线性方程组1.矩阵消元法
第三章 线性方程组
第三章 线性方程组§3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+45342622321321321x x x x x x x x x解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。
除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。
这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。
显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。
比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534216122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210960→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。
矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。
下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4115342]1[6122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111990342109]6[0 −→−*⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11]5.5[0005.1103101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。
消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。
最后一个矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200300100321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。
写成列向量()Tx 2,3,1=，叫做解向量。
显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。
第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1的线性方程组，写成矩阵形式是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---436115421122x 。
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
常见的解题方法技巧：
1.高斯消元法：用于解决线性方程组的方法，通过
消去未知数的系数，使方程组的每一行的未知数
只有一个。
2.高斯-约旦消元法：用于解决线性方程组的方法，
通过消去未知数的系数，使方程组的每一行的未
知数只有一个，并通过交换方程的顺序来解决无
解或多解的情况。
3.矩阵消元法：用于解决线性方程组的方法，将方
程组写成矩阵形式，通过消去未知数的系数，使
矩阵的每一行的未知数只有一个。
4.高斯-约旦分解法：用于解决线性方程组的方法，
通过将方程组写成两个矩阵的乘积的形式。
5.广义逆矩阵法：用于解决线性方程组的方法，通
过求出矩阵的广义逆（也叫做伪逆），将方程组写
成矩阵的形式，求解未知数的值。
6.矩阵的特征值与特征向量：用于解决矩阵的本征
值问题的方法，通过求解矩阵的特征方程，求得
矩阵的特征值与特征向量，并利用它们来求解其
他问题。
7.奇异值分解：用于解决矩阵的奇异值分解问题的
方法，将矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，并利用它们来求解其他问题。
8.广义逆矩阵的求法：用于求解矩阵的广义逆（也叫做伪逆）的方法，包括计算机辅助的方法和数学计算的方法。
线性方程的应用
线性方程的应用线性方程是数学中最常见、最基础的方程类型之一。
它描述了两个变量之间的线性关系，并且具有广泛的应用领域。
本文将探讨线性方程在实际问题中的应用，以及解决这些问题时所用到的方法和技巧。
一、线性方程与代数关系线性方程可以用于描述各种代数关系，在解决实际问题中起到重要的作用。
以下是几个常见的应用场景：1. 一元线性方程：一元线性方程是最简单的线性方程形式，表达成y = mx + b 的形式，其中 m 和 b 分别表示斜率和截距。
这种方程常用于描述一维物理问题，如速度、距离和时间之间的关系。
例如，当我们知道一个车辆以匀速行驶，可以通过一元线性方程计算出其速度和行驶时间。
2. 二元线性方程组：二元线性方程组是由两个线性方程联立得到的方程组。
它常用于描述平面几何问题，如直线的交点、平行线和垂直线等。
例如，在坐标系中，通过解二元线性方程组可以确定两条直线的交点，从而解决几何问题。
3. 多元线性方程组：多元线性方程组是由多个线性方程联立得到的方程组。
它广泛应用于经济学、物理学和工程学等领域，用于描述多个变量之间的关系。
例如，在经济学中，通过解多元线性方程组可以确定供求关系、市场平衡等重要经济指标。
二、解线性方程的方法解线性方程的方法主要有代入法、消元法和矩阵法等。
下面将对这些方法进行简要介绍：1. 代入法：代入法是解一元线性方程的常用方法。
它的思路是将一个变量的值代入另一个方程中，然后求解得到结果。
例如，对于方程组 y = 2x + 1 和 y = x - 3，可以将第一个方程中的 y 用第二个方程中的x 表示，得到 x = 4，再将 x 的值代入第一个方程得到 y 的值。
2. 消元法：消元法是解二元线性方程组的常用方法。
它的核心思想是通过消去变量的方式，减少方程的数量，从而达到求解的目的。
