅法不再重复编程，然后给出⼀个实例的计算结果，运⾏时间，在⽂章最后分析该实例的计算结果，针对同⼀实例，⼜采⽤Gauss Seidel -⽅法编程实现，然后对结果进⾏分析和对⽐。
最后给出了本⼈在编程时遇到的⼀些问题和解决办法。
关键词：Gauss 顺序消元法 Gauss 主元素消元法 Gauss 全主元消元法⼀、算法的简要描述1.1Gauss 顺序消元法Gauss 消元法在中学⾥已经学习过，其⽅法实质，就是运⽤初等变换，将线性⽅程组Ax b =转化为同解的上三⾓矩阵⽅程组1Ux L b -=（1.1.1）其中，U 为上三⾓矩阵，L 为下三⾓矩阵。
然后对式（1.1.1）进⾏回代求解，即得⽅程组的解。
⼿算的过程是⾮常清楚的，现在需回答的是计算机求解，如何实现上述计算过程。
设线性⽅程组为1111221331121122223322112233n n n n n n n nn n na x a x a x a xb a x a x a x a x b a x a x a x a x b ++++=??++++=??++++= 写成矩阵形式为1112111212222221222m m m n n a a a x b aa a xb a a a x b=???????（1.1.2）设线性⽅程组如上式所⽰，记(1)A A =，(1)b b =，与是增⼴矩阵具有形式(1)(1)[][]A b A b =，此时⽅程组为(1)(1)A x b =。
第⼀次消元。
高斯列主元素消去法解多元一次方程组
⾼斯列主元素消去法解多元⼀次⽅程组1、Gauss消去法及列主元素消去法算法介绍2、c#源码1/********************************2⾼斯列主元素消去法解多元⼀次⽅程组3 *4 * 例如⽅程组5 * x+y+z=76 * 2x+y-z=67 * x-y-2z=48 *9 * 矩阵阶数N=310 * a[N,N]为1 1 111 * 2 1 -112 * 1 -1 -213 * b[N]为 714 * 615 * 416 *********************************/17using System;18using System.Collections.Generic;19using System.Linq;20using System.Text;21using System.Threading.Tasks;2223namespace Gauss24 {25class Program26 {27const int MaxN = 20;28private float[,] a = new float[MaxN, MaxN];29private float[] b = new float[MaxN];30private float[] x = new float[MaxN];3132private int N;//所要计算的矩阵的阶数33private float center;//中间变量34static void Main(string[] args)35 {36 Program p = new Program();37 p.ReadMatrix();38 p.ShowMatrix();39 p.Calculate();40 p.ShowResult();41 Console.ReadLine();42 }4344//输⼊线性⽅程组对应的矩阵45private void ReadMatrix()46 {47 Console.Write("请输⼊矩阵的阶数：");48while (!int.TryParse(Console.ReadLine(),out N))49 {50 Console.WriteLine("请输⼊正确的阶数！");51 }5253 Console.WriteLine("请输⼊矩阵a[{0}][{0}]：",N);54for (int i = 0; i < N; i++)55 {56for (int j = 0; j < N; j++)57 {58while (!float.TryParse(Console.ReadLine(), out a[i,j]))59 Console.WriteLine("请正确输⼊！");6061 }62 }6364for (int i = 0; i < N; i++)65 {66 Console.Write("请输⼊矩阵b[{0}]：", i);67while (!float.TryParse(Console.ReadLine(), out b[i]))68 Console.WriteLine("请正确输⼊！");69 }70 Console.WriteLine("\n==========================================");71 }7273//显⽰矩阵对应的⽅程组74private void ShowMatrix()75 {76 Console.WriteLine("要求的⽅程组为：");77for (int i = 0; i < N; i++)78 {79for (int j = 0; j < N; j++)80 {81if (j == 0)82 {83string s;84 s = a[i, j] + "x" + (j + 1);85 Console.Write(s);86 }8788else89 {90string s = a[i, j] > 0 ? "+" + a[i, j] + "x" + (j+1) : a[i, j] + "x" + (j+1);91 Console.Write(s);92 }93 }94 Console.WriteLine(" = "+b[i]);95 }96 Console.WriteLine("\n==========================================");97 }9899private void Calculate()100 {101float sum;102int i, k, p;103for (k = 0; k < N-1; k++)104 {105 center = Math.Abs(a[k,k]);//对⾓线上106for (i = k + 1, p = k; i < N; i++)107 {108//选取主元109if (center < Math.Abs(a[i, k]))110 {111 center = Math.Abs(a[i, k]);112 p = i;113 }114 }115116if (i > k)117 {118//移动主元119for (int m = k; m < N; m++)120 {121 center = a[k, m];122 a[k, m] = a[p, m];123 a[p, m] = center;124 }125 center = b[k];126 b[k] = b[p];127 b[p] = center;128 }129130//消元131for (int m = k + 1; m < N; m++)132 {133 center = a[m, k];134for (int n = k; n < N; n++)135 {136 a[m, n] -= center * a[k, n] / a[k, k];137 }138 b[m] -= center * b[k] / a[k, k];139 }140141142 }143//x[N]的值144 x[N - 1] = b[N - 1] / a[N - 1, N - 1];145for (int m = N - 2; m >= 0; m--)146 {147 sum = b[m];148for (int j = N - 1; j > m; j--)149 {150 sum -= a[m, j] * x[j];151 x[m] = sum / a[m, m];152 }153 }154 }155156157private void ShowResult()158 {159 Console.WriteLine("结果为：");160for (int i = 0; i < N; i++)161 {162 Console.Write("x{0}={1}\n",i+1,x[i]); 163 }164165 }166 }167 }3、运⾏结果。
高斯消元法与线性方程组
高斯消元法与线性方程组引言：线性方程组是数学中最基础的问题之一，它在各个领域都有广泛的应用。
解决线性方程组的方法有很多种，其中一种常用且高效的方法是高斯消元法。
本文将介绍高斯消元法的原理和应用，并探讨其在实际问题中的一些限制和改进。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种基于矩阵运算的方法，用于求解线性方程组。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 构造增广矩阵给定一个线性方程组，我们将其系数矩阵与常数向量合并成一个增广矩阵。
例如，对于一个包含n个未知数的线性方程组，其增广矩阵的大小为n×(n+1)。
2. 主元选取从第一行开始，选择一个非零的元素作为主元素，并将其所在列的其他元素都变为0。
这样可以将主元素所在的行化为行阶梯形式。
主元素的选取可以根据一定的策略进行，常见的方法有部分主元选取和完全主元选取。
3. 行变换通过一系列的行变换操作，将每一行的主元素所在列的其他元素都变为0。
行变换操作包括交换两行、将某一行的倍数加到另一行上等。
4. 回代求解将增广矩阵化为行阶梯形式后，可以通过回代的方式求解线性方程组。
从最后一行开始，依次求解每个未知数的值。
二、高斯消元法的应用高斯消元法在科学和工程领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 电路分析在电路分析中，线性方程组常常用于描述电路中的电流和电压关系。
通过高斯消元法，可以求解电路中各个节点的电压值，从而帮助工程师进行电路设计和故障排除。
2. 机器学习在机器学习中，线性回归模型可以表示为一个线性方程组。
高斯消元法可以用于求解最优的模型参数，从而使得模型在给定数据集上的拟合效果最好。
3. 金融风险评估金融领域中，高斯消元法可以用于评估投资组合的风险。
通过建立一个包含各种金融资产的线性方程组，可以计算不同资产的权重，从而实现风险的分散和控制。
4. 图像处理在图像处理中，高斯消元法可以用于图像去噪和边缘检测。
