数列问题中数形结合思想的体现
数形结合思想在高考解题中的应用
数形结合思想在高考解题中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，也是一种的思维方法。
它在中学数学教学中占有重要的地位，也是历年高考重点考察的内容之一。
在运用数形结合解题时要注意以下两点：（1）“形”中觅“数”：根据形的直观性来寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决；（2）“数”中构“形”：根据代数问题具有的几何特征，进而发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决。
下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。
题型一、集合问题例1．已知集合A={}{}|23,|14x x B x x x -≤≤=<->或,则集合A B = ____________________.解析：利用数轴表示，可得{}|21A B x x =-≤<-评注：本题考查集合的基本运算，属容易题。
题型二、函数问题 例2．点P （x,y ）在直线430x y +=上，且x,y 满足147x y -≤-≤，则P 到坐标原点距离的取值范围是__________________.解析：如图，直线430x y +=分别与直线14,7x y x y -=--=的交点为12(6,8),(3,4)P P --易知12||10,||5OP OP ==，故||OP 的取值范围为[]0,10评注：考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。
注意虽然12||10,||5OP OP ==，但||OP 的取值范围不是[]5,10。
题型三、三角问题例3函数()2)f x x π=≤≤的值域是_______________. 解析：原式可化为y ==1)x ≠ 由数形结合思想得1cos 1sin x x-+可理解为动点(sin ,cos )x x 与定点(1,1)连线斜率的取值范围，。
可求取值范围是[]0,+∞，由此可求得1)x ≠的值域为[1,0)-，当sin 1x =时，()0f x =，所以值域是[]1,0-。
数形结合思想方法在数学解题教学中应用
数形结合的思想方法在数学解题教学中的应用摘要：数形结合作为重要的数学思想方法，在数学解题中起着举足轻重的作用。
本文介绍了数形结合的思想方法在函数、几何、方程与不等式、数列、集合等方面的应用，为进一步提高学生的解题能力抛砖引玉。
关键词：数形结合思想方法解题1、问题的提出数学问题的解决是数学教学中的一个重要部分，尤其是解题能力的培养，成为数学教学中不可缺少的一部分。
解决数学问题的方法有很多，其中数形结合的思想方法是中学数学教学中常用的一种解题方法，教师更应该很好的掌握和研究这一思想方法，为培养学生的解题能力打下坚实的基础。
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。
如何将数与形有机的结合起来，是学好数学的关键。
数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质等；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到完美的解答。
2、数形结合解题教学中应注意的几个方面在运用数形结合的思想方法分析和解决问题时，藏汉双语数学教师要注意以下五点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数联想其形，以形建立数之间的关系式，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围，切忌忽视隐含条件；第四要挖掘数学概念的内涵和外延，防止发生扩大内涵、缩小外延或缩小内涵、扩大外延的错误；第五要注意代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则会出现漏洞。
数形结合在高中数学解题中的应用
数形结合在高中数学解题中的应用作者：杨亮来源：《中学课程辅导·教师通讯》2019年第19期【内容摘要】高中阶段，数学教学的内容深度和广度有了较大提升，这也给学生的学习造成了一定的困难，其主要表现就是解题效率较低，而为了更好地解决这一问题，数形结合思想的应用具有十分重要的意义。
因此，本文将结合笔者实际的从教经验，谈一谈应该如何引导学生将数形结合思想应用于高中数学的解题过程中。
【关键词】数形结合 ;高中数学 ;解题方法在高中数学教学中，数和形是贯穿于教学全过程的基本内容，所以在高中数学的解题中，数和形也是最基本的要素，在实际的应用中，这两者具有十分密切的联系，并且在一定的条件下可以实现相互的转化，而这种相互转化的关系就被成为数形结合。
利用数形结合进行解题，可以使题目中比较复杂的信息通过一种更加直观的形式呈现出来，从而使解题过程得到简化。
可见，应用数形结合方法，可以有效提高学生的解题效率。
因此，本文将结合以下几项内容来阐述数形结合在高中数学解题中的具体方式。
一、数形结合：集合问题集合是高中数学教学中第一项教学内容，同时也是高中数学教学的基础，集合中涉及的映射关系会贯穿于很多教学内容中，所以集合问题的理解对于高中数学教学具有十分重要的意义。
在集合问题中，交、并、补是集合问题的主要运算方式，但是若遇到较为复杂的数量关系，很难直接通过交、并、补的运算求出结果，而利用数形结合的方法则可以有效解决这一问题，尤其是韦恩图的应用，更是对集合问题解題效率的提升具有十分重要的意义。
例如，在《集合的基本运算》这一节中，集合与实际问题相结合是一种十分重要的形式。
比如：在学校的春季运动会当中，某班级中有28人报名参加了比赛，其中，有15名同学参加了径赛，有8名同学参加了田赛，有14名同学参加了球类项目竞赛，已知在参加比赛的学生中有3人同时参加了径赛和田赛，有3人同时参加了径赛和球类项目，没有同时参加三项比赛的学生，求同时参加了田赛和球类项目的学生以及只参加了径赛的学生有多少？在解这道题的时候，如果只借助数量关系，需要经过大量的交、并、补运算，十分容易出错，而利用韦恩图则可以有效弥补这一缺陷。
数学思想在数列问题中的应用举例
数学思想在数列问题中的应用举例李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班㊀０５４０００)摘㊀要:数列常常与函数㊁方程㊁不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程㊁等价转化㊁分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１㊀等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀Ｂ.１７０㊀㊀Ｃ.２１０㊀㊀Ｄ.２６０解㊀设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬʑＳ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０.㊀㊀二㊁利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２㊀在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐʂｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解㊀由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬʑ点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ().㊀㊀三㊁利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３㊀求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋ ＋ｎｘｎ－１ｘʂ０().解㊀ȵＳｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬʑｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘʂ１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ.㊀㊀四㊁利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４㊀求和Ｓｎ＝１ ２＋２ ３＋３ ４＋ ＋ｎｎ＋１().解㊀ȵｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ()ꎬʑＳｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋ ＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋ ＋ｎ２()＋１＋２＋ ＋ｎ()７＝１６ｎｎ＋１()２ｎ＋１()＋１２ｎｎ＋１()＝１３ｎｎ＋１()ｎ＋２().㊀㊀五㊁利用数形结合思想解题恩格斯曾经这样定义数学: 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的数学 .数形结合不仅是一种重要的解题方法ꎬ而且也是一种重要的思维方法.它形象㊁直观ꎬ有利于我们解题.例５㊀设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ已知ａ３＝１２ꎬＳ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ(１)求公差ｄ的取值范围ꎻ(２)指出Ｓ１ꎬＳ２ꎬＳ３ꎬ ꎬＳ１２中那一个值最大?并说明理由.㊀㊀解㊀(１)易得－２４７<ｄ<－３.(２)ȵｄ<０ꎬʑＳｎ＝ｆｎ()的图象为经过原点且开口向下的抛物线上的一群离散点.设抛物线与横轴的另一个交点为Ａｎ０ꎬ０()ꎬ由Ｓ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ可知１２<ｎ０<１３ꎬ对称轴ｎ＝ｎ０２ɪ６ꎬ６.５()ꎬ故当ｎ＝６时ꎬＳ６最大.㊀㊀六㊁利用构造思想解题构造法解题可以化繁为简ꎬ它主要体现在利用原数列构造新数列求通项的问题.例６㊀设正项数列ａｎ}{满足ａ１＝２ꎬａｎ＝２ａｎ－１ꎬ求ａｎ.解㊀ȵａｎ>０(ｎɪＮ)ꎬʑａｎ＝２ａｎ－１.两边取以为２底的对数ꎬｌｏｇ２ａｎ＝１＋１２ｌｏｇ２ａｎ－１.令ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎꎬ则有ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１.用迭代法得ｂｎ＝２－(１２)ｎ－１ꎬʑａｎ＝２２－(１/２)ｎ－１.㊀㊀参考文献:[１]孙丰亮ꎬ娄树庆.数学思想方法在数列教学中的运用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１３(３１).[责任编辑:杨惠民]探究过度放缩后的一种 修正术江凤华１㊀江国荣２(１.江苏省无锡市辅仁高级中学高三９班㊀２１４１２３ꎻ２.江苏省无锡市市北高级中学㊀２１４０４５)摘㊀要:用放缩法证明不等式是高中数学学习中的难点之一.学习时不容易掌握ꎬ我们放缩的 步幅 大了ꎬ常常偏离目标值.有没有一种方法在发现过度放缩以后采取一点修补办法证出目标呢?本文围绕这个目标做了一点尝试ꎬ发现还是可行的.关键词:放缩法证明ꎻ逐步留项ꎻ高中难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００８－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:江凤华(２００１－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ在校学生.江国荣(１９７１－)ꎬ男ꎬ江苏省海门人ꎬ教师ꎬ从事数学教学及数学教育研究.㊀㊀一㊁探究过程例１㊀证明:ðｎｉ＝１１ｉ２<５３.试证１㊀当ｎ＝１ꎬðｎｉ＝１１ｉ２＝１<５３.当ｎȡ２ꎬȵ１ｉ２<１ｉ (ｉ－１)＝１ｉ－１－１ｉꎬʑðｎｉ＝１１ｉ２＝１１２＋１２２＋１３２＋ ＋１ｎ２<１＋(１１－１２)＋(１２－１３)＋ ＋(１ｎ－１－１ｎ)＝２－１ｎ<２.８。
等比数列前n项求和的探索之旅
等比数列前n 项求和的探索之旅——则体现数形结合思想的教学案例本案例借助一道2014年青岛数学中考题，探索在初中阶段如何对等比数列前n 项进行求和.案例采用探究式教学法，从特殊到一般，运用数形结合的思想方法，展开对某一类等比数列前n 项求和方法的探究，以激发学生再创造的学习热情.问题 计算231111n m m m m++++…(其中m ，n 都是正整数，且2m ≥，1n ≥). 一、创设情境，发现规律探究1 计算2311112222n ++++…. 引导学生思考: 2311112222n ++++…如何与图形的面积产生联系?学生之间先相互交流讨论，教师适时提示:这一式子如何与正方形的面积产生联系?教师进行初步演示:如图1，首先在黑板上画一个正方形，对正方形进行多次分割.第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12; 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为21122+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； …引导学生思考:第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和是多少?学生经过知识迁移，马上能得出第n 次分割，所有阴影部分的面积之和为2311112222n ++++…，最后空白部分的面积是12n . 因此，根据第n 次分割图，很快就能得出阴影部分面积:2311111122222n n ++++=-…. 二、知识迁移，举一反三在教师的带领下解决了第一个问题后，接下来由学生自主探究，发现一般规律.探究2 计算2311113333n ++++….引导学生思考:2311113333n ++++…如何与图形的面积产生联系? 根据第一次探究获得的经验，学生进行知识迁移，很快就把正方形的面积进行三等分，如图2所示.第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23; 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为22233+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…; …第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2322223333n ++++…，最后空白部分的面积是13n . 根据第n 次分割图可得等式: 2322221133333n n ++++=-….问题到这马上要解决了，但是有的学生这时也会卡住做不下去了，教师引导学生思考:如何转化成我们要解决的问题呢? 两边同除以2，得231111113333223n n++++=-⨯…. 学生在自主探究得出答案后，充满成就感，从而对接下来的探究更有兴趣，更具挑战欲.探究3 计算2311114444n ++++…. 教师要求学生仿照前两个探究的方法，只需画出第n 次的分割图，在图3上标注阴影部分面积，并写出探究过程.第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为34; 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为23344+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…； ……第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为2333334444n ++++…，最后空白部分的面积是14n . 根据第n 次分割图可得等式: 2333331144444n n ++++=-….两边同除以3，得231111114444434n n++++=-⨯….学生在经历前几次探究后，跃跃欲试.通过探究2中方法的迁移，学生顺着思路很快得出结论，对利用数形结合思想解决问题有了更深刻的感受，为接下来从特殊到一般的转化做了很好的铺垫.三、解决问题。
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈【摘要】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在数学教学过程中，处处渗透着数形结合的思想。
本文试从“以形助数”、“以数辅形”两个方面，举例说明“数形结合”在数学教学中的应用，重点列举了在解集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等问题中的应用，藉此引起广大数学教师对“数形结合”的重视。
【关键词】数形结合数学教学以形助数以数辅形数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。
华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。
因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。
下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。
1.以形助数1.1 数形结合思想在集合中的应用。
对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。
例1：有48名大学生，每人至少参加一项公益活动，参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？分析：一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述
1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。
教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。
作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。
等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。
2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。
教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。
随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。
通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。
三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。
通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。
教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。
数形结合思想在高中数学中的应用
数形结合思想在高中数学中的应用数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数学中的两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。
数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想,其实质就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的支柱作用,实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化。
数形结合思想是贯穿高中数学的主线,是贯穿高中课程的主要脉络,纵观历年高考试题,用数形结合的思想方法巧妙解决的问题比比皆是,本文从以下七个方面介绍运用数形结合思想解决高中数学问题。
1 函数中的数形结合思想如果说坐标系是数与形结合的纽带,那么函数图象则是数的直观形象的反映。
新课标中有这样的话:“遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特殊点,并借助图象研究一下它的性质,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象,结合实际图象记性质、用性质的好习惯。
数形要结合,关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。