例如，对于方程组 2x + 3y = 7 和 4x - 5y = 2，可以通过消去 x 的方式得到一个只包含 y 的方程，进而求解得出 y 的值，再代入原方程组求解 x 的值。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中一种重要的数学模型，它描述了线性关系的集合。
解决线性方程组的问题在数学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：矩阵消元法和矩阵求逆法。
一、矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
它通过对增广矩阵进行一系列的行变换来化简线性方程组，最终达到求解方程组的目的。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取主元，即第一行第一列的元素作为主元，将主元移到对角线上。
3. 利用主元，通过一系列的行变换，将主元下方的元素化为零。
4. 对于主元右方的元素，依次选取主元，重复第2、3步，将其化为零。
5. 重复以上步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵。
6. 反向求解未知数，得到线性方程组的解。
这种方法的优点是简单易行，适用于任意大小的线性方程组。
然而，该方法在某些情况下可能会出现无法求解的情况，例如矩阵的某一行全为零或等于其他行。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的解决线性方程组的方法。
该方法利用矩阵的逆矩阵，通过左乘逆矩阵将线性方程组转化为标准形式，从而求解未知数。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 判断系数矩阵A是否可逆，若可逆，则存在逆矩阵A^-1。
3. 左乘逆矩阵A^-1，得到X = A^-1 * B。
4. 计算逆矩阵A^-1和常数向量B的乘积，得到未知数向量X，即线性方程组的解。
矩阵求逆法相较于矩阵消元法更加灵活，但对于大规模矩阵的求逆可能会涉及到较复杂的计算。
此外，在某些情况下，系数矩阵A可能不存在逆矩阵，此时该方法无法求解。
总结线性方程组是数学领域中研究的重要课题，矩阵消元法和矩阵求逆法都是常见的解决线性方程组的方法。
选择合适的解法取决于问题的具体要求和所涉及的矩阵特性。
在实际问题中，我们根据具体情况选择适当的方法，以求得线性方程组的解。
注：本文中所使用的线性方程组解法仅涵盖了部分常见方法，并不是穷尽全部解法。
第1讲 用矩阵消元法求解线性方程组
a ____ ， b ____ ， c ____ ；
u 1 2 (2) 设 B x v 3 为反对称矩阵，则 y z w u ____ ， v ____ ， w ____ ； x ____ ， y ____ ， z ____ .
为(1)的一个解(向量). (1)的全体解向量形成的集合称为(1)的解(向量)集合. 在(1)中，将 n 个未知量 x1 , x2 , , xn 改为 y1 , y2 , , yn ，并不影响解向量集合. 所以
反映了(1)的所有本质特征. 说，增广矩阵 A
2、初等变换
-5-
定义 11
在线性方程组(1)中，
以 A [ aij ]mn 的第 j 列各元素次序不变排成新矩阵的第 j 行( j 1, 2, , n )，亦得
a11 a 12 T A a1n
显然，有
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
ent ij A ent ji AT (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
C A B .
数与矩阵可以相乘. 定义 6 设 A [ aij ]mn ，则称矩阵 [kaij ]mn [ aij k ]mn 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(或
A 的 k 倍)，记作 kA 或 Ak .
加法与数量乘法统称为矩阵的线性运算. 2、 m n 矩阵空间 数域 上的全体 m n 矩阵形成的集合可以表示为
(加法交换律) (加法结合律) (加法右单位元) (加法右逆元) ( 1 倍) (数乘结合律) (第一分配律) (第二分配律)
mn 关于矩阵的加法与数量乘法，称为数域 上的 m n 矩阵空间. 减法是加法的派生运算： A B A ( B ) .
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
考研高数总复习第三章线性方程组第一节讲解
再把 x3 = -6， 故方程组的唯
情形二 r < n
这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1 ,
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn d2 ,
crr xr cr,r1xr1 crn xn dr ,
其中 cii 0 , i = 1, 2, … , r .
把它变形，得
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn ,
c22 x2 c2r xr d2 c2,r1xr1 c2n xn ,
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
x1 x2 2x1 2x2
2 3x3
1
(1) (2)
x1 2x2 x3 2 (3)
STEP 2 方程 (1) 乘以 -2 加到方程 (2);
方程 (1) 乘以 1 加到方程 (3), 得
x1 x2
2
(1)
4x2 3x3 3
(4)
x2 x3 0
(5)
STEP 3 交换方程 (4) 与方程 (5), 得
一个方程上去. (3) 交换两个方程在方程组中的位置;
定义 1 变换 (1)，(2)，(3) 称为线性方程组 的初等变换.
2 消元法的证明
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.
下
同解方程组 面证明，初等变换总是把方程组变成
.
