股指期货跨期套利时点确定及风险测试

股指期货跨期套利时点确定及风险测度一、相关概念简介1、跨期套利简介跨期套利是指利用两个不同交割月份的股指期货合约之间的价差进行的套利交易。

股指套利主要有跨期、期现、跨市和跨产品套利四种方式，由于跨期套利不涉及现货市场，占用资金少、资金使用效率高、操作简便，估计在我国股指推出初期会有更为广泛的应用。

跨期套利有二种基本的套利策略：1)多头跨期套利在牛市行情中，由于投资者对后市的良好预期，远期合约将会表现出更好的上涨性或抗跌性，此时我们可以买入远期合约，卖出近期合约，这种套利方式称作多头跨期套利。

2)空头跨期套利在熊市行情中，由于投资者看淡后市，远期合约下跌更快，抗跌性更弱，此时我们可以买入近期合约，卖出远期合约，这种套利方式称作空头跨期套利。

2、ＶaＲ模型对ＶaＲ模型的定义目前有两种：1）α-r(VaRPπ，其中r表示资产收益率，α表示置信水平。

很显然在)=1该定义中ＶaＲ值就是收益累积分布的分位数。

2）*VaR)(，其中*r表示在一定置信水平α下未来一定时期内的最E-=rr小收益率，即，收益累积分布函数的分位数。

第一种定义实际上以当前的现值为基准，即，)(rE=0；第二种定义以目标时期的期望收益率为基准。

第二种定义考虑了目标日期的偏差，还考虑了货币的时间价值，更符合套利风险的实际情况；由于套利交易受到保证金的限制，在保证金管理中第一种定义适用性较好。

二、问题的提出在跨期套利中有两个重要的问题：一是确定合理价差；二是对套利操作的风险收益性进行评估。

合理价差的确定一般是通过持有成本定价模型来确定。

通过该模型得出期货合约之间的一个理论价差，再加上交易成本，构成无套利区间，超出此区间就存在套利机会。

利用持有定价模型套利存在两个问题：一、持有定价模型是建立在完美市场假设的基础上的，而市场经常是非理性的，定价模型不能反映实际的情况；二、不能确定市场的非理性会持续多长时间，如果时间过长，价差持续向不利的方向变动最终会导致套利失败。

对风险的评价一般是用ＶaＲ来衡量。

利用ＶaＲ值控制套利规模是非常有用的，但是同样存在缺陷。

首先，ＶaＲ模型是以正常的市场波动为前提，建立在有效市场理论经的基础上，而市场经常是失效的。

其次，ＶaＲ模型是基于传统的风险定义，对风险的估计覆盖了波动的两个方向，对实际风险有所高估,这样对保证金的控制有益,但会对套利者的信心造成打击。

第三，ＶaＲ模型假定研究对象独立同分布，实际上，当资产价格偏离价值到一定的程度时，其回归的概率就会变大。

用从正常区间得出的分布函数直接估算异常区间的波动，不能准确衡量实际风险。

针对以上问题，本文提出：1．采用历史数据模拟出历史价差的经验分布，得出在一定置信水平下的套利时点。

2．将历史数据按置信水平分为正常区间和异常区间进行分区处理，并认为在异常区间价差是独立同分布的。

3．对套利后价差在未来N 日内的回归表现进行统计研究，用Ｖa Ｒ思想来确定套利的两个方向的风险以及套利成功率。

4．根据风险评估的不同目的，选取不同的Ｖa Ｒ定义计算Ｖa Ｒ值。

为研究的方便，本文只讨论价差过大时的操作情况，价差过小的实践操作与此相似，只是方向相反。

三、跨期套利原理与价差比率单方向变动的Ｖa Ｒ模型1．跨期套利原理根据无套利定价原理得出股指期货合约的理论定价：))((,)(,t T d r t T t t T r t T t e S D e S F ---⨯=-⨯=基于同一标的指数不同交割月合约之间的价差比率可用下式表示：111/)12)(()1)(()2)((12,-=-⨯⨯=-=------T T d r t T d r t t T d r t T T Rt e eS e S F F S 一般而言，次近月与近月之间的天数相差约为30天，则上式又可以写为：1)(30,-=-d r R t e S其中，T t F ,是指交割日为T 的股指期货在t 期的理论价格；t S 表示指数现货在t 时期的价格；T 表示交割日期；r 表示无风险利率；T t D ,表示指数现货期间发放股利按照复利计算到T 为止的终值；d 表示股息率；1T F 表示近月交割股指期货的价格；2T F 表示次近月交割股指期货的价格；R t S ,表示次近月与近月股指期货价由于r 和d 都比较稳定，不同交割月份的股指期货合约之间存在比较稳定的价差关系。

在市场理性或是非理性程度不高的情况下，价差可以维持在一个正常的价差水平之内；当市场非理性程度比较高时，不同期限的股指期货之间的价差就可能出现异常波动，从而出现套利机会。

我们不妨把一定置信水平α之下的正常价差变动区间，称之为置信度为α的正常价差区；置信水平α之上的价差变动区间称为置信度为α的异常价差区。

当价差处于异常区间时，表明市场出现异常波动，这时投资者就可以入场进行跨期套利。

2．价差比率单方向变动的Ｖa Ｒ模型为准确评估价差变动的实际风险和保证金管理的要求，本文分别测算价差向两个方向变动的风险：价差回复时的风险和价差持续扩大的风险。

引入Ｎ日内价差比率变动值作为研究对象，测算套利风险的Ｖa Ｒ值。

1)价差向有利的方向变动时的Ｖa Ｒ模型R t R i t R t R t i R t S S S S MIN S ,,,2,1,,),,(-=∆+++K K 当0,φR t S 时 ),,(,,2,1,,,R i t R t R t R t i R t S S S MAX S S +++-=∆K K 当0,πR t S 时i ＝１，２……Ｎi R t S ,,∆表示未来i 个交易日内差价比率的最大回复值，当该值小于０时表示价差比率回复；当该值大于０时表示价差比率继续扩大。