高斯消元法及其在线性代数中的应用研究
高斯消元法及其在线性代数中的应用研究一、引言线性代数是数学中一个重要的分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
高斯消元法是线性代数中一种重要的求解线性方程组的方法。
在本文中，我们将介绍高斯消元法的基本原理、步骤以及它在线性代数中的具体应用。
二、高斯消元法的基本原理高斯消元法是通过一系列的元素行变换将线性方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵，从而求解线性方程组。
其基本原理如下：1. 首先，将线性方程组的系数矩阵与常数向量合并，构成增广矩阵。
2. 通过行变换，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵。
3. 使用回代法求解行阶梯形矩阵，得到线性方程组的解。
三、高斯消元法的步骤高斯消元法的具体步骤如下：1. 构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵与常数向量合并，形成增广矩阵。
2. 主元选取：选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，将其所在行移到当前操作的第一行。
3. 主元归一化：通过除以主元，使得主元所在行的主元为1。
4. 消元操作：对每一行进行消元操作，将主元所在列下方的元素化为0。
5. 重复步骤2、3、4，直到得到行阶梯形矩阵。
6. 使用回代法求解行阶梯形矩阵，得到线性方程组的解。
四、高斯消元法在线性代数中的应用高斯消元法在线性代数中有广泛的应用，以下介绍两个主要的应用。
1. 判断线性方程组是否有解高斯消元法可以判断线性方程组是否有解，通过对方程组进行消元操作得到行阶梯形矩阵，如果在行阶梯形矩阵的最后一行中存在非零常数项，则该线性方程组无解。
否则，若行阶梯形矩阵的行数等于未知数的个数，则该线性方程组有唯一解。
若行阶梯形矩阵的行数小于未知数的个数，则该线性方程组有无穷解。
2. 求解线性方程组高斯消元法可以用于求解线性方程组的解。
通过将线性方程组转化为行阶梯形矩阵，再使用回代法求解行阶梯形矩阵，我们可以得到线性方程组的解。
如果方程组有唯一解，则回代过程简单。
如果方程组有无穷解，则可以使用参数化表示。
五、总结高斯消元法是线性代数中求解线性方程组的一种常用方法。
gauss消元法解方程组
gauss消元法解方程组
Gauss消元法是求解线性代数方程组最常用的一种方法，通过消元法可以将方
程组转化为一个标准的形式，从而求得它的唯一解。
在互联网领域，Gauss式消元
法被广泛的用于求解各种复杂问题，例如：最小二乘曲线拟合、求解爬虫搜索结果、训练深度学习算法等。
Gauss消元法的思想极为简单，它的运算步骤常常可以被简化为三个步骤：一
是找到此方程组所具有的最高次项，二是把此次方程组化为阶梯状，三是以此元素开始，以发酵行消元法求出需要求解的方程式的解。
运算过程中，Gauss消元法每一步都是以一个元素对其余元素的简化为基础的，而不是整体的检查；同时，这一过程可以在最少的元素简化过程中达到最快的求解速度，具备很好的可扩展性和泛化能力。
同时，在运算过程中，也可以有效的避免精度损失，使得最终计算出的结果具备较高可靠性。
Gauss消元法在互联网领域的应用覆盖了多个领域，因为它具备快速求解、精
度可靠之外，其本身也结构简单，不需要大量的运算量，且计算结果中的溢出几率极低，从而使得PHP、Python、Kotlin、Go等多语言的脚本程序都能很好的使用到此消元法中。
总之，Gauss消元法可以在互联网领域起到不可替代的作用，从而为技术的发
展和计算性能的提升做出重要的贡献。
数值分析(08)Gauss消元法解线性方程组
end X=backsub(A, b);
%回代求解
消元法是解线性方程组的基本方法，具有计算简 单的优点，但有时由于主元过小，使得计算结果严重 失真,实际中常采用选主元高斯消元法。
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
选主元消去法 /* Pivoting Strategies */
参数表
MATLAB For Gaussian Elimination
function X=gauss(A,b) %Input—A is an n×n nonsingullar maOutput—X is the solution to the system AX=b
进行到底，得到唯一解。
注：事实上，只要 A A ) ... ... A1 存在，则可通过逐 非奇异，即 ... de t( i 次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出 a i 1 ... a ii 唯一解。
a11
... a1i
求解的全过程包括两个步骤：消元和回代
1 . 顺序消元
k 1, , n 1 i k 1, , n （1）mik aik ( k ) / akk ( k ) （2）aij ( k 1) aij ( k ) mik akj ( k )，j k 1, , n （3）bi ( k 1) bi ( k ) mik bk ( k )