例1使log2(-x)0-x0或x.>0f(x)<0再结合单调性也可解决问题。
显然麻烦得多。
2 运用数形结合思想解决与圆有关的问题例3: 求函数f(x)=2xx+1+x+2x+1的值域.分析注意到f(x)≥0,因而可以先求[f (x)]2的值域,再求f(x)的值域,平方后解析式变得十分复杂,是否还有其他方法呢?我们不妨用换元法试一试,如令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),由此可联想到其几何图形.解: 令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),它表示以原点为圆心,2为半径的一段圆弧(在第一象限内),又2u+v=y,即v=-2u + y,故点P(u, v)又在直线v=-2u +y上,那么y的几何意义即为直线在y轴上的截距,因而原问题转化为”当直线与这段圆弧有交点时,求直线的纵截距的取值范围“.由图易知此范围为[2,6],故所求的值域为[2,6].例4:已知集合M={(x,y)|y=x=a|},N={(x,y)|y=1-x2|},若集合交集合有两个不同的公共元素,求的取值范围.分析:由于集合不是整个圆,而仅是圆的一部分,应用数形结合思想处理.解:如图2所示,集合M是斜率为1的平行直线系,集合N表示单位圆位于x 轴及其上方的半圆,当l通过A(-1,0)、B(0,1)时,l与半圆有两个交点,此时a=1,l记为l1;当l与半圆相切时,切线l记为l2;当l夹在l1与l2之间时, 与半圆有两个不同的公共元素,因此1a<2.3 数形结合思想在对数中的应用例5:已知函数f(x)=1gx,x≥321g(3-x),x<32,若方程无实数根,则实数k的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(-∞,1g32)D.(1g32,+∞)解析:所给的函数f(x)是分段函数,而方程f(x)=k无实数根,可利用数形结合法转化为两函数图象无交点.解:在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图1,∴若两函数图象无交点,则k<1g32,故选C.例6:已知x1是方程x+1gx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,那么x1+x2的值为()A.6B.3C.2D.1解:∵1gx=3-x,10x=3-x,令y1=1gx,y2=3-x,y3=10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图2.∵x1是方程x+1gx=3的解,x2是方程x+10x=3的解,∴x1,x2分别对应图中A,B两点的横坐标.∵函数y=1gx与y=10x的图象关于y=x对称,∴线段AB的中点C在直线上y=x.∴由y=x,y=3-x解得x=32.∴x1+x2=3,故选B.4 数形结合思想解决复数模长最值问题例7:设复数z满足|z+i|+|z-i| = 2,求|z+ +1|的最小值.解:由题设知,复数z在复平面内对应的点集是线段AB,如图所示,线段AB上B点到C点距离最短.∵|BC |=1,∴|z+i+1|的最小值为1.点评:在分析问题和解决问题时,要注意解析语言的意义及运用,要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化,自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”.例8:已知复数z = 2+ai(a∈R),求|z+1-i|+|z-1+i|的最小值.解:∵|z+1-i|+|z-1+i| = |z-(-1+i)|+|z-(1-i)|,设z1=-1+i,z2=1-i在复平面上对应的点分别为A(-1,1),B(1,-1).z = 2+ai在直线:x = 2上,B点关于直线l的对称点为C(3,-1),连AC,交于D,则|z+1-i|+|z-1+i|的最小值为:|BD|+|AD| = |AC| =25.5 数形结合思想解决数列问题数列可看成以n为自变量的函数,等差数列可看成自然数n的“一次函数”,前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”,等比数列可看成自然数n的“指数函数”,在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。
数形结合在解等差数列问题中的应用
数形结合在解等差数列问题中的应用
等差数列在数学中占据重要地位，可以帮助我们解决很多数学问题。
随着互联
网的发展和普及，等差数列也应用到了在线教育领域。
其中，等差数列所表示的关系被用来解决许多数列相关的在线学习问题，让学习成为一种愉快的、高效的体验。
首先，等差数列有助于学习者认识问题。
当碰到一个需要解决的问题时，学习
者可以首先用等差数列的原理建立适当的概念框架，它可以有效帮助学习者分析问题的特征，定位问题的主要原因，以便找到合理的解决方案。
其次，等差数列可以提高学习者的抽象和联想能力。
如果学生把等差数列联系
在一起，他们就可以更好地理解一般的分析步骤，使他们更容易理解和记住数列的一般性规律。
因此，学习者也可以利用等差数列的知识来丰富他们的抽象思维，提高其数学思维能力。
最后，当学习者遇到复杂的等差数列问题时，他们可以使用等差数列函数来解决。
等差数列函数可以建立等差数列的数学模型，使其有效地引导学习者推导出等差数列的解法，同时给出额外的一些帮助，比如计算机代码等，让学习者更轻松快速地解决等差数列问题。
正如上述所示，等差数列在线学习中发挥了重要的作用，它可以有效的帮助学
习者解决许多数列相关的问题，使学习变得更有效率，也可以帮助学习者提升抽象思维和联想能力，提高学习者的数学思维能力。
第八单元《数学广角---数与形》核心素养(教案)人教版六年级数学上册
-抽象思维的转换：学生需要从具体的图形中抽象出数的规律，这对于部分学生来说是一个难点。
-数形结合的理解深度：学生需要理解数与形之间的联系并非表面，而是深层次的内在关系，这需要一定的逻辑推理和抽象思维能力。
-解决问题的策略选择：在面对实际问题时，学生需要能够选择合适的策略，运用数形结合的方法解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“数与形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对数与形的概念有了初步的认识，但要将这种认识转化为解决实际问题的能力，还需要更多的引导和实践。我尝试通过具体的案例和实验操作，让学生们亲身体验数与形之间的联系，希望这样的教学方法能帮助他们更好地理解和掌握这部分内容。
课堂上，我注意到有些学生在数列规律的探究中遇到困难，他们难以从图形中抽象出数的规律。在今后的教学中，我需要更多地关注这部分学生，采用更为直观和具体的方式，如使用教具或动画，来帮助他们建立数形结合的思维。
此外，教学过程中的总结回顾环节，我实。为了改善这一情况，我打算在接下来的课程中，加强对重点内容的讲解和复习，确保学生们能够真正理解和掌握。
4.激发学生的数学兴趣，发展数学审美，培养良好的数学学习习惯和合作交流能力。
5.强化学生对于数学基本概念的理解，提高数学核心素养，为后续学习打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
数形结合思想在数列中的应用
㊀㊀㊀解题技巧与方法１４７㊀㊀数形结合思想在数列中的应用数形结合思想在数列中的应用Һ王法金㊀（安徽省宿州市灵璧第一中学，安徽㊀宿州㊀２３４２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数与形是数学中两个基本的研究对象，它们有着内在的联系，而且可以互相转化，这一转化可被称为数形结合．数形结合的应用大致可分为两种情形： 以形助数 和 以数解形 ．文章从 以形助数 和 以数解形 两个角度谈数形结合思想在数列中的应用，旨在让一线教师认识到数形结合思想的重要性并熟悉其应用．ʌ关键词ɔ数形结合；数学思想；数列；图像；应用引㊀言数形结合是通过数与形的相互转化解决数学问题的一种重要思想．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化㊁几何问题代数化．数形结合可解决的问题比较多，下面以数列为例，谈谈数形结合思想在数列中的应用．一㊁以形助数例１㊀已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋１＝ｌｏｇ２ａｎ＋１()，若｛ａｎ｝是递增数列，则ａ１的取值范围是（㊀㊀）Ａ．（０，１）Ｂ．（０，２）Ｃ．（－１，０）Ｄ．（１，＋ɕ）分析㊀作出函数ｙ＝ｘ和ｙ＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）的图像，结合图像分析求解．㊀图１解析㊀因为｛ａｎ｝是递增数列，所以ａｎ＜ａｎ＋１，即ａｎ＜ｌｏｇ２ａｎ＋１()．如图１，作出函数ｙ＝ｘ和ｙ＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）的图像．由图１可知，当ｘɪ（０，１）时，ｘ＜ｌｏｇ２（ｘ＋１），且ｌｏｇ２（ｘ＋１）ɪ（０，１）．故当ａ１ɪ（０，１）时，ａ１＜ｌｏｇ２（ａ１＋１）＝ａ２，且ａ２ɪ（０，１），类推可得ａ１＜ａ２＜ａ３＜ ，满足｛ａｎ｝是递增数列，即ａ１的取值范围是（０，１）．故选Ａ．点评㊀通过图１可以直观得到：当ｘɪ（０，１）时，ｘ＜ｌｏｇ２（ｘ＋１）ɪ（０，１）．由此可知，当ａ１ɪ（０，１）时，有ａ１＜ｌｏｇ２ａ１＋１()＝ａ２，且ａ２ɪ（０，１）．类推可得ａ１＜ａ２＜ａ３＜ ，满足｛ａｎ｝是递增数列，即ａ１的取值范围是（０，１）．这样就轻松得到了答案，避免进入对ａ１进行讨论的繁杂境地，这体现了数形结合中 以形助数 的思想．例２㊀已知数列｛ａｎ｝满足：８＜ａ１＜９，且ｌｎａｎ＝ａｎ＋１－１ａｎ＋１，则（㊀㊀）Ａ．ａ３＜ａ４，ａ２０１９＜１Ｂ．ａ３＜ａ４，ａ２０１９＞１Ｃ．ａ３＞ａ４，ａ２０１９＜１Ｄ．ａ３＞ａ４，ａ２０１９＞１分析㊀根据题意设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘ（ｘ＞０），利用导数讨论函数的单调性，进而得出ｘ－１ｘȡｌｎｘ在［１，＋ɕ）上恒成立，作出图像，结合图像即可得出结果．解析㊀由题意，设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘ（ｘ＞０），则ｆᶄ（ｘ）＝１２ｘ＋１２ｘ㊃ｘ－１ｘ＝ｘ－２ｘ＋１２ｘ㊃ｘ＝（ｘ－１）２２ｘ㊃ｘȡ０，所以函数ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增．