证明 只证变换 (2)
对于方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
x1 x2
2 (1)
x2 x3 0
(5)
4x2 3x3 3 (4)
STEP 4 方程 (5) 乘以 -4 加到方程 (4) , 得
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
线性方程组的消元法和矩阵的初等变换
系数
a
ij
(i 1,2, , m; j 1,2
i
若常数项b1 , b2 ,, bm不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组;
若常数项b1, b2 ,, bm 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
显然，线性方程组是由它的全部系数和常数 项来决定
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
增广矩阵
a11 a 21 B ( A, b) a m1
a a a
12 22
a a a
1n 2n
m2
mn
2 bm
b b
1
显然，线性方程组是由其增广矩阵唯一确定。
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a12 a a 21 22 am1 am 2
a1n a2 n amn
b1 b2 bm
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
二、线性方程组的求解
(1)系数矩阵与增广矩阵
a11 a 21 系数矩阵 A a m1
现实当中很多问题 求解线性方程组
可转化为
一、 线性方程 组的一般形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
(2)用消元法解方程组 例1 解线性方程组
2 x1 ５x２ 5 1 x x 1 2
例2 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2 2 6 x1 x 3
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
线性方程组的消元解法 PPT
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
文科数
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形 成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
文科数
例习 在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公
元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问：
今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量)
三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十
四斗；上禾一秉，中禾二பைடு நூலகம்，下禾三秉，实二十六斗，
问上、中、下禾一秉几何？
该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式
记为 ri k rj .
称此三种变换为矩阵的行初等变换。 文科数
由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增 广矩阵的行初等变换。 例1 求解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
文科数
互换(1)与(2)的位置得 (2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
文科数
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得 (3)-(2) 得
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求 解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数
例1 求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
A
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
矩阵消元法解线性方程组
矩阵消元法解线性方程组
矩阵消元法是一种用于解线性方程组的算法，它是通过将增广矩阵化为阶梯形或行最简形矩阵，从而找到方程组的解。
该方法基于高斯消元法，但适用于更一般的情况。
首先，将增广矩阵G(A∣B)通过行变换化为行阶梯形矩阵，使得右侧的常数矩阵变为单位矩阵。
在这个过程中，我们保持方程的解不变，因为行变换是可逆的。
然后，将行阶梯形矩阵继续通过行变换化为行最简形矩阵。
在这个过程中，右侧的常数矩阵变为单位矩阵，左侧的矩阵变为一个与原方程组同解的线性方程组的系数矩阵。
最后，通过行最简形矩阵得到原方程组的解。
如果系数矩阵中有非零元素，则对应未知数的值即为该元素所在的列中的常数值。
如果某个未知数在系数矩阵中全为零，那么该未知数可以自由取值。
除了高斯消元法，另一种常见的消元法是1U分解法。
1U分解法将增广矩阵分解为一个下三角矩阵1和一个上三角矩阵U的乘积。
然后，通过逐行推移的方式求解线性方程组。
