解线性方程组的消元法
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
线性方程组的解法及应用
线性方程组的解法及应用线性方程组是数学中常见的问题，其解法和应用十分广泛。
本文将介绍线性方程组的几种常见解法，并探讨了其在实际应用中的意义和重要性。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换，将线性方程组转化为上三角矩阵或对角矩阵的形式，进而求解未知数。
通过逐行消元和回代过程，可以求得方程组的解。
高斯消元法是一种时间复杂度较低的求解线性方程组的方法，适用于各种规模的问题。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的求解线性方程组的方法。
根据矩阵的定义和性质，可以通过求解系数矩阵的逆矩阵，进而求得线性方程组的解。
这种方法较为简便，尤其适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
然而，由于求逆矩阵的计算复杂度较高，这种方法在处理大规模问题时可能变得不切实际。
三、克莱姆法则克莱姆法则是一种通过行列式的性质求解线性方程组的方法。
根据法则的定义，通过计算系数矩阵和常数矩阵的各个子行列式，可以得到线性方程组的解。
克莱姆法则具有简单的结构和直观的操作步骤，但其计算量较大，仅适用于小规模问题。
以上是几种常见的线性方程组解法，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，我们根据问题的特点和数据的规模，选择合适的解法以提高计算效率和准确性。
线性方程组求解的应用涉及到众多学科和领域，下面我们将探讨其中几个重要的应用。
四、物理学中的应用线性方程组在物理学中有着广泛的应用。
以力学为例，在分析力学问题中，往往需要通过线性方程组求解物体的运动状态和力的分布。
通过建立合适的力平衡方程和动力学方程，可以将问题转化为线性方程组，并求解得到物体的位移、速度和加速度等关键信息。
这对于理解物体的运动规律和进行工程设计具有重要意义。
五、经济学中的应用线性方程组在经济学中也有广泛的应用。
以宏观经济学为例，经济学家通常会建立一系列的数学模型，通过线性方程组描述经济系统中的供求关系、市场机制和宏观调控等。
通过求解线性方程组，可以得到不同经济指标之间的关系，帮助政策制定者做出科学的决策，推动经济稳定和发展。
求解线性方程组
求解线性方程组线性方程组是数学中的一类重要方程组，它可用于描述许多实际问题。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程条件的未知数的值。
本文将介绍解线性方程组的基本方法和步骤。
方法一：高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过一系列行变换将线性方程组化简为阶梯形或行最简形。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式，其中未知数的系数构成方程组的系数矩阵A，常数构成列向量B。
2. 利用行变换，将增广矩阵化简为阶梯形矩阵。
行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、某一行乘以非零常数后加到另一行上。
3. 根据化简后的阶梯形矩阵，可以直接读出方程组的解。
如果存在零行，即无解；如果存在形如0 = c（c为非零常数）的方程，即无解；其他情况下，解的个数等于未知数的个数减去方程数的个数。
方法二：矩阵求逆法矩阵求逆法也是一种求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，进而得到方程组的解。
以下是矩阵求逆法的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 检查系数矩阵A是否可逆。
若可逆，则方程组有唯一解；若不可逆，则方程组可能没有解或有无穷多个解。
3. 若A可逆，计算系数矩阵的逆矩阵A^(-1)。
4. 解方程组的解为X = A^(-1) * B。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
方法三：克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法。
它的基本思想是根据克拉默法则公式，求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值D，即|A|。
3. 对每个未知数，将系数矩阵的列向量替换为方程组常数向量，得到新的矩阵A_i。
4. 计算新的矩阵A_i的行列式值D_i。
线性方程组的消元法与矩阵法
线性方程组的消元法与矩阵法线性方程组是数学中的一个重要概念，它广泛应用于物理、经济、金融等领域中。
在解决实际问题中，我们通常采用消元法和矩阵法来求解线性方程组。
一、线性方程组消元法消元法是一种代数方法，可以用来解决线性方程组。
这种方法的基本思想是先通过一系列等式变形，消去某些未知数，以便求出其他未知数。
这样，我们就能逐步减少未知数的数量，最终得出一个或多个未知数的值。
以三元一次方程组为例：$$\begin{cases}2x+3y-4z=9\\3x-2y+z=-6\\x+4y-3z=5\end{cases}$$消元法的一般步骤如下：1. 将方程组写成增广矩阵的形式。
$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & | & 9 \\ 3 & -2 & 1 & | & -6 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix} $$2. 选取一行或一列作为基准行或基准列，并通过列运算或行运算将其他行或列化成与之相似的形式。
3. 重复第2步，逐步消去所有未知数。
在这个例子中，我们选取第一行第一列的元素2作为基准元。
我们可以将第二行的第一列元素3变为0，通过将第二行乘以$-\frac{3}{2}$，再加到第一行上。
$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & | & 9 \\ 0 & -\frac{13}{2} &\frac{11}{2} & | & -\frac{33}{2} \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix} $$然后，我们可以选取第二行第二列的元素$-\frac{13}{2}$作为基准元，将第三行的第二列元素4变为0，通过将第三行乘以$-\frac{1}{13}$，再加到第二行上。
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
3.1 线性方程组的消元解法
定理3.1 线性方程组 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: 有解的充分必要条件是: 定理 有解的充分必要条件是 r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)<n时有无 且当 时有唯一解; 时有无 时有唯一解 穷多解. 穷多解.