又ｆ（１）＝０，所以ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ－ｌｎｘȡ０在［１，＋ɕ）上恒成立，即ｘ－１ｘȡｌｎｘ在［１，＋ɕ）上恒成立．画出函数ｙ＝ｘ－１ｘ和ｙ＝ｌｎｘ的图像，如图２所示．由图２可得，ａ１＞ａ２＞ａ３＞ ＞ａ２０１９＞ ＞１，故选Ｄ．图２㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４８㊀点评㊀题目以数列的递推公式为背景，判断数列的单调性．数列是一种特殊的函数，故可借助函数图像及函数的单调性来判断数列的单调性．结合图像，由８＜ａ１＜９，且ａ１＝ａ２－１ａ２，知ａ１＞ａ２．类推可知ａ１＞ａ２＞ａ３＞ａ４＞ ＞ａ２０１９＞ ＞１．这样借助函数图像解决数列问题体现了数形结合中 以形助数 的思想．例３㊀（多选题）已知单位圆Ｏ的内接正ｎ边形Ａ１Ａ２Ａ３ Ａｎ的边长㊁周长和面积分别为ａｎ，Ｌｎ，Ｓｎ，则下列结论正确的是（㊀㊀）Ａ．ａｎ＝２ｃｏｓπｎＢ．ＬｎＬ２ｎ＝ｃｏｓπ２ｎＣ．ＳｎＳ２ｎ＝１２Ｄ．ａ２ｎ＋（２－ａ２２ｎ）２＝４㊀图３解析㊀如图３，对于Ａ，单位圆Ｏ的内接正ｎ边形Ａ１Ａ２Ａ３ Ａｎ的中心角为２πｎ，则ａｎ＝２ｓｉｎπｎ，故Ａ错误．对于Ｂ，由Ａ的结论ａｎ＝２ｓｉｎπｎ可得Ｌｎ＝ｎａｎ＝２ｎｓｉｎπｎ，则ＬｎＬ２ｎ＝２ｎｓｉｎπｎ４ｎｓｉｎπ２ｎ＝ｓｉｎπｎ２ｓｉｎπ２ｎ＝ｃｏｓπ２ｎ，故Ｂ正确．对于Ｃ，Ｓｎ＝ｎ１２ˑ１ˑ１ˑｓｉｎ２πｎæèçöø÷＝ｎ２ｓｉｎ２πｎ，则Ｓ２ｎ＝２ｎ２ｓｉｎ２π２ｎ＝ｎｓｉｎπｎ，故ＳｎＳ２ｎ＝ｎ２ｓｉｎ２πｎｎｓｉｎπｎ＝ｃｏｓπｎ，故Ｃ错误．对于Ｄ，由（１）知ａｎ＝２ｓｉｎπｎ，则ａ２ｎ＝２ｓｉｎπ２ｎ，故ａ２ｎ＋（２－ａ２２ｎ）２＝４ｓｉｎ２πｎ＋２－４ｓｉｎ２π２ｎæèçöø÷２＝４ｓｉｎ２πｎ＋æèçç２－４ˑ１－ｃｏｓπｎ２öø÷÷２＝４ｓｉｎ２πｎ＋４ｃｏｓ２πｎ＝４，故Ｄ正确．综上，正确答案为ＢＤ．点评㊀本题的解题关键点是明确әＯＡ１Ａ２，әＯＡ２Ａ３， ，әＯＡｎ－１Ａｎ是腰长为１，顶角为π２ｎ的等腰三角形，这些通过图３可以得到．这样，通过图形可以帮助学生获得解题思路且突破解题关键，这就是 以形助数 思想的魅力所在．本题考查了学生的数形结合思想和数学思维能力㊁数学运算能力．二㊁以数解形例４㊀（多选题）如图４，在平面直角坐标系中的一系列格点Ａｉ（ｘｉ，ｙｉ），其中ｉ＝１，２，３， ，ｎ，且ｘｉ，ｙｉɪＺ．记ａｎ＝ｘｎ＋ｙｎ，如Ａ１（０，０），即ａ１＝０，Ａ２（１，０），即ａ２＝１，Ａ３（１，－１），即ａ３＝０， ，以此类推．设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则（㊀㊀）图４Ａ．ａ２０２３＝４３Ｂ．Ｓ２０２３＝－８７Ｃ．ａ８ｎ＝２ｎＤ．Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝３ｎ（ｎ＋１）２解析㊀由题知，点Ａ１（０，０），Ｓ１＝ａ１＝０，设Ａｉ＋１（ｘｉ＋１，ｙｉ＋１）＝Ｂｉ（ｘｉ，ｙｉ），ａｎ＋１＝ｂｎ，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，则Ｓｎ＋１＝Ｔｎ．第１圈从点（１，０）到点（１，１）共８个点，由对称性可知Ｓ９＝Ｔ８＝ｂ１＋ｂ２＋ ＋ｂ８＝０．第２圈从点（２，１）到点（２，２）共１６个点，由对称性可知Ｓ２５－Ｓ９＝Ｔ２４－Ｔ８＝ｂ９＋ｂ１０＋ ＋ｂ２４＝０，即Ｓ２５＝Ｔ２４＝０．以此类推，可得第ｎ圈的８ｎ个点对应的这８ｎ项的和为０，即Ｔ８ˑ＝Ｔ４ｎ＋４ｎ＝０．设ｂ２０２２在第ｋ圈，则８＋１６＋ ＋８ｋ＝（８＋８ｋ）ｋ２＝４ｋ（ｋ＋１），由此可知前２２圈共有２０２４个数，故Ｔ２０２４＝０，则Ｔ２０２２＝Ｔ２０２４－（ｂ２０２４＋ｂ２０２３），ｂ２０２４所在点的坐标为（２２，２２），则ｂ２０２４＝２２＋２２＝４４，ｂ２０２３所在点的坐标为（２１，２２），则ｂ２０２３＝２１＋２２＝４３，ｂ２０２２所在点的坐标为（２０，２２），则ａ２０２３＝ｂ２０２２＝２０＋２２＝４２，故Ａ错误．Ｓ２０２３＝Ｔ２０２２＝Ｔ２０２４－（ｂ２０２４＋ｂ２０２３）＝０－（４４＋４３）＝－８７，故Ｂ正确．ａ８所在点的坐标为（０，１），当ｎ＝１时，则ａ８ｎ＝㊀㊀㊀解题技巧与方法１４９㊀㊀ａ８＝０＋１＝１ʂ２，故Ｃ错误．Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝Ｔ４ｎ＋５ｎ＝Ｔ４ｎ＋５ｎ－Ｔ４ｎ＋４ｎ＝ｂ４ｎ＋４ｎ＋１＋ｂ４ｎ＋４ｎ＋２＋ ＋ｂ４ｎ＋５ｎ，对应点的坐标为（ｎ＋１，ｎ），（ｎ＋１，ｎ－１）， ，（ｎ＋１，１），所以Ｓ４ｎ＋５ｎ＋１＝Ｔ４ｎ＋５ｎ＝（ｎ＋１＋ｎ）＋（ｎ＋１＋ｎ－１）＋ ＋（ｎ＋１＋１）＝（２ｎ＋１）＋２ｎ＋ ＋（ｎ＋２）＝（２ｎ＋１＋ｎ＋２）ｎ２＝３ｎ（ｎ＋１）２，故Ｄ正确．综上，正确答案为ＢＤ．点评㊀本题以图形及数列的求和为背景，观察图形，利用对称性进行代数运算，可求解选项Ａ，Ｂ，Ｃ．对于选项Ｄ，考虑已知的前ｎ项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解．结合根据题干所给的图形的特点利用代数运算求解问题，这一过程体现了数形结合中 以数解形 的思想．例５㊀已知数列｛ａｎ｝，满足ａｎ＋１＝ｋ（ａｎ－ａ２ｎ）．若ａ１＝１２，ｋ＝１，则ａｎ＋１ａｎ{}的最小值是，若ａ１＝２，且存在常数Ｍ＞０，使得任意ａｎɤＭ，则ｋ的取值范围是．分析㊀当ａ１＝１２，ｋ＝１时，利用ｙ＝ｘ－ｘ２的图像和直线斜率的定义可求得ａｎ＋１ａｎ的最小值；当ａ１＝２时，利用ｙ＝ｋ（ｘ－ｘ２）的图像再结合题设条件可列出关于实数ｋ的不等式组，解之即可求得实数ｋ的取值范围．解析㊀令ｘ＝ａｎ，ｙ＝ａｎ＋１，ａｎ＋１ａｎ表示点（ａｎ，ａｎ＋１）与原点连线的斜率．当ｋ＝１时，ｙ＝ｘ－ｘ２，又ａ１＝１２，则ａ２＝１４，ａｎɪ０，１２æèçùûúú且递减，㊀图５如图５，由二次函数图像的性质可知ｙ＝ｘ－ｘ２在０，１２æèçùûúú上单调递增，所以（ａ１，ａ２）为ｙ＝ｘ－ｘ２，ｘɪ０，１２æèçùûúú的最高点，则ａ２ａ１最小，所以ａｎ＋１ａｎ{}的最小值为ａ１－ａ２１ａ１＝１２．当ｋ＝０时，ａｎ＋１＝０，又ａ１＝２，任意ａｎɤ２恒成立，符合题意；当ｋʂ０时，由ａ１＝２，且任意ａｎɤＭ得Ｍȡ２．结合ｙ＝ｋ（ｘ－ｘ２）的图像（如图６）可得，ｋ４ɤＭ，ｋ（Ｍ－Ｍ２）ɤＭ，ìîíïïï即ｋɤ４Ｍ，ｋɤ１Ｍ－１，{图６又４Ｍ＞１Ｍ－１（Ｍȡ２），则ｋɤ１Ｍ－１ɤ１，即－１ɤｋɤ１，ｋʂ０．故ｋ的取值范围是－１ɤｋɤ１．故答案为：１２；［－１，１］．点评㊀解本题的过程中，解题者根据题意作出相关函数的图像，再结合图像的特点进行代数运算，使问题得解，这一过程体现了数形结合中 以数解形 的思想．结㊀语作为教师，不仅要教会学生解题方法，还要教会学生解题的思想．数形结合是一种重要的数学思想，其将 数 与 形 紧密联系在一起，应用数形结合思想解题时，既可以 以形助数 ，又可以 以数解形 ．教师应该在解题教学中渗透数学结合思想，帮助学生梳理题目的框架与解题的思路，从而提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］陈元斌．数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２３（２３）：６６－６８．［２］张东林．数形结合思想在中学数学的应用［Ｊ］．中学数学，２０１２（８）：８４－８５．［３］曹莹，李鸿昌．一道数列最值问题的解法探究［Ｊ］．高中数学教与学，２０１９（１９）：１５－１６．。
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想因为数列的通项公式、前n项和公式都是关于n的函数，所以一些数列问题可从函数的角度出发，运用函数思想来解答.相关的问题有：数列的单调性问题、求基本量问题、最值问题等.上述问题可利用数列所对应函数的特征、数列所对应函数的性质来解答.2.方程思想等差、等比数列都有5个基本量，运用方程思想可做到“知三求二”.在已知某些量的情况下，通过列方程或方程组求解其它量.此外，本章经常使用的待定系数法其实就是方程思想的体现.3.转化与化归思想本章的转化思想的运用，主要体现在把非特殊数列问题转化成特殊数列问题来解答，如：求递推数列的通项公式可通过构造转化成特殊数列求通项公式，非特殊数列的求和问题可转化成特殊数列的求和问题等.化归思想指的是把问题转化到研究对象最基础知识点上去解决，如：用等差、等比数列及等差、等比中项的定义，证明一个数列是等差或等比数列等.4.分类讨论思想本章的分类讨论思想主要体现在解决一些含参数列问题上，尤其是等比数列求和或相关问题时，若含参数，一定不要忽略对q=1的讨论.5.数形结合思想借助数列所对应函数的图象解答某些问题，会十分的直观、快捷.如：解答等差数列前n项和的最值问题，我们可结合二次函数的图象.6.归纳思想归纳思想是指由个别事实概括出一般性结论的数学思想.在本章中，根据数列的前若干项归纳数列的通项公式，或根据若干图形中子图形的个数归纳第n个图形中子图形的个数（其实也是求通项公式）都是运用归纳思想的典型例子.7.类比思想类比思想是指由一类对象具有某些特征，推出与它相似的某一对象也具有这些特征的数学思想，它的推理方式是由特殊到特殊的推理.等差数列和等比数列作为两类特殊的数列，有很多相似之处，比如，在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则有.通过类比可推导出很多有用的结论，发现很多有趣的性质.8.整体思想在研究数列（是等差或等比数列的前k项的和）时，就利用了整体思想，即把看作数列中的一项，依此类推，即可得出此数列的特征.首页上一页12下一页末页共2页感谢您的阅读，祝您生活愉快。
数形结合思想在解题过程中的应用