这种方法在某些情况下比高斯消元法更快，因为它利用了更多的信息。
总的来说，矩阵消元法是一种非常有效的求解线性方程组的方法，它适用于各种大小和复杂性的方程组。
在实际应用中，选择哪种消元法取决于具体的问题和计算资源。
求解线性方程组的方法
求解线性方程组的方法1. 矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
它通过对线性方程组的系数矩阵进行行变换，将其化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并为增广矩阵。
2. 选择一个主元，通常选择矩阵的左上角元素作为主元。
3. 利用主元所在行的系数将其他行的对应系数消去。
4. 重复以上步骤，不断选取主元，直到将增广矩阵化为行阶梯形式。
5. 根据行阶梯形式，可以得到线性方程组的解。
如果出现矛盾或自由变量，则方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种求解线性方程组的方法。
它利用线性方程组的系数矩阵的逆矩阵，通过矩阵乘法得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵A求逆，得到逆矩阵A^-1。
2. 将线性方程组的常数向量b作为列向量。
3. 将逆矩阵A^-1与常数向量b相乘，得到方程组的解向量x。
需要注意的是，矩阵求逆法要求线性方程组的系数矩阵是可逆的，即行列式不为零，否则无法求解。
3. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是对矩阵消元法的改进。
它在选择主元时不仅考虑行，还同时考虑列，从而提高了计算的准确性和稳定性。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并为增广矩阵。
2. 选择一个主元，同时考虑主元所在的行和列，通常选择主元绝对值最大的元素作为主元。
3. 利用主元所在行的系数将其他行的对应系数消去。
4. 重复以上步骤，不断选取主元，直到将增广矩阵化为行阶梯形式。
5. 根据行阶梯形式，可以得到线性方程组的解。
如果出现矛盾或自由变量，则方程组无解或有无穷多解。
以上是求解线性方程组的三种常用方法，根据具体问题的复杂程度和要求的精确性，选择相应的方法进行求解。
平面向量的线性方程组和矩阵方程组
平面向量的线性方程组和矩阵方程组平面向量是解决几何和代数问题的重要工具之一。
在平面向量的应用中，线性方程组和矩阵方程组起到了关键作用。
本文将介绍平面向量的线性方程组和矩阵方程组的概念、求解方法以及应用实例。
一、线性方程组与矩阵方程组的概念1. 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合。
在平面向量中，线性方程组通常表示向量之间的线性关系。
线性方程组的一般形式如下：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，x和y为未知数，a1、b1、c1、a2、b2、c2为给定的常数。
2. 矩阵方程组矩阵方程组是以矩阵形式表示的线性方程组。
在平面向量中，矩阵方程组常用于表示多个向量之间的线性关系。
矩阵方程组的一般形式如下：AX = B其中，A为系数矩阵，X为未知向量，B为已知向量。
二、线性方程组的解法1. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的一种常用方法。
该方法通过求解系数矩阵的行列式和未知数向量的行列式来得到方程组的解。
2. 矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的另一种常见方法。
该方法通过对系数矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，进而求解方程组的解。
三、矩阵方程组的解法1. 逆矩阵法逆矩阵法是解决矩阵方程组的一种常见方法。
该方法通过求解系数矩阵的逆矩阵，将矩阵方程组表示为X = A^-1B的形式，进而求解方程组的解。
2. 列主元素消去法列主元素消去法是解决矩阵方程组的另一种常用方法。
该方法通过对系数矩阵进行列主元素消去，将其化为上三角矩阵，进而求解方程组的解。
四、案例分析下面通过一个简单的案例，介绍线性方程组和矩阵方程组的应用。
假设有两个平面向量a = (2, 1)和b = (-1, 3)，求解以下线性方程组：2x - y = 5-x + 3y = 13首先，我们可以通过克拉默法则或矩阵消元法求解该线性方程组，得到解x = 4和y = -3。
接下来，我们将该线性方程组表示为矩阵方程组形式：(2 -1) (x) (5)(-1 3) (y) = (13)通过逆矩阵法或列主元素消去法，我们可以求解矩阵方程组，得到相同的解x = 4和y = -3。
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
[理学]第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换
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主讲人：何童
线性代数
教 材：《经济数学——线性代数》第二版 吴传生等编 高等教育出版社
参考书： 《线性代数》第五版
同济大学编 高等教育出版社
《线性代数》
居余马等编 清华大学出版社
《线性代数复习指导》
马杰编
机械工业出版社
第一章 线性方程组的消元法 和矩阵的初等变换
线性方程组的消元法 矩阵的初等变换
3x3 1 x3 5
x3 6
用“回代”的方法求出解：
阶梯形方程组
