解线性方程组的消元法

2.高斯消元法
设
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22 x2a2n xn b2
(1) (2)
(n)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
11
若系数行列式 det A 0，即方程组有唯一解，
则其消元过程如下：
主元
第一步，
设
a(0) 11
0
作
i
a(0) i1
2
例2.13 解线性方程组
4x1 2x2 5x3 4 (1)
x1
2
x2
7 (2)
2x1 x2 3x3 1 (3)
4 2 5 4 1 2 0 7 2 1 3 1
解
(1)(2)
4x1x1 22x2x2
5x3
7 4
(1) (2)
2x1 x2 3x3 1 (3)
x (1)(4)(2)
(1) 对调矩阵的两行。 (2) 用非零常数k乘矩阵的某一行 的所有元素。
(3)将矩阵的某一行所有 元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。
统称为矩阵的初等行变换
4
注： 1）矩阵的初等变换:矩阵的行变换;矩阵的列 变换。
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变 换 记作 (1) ri rj (2) ri k(k 0) (3) ri krj
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
[或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1
E(ij(k))
1k
第i行
1
第j行
1
9
注： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则E(i, j)1 E(i, j) ；
变换
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1 k
，
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj， 则 E(ij(k))1 E(ij(k)) .
10
定义 如果矩阵 A经过有限次初等变换变为矩阵 B ， 则称矩阵 与 等A价B，记作 ：A ~ B
注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵。 任意一个矩阵总可以经过左乘一系列初等矩阵而化为阶梯形矩阵
1
1 10
第
j
行
1
1
7
(2) 以数k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
(3) 以数k 0 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。
2.4 解线性方程组的消元法
一. 问题的引出 二. 高斯消元法 三. 高斯—若当消元法
1
1.问题的引出
由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克 兰姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列 式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该 方法是行不通的.
xn
b(0) 1
b (1) 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b(2) 3
a x (n1) nn n
b (n1) n
13
b a(k ij
)和
(k ) 的计算公式
i
ai(jk )
a (k 1) ij
(ai(kk 1)
a )a (k 1) (k 1)
kk
kj
bi(k )
b (k 1) i
(ai(kk 1)
a )b (k 1) (k 1)
6 6x2 5x3 24 (2)
7 6
x3
7
(3)
1 2 0 7 0 r3r2(56) 6 5 24
0 5 3 13
消元过程总共作了三种变换： （1）交换方程次序; （2）以不等于零的数乘某个方程; （3）一个方程加上另一个方程的倍.
求解线性方程组实质上是 对增广矩阵施行3种初等运算：
注：由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同 解变换．
b(0) 1
b (1) 2
b(2) 3
a (3) n3
x3
a
(3) nn
xn
b (3) n
照此消元，直至第 步n得到1 三角形方程组
a1(10)
x1
a (0) 12
x2
a (0) 13
x3
a (0) 1n
xn
a (1) 22
x2
a (1) 23
x3
a (1) 2n
xn
a (2) 33
x3
a (2) 3n
1
(1)(2)(3)
2 x2 6 x2
5x3
7 24
(1) (2)
5x2 3x3 13 (3)
1 2 0 7 r1r2 4 2 5 4
2 1 3 1
1 2 0 7
r2 r1(4)
0 r3 r1( 2)
6
5
24
0 5 3 13
3
x 2x (2)(5 )(3)
1
2
7 (1)
2）初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变 换类型相同。
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
5
初等矩阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定义3：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方
0
，作
i
a(1) i1
(2)
a(1) 22
(i 3, n)
否则将方程与（2）对调，
使对调后的第一个方程的系 数不为 零。
a1(10)
x1
a (0) 12
x2
a (0) 13
x3
a (0) 1n
xn
a (1) 22
x2
a (1) 23
x3
a
(1) 2n
xn
a (2) 33
x3
a (2) 3n
xn
阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
6
(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。
对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
1
1
01
第
i
行
E(i, j)
kk
i
回代过程
k 1,2, n 1 i, j k 1, k 2,, n
接下来的回代过程首先由最后方程求出
a(0) 11
(1)
(i 2,3,n)
否则将方程与（1）对
调，使对调后的第一个 方程的系数不为零。
a1(10)
x1
a (0) 12
x2
a (0) 1n
xn
b(0) 1
a (1) 22
x2
a (1) 2n
xn
b (1) 2
a (1) n2
x2
a (1) nn
xn
b (1) n
12
第二步，
设
a (1) 22