摘要近年来,随着科学研究的进步与发展,我国数学地位在教育中也有明显的提升,数学已经广泛地渗入到数学以外的学科和我们的生活中.数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.本文首先简述了数形结合思想的历史演进、地位和原则.其次,借助实例从“以形辅数”、“以数思形”和“数形并重”等对数形结合思想在不等式、方程、函数、解析几何以及微积分等方面的应用加以分析,以便人们学会正确运用抽象和概括的科学思维方法,提高人们研究问题和解决问题的能力,充分体现数形结合思想在解题中的优越性.最后,总结出数形结合思想在数学教学中的作用和意义以及对人类生活的影响.关键词：数形结合思想,以数思形,以形辅数,数形并重The application of the number form combining ideas inthe problem solving processAbstract: In recent years, with the progress of scientific research and development, the status of mathematics in China also has obvious improvement in education, mathematics has been widely penetrated into mathematics discipline and in our life. The essence of mathematics lies not in knowledge itself, but is contained in the mathematical knowledge of mathematics thinking method. This article first briefly describes several form combining ideas of historical evolution, status and principle. Secondly, with the aid of examples from "to shape and auxiliary number", "thinking" and "number form and logarithmic form combining ideas" in inequality, equation, function, the application of analytic geometry and calculus analysis, so that people learn to correctly use of abstraction and generalization of scientific thinking methods, improve the ability of people to study and solve problems, fully embody the superiority of the number form combining ideas in problem solving. Finally, summarizes several form combining ideas in mathematics teaching the role and significance as well as the impact on human life.Key words:Several form combining ideas, To the number of Si-shaped, To form secondary number, Both the number of shape目录一、引言 (1)二、数形结合思想的背景 (1)三、数形结合思想的概述及其地位 (1)四、数形结合思想的原则 (2)（一）“形”的精确性原则 (2)（二）等价性原则 (2)（三）双向性原则 (2)（四）简单性原则 (3)五、数形结合思想在解题中的应用 (3)（一）利用数形结合思想解决方程和不等式问题 (3)（二）利用数形结合思想解决数列问题 (5)（三）利用数形结合思想解决最值问题 (5)（四）利用数形结合思想解决解析几何问题 (6)（五）利用数形结合思想解决三角形问题 (6)（六）利用数形结合思想解决定积分问题 (7)（七）利用数形结合思想解决实际问题 (8)六、数形结合思想在教学中的作用和意义 (9)七、数形结合思想对人类生活的影响 (12)（一）“数形结合”的思想方法与人类生活的关系 (12)（二）“数形结合”的思想方法对人类生活影响的具体体现 (12)八、结束语 (13)参考文献 (14)一、引言数与形是数学中两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定的条件下可以互相转化.数形结合是一种很重要的数学思想,它是研究与解决数学问题的重要方法,在数学中占有举足轻重的地位.把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”互相转化的研究策略,就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,由“数”思“形”,由“形”思“数”,相互渗透,相互作用,根据条件和结论之间的内在联系,即分析其代数含义,又揭示其几何背景,使数量关系的精确刻画与空间形式的主观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,有利于多角度、多层次地展开思维,培养学生的观察能力、理解能力、记忆能力、逻辑能力,以及提高学生思维的广阔性、灵活性和深刻性,使思维具有发散性,开拓解题思路,从而起到优化解题途径的目的.二、数形结合思想的背景早在数学萌芽时期,人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了.我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数式描述某些几何特征,把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系.17世纪上半叶,法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁,在点与数对之间、曲线与方程之间建立起对应关系,用代数方法研究几何问题,从而创立了解析几何学.后来,几何学中许多长期不能解决的问题,例如三等分任意角、化圆为方问题,最终也借助于代数方法得到了完满的解决.即使在近代和现代数学的研究中,几何问题的代数化也是一条重要的方法原则,有着广泛的应用.初等数学历来被划分为代数和几何两大分支,前者偏重于数的分析,而后者则偏重于形的研究.但是今天人们越来越认识到：仅有代数的思想而无图形的直观,或虽有直观的图形而缺少数据的分析,许多数学问题都难以高质有效的解决.形是数的翅膀,数是形的灵魂.[1]三、数形结合思想的概述及其地位“问题是数学的心脏”,提出问题并解决问题是推动数学发展的动力.数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.“欲善其事,必先利其器”,数形结合就是解决数学问题的一个有力工具,也是数学教学中极为重要的数学思想的基本方法之一,通过数形结合可以将抽象的数学语言与直观图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,缩短了思维链,简化了思维过程.所谓数形结合,就是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来.一方面借助数的精确性来阐明形的某些属性,另一方面借助图形的直观性来阐明数量之间的关系.其实质就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,把代数上的“数”与几何上的“形”和谐地结合起来去认识问题以至于解决问题的一种思想.给“数”的问题以直观图形的描述,揭示出问题的几何特征,就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量,分析数据之间的关系,更能从本质上认识“形”的属性.正如著名数学家华罗庚所说:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞,数缺形时少直观,形少数时难人微”.具体点说,就是在解决数学问题时,不能单一的从数或者形的方面去思考,而是要将两者和谐的运用,才能使问题简单化、明朗化.在现代数学教育的各个阶段,数形结合思想都是尤为重要的.利用数形结合,能有效地讲解有关基本概念、定理、培养学生的学习能力、提高学生的主观能动性、发展学生智力.解题中运用它能使复杂的问题简单化、明朗化、清晰化,提高学生思考、分析、解决问题的能力.可以说数形结合思想是师范学生应重点掌握的一种数学思想,在教学中教师应引起高度重视. 四、数形结合思想的原则为了正确地在解题中运用数形结合思想,一般要遵循以下四个原则：（一）“形”的精确性原则几何图形的优点是其具有直观性,但若构图不精确,则往往会造成视觉性的误解.（二）等价性原则等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是对应的,即对于所讨论的问题,形与数所反映的对应关系应具有一致性.利用数形结合解决数学问题时要注意转化的等价性,我们常常由“形”观察出“数”,由“数”构造出“形”,这中间的观察与构造并未经过严格的逻辑推理,加之审题不周到,容易造成数形转化的不等价而产生误解.（三）双向性原则双向性原则是指既进行几何直观的分析,又进行代数抽象的探索,代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性,能克服几何直观方法的局限性.（四）简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理,即使几何形象优美 又使代数计算简洁,明了,避免繁琐的运算.五、数形结合思想在解题中的应用对一个学生数学水平的评价,不仅要看学生对数学知识掌握多少,也要注重学生的数学技能.而提高这种能力,最好的方法就是学习和运用数形结合思想.通过以下应用来实际说明这一点.（一）利用数形结合思想解决方程和不等式问题利用二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像与x 轴交点的横坐标是方程0)(=x f 的实根,根据二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 与x 轴的交点情况就可以确定方程0)(=x f 的实根的情况,即通过)(0)(x f y x f =⇔=的相互转化,利用函数)(x f y =的图像可以直观解决问题.例1：a 为何值时,方程0122222=-++a ax x a 的两根在()1,1-之内？ 分析：显然02≠a ,我们可从已知方程联想到相应的二次函数=y 222122a ax x a -++的草图（如图1所示）,从图像上我们可以看出,要使抛物线与x 轴的两个交点在()1,1-之间,必须满足 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤->-0)1(0)21(0)1(f a f f , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤->-0)1(0210)1(222a a a ,从而可解得a 的取值范围为22≥a 或22-≤a 且1±≠a .