x1 9
x2
1
x3 6
x1 9
即：
x2
1
x3 6
小结：
1．用消元法解方程组的过程中，始终把方程 组看作一个整体变形，用到如下三种变换
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
ij
（2）以不等于０的数乘某个方程；
线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。
线性方程的线性组合：
将线性方程(1)和(2)分别乘两个已知常数 1, 2
再将所得的两个方程相加，得到新方程：
1a11 2a21 x1 1a12 2a22 x2 1a1n 2a2n xn 1b1 2b2 (3)
称为原来两个方程(1)和(2)的一个线性组合，1, 2
第一节 线性方程组的消元法
一、线性方程组的基本概念
1. 线性方程组的定义
由一次方程构成的方程组称为线性方程组。
例如
2xx11
x2 x2
x3 x3
1 0
x1 5 x2 3x2 2
4
而方程组
x1
x32
x3
1 为非线性方程组。
2x1 x2 x3 0
线性方程组的一般表达形式 ：
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③× (-1/5)
9
x1 3 x2 2 x 3 4 7 x 2 x 3 1 x2 x3 1
1 3 2 4 0 7 1 1 0 1 1 1
x1 3 x2 2 x 3 4 x2 x3 1 7 x 2 x 3 1
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 0 1 2 2 4 0 0 1 2 2 4
17
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 0 1 2 2 4 0 0 0 0 0 0
5
由原方程组化为阶梯形方程组的过程 称为消元过程 ，而由阶梯形方程组逐次求得各未知 量的过程称为回代过程 。 在求解过程中 ，对方程组反复施行了以下三种 变换 —— 称为方程组的初等变换 。
1. 交换两个方程的位置 。 2. 用一个非零数乘某个方程的两边 。 3. 用一个数乘某个方程加到另一个方程上 。
由最后一个矩阵可得原方程组的解 ： x1= 2 ,x2= 0 ,x3= -1 . (唯一解)
12
在求解未知量个数与方程个数不等的线性方程 组时 ，也可以用上述的矩阵形式 。
x1 3 x2 x3 x4 6 例2 . 解线性方程组 3 x1 x2 5 x3 3 x4 6 2 x x 2 x 2 x 8 2 3 4 1
x1 3 x 2 2 x3 4 7 x 2 x 3 1 5 x 2 5 x 3 5
②－①×3 ③－①×2
1 3 2 4 0 7 1 1 0 5 5 5
②－①×3 ③－①×2
③× (-1/5)
2
阶梯形矩阵 ， 它对应的阶梯 形方程组为
x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 x 5 1 5 x 2 9 x 3 12 x 4 4 x 5 10 x 3 2 x4 2 x5 4
其中最后一个方程已化成 ‘ 0 = 0 ’ ，
(②, ③ ) ③－②×2
1 3 1 1 6 0 5 4 0 4 0 10 8 0 12
1 3 1 1 6 0 5 4 0 4 0 0 0 0 4
14
由阶梯形矩阵可得对应 的阶梯形方程组 x1 3 x 2 x 3 x4 6 x2 x3 4 这是一个矛盾方程组 ， 无解 。 0 4
x1 3 x 2 2 x3 4 1 解 ： 3 x 1 2 x 2 5 x 3 11 2 x1 x 2 x 3 3 符号-3表示第二个方 -3 -2 程减去第一个方程的 3 倍3
x1 3 x 2 2 x3 4 7 x 2 x 3 1 5 x 2 5 x 3 5
解 ：对方程组的增广矩阵 (是一个 3 ×5 的矩阵)施以 矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵 ，过程 如下 ： 1 3 1 1 6 ②－①× 3 ③－①×2 3 1 5 3 6 2 1 2 2 8
13
1 3 1 1 6 0 10 8 0 12 0 5 4 0 4
利用矩阵的记号 ，例 1 的消元过程可以写成 如下形式 。
8
x1 3 x2 2 x3 4 3 x 1 2 x 2 5 x 3 11 2 x1 x2 x3 3
1 3 2 4 3 2 5 11 2 1 1 3
1 2 3 4 1 1 8 2 1 3 4 2 3 1 1 2 1 3 2 1 4 6 4 12
16
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 5 8 10 2 6 0 5 10 14 6 14
数表 ⑵ 中的横排称为行 ，纵排称为列 。这样的 三行四列数表就称为一个三行四列矩阵，简称 3 ×4 矩阵 ，且称其为线性方程组 ⑴ 的增广矩阵 。 7
对方程组⑴ 施以方程组的初等变换 ，就相当于对 矩阵 ⑵ 的各行施以相应的变换 ，它们都称为矩阵 的初等行变换 。
共有三类 ,
1 互换 i , j 两行 . 2 i 行乘数 k 0 . 3 i 行乘数 k 对应加到 j 行上 .
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 5 6 5 2 0
3 5 14 5 2 0
3 5 26 5 4 0
(这种阶梯形矩阵 称为简化阶梯 形矩阵，特点 是 ？)
21
3 2 3 x1 5 5 x4 5 x5 26 6 14 由简化阶梯形矩阵可得 x2 x4 x5 5 5 5 x 3 4 2 x4 2 x5 其中 x4 , x5为自由未知量 .