常见是m n，称为欠定方程组（方程数少于未知数） 此时，从Ax b的无穷多个解中需求出2 范数最小的解。 即求 x , 使 || x ||2 min || x ||2 ，x满足Ax b。
r ( A) r ( A)方程组Ax b无解（即不相容）。 常见是m n，称为超定方程组（又称矛盾方程组） 此时，向量b不在A的列空间R( A)之中，原方程组 无解，但可求出最小二乘意义下的解 x。 即求 x使 || b Ax ||2 min 2
解线性代数方程组的直接法之Gauss主元消去法及其C++编程代码
解线性代数方程组的直接法—Gauss 主元消去法最近学习数值分析，为了能够边学习边训练编程，笔者决定对于所学算法一一分析记录，也便于自己以后复习时候的查阅，在这里顺便和大家共享一下我的学习经验，共勉今天主要写的是求解线性方程组的直接法之一Gauss 主元消去法 的基本算法步骤和用C++编程实现的具体过程，内容比较简单，代码已经经过测试，可以直接使用。
首先就是Gauss 顺序消去法的基本原理：主元消去法只是在顺序消元法进行前采取选主元措施。
对于Ax=b 这样一非齐次线性方程组，要求解x 列向量，利用线性代数方面的知识，我们可以对(A|b)这样一个增广矩阵做初等行变换，化为矩阵A 下三角为零的形式。
这个时候再进行回代操作就可以计算出来x 列向量啦。
例如：对矩阵Ax=b;111213*********,11,21,31,,1,2,3,A n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... ... = ... ... ... ,121...n n b b b b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则对应A 的增广矩阵如下：11112131212223221,11,21,31,1,1,2,3,.........(A |b).........n n n n n n n n n n n n nn b a a a a a a a a b a a a a b a a a a b -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第一步：以(A|b)的第一行为基，对的第2行到第n 行进行初等行变换； 假设110a ≠，将第1行的111i a a -倍加到第i 行(i=2,3,…,n)，通式为 (2)(1)1111(j 1,2,...,n,n 1)i ij ij j a a a a a =-=+ 注意这里的j 是从1到n+1取值的； a ij 的上标（1）,（2）只是用来表示数据a ij 前一时刻和当前时刻的值经过消元，增广矩阵(A|b)变成下面的形式：(1)(1)(1)(1)(1)11112131(2)(2)(2)(2)222232(2)(2)(2)(2)1,21,31,1(2)(2)(2)(2),2,3, 0...(A |b)......0...0...nnn n n n n n n n nn b a a a a b a a a a a a b a a a b ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦到这里，第一步就进行完啦，下来的第2步一直到第n-1步都和上面道理一样，那么进行完n-1步以后，我们得到这样一个增广矩阵：(1)(1)(1)(1)(1)111121,11(2)(2)(2)(2)2222,2(n 1)(n 1)(n 1)1,11,1(n 1)(n 1), 0...(A |b)......00 (00)...0n nnnn n n n n n nn b a a a a b a a a a a b a b ----------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦嘿嘿，到这里基本就可以大功搞成了。
C++课程设计高斯消元法求线性代数方程组的解
C++课程设计高斯消元法求线性代数方程组的解第一篇：C++课程设计高斯消元法求线性代数方程组的解河北工业大学计算机软件技术基础（VC）课程设计报告学院管理班级管理104班姓名杨立宝 __ 学号 101707____ 成绩 __ ____一、题目：求线性代数方程组的解（高斯消去法）（C13）二、设计思路1、总体设计1）分析程序的功能第一：编写输入程序，通过键盘先输入对应的已知量及函数的大小n和系数a[i]和得数b[i]。
第二：编写中间程序，通过函数的调用先定义线性代数方程，然后通过程序求出方程的梯形矩阵系数，并最终得出结果。
第三编写输出程序，输出最终结果。
2）系统总体结构：设计程序的组成模块，简述各模块功能。
模块一：各函数的具体内容A：三个输入函数，分别输入n，一维数组，二维数组。
即输入已知量。
B：中间运算函数，计算是使得方程系数所成的矩阵成梯形矩阵，未知数的结果。
即计算中间变量及结果。
C：最后输出函数，输出最后计算结果。
模块二：各函数原型的声明 a写头文件。
b变量声明:存放输入数据的数组的声明，存放中间变量的数组的声明，存放运算结果的数组的声明。