图1 图2例2:如果方程05)2(2=++++k x k x 有两个不相等的正实根,求k 的范围.y xx y 0 -1 1 1x 2x a 21-解：设5)2()(2++++=k x k x x f因为01>=a , 抛物线开口向上,如图2所示,又因为方程有两个不相等的实根.故 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>∆020)0(0a b f 45-<<-⇒k所以当45-<<-k 时,方程有两个不相等的正根.对于一些不规则的方程,通过构造两个函数,然后,把方程的根转化为两个函数的交点问题.例3：设方程112+=-k x ,试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况.分析：我们可把这个问题转化为确定函数121-=x y 与12+=k y 的图像（图3）交点个数的情况,因函数12+=k y 表示平行于x 轴的所有直线,从图像可以直观看出：①当1-<k 时, 1y 与2y 没有交点,这时原方程无解；②当1-=k 时,1y 与2y 有两个交点,原方程有两个不同的解；③当01<<-k 时,1y 与2y 有四个不同交点,原方程不同解的个数有四个； ④当0=k 时,1y 与2y 有三个交点,原方程不同解的个数有三个；⑤当0>k 时1y 与2y 有两个交点,原方程不同解的个数有三个.图3 图4求不等式的解集时,只要联想对应的函数的图像,确定它们的交点情况,便可直观地看出所求不等式地解集.xy1-1 1 -1 o例4：不等式x x 1>的解集是？ 分析：令x x f =)(,xx g 1)(=,在同一坐标系中画出这两函数图像.如图4所示,由图像可知：)(x f 与)(x g 的两个交点为)1,1(,)1,1(--.则不等式x x 1>的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 这类求解像)()(x g x f >这样的不等式,跟上面所提的方程)()(x g x f =的类似,方程问题是看两个函数图像有几个交点这类的信息,而这里不等式问题的是看不同的区间内,两个函数图像谁上谁下,从而知道谁大谁小,也就是不等式的解区间,区间的端点就是方程问题所要讨论的.（二）利用数形结合思想解决数列问题等差数列的通项n a 是关于n 的函数,即()n f a n =,其图象是一群离散的点.等差数列的通项公式是)()1(11d a dn d n a a n -+=-+=,是关于n 的一次式.其各项的点(n ,n a )在同一直线上,等差数列的前n 项和公式n d a n d d n n na s n )2(22)1(121-+=++=,是关于n 的二次式,其对应点(n ,n s )在同一抛物线上,此抛物线一定过原点.而点(n ,n s n )在直线)2(21d a x d y -+=上.等比数列的通项公式n n n cq q a a ==-)1(1(q a c 1=)及前n 项和公式n n n Bq A q q a s +=--=1)1(1(0,11=+-=B A qa A ),其图像是指数型函数曲线.（三）利用数形结合思想解决最值问题例5：求函数的y =222+-x x +1362+-x x 的最小值.分析：本题难度较大,若从代数的角度思考,学生的思维受阻,不易求解且过程十分繁琐.这时利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式,可化为：y =22)]1(0[)1(--+-x +22)20()3(-+-x解:如图5所示,所求函数的最小值可视为求点)0,(x p ,到)1,1(-A 及)2,3(B 的距离和的最小值.显然AB 的连线与x 轴的交点,即为所求的)0,(x p点.AB 的直线方程为:2523-=x y . 令y =0,解得35=x . 13)12()13(22min =++-==AB y 所以,当时35=x , 有最小值13=y .图5 图6（四）利用数形结合思想解决解析几何问题例6：过双曲线2x 2-y 2-8x+6=0的右焦点作直线L 交双曲线于A 、B 两点.若|AB|=4,这样的直线存在几条?分析:此题若从代数的角度去思考,则显得比较困难,无从下手,如换个角度,从数形结合方面去考虑,先画出图形,再对问题进行求解,则显得很简洁.解:如图6所示,双曲线C 的方程为121)2(22=--y x 其通径长为：422=a b 即通径所在直线符合题设条件,是所求的直线之一.又因为,双曲线的右焦点到左顶点的距离为413<+,所以当A 、B 分别在双曲线的两支上符合条件的直线有两条,故符合题意的直线有三条.（五）利用数形结合思想解决三角形问题在一些含有一般三角形的题目中,若要求其面积,都经常利用正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换来解决,但若能利用三角函数的图像及数形结合思想,则可以简化计算过程.1 2 3 A(1,-1) -1 1 2 x P B(3,2) o 1 2 -1 -2 1 2 3 y xF 2 F 1 y例7：在△ABC 中,3,3==BC A π,则△ABC 的周长为是多少？分析：本题思路一般都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长CA 到D ,使AB AD =（如图7）,则 AC AB CD +=,6π+∠=∠CBA CBD ,由正弦定理⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin sin πB AC AB D BC ,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+6sin 6πB AC AB . 因此,△ABC 的周长为⎪⎭⎫ ⎝⎛++6sin 63πB.图7（六）利用数形结合思想解决定积分问题例8：求二重积分dxdy y x x D⎰⎰+22,其中D 是由抛物线y=22x 和直线y x =所围成.分析：1、求出围成 D 中各曲线间的交点由 ⎪⎩⎪⎨⎧==x y x y 22得到交点为（0,0）、（2,4）2、画出草图在该步骤中,可以用刚才讲到的垂直数轴判别法.我们先取定内积分,这一点在运用该方法时很重要,内积分的积分变量取定后,才能进一步确定是做 x 轴的垂线还是 y 轴的垂线.此题,我们可取 y 为内积分的积分变量,画出草图,同时,在围成区域 D 相应的曲线标出方程,并写成关于内积分变量的表达形式.即y=22x （1）,x y =（2）（若 x 为内积分的积分变量,则写成y x =和y x 2=的形式）,利用垂直数轴判别法,过)2,0(1∈∀x 作 x 轴垂线,单位、大小、方向同 y 轴,由判别法知,对应着较大单位的交点所在的曲线方程为内积分的上限,相应的较小交点所在的曲线方程为内积分的下限.图形如下：图 83、求体积dxdy y x x D ⎰⎰+22 =dy yx x dx x x ⎰⎰+20222220arctan 42x dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 2ln 2=（七）利用数形结合思想解决实际问题在现实生活中,我们经常会遇到一些关于数学方面的问题,比如水、电费问题,打折销售问题,追击问题等等.此时若能对数学知识理解掌握好,巧用数形结合思想,在现实生活中有些问题便可迎刃而解.例9：某厂拟生产甲、乙两种试销产品,每件销售收入分别为3千元,2千元.甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工,在每台A 、B 上加工一件甲产品所需要的时间分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500,如何安排生产可使收入最大？解：设加工甲产品x 件,加工乙产品y 件,目标函数y x z 23+=,线性约束条件为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤+0,50024002y x y x y x ,作出可行域,如图9所示阴影部分.把yx （2,2） 2 22x y = x y =2y x z 23+=变形为平行直线系223:z x y l +-=,由图可知当l 经过可行域上点M 时,截距2z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+50024002y x y x 得)100,200(M ,80010022003max =⨯+⨯=z ,所以当生产甲产品200件,乙产品100件时,可使收入最大,最大为80万.图9六、数形结合思想在教学中的作用和意义在实际生活中,形与数是不可分离的结合在一起,这是直观与抽象、感知与思维相结合的体现.形与数的结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识理解,发展智力,培养能力的需要.数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一.[2]其在教学方面的作用有如下几个方面：（一）有助于学生形成合理、完整的数学概念.数学概念是数学逻辑思维的源头,是学生认知的基础,是学生数学思维的中心思想.但是由于数学中的概念往往是高度抽象,比较发散的.或许是一个理论,或许是一个公式,很难立刻被理解,给人一种单调、乏味的感觉.但利用数形结合的思想可以很好的帮助学生理解数学概念.1、化抽象为具体,化单调为丰富,有利于学生对数学概念的理解、记忆.这一点主要表现在以下几个方面：第一、利用数形结合,容易揭示数学概念的由来,学生易于感知和接受.第二、利用数形结合有利于学生对知识理论本质的理解,画图能力也会有明显的提升.第三、利用数形结合,为概念赋予图形信息,可以使学生通过看图形信息来加深理解其概念以及相关定理、性质的应用.2、提高和发展学生对数学结构的认知.数学结构的认知是学生头脑中的数学知识结构,即数学知识结构通过内化在学生脑海中所形成的理论内容和归纳整理.数形结合可以使学生的知识整体化、系统化,便于学生在各种知识背景下快速,有效的提取相关有用的信息,并且能从“数”与“形”两个方向去思考并解决问题.主要体现在下面几个方面:第一、数形结合加强了知识与图形之间的相互联系与转化,建立了有效的知识网络,提高了学生的数学认知层次.第二、通过数形结合不仅使学生原有的认知水平得到了明显提高,而且使学生对知识的理解更加深刻透彻,还能使学生的智力得到发展.（二）有助于拓展学生发现解决问题的的方法.1、数形结合思想对解决数学问题有着“导向功能”.