根据Ｖa Ｒ模型，有下式：()*∆-∆=i R,t,i R,t,S S E VaR这里Ｖa Ｒ表示在某一置信水平α下, 未来i 个交易日内的最小回复值(或最大2）价差向不利的方向变动时的Ｖa Ｒ模型),,(,,2,1,,,R i t R t R t R t i R t S S S MIN S S +++-=∆K K 当0,πR t S 时 R t R i t R t R t i R t S S S S MAX S ,,,2,1,,),,(-=∆+++K K 当0,φR t S 时i ＝１，２……Ｎi R t S ,,∆表示未来i 个交易日内差价比率的最大扩大值，当该值小于０时表示价差比率回复；当该值大于０时表示价差比率继续扩大。

此时的Ｖa Ｒ公式为：()*∆-∆=i R,t,i R,t,S S E VaR 。

3．套利成功率测度公式一般套利者更担心的是自己本金的安全，因此我们在测度成功率时采用Ｖa Ｒ的第一种定义方式。

以本金安全为原则，设定套利成功的标志为不亏损，即套利收益大于等于交易成本。

则有套利成功的边界条件：C -=VaR()()V aR S P -C S P i R,t,i R,t,≤∆=≤∆=α此式即为套利成功率α计算公式，其中C 表示所有的交易成本，Ｖa Ｒ表示R,i t,S ∆在置信水平α下的分位数。

四、跨期套利实证由于台湾加权股指期货交易活跃，套利机会较多，本文选取1998年7月21日至2006年３月23日期间的台湾加权股指期货数据作为样本。

1．套利时点的确定根据价差比率R t S ,序列我们在EVIEWS5.0版中做出如下两图：从图１可以看出：台湾加权股指期货次近月-近月跨期价差比率具有典型的群集特性，价差比率集中发生在图中标出的几个位置上；从图2可以看出，价差比率的频率分布的峰度达到16.53，左偏0.009026；通过J-B 检验拒绝了正态分布的假设。

图１ 台湾加权股指期货次近月-近月跨期价差比率图数据来源：中信建投期货；econstants图２ 台湾加权股指期货次近月-近月跨期价差比率频率直方图数据来源：中信建投期货；econstats把价差比率R t S ,序列排序，我们可以利用EXCEL 计算置信度α下的价差比率异常区间，计算结果见表１。

表１：置信度α下价差比率异常区间边界表置信度α下价差比率异常区间边界的意义是指当实际价差比率落到边界上时这一价差比率有α的可能性会回复到正常水平。

比如说，当投资者在价差比率为0.8997%时进行跨期套利，则有95%的概率价差会回复到正常水平。

实践操作中,价差的回复程度超过套利成本时,才具有可操作性。

台湾加权股指期货TAIEX 的单向交易成本大致为0.02%，考虑到采用保证金交易，交易总成本约为0.13%，一次套利需要操作四次，再加上冲击成本约为0.2%，则总的交易费用约用0.72%。

本文取95%为置信水平，可以得出台湾加权股指期货TAIEX的套利时点示意图3。

从图中可以看出，在95%的置信水平下，异常区间的上下边界较套利成本略高，高出异常边界上下限时，未来几天价差都有一定程度的回复，说明在该置信水平下套利具有可操作性。

图3 95%置信水平下套利时点示意图数据来源：中信建投期货；econstats2．套利规模的确定本文以置信水平为95%的套利操作来说明套利风险状况及套利规模。

当置信度95%时，实际可供套利的样本有94个，本文选取价差比率10日内最大扩大值10,,R t S 作为研究样本。

利用EVIEWS5.0统计软件对样本进行分析得到图4：图4 台指期货跨期价差比率最大扩大值频率直方图数据来源：中信建投期货；econstats从图4可以看出：峰度为16.77，左偏0.16，通过J-B 检验该分布不属于正态分布，均值为-0.162166表示未来10天内价差比率预期会缩小0.162%；为了更具体的描述价差的扩大情况，本文选用历史模拟法来估算分位数，估算结果见表2：表2 置信度α下20天内价差比率最大扩大值频率Ｖa Ｒ值表表中上侧分位数是按照定义1计算的Ｖa Ｒ值，表示以初始价差比率为基准，在未来10天内，一定的置信水平下的最大扩大值，如95%的置信水平下，未来10天价差最多持续扩大0.744%。

由于股指期货的交易保证金为合约价值的8%，因此可以得出：1）保证金仓位可保持为91.47%； 2）杠杆比例约为11.44倍。

表中Ｖa Ｒ是根据定义2得出的，表示一定置信水平下，价差比率相对于预期扩大值的偏离程度。

3．套利交易的实际风险状况选取价差比率10日内最大回复值10,,R t S 作为研究样本。

利用EVIEWS5.0统计软件对样本进行分析得到图5。

从图5可以看出：1）峰度为7.8，左偏1.3，通过J-B 检验该分布不属于正态分布； 2）均值为-1.303表示在95%的异常边界以上进行套利操作时，未来10天的预期会达到14.9%(上文得出杠杆比例11.44倍)。

由于属于非正态分布，我们以历史模拟法来测算Ｖa Ｒ值。