分别存放对应数据。
c输入有关操作的文字d函数调用，在运算中自动调用对应的函数解决对应问题。
模块三:主函数2、各功能模块的设计：说明各功能模块的实现方法模块一：各个函数的声明，直接声明。
模块二：各函数都通过for循环来实现各个数组之间的基本运算。
3、设计中的主要困难及解决方案在这部分论述设计中遇到的主要困难及解决方案。
1）困难1 函数调用是怎么用？解决方案：仔细阅读课本，以及同学之间的讨论，和老师的帮助。
4、你所设计的程序最终完成的功能1）说明你编制的程序能完成的功能输入线性代数的系数后，运行程序即可得到梯形矩阵和结果。
2）准备的测试数据及运行结果三、程序清单如果是使用一个文件完成的程序，只需列出程序代码。
如果是使用多文件完成的程序，首先说明程序中的代码存放在哪些文件中，说明文件名（例如：本程序包含first.cpp、second.cpp、third.cpp和all.h四个文件）；然后依次给出每个文件名及该文件清单，例如：#include const N= 10;//设定矩阵大小范围 /* * 使用已经求出的x，向前计算x（供getx()调用）* double a[][] 系数矩阵 * double x[] 方程组解 * int i 解的序号 * int n 矩阵大小 * return 公式中需要的和 */ double getm(double a[N][N], double x[N], int i, int n){ double m = 0;int r;for(r=i+1;rresult = double(b[n-1]/a[n-1][n-1]);else //计算其他x值（对于公式中的求和部分，需要调用getm()函数）result = double((b[i]-getm(a,x,i,n))/a[i][i]);return result;} void main(){ //double a[N][N] = {{2},{1,3,2},{1,2,2}};//double b[N] = {4,6,5};double a[N][N];//系数矩阵 double b[N];//右端项 double x[N];//方程组解 int i,j,k;int n=N;//矩阵大小/*用户手工输入矩阵*/ cout<>n;cout<>a[i][j];} cout<>b[i];} /*显示原始矩阵*/ cout</*进行高斯消去*/ for(j=0;j/*显示处理后矩阵*/ cout</*回代方式解方程组*/ for(i=n-1;i>=0;i--){ x[i] = getx(a,b,x,i,n);} /*显示方程组解*/ cout<四、对该设计题目有何更完善的方案1、对自己完成程序进行自我评价。
高斯消元法与线性方程组的解集
高斯消元法与线性方程组的解集一、高斯消元法概述1.高斯消元法的定义：高斯消元法是一种解决线性方程组的数学方法，通过一系列的行操作将线性方程组的矩阵转化为梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵，从而求出线性方程组的解。
2.高斯消元法的步骤：a.选取主元，将矩阵的第一列元素变为非负数；b.进行行消元，将矩阵的后续列元素化为0；c.重复上述操作，直至整个矩阵转化为梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵。
二、线性方程组的概念及分类1.线性方程组的定义：线性方程组是由多个线性方程构成的方程组，其未知数的次数均为1。
2.线性方程组的分类：a.二元线性方程组：包含两个未知数和两个方程的线性方程组；b.三元线性方程组：包含三个未知数和三个方程的线性方程组；c.多元线性方程组：包含四个或四个以上未知数和方程的线性方程组。
三、线性方程组的解集1.线性方程组的解集概念：线性方程组的解集是指所有满足方程组的解的集合。
2.线性方程组的解集特点：a.线性方程组的解集为非空集合；b.线性方程组的解集具有封闭性；c.线性方程组的解集满足叠加原理。
四、高斯消元法在求解线性方程组中的应用1.利用高斯消元法将线性方程组化为行简化阶梯形矩阵；2.通过对行简化阶梯形矩阵进行回代，求出线性方程组的解集。
五、高斯消元法的拓展1.高斯消元法的变形：高斯-若尔当消元法和列主元高斯消元法；2.高斯消元法在求解线性方程组中的应用：高斯消元法不仅可以求解线性方程组，还可以求解线性方程组的逆矩阵、线性变换等问题。
六、线性方程组的解集与高斯消元法的关系1.高斯消元法可以求解线性方程组的解集；2.线性方程组的解集的性质可以通过高斯消元法进行验证；3.高斯消元法的算法效率与线性方程组的解集的性质有关。
综上所述，高斯消元法是一种有效的求解线性方程组的方法，通过对线性方程组进行行操作，可以求出其解集。
同时，线性方程组的解集的性质与高斯消元法有着密切的关系。
习题及方法：1.习题：已知线性方程组：2x + 3y - z = 74x - y + 5z = 25x + 2y - 3z = 0求该线性方程组的解集。
高斯消元法与线性方程组求解
高斯消元法与线性方程组求解线性方程组是数学中重要的研究对象之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