我们知道,对于数学而言,具体问题,具体分析有多么重要.数形结合思想作为一种思维策略,虽然不能通过这种思想使之全部解决,但在解题过程中却可以作为寻求解法的一个途径,或在思路受阻时寻求新的突破口,所以这又是数形结合思想另一方面的积极意义.2、有助于学生积累数学理论知识、分清结构层次,简化思维过程.不同的学生对同一问题的思考方向不同,则思维过程也就不尽相同.思维能力强的学生思维过程短,思维链少,能力弱的同学往往表现出思维过程长,思维链多且无序,不能快速、清晰的表达出来.数形结合最大的特点就是模型化、直观化、明朗化,通过图形,可以快速的知道题里给出的已知条件和所隐含的条件.用简单直观的图形代替复杂的代数推理.学生的知识结构中要是有了一些丰富的图形模块和数式模块,将会快速、准确地解题.（三）有助于学生逻辑思维能力的发展.进入高中阶段的学生己完成了由直观形象思维到抽象逻辑思维的飞跃,但这并不是说我们在教学中就可以偏颇某一种思维方式.形象思维的培养在高中阶段是不容忽视的,也是很重要的.数形结合思想可以培养以下思维：1、有助于发展学生的形象思维.这一点主要表现在以下几个方面：第一、数形结合丰富了表象的储备,而表象的运动过程可促进形象思维发展.第二、数形结合有助于培养学生对图形的想象能力,促进学生形象思维的发展.2、有助于培养学生的直觉思维.运用数形结合解题能直接揭示问题的本质,直观、清楚地看到问题的结果,省掉了许多思维过程.只需稍加计算或推导,就能得到确切的答案,因此许多数学问题的解答过程都是先从几何图形的直觉感知中得到某种猜想、假设,然后再进行逻辑推理和证明,进而使问题得以解决的过程.3、有助于培养学生的抽象思维能力.这一点主要表现在以下几个方面：第一、数形结合从表面上看是代数与几何之间相结合.第二、我们知道任何的学习迁移都是通过概括这一思维过程来实现的.数形结合思想在应用的过程中,常常根据数量关系与图形特征之间的联系和规律,可以把一个形的问题等价转化迁移到与之相应的数的问题,反之数的问题等价转化迁移到与之相应的形的问题.在这方面,很好的体现了数形结合思想的等价性原则.（四）利用数形结合,唤起学生对数学美学的认识以及追求.数学本身就是一门美的学科,数学上的对称美、轮换美、简洁美、和谐美、奇异美等形式在图形上的体现更为直观、更为动人.利用数形结合,使学生具有发现美的眼睛,培养学生的审美情趣,提高审美意识和审美能力,以激励起学生学好数学的激情、动力和追求解题的艺术美,促进人的素质全面提高.美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题.”只有对数学思想、数学方法理解透彻并达到融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.[3]我国现在不论是小学教育、中学教育、还是高中教育对数学思想的考察都十分重视,其解答过程中都蕴含着各式各样的数学思想,虽说数学思想的种类繁多,但在其中,我认为数形结合思想显得尤为重要.实际上数形结合思想的应用是很广泛的,只要我们用心去分析,动脑去思考,数学上有很多问题通过数形结合思想是很容易解决的.数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何,可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在.恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻画与空间的直观图形巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决.“数”与“形”是一对矛盾,是抽象与直观在数学中的体现,二者的有机结合,是数学魅力之所在.宇宙间万物无不是“数”和“形”矛盾的统一.通过代数问题与几何图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等.七、数形结合思想对人类生活的影响从李文林的《数学史概论》和莫里斯·克莱因所著的《古今数学思想》两书中我们都可注意到:“数形结合”这一思想方法的产生与发展也是经历了一个曲折的变化过程,如公元前6世纪前,数学主要是关于“数”的研究与从公元前6世纪开始,希腊数学的兴起,突出了对“形”的研究,[4]最终作为人类几千年数学文化沉淀的结晶——数学中最基本的思想方法之一.这就如恩格斯所论述的那样：数学是关于现实世界的空间形式与数量关系的一门科学.然而,我认为数形结合思想的重要性不单单是体现在数学科学中,在我们的实际生活中也具有极其重要的作用.（一）“数形结合”的思想方法与人类生活的关系“我们认为,所谓数学思想是对数学知识本质的认识,是对数学规律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点”.[5]既然数学思想是一种认识和观点,也就可认为它是一种观念,而“数学观念系统与数学思想系统等基本认识对数学思维过程起着定向的作用”.[6]同时,“数学方法就是数学思维结构的主要成分”,其作用是“数学思维的操作手段”,[6]亦即“数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等”.[5]综上可知数学思想对数学思维具有导向功能,而数学方法是数学思维的具体方法,也是各种具体问题的实施方式、途径.因此,“日本数学家和数学教育家米山国臧在从事了多年数学教育之后,说过一段寓意深刻的话:学生们在初中或高中所学到的数学知识在进入社会后,几乎没有什么机会应用,因而这种作为知识的数学,通常在出校门后不到一两年就忘掉了,然而不管他们从事什么工作,那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法,却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用.”[7]作为数学中一个最基本的思想方法——数形结合思想,它无疑地为人类的逻辑思维提供了导航作用和各种具体的方法与途径,为人们的提供了很好的思维模式,而这种思维模式已经刻画在了人们的脑海中,人们在生活中运用时却又感受不到其重要性,也就是说“数形结合”的思想方法在默默地指导着人类生活.（二）“数形结合”的思想方法对人类生活影响的具体体现“许多数学家在创立数学的时候,不断地从一般文化中汲取营养.许多数学的本原思想和人类普通的思想是相通的.文学中的“对仗”、“物理学中的能量守恒定理”与“数学中的对称”等等思想都是相通的.[8]同样,“数形结合”的思想与人类其他的诸多思想也是相通的,不过,通过对数形结合思。
高中数学有效运用数形结合思想的教学研究
高中数学有效运用数形结合思想的教学研究一、本文概述《高中数学有效运用数形结合思想的教学研究》一文，旨在探讨数形结合思想在高中数学教学中的有效应用。
数形结合是一种重要的数学思想方法，它将数与形相互转化，使抽象的数学概念和复杂的数学问题变得直观、形象，从而有助于学生更好地理解和掌握数学知识。
本文将从数形结合思想的基本内涵出发，分析其在高中数学教学中的具体应用策略，并探讨如何通过数形结合思想提高学生的学习兴趣和数学素养。
本文将首先概述数形结合思想的基本概念和特点，阐述其在数学教学中的重要性和意义。
接着，文章将结合具体的教学案例，分析数形结合思想在高中数学各个知识点中的应用，如函数、几何、数列等。
同时，文章还将探讨数形结合思想在解决数学问题中的应用，包括解题思路的拓展和优化，以及解题效率的提高等方面。
本文还将关注数形结合思想在提高学生数学素养方面的作用。
通过数形结合思想的教学，可以帮助学生更好地理解数学概念，掌握数学方法，提高数学思维能力，从而培养学生的数学素养和综合素质。
本文将对数形结合思想在高中数学教学中的有效应用进行总结和反思，提出相应的建议和改进措施，以期为高中数学教学的改革和发展提供有益的参考和借鉴。
二、数形结合思想的理论基础数形结合思想作为数学教学中的一种重要理念，其理论基础源自数学哲学、认知心理学和教育心理学等多个学科。
从数学哲学的角度看，数形结合体现了数学中抽象与具象的统一。
数学作为一门研究数量关系和空间形式的科学，既需要高度的抽象思维，也需要具象的直观表达。
数形结合思想将这两者有机结合，使得抽象的数学概念和公式得以在直观的图形中得到体现和解释，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
从认知心理学的角度看，数形结合思想符合人类的认知规律。
人类的思维过程往往是从具体到抽象，从感性到理性。
数形结合通过将抽象的数学概念和公式转化为直观的图形，符合了学生的认知特点，有助于他们形成正确的数学概念，提高数学思维能力。
例析数学思想在数列中应用
例析数学思想在数列中的应用数列是高中数学的重要内容，也是初、高等数学的重要的衔接点。
纵观近几年高考试卷不难发现它是必考内容之一，常以填空题和解答题形式出现，属于中、高档题型。
填空题主要考查等差（比）数列的通项公式、求和公式的应用以及基本性质；解答题往往放在最后两题的位置，通常从数列的基本性质入手，进一步研究数列的通项公式和求和公式，有时会和方程、函数、不等式等知识结合起来考查。
学生对于这类问题往往束手无策，但学生如果能理解数列中蕴含的数学思想方法，灵活运用它会起到意想不到的效果。
下面笔者对数列试题中常涉及的数学思想方法进行举例分析。
一、方程思想等差（比）数列一般涉及五个基本量：a1、d（q）、n、an、sn，我们根据其中三个可以求出另外二个的基本问题，可以运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1.（2010年福建高考）在等比数列{an}中，若公比q为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=___________。
分析：根据等比数列前n项和公式可求出a1=1，故an=4n-1。
注：本题利用方程思想揭示问题隐含的等量关系，从而显示设问与条件的联系。
等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛应用。
二、函数思想数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）上的特殊函数。
运用函数思想去研究数列，要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决相关问题，它不仅使问题简化，而且还可以加深对知识的关系的理解。
例2.已知a■=■，n∈n*，求{an}中最大项是第几项？分析：本题实质上求f（n）=n+■，n∈n*的最小值时项数，因为n+■≥2■，当且仅当n=■时取等号，又n∈n*，故n=12或13，又a12=a13，所以最大项是第12项和第13项。