例2 解线性方程组 x1 + 5 x2 − x3 − x4 = −1 x − 2 x + x + 3x = 3 1 2 3 4 3 x1 + 8 x2 − x3 + x4 = 1 x1 − 9 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 7 例3 解线性方程组
2 x1 + 2 x2 = 8 → − 3 x2 = −9 ⑤ x3 = 2 2 x1 + 2 x2 = 8 → x2 = 3 ⑥ x3 = 2
=2 2 x1 → x2 = 3 x3 = 2 x1 = 1 → x2 = 3 x = 2 3
⑤
⑥
⑦
线性方程组的消元解法课件
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
(A b)=
a21
a22 a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。
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3
下页
一、线性方程组的矩阵表示：
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
10499
0 1 -1 -2 -2 00000
0 1 -1 -2 -2 00000
，
00000
00000
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
PPT学习交流
10
下页
例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
8
线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解
R(A)R(A,b);
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n;
（3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
PPT学习交流
9
线性方程组的消元解法
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 1 1 2 1 2 r3 0 3 2 2 0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3)
得
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个
未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组
。 精品课件
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
(3)-(2) 得
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
2 x3 4
（阶梯形方程组）
(-1/2)×(3) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
1 1 2 1
r3 r 2 0 3 2
2
0 0 2 4
（行阶梯形矩阵）
精品课件
x1 x2 2 x3 1
， (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
精品课件
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的
算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方 程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去， 直至得到便于求解的一个形式简单的方程。
精品课件
对于一般的线性方程组
线性方程组的解法(代入消元法)
线性方程组的解法(代入消元法)引言线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种。
其中，代入消元法是一种比较常用且简单的解法。
本文将介绍代入消元法的原理和步骤，以及具体的示例。
原理代入消元法的基本思想是：将一个方程的解代入到其他方程中，通过逐步消去未知数的方法求得最终的解。
这种方法适用于方程组的规模较小的情况。
步骤代入消元法的步骤如下：1. 确定方程组的个数和未知数的个数，假设方程组有n个方程和n个未知数。
2. 选择一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式。
3. 将已知方程的解代入到其他方程中，并逐步消去未知数。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最后一个未知数的解求得。
5. 将求得的未知数的值代入到其他方程中，验证解是否正确。
示例假设有如下线性方程组：2x + y = 53x - 2y = -4我们可以选择第一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式：y = 5 - 2x然后，将y的值代入到第二个方程中：3x - 2(5 - 2x) = -4通过展开和合并同类项的运算，得到：7x - 10 = -4继续化简，得到：7x = 6解得x的值为x = 6/7。
将x的值代入到第一个方程中，得到：2(6/7) + y = 5y = 5 - 12/7化简，得到：y = 23/7因此，线性方程组的解为x = 6/7，y = 23/7。
结论代入消元法是一种简单而有效的解线性方程组的方法。
通过选择一个方程作为基本方程，并逐步代入其他方程中消去未知数，最终可以求得方程组的解。
在实际应用中，代入消元法常用于解决线性方程组个数较少的情况。
以上是关于线性方程组的解法(代入消元法)的介绍，希望对你有所帮助。
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
解线性方程组的消元法
注： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) 1 E ( i , j ) ；
1 变换 ri k 的逆变换为 ri ， k 1 1 则 E ( i ( k )) E ( i ( )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri ( k )rj， 则 E ( ij ( k ))1 E ( ij ( k )) .
2 3 1 1
1 2 0 7 r r ( 4) x 2 x 7 0 6 5 24 ( 1 ) r r ( 2) 1 2 (1)( 4 ) ( 2 ) (1)( 2 ) ( 3) ( 2 ) 6 x 5 x 24 2 3 0 5 3 13 5 x2 3 x3 13 (3)
ai(1) 1 i (1) (2) a22
(i 3,
n)
照此消元，直至第 n 1步得到三角形方程组
(0) (0) (0) 0) a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1(n x n b1( 0) (1) (1) (1) (1) a x a x a x b 22 2 23 3 2n n 2 ( 2) ( 2) ( 2) a33 x3 a 3 x b n n 3 ( n 1) ( n 1) a x b nn n n
(0) 11
a12 a 22
a1n a2n
a n 2 a nn
a a a
(0) 13 (1) 23 ( 2) 33
b1 b2 a r r bn a
n n1 11
a21 r1 a11 a r3 31 r1 a11 r2
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
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6 6x2 5x3 24 (2)
7 6
x3
7
(3)
1 2 0 7 0 r3r2(56) 6 5 24
0 5 3 13
消元过程总共作了三种变换： （1）交换方程次序; （2）以不等于零的数乘某个方程; （3）一个方程加上另一个方程的倍.