解决线性方程组的问题是线性代数中的一个基本问题，而高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
高斯消元法是一种通过矩阵变换来简化线性方程组求解过程的方法。
它的基本思想是通过逐步的行变换将线性方程组化为等价的简化形式，从而得到方程组的解。
首先，我们将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是将系数矩阵和常数向量合并在一起的矩阵，它的每一行对应一个方程。
然后，我们通过一系列的行变换来消去矩阵的下三角部分。
行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数以及将某一行的倍数加到另一行上。
通过这些行变换，我们可以将矩阵化为上三角形式。
接下来，我们通过回代的方式求解方程组。
回代是从最后一行开始，将已知的解代入上面的方程，逐步求解未知数。
通过这样的过程，我们可以得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易懂，容易实现。
它可以在有限步骤内求解线性方程组，无论方程组的规模如何。
然而，高斯消元法也有一些局限性。
首先，当方程组的系数矩阵为奇异矩阵时，高斯消元法无法求解。
其次，高斯消元法在求解过程中可能会出现浮点数误差的问题，导致结果的精度下降。
为了解决高斯消元法的局限性，人们提出了一些改进的方法。
例如，列主元高斯消元法选择每一列中绝对值最大的元素作为主元，可以提高计算的稳定性。
此外，人们还发展了一些迭代法来求解大规模的线性方程组，例如雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
除了求解线性方程组，高斯消元法还可以用于计算矩阵的逆和解决线性最小二乘问题。
通过对增广矩阵进行相应的行变换，我们可以得到矩阵的逆矩阵。
而对于线性最小二乘问题，我们可以通过高斯消元法将其转化为一个等价的正规方程组，然后再用高斯消元法求解。
总之，高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
它通过矩阵变换来简化方程组的求解过程，具有简单易懂、易于实现的优点。
然而，高斯消元法也有一些局限性，如对奇异矩阵的无法求解和浮点数误差的问题。
多元线性方程组的解法与应用
多元线性方程组的解法与应用多元线性方程组是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中扮演着重要的角色。
本文将介绍多元线性方程组的解法以及其在实际应用中的一些例子。
一、多元线性方程组的解法多元线性方程组是由多个未知数和多个方程组成的方程组。
解决多元线性方程组的关键在于找到一组满足所有方程的未知数的值。
下面介绍两种常见的解法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种常用的解多元线性方程组的方法。
它通过一系列的行变换将方程组化为简化的行阶梯形式，从而求得方程组的解。
首先，将方程组写成增广矩阵的形式，其中每一行代表一个方程，每一列代表一个未知数。
然后，通过行变换将矩阵转化为行阶梯形式。
行变换包括交换两行、将某行乘以非零常数、将某行的倍数加到另一行上等操作。
最后，通过回代法求解得到方程组的解。
2. 矩阵法矩阵法是另一种解多元线性方程组的方法。
它利用矩阵的性质将方程组转化为矩阵方程，然后通过矩阵的运算求解。
首先，将方程组的系数矩阵记为A，未知数的向量记为X，常数的向量记为B。
则原方程组可以表示为AX=B。
然后，通过矩阵的逆、转置等运算，可以得到X=A^(-1)B，从而求得方程组的解。
二、多元线性方程组的应用多元线性方程组在实际问题的建模和解决中有广泛的应用。
下面介绍两个例子。
1. 经济学中的应用在经济学中，多元线性方程组常用于描述经济模型和分析经济关系。
例如，通过建立多元线性方程组，可以研究不同变量之间的影响关系，进而预测经济发展趋势和制定经济政策。
2. 物理学中的应用在物理学中，多元线性方程组常用于描述物理现象和求解物理问题。
例如，通过建立多元线性方程组，可以研究物体的运动规律、力学关系等。
在电路分析中，也可以通过多元线性方程组求解电流、电压等参数。
三、总结多元线性方程组是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用。
本文介绍了多元线性方程组的解法，包括高斯消元法和矩阵法，并举例说明了多元线性方程组在经济学和物理学中的应用。
线性代数 25Gauss消元法与线性方程组的解资料.
例2.24 解齐次线性方程组
2x1 x2 +x3 0 x1 2x2 3x3 0
3x1 3x2 3x3 0
解：这是齐次线性方程组，其增广矩阵的最 后一列均为零，所以，只需要对系数矩阵初 等行变换即可。系数矩阵A为
1 1 1
1 1 1 1 0 1
A
1
3
2 3
3 3
r2 r3
或令x3 k1, x4 k2 ,方程组的解可记作
x1 1 2k2
x
x2
1
k1
k2
,
x3 x4
k1 k2
其中k
,k
1
2为任意常数.