我们称 x 4 , x 5 为自由未知量 , 为了使未知量 x 1 , x 2 , x 3 都能用自由未知量表示,
我们继续对阶梯形矩阵(2)进行初等行变换 ，
19
4 1 1 1 2 3 ②+③×9 0 5 9 12 4 10 ①–③×3 0 0 1 2 2 4 ③×(-1) 0 0 0 0 0 0
说明该方程是“多余”的方程 ，不再写出 。 这个阶梯形方程组还可以写成下面的形式 。
18
x1 2 x2 3 x3 1 4 x4 x5 5 x2 9 x3 10 12 x4 4 x5 x 3 4 2 x4 2 x5
可以看出只要取定x 4 , x 5 的值 , 就可以唯一的 确定 x 1 , x 2 , x 3 的值 , 从而可以得到原方程组 的 一组解 . 所以原方程组有无穷多解 。
2
一：矩阵消元法 .
在中学里 ，我们已经学过用加减消元法 解二 , 三元线性方程组 ， 下面先看一个例子 。
x1 3 x 2 2 x3 4 例 1 . 解线性方程组 3 x 2 x 5 x 11 1 2 3 2 x1 x 2 x 3 3
1
3 x③+②×47 x 2x
1 2 3
x2 x3 1
为方程组1的解 .
x1 2 , x 2 0 , x 3 1 .
6 x3 6
这种形式的线 性方程组一般 称为阶梯形方 程组 , 特点是： 自上而下的各 个方程所含未 知量的个数 依次减少 。
方程组的初等变换具有可逆性 ， 即若方程组 ⑴ 经过方程组的初等变换 变为方程组 ⑵ ，则方程组 ⑵ 必可经过方程组的初等变换 还原 成方程组 ⑴ 。
6
在例 1 的求解过程中 ， 我们只对未知量的系数与常数项进行运算 ， 因此求解过程可以写的更简单 。 线性方程组 ⑴ 可以用下面的矩形数表来表示 ：
4 1 6
x1 2 , x2 0 , x3 1 .
最后一个矩阵称为 阶梯形矩阵 ，其特点是 ⑴ 自上而下的各行中 ，每行第一个非零元素 左边零的个数随行数的增加而严格增加 。 ⑵ 元素全为零的行 ( 如果有的话 ) 位于矩阵的下边 。
11
利用矩阵的初等变换, 还可以把回代过程 直接表示为如下 : 1 0 0 1 0 0 3 1 0 3 1 0 2
1
15
解 ：对方程组的增广矩阵 (是一个 4 ×6 的矩阵)施 以 矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵 ， (下面我们给出简化过程) 8 2 1 3 4 2
1 2 3 4 1 1 3 1 1 2 1 3 2 1 4 6 4 12
1
第一节：矩阵消元法
本节主要介绍以下两点
一：矩阵消元法 —— 解线性方程组的一种最古老但 仍然被广泛使用的方法之一 。 (引入矩阵及矩阵的初等行，列变换) 二：线性方程组解的情况 —— 初探 。 * 矩阵消元法也被称为高斯消元法 ，但是我国古 代的算书《九章算术》中早已有了许多线性方程组 的应用题 ，而且有了解线性方程组的消元法 ，这 比高斯整整早了一千年 。
1 2 0 5 0 0 0 0
11 0 6 14 26 ②×(-1/5) 1 2 2 4 0 0 0 0 5
0 2
20
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
2 6 5 2 0
5 14 5 2 0
11 26 ①–②×2 5 4 0
所以原方程组也无解 。
例 3 . 解线性方程组 2 x1 x2 3 x 3 4 x4 2 x5 8 x1 2 x2 3 x 3 4 x4 x5 1 3 x1 x 1 x 3 2 x4 x5 3 2 x x 4 x 6 x 4 x 12 1 2 3 4 5
(②, ③)
1 3 2 4 0 1 1 1 0 7 1 1
(②, ③)
③+②×7
③+②×7
10
x1 3 x2 2 x 3 4 x2 x3 1 6 x3 6
1 0 0
3 1 0
2 1 6
接上面的最后一个阶梯形矩阵
4 1 3 2 4 1 1 0 1 1 1 0 0 1 6 6 1 0 2 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1