求解线性方程组实质上是 对增广矩阵施行3种初等运算：
注：由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同 解变换．
阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
6
(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。
对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
1
பைடு நூலகம்
1
01
第
i
行
E(i, j)
1
(1)(2)(3)
2 x2 6 x2
5x3
7 24
(1) (2)
5x2 3x3 13 (3)
1 2 0 7 r1r2 4 2 5 4
2 1 3 1
1 2 0 7
r2 r1(4)
0 r3 r1( 2)
6
5
24
0 5 3 13
3
x 2x (2)(5 )(3)
1
2
7 (1)
2）初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变 换类型相同。
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
5
初等矩阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定义3：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方
1
1 10
第
j
行
1
1
7
(2) 以数k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
(3) 以数k 0 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。
0
，作
i
a(1) i1
(2)
a(1) 22
(i 3, n)
否则将方程与（2）对调，
使对调后的第一个方程的系 数不为 零。
a1(10)
x1
a (0) 12
x2
a (0) 13
x3
a (0) 1n
xn
a (1) 22
x2
a (1) 23
x3
a
(1) 2n
xn
a (2) 33
x3
a (2) 3n
xn
(1) 对调矩阵的两行。 (2) 用非零常数k乘矩阵的某一行 的所有元素。
(3)将矩阵的某一行所有 元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。
统称为矩阵的初等行变换
4
注： 1）矩阵的初等变换:矩阵的行变换;矩阵的列 变换。
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变 换 记作 (1) ri rj (2) ri k(k 0) (3) ri krj
2
例2.13 解线性方程组
4x1 2x2 5x3 4 (1)
x1
2
x2
7 (2)
2x1 x2 3x3 1 (3)
4 2 5 4 1 2 0 7 2 1 3 1
解
(1)(2)
4x1x1 22x2x2
5x3
7 4
(1) (2)
2x1 x2 3x3 1 (3)
x (1)(4)(2)
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
[或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1
E(ij(k))
1k
第i行
1
第j行
1
9
注： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则E(i, j)1 E(i, j) ；
xn
b(0) 1
b (1) 2
b(2) 3
a x (n1) nn n
b (n1) n
13
b a(k ij
)和
(k ) 的计算公式
i
ai(jk )
a (k 1) ij
(ai(kk 1)
a )a (k 1) (k 1)
kk
kj
bi(k )
b (k 1) i
(ai(kk 1)
a )b (k 1) (k 1)
2.4 解线性方程组的消元法
一. 问题的引出 二. 高斯消元法 三. 高斯—若当消元法
1
1.问题的引出
由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克 兰姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列 式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该 方法是行不通的.
kk
i
回代过程
k 1,2, n 1 i, j k 1, k 2,, n
接下来的回代过程首先由最后方程求出
2.高斯消元法
设
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22 x2a2n xn b2
(1) (2)
(n)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
11
若系数行列式 det A 0，即方程组有唯一解，
则其消元过程如下：
主元
第一步，
设
a(0) 11
0
作
i
a(0) i1
b(0) 1
b (1) 2
b(2) 3
a (3) n3
x3
a
(3) nn
xn
b (3) n
照此消元，直至第 步n得到1 三角形方程组
a1(10)
x1
a (0) 12
x2
a (0) 13
x3
a (0) 1n
xn
a (1) 22
x2
a (1) 23
x3
a (1) 2n
xn
a (2) 33
x3
a (2) 3n
a(0) 11
(1)
(i 2,3,n)
否则将方程与（1）对
调，使对调后的第一个 方程的系数不为零。
a1(10)
x1
a (0) 12
x2
a (0) 1n
xn
b(0) 1
a (1) 22
x2
a (1) 2n
xn
b (1) 2
a (1) n2
x2
a (1) nn
xn
b (1) n
12
第二步，
设
a (1) 22
变换
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1 k
，
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj， 则 E(ij(k))1 E(ij(k)) .
10
定义 如果矩阵 A经过有限次初等变换变为矩阵 B ， 则称矩阵 与 等A价B，记作 ：A ~ B
注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵。 任意一个矩阵总可以经过左乘一系列初等矩阵而化为阶梯形矩阵