1．上述解方程组的方法称为Gauss消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
第2步：第2个方程两边同乘以1/2，再将第3个方程 减去第2个方程得到：
x1
x2 x2
x3 x3
x4 0 -x4 -1
00
第3步：将第2个方程加到第1方程得到
x1
2x4 0 x2 x3 -x4 -1
00
于是得
x2
x1 2x4 -1+x3
x4
其中x3,x4为任意取值.
1 -1
用高斯消元法求解线性代数方程组
用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。
⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a（1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x其中)0(11)0()1(1aa aijj=， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n + 1）从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2）其中n i a m a aij i ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。
数学中的多元方程组求解与矩阵运算
数学中的多元方程组求解与矩阵运算数学中的多元方程组求解与矩阵运算是线性代数的重要内容，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍多元方程组的求解方法以及与之相关的矩阵运算。
一、多元方程组的求解方法多元方程组是由多个未知数和相应的方程组成的方程系统。
求解多元方程组的目标是找到满足所有方程的未知数的取值。
常见的多元方程组求解方法包括高斯消元法、矩阵消元法和克拉默法则。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种常用的求解多元方程组的方法。
它通过一系列的行变换将方程组转化为行简化阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的基本思想是将方程组表示为增广矩阵，然后通过消元操作将矩阵化为行简化阶梯形矩阵，最后通过回代求解得到未知数的值。
2. 矩阵消元法矩阵消元法是一种基于矩阵运算的多元方程组求解方法。
它将方程组表示为增广矩阵，然后通过一系列的矩阵运算将矩阵化为行简化阶梯形矩阵，最后通过回代求解得到未知数的值。
矩阵消元法可以看作是高斯消元法在矩阵形式下的推广，它更加简洁和直观。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的多元方程组求解方法。
它利用方程组的系数矩阵的行列式和各个未知数对应的代数余子式来求解方程组。
克拉默法则的优点是可以直接得到每个未知数的解，但是当方程组的规模较大时，计算代数余子式的复杂度较高。
二、矩阵运算矩阵运算是多元方程组求解的重要工具，它包括矩阵的加法、减法、乘法以及逆矩阵的求解等操作。
1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是按照对应元素相加或相减的规则进行的。
两个矩阵的加法和减法要求其维数相同，即行数和列数相等。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是按照矩阵乘法的规则进行的。
两个矩阵相乘的结果是一个新的矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即乘法的顺序会影响结果。
3. 逆矩阵的求解逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于可逆矩阵，可以通过行列式和伴随矩阵的关系来求解逆矩阵。
3.1高斯消元法线性代数第四版.课件
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4、Gauss消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
(
A
b)
=
a21
a22
a1n b1
a2n
b2
am1 am2 amn
am1
am2
amn
bm
A称为方程组的系数矩阵. A~ 称为方程组的增广矩阵.
３．线性方程组的解
方程组的解：若以n个数组成的有序数组a1, a2, …, an替代未知数
x1, x2, …, xn使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称有序数组 是方程组（1）的一个解.
ar' r xr +
+ a1' n xn = d1 + a2' n xn = d2
+ ar' n xn = dr
0
=
d
r
（3-1）
+1
0 =0
0 =0
《线性代数》
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方程组（3-1）和原方程组 Ax = b 同解. 对于方程组（3-1）的解分几种情况进行讨论. 第一种情况：若dr+1=0且r = n时，方程组（3-1）具
(3-4)
其中 xr+1 , xr+2 ,, xn 是自由未知量,共有(n-r)个,
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2008 年 02 月 27 日
1
正在整理中……
有关方程以及方程组求解的相关话题
2 3
Gauss 消元 结式与多元代数方程组
定义3.1 (Sylvester 矩阵). 设 R 为交换环, f (x), g (x) ∈ R[x], f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , g (x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 . f , g 的 Sylvester 矩阵定义为: Syl(f, g ) = bm an ··· .. . an ··· .. . bm ··· b0 .. . ··· a0 .. . a0 b0
4 结式与子结式
3
A = (d1 − d2 ) + (b1 − b2 )(b1 d2 − b2 d1 ), B = 2(d1 − d2 )(e1 − e2 ) + (b1 − b2 )((b1 e2 + c1 d2 ) − (b2 e1 + c2 d1 )) + (c1 − c2 )(b1 d2 − b2 d1 ), C = (e1 − e2 ) + 2(d1 − d2 )(f1 − f2 ) + (b1 − b2 )((b1 f2 + c1 e2 ) − (b2 f1 + c2 e1 )) + (c1 − c2 )((b1 e2 + c1 d2 ) − (b2 e1 + c2 d1 )), D = 2(e1 − e2 )(f1 − f2 ) + (b1 − b2 )(c1 f2 − c2 f1 ) + (c1 − c2 )((b1 f2 + c1 e2 ) − (b2 f1 + c2 e1 )), E = (f1 − f2 ) + (c1 − c2 )(c1 f2 − c2 f1 ). 至此, 我们只需解单变元方程 (3.2)即可. 对于方程 (3.2)的每一个实数解 y , 可以求得一个 实数解 x(不考虑退化情形下): x=− 即为一个交点. (d1 y 2 + e1 y + f1 ) − (d2 y 2 + e2 y + f2 ) (b1 y + c1 ) − (b2 y + c2 ) 3
.
(3.1)
(m+n)×(m+n)
定义3.2 (结式(Resultant)). f , g 如上定义, f , g 的结式定义为: res(f, g ) = det(Syl(f, g )). 定理3.1. 设 F 是域, f (x), g (x) ∈ F [x], 再设 f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , g (x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 . 则 f , g 不互素的充分必要条件是: res(f, g ) = 0. 证明. 易证 f , g 不互素的一个充分必要条件是存在 u(x), v (x) ∈ F [x](不全为零), 满足: u(x)f (x) + v (x)g (x) = 0, deg u < deg g, deg v < deg f.
2
即 Syl(f, g )T (um−1 , · · · , u0 , vn−1 , · · · , v0 )T = 0 有非零解(视 um−1 , · · · , u0 , vn−1 , · · · , v0 为未 知元). 从而 res(f, g ) = 0. 注1. 从证明过程中可以看出, F 可以为一个 UFD, 结论仍应成立. 将定理 3.1应用于 C[y ], 可以得到: 的求解可以归结为先 g (x, y ) = 0 求 res(f, g ) = 0 的解(关于 y ), 再将此方程的解 y0 带入原方程组, 得到解 (x0 , y0 ). 注2. 此消元法易于推广到多元的方程组. 例3.1 (两圆锥曲线的交点). 设两条圆锥曲线 C1 : x2 + (b1 y + c1 )x + (d1 y 2 + e1 y + f1 ) = 0, C2 : x2 + (b2 y + c2 )x + (d2 y 2 + e2 y + f2 ) = 0. 求 C1 , C2 的交点. 解: 设 f (x, y ) = x2 + (b1 y + c1 )x + (d1 y 2 + e1 y + f1 ), g (x, y ) = x2 + (b2 y + c2 )x + (d2 y 2 + e2 y + f2 ). 应用定理 3.2, 我们求得 1 b1 y + c1 res(f, g ) = 1 1 b2 y + c2 1 d1 y 2 + e1 y + f1 b1 y + c1 d2 y 2 + e2 y + f2 b2 y + c2 d2 y 2 + e2 y + f2 d1 y 2 + e1 y + f1 . 定理3.2 (Sylvester 消去法). 设 f , g ∈ C[x, y ], 则方程组 f (x, y ) = 0
令 p = b1 y + c1 , q = d1 y 2 + e1 y + f1 , r = b2 y + c2 , s = d2 y 2 + e2 y + f2 , 则
1 p res(f, g ) = 1 1 r 1
q p q s r s
= (q − s)2 + (p − r)(ps − qr). 代入, 我们容易得到 res(f, g ) 中 y 的各项系数, 设 res(f, g ) = Ay 4 + By 3 + Cy 2 + Dy + E, 则 (3.2)
可设 u(x) = um−1 xm−1 + · · · + u1 x + u0 , v (x) = vn−1 xn−1 + · · · + v1 x + v0 . 则有: (um−1 , · · · , u0 , vn−1 , · · · , v0 )Syl(f, g ) = 0. 1
3 结式与多元代数方程组
2 2
2
4 5 6
结式与子结式 Groebner 基方法 吴特征列方法