注：函数思想在数列中的运用，学生有时想不到。
怎样有效地将数列情景转化为函数情景，然后用函数的性质解决问题，是运用函数思想解决数列问题的关键所在。
基于学科大概念的高中数学大单元教学设计——以“数列”为例
㊀㊀㊀㊀１２８㊀基于学科大概念的高中数学大单元教学设计基于学科大概念的高中数学大单元教学设计㊀㊀㊀ 以 数列 为例Һ张㊀萌㊀马㊀万㊀（宁夏师范学院，宁夏回族自治区㊀固原㊀７５６０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ新一轮课程改革将培养学生的学科核心素养作为首要任务，并提出要以学科大概念为核心，使课程内容结构化．在此背景下，以学科大概念为核心的单元教学成为落实学科核心素养的有效途径．为此，文章以 数列 单元内容为例，对以学科大概念为核心的大单元教学设计进行了探究，并以 解析课程标准，确定大概念 重整单元内容，制订教学目标 明确评价任务，设计单元学习活动 为单元教学设计流程，以期为一些一线高中数学教师基于大概念理念进行大单元教学设计提供参考．ʌ关键词ɔ学科大概念；单元教学设计；高中数学；数列ʌ基金项目ɔ宁夏科技厅重点研发计划项目（引才专项）项目编号：２０１９ＢＥＢ０４００３引㊀言大概念是由美国学者布鲁纳提出的．大概念并非指某一知识的具体概念，而是指具体知识背后更为本质㊁更为核心的思想或看法，它是对概念间关系的抽象表述，是对事物的性质㊁特征以及事物间的内在关系及规律的高度概括．围绕大概念进行大单元教学，能帮助学生系统地梳理知识㊁重整数学内容结构，有助于学生对知识的深入学习和建构，也有助于发生学习迁移．同时能提高学生的抽象概括能力和思维水平，并在学习过程中逐渐落实学科核心素养．因此，文章以高中数学 数列 单元为例，探讨基于学科大概念的高中数学单元教学设计．一㊁解析课程标准，确定大概念‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“中 数列 被安排在选择性必修课程 函数 主题下，并指出 数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用 ．而函数是刻画客观世界的重要模型，所以 数列 单元的大概念可以确定为 数列是刻画客观世界的重要模型 ．因此可以从函数视角来学习数列，用函数的思想方法研究数列，将函数思想渗透到数列的学习中，让学生真真切切地感受到数列是一类特殊的函数，既能加深对函数的认识，又能将数列统一到函数中，完成知识的整合，同时能培养学生的数学抽象㊁逻辑推理等能力，进而落实学生学科核心素养的培养．二㊁重整单元内容，制订教学目标（一）教材分析数列是普通高中数学教科书选择性必修第二册人教Ａ版第四章的内容，也是高考的重点考查知识之一．１．学科性质数列是刻画客观世界的重要模型，所以数列是一类特殊的函数，是反映自然规律的数学概念．数列本身也是数学的研究对象之一．它不仅有着广泛的实际应用，而且是学习计算机㊁高等数学的基础知识之一．２．知识的上下位关系数列是整个高中数学知识的汇合点，许多高考知识都与数列有着非常密切的联系．在本单元学习之前，学生在义务教育阶段就已经学习掌握了数㊁式㊁方程㊁变量基础知识（变量的概念与图像㊁一次函数㊁二次函数㊁反比例函数）之外，在高中也已经系统学习了集合㊁函数的概念及表示方法㊁函数的基本性质㊁基本初等函数等内容．而在本单元学习之后，数列内容又为后续学生学习一元函数导数㊁数列的极限等内容奠定了基础．３．单元蕴含的数学思想方法数列单元蕴含着非常丰富的数学思想方法，如在数列概念的探究过程中渗透着数学归纳法和特殊到一般的思想；在等差数列㊁等比数列的通项公式的推导过程中渗透着函数思想与方程思想；在运用等差㊁等比数列求解实际问题中渗透着分类讨论㊁转化㊁数形结合等思想．教材中本单元内容如图１所示．但是采用这样的单元设计就容易忽略各个知识体系间固有的内在联系，如数列㊁等差数列㊁等比数列的通项公式之间存在着怎样的联系，等差数列与等比数列的求和公式之间又存在着怎样的联系等．㊀㊀㊀１２９㊀㊀图１㊀教材内容流程图所以通过对 数列 教材内容的分析梳理和确定的大概念，对本章内容进行重新整合，主要由三部分组成：数列基础知识㊁两类特殊数列㊁单元总结与拓展．（二）学情分析１．学生的认知基础在义务教育阶段，学生已经学习了数㊁方程㊁一次函数㊁二次函数等内容，对数的特征和规律有一定的了解，所以可以通过一些生活实例，理解数列的概念以及通项公式．在高中阶段，学生也学习了方程㊁函数㊁不等式等内容，他们能运用方程与函数思想学习数列知识，并能解决一些简单的数列问题．并且对于高中学生来说，他们已经具备一定的数学运算㊁逻辑推理等数学素养，为学习本单元的知识打下良好的基础．２．学生的认知困难虽然学生在之前就已经学了函数㊁方程㊁数与代数等知识，具有一定的知识基础和学习能力，但是学生在学习本单元内容时，仍有如下四点困难：①学生对所学知识只是简单的记忆和理解，缺乏对知识的整合和迁移能力；②学生的数学抽象能力较弱，在学习数列的概念时有一定的难度；③学生运用函数思想解决问题的能力较弱；④学生的数学运算素养较低，而数列这一章涉及较多的计算问题，这就要求学生要有良好的计算能力．（三）单元教学目标单元目标①通过学习生活中简单实例，了解数列的概念性质和表示方法，了解数列是一类特殊的函数；②类比函数的定义㊁表示方法㊁性质等，理解数列的概念和探究数列的函数属性，如表示方法㊁单调性等．③理解等差㊁等比数列的概念以及通项公式，探究并掌握等差㊁等比数列的前ｎ项和公式．④通过观察等差㊁等比数列的通项公式与前ｎ项和公式，体会等差㊁等比数列与函数间的关系．⑤能运用数列知识解决实际问题，并建立数学模型进行求解，感受数学模型在实际生活中的应用和意义．⑥体验通过数学抽象获得数列概念的过程，通过数学运算㊁逻辑推理㊁数学抽象等研究数列相关知识的过程和方法，通过建立数学模型求解实际问题的过程，提高学生解决问题的能力．⑦通过本单元的学习，体会数列是一类特殊的函数，感受数列与函数的共性与差异．续㊀表㊀课时目标课时１ ２ 数列基础知识课时３ ９ 两类特殊数列课时１０ １２ 单元总结与拓展①通过一些日常生活中和一些数学领域中常见的数学实例，了解数列的有关概念；②类比函数的定义，理解数列的序号与项之间的对应关系，从而认识数列是一类特殊的函数；③类比函数的表示方法㊁单调性，掌握数列的三种基本表示方法（图像㊁列表㊁通项公式）及递增（递减）数列以及常数列；④探究数列的递推公式，认识递推公式和通项公式的区别与联系．①通过生活中的实例，理解等差㊁等比数列的概念及通项公式；②理解用倒序相加法 推导等差数列的前ｎ项和公式的过程，并能类比等差数列的前ｎ项和公式的推导方法，用 错位相减法 推导等比数列的前ｎ项和公式；③体会等差数列与一元一次函数的关系；等比数列与指数函数之间的关系；④运用等差㊁等比数列解决实际问题．①引导学生以思维导图或板报的形式，将本单元的内容以大概念为核心进行知识梳理；②发现生活中的数列问题，将其转化为数学问题进行求解；③查阅相关的资料，了解斐波那契数列㊁古代数学家求数列和的方法．三㊁明确评价任务，设计单元学习活动笔者借鉴美国学者威金斯与麦克泰格围绕大概念提出的逆向教学设计，在设计学习活动之前，先考虑通过什么样的评价任务使学生达到教学目标，再设计学生的学习活动．评价任务主要有表现性任务和其他任务．表现性任务是学生通过展示他们的知识能力水平的学习和评价活动，能够产生学习作品或学生表现作为学生学习的证据，例如，绘图作品㊁列表㊁博客文章㊁小论文㊁口头汇报㊁辩论㊁表演等；其他任务主要有：课堂提问㊁观察与交流㊁小组讨论㊁随堂检测㊁单元检测．在具体设计学生单元学习活动时，要始终以学生为主体，紧扣㊀㊀㊀㊀１３０㊀单元主题大概念，合理科学设计组织教学活动，引导学生进行积极㊁主动自觉地探索获取知识，最终落实课程教学的基本目标，发展学生的核心素养．主要呈现 数列 单元的评价任务，具体如下表所示．评价任务表现性任务①根据数学史 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ，理解等比数列．②判断古印度国王能否实现他的诺言（给棋盘发明者奖励的麦粒数），体会等差数列的前ｎ项和公式在实际生活中的应用．③通过学习两类特殊的数列 等差数列与等比数列，学生能够快速完成如下表格．等差数列等比数列定义通项公式前ｎ项和公式性质函数特征基本思想方法④收集本单元有关求数列通项公式和前ｎ项和公式的习题（１０道题），尝试利用数列知识和函数（一次函数㊁二次函数以及指数函数）知识分别解答，比较两种知识解决问题的优缺点．⑤通过实际问题，如旅游收入问题㊁机动车保有量问题㊁城市建设问题，建立数学模型，并得出实际解决方案．⑥搜集㊁查阅数列相关资料，写一篇关于数列发展史或对数列发展作出杰出贡献的人物传记（不少于３０００字），并在班级进行汇报展示．⑦小组分工，查阅斐波那契数列与古代数学家求数列和的方法的相关资料，进一步理解斐波那契数列与古代数学家求数列和的方法，每组讲解一个相关的知识．⑧梳理本章的知识，可以是思维导图，也可以以知识线索（本单元的大概念）编制一个故事（漫画），也可以是手抄报的形式．⑨小组合作讨论如何用数学归纳法验证等差㊁等比数列的通项公式和前ｎ项和公式，将学习成果及时在小组伙伴间分享交流．续㊀表㊀常规任务①课堂提问：教师在实施每一课时教学时，可以通过课堂提问的方式，了解学生对知识的掌握程度．②小组讨论：教师将较有难度的问题，以小组讨论的形式让学生自主完成，通过小组完成的情况来检测学生对知识的掌握程度．③随堂检测：在课堂中教师采用练习题的形式，来检测学生对本节内容的掌握程度．④单元能力检测：学习完每一单元的知识后，教师会采用单元测试卷的方式，了解学生对整个单元知识体系的总体掌握程度．结㊀语上文基于大概念理念，对高中数学 数列 内容进行的单元课程设计．该设计有助于教师系统地梳理知识结构，挖掘数学学科本质，把握教学的重难点，合理安排单元教学主题，设计相应的评价活动和学习活动，促进学生核心素养的发展，也有助于教师提升自身的教学设计能力．ʌ参考文献ɔ［１］何彩霞．化学学科核心素养导向的大概念单元教学探讨［Ｊ］．化学教学，２０１９（１１）：４４－４８．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２２年修订）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２１：４．［３］朱恒元．‘全日制普通高级中学教科书（必修）㊃数学“第一册（上）第三章 数列 的结构特点和教学体会［Ｊ］．中小学教材教学，２００４（１５）：２－７．［４］格兰特．威金斯，杰伊㊃麦克泰格．追求理解的教学设计（第二版）［Ｍ］．闫寒冰，宋雪莲，赖平，译．上海：华东师范大学出版社，２０１７．［５］雷丽珠．表现性评价：劳动课程评价的实践与思考［Ｊ］．福建教育，２０２３（０９）：３２－３５．［６］郭亮，刘文静，吴桂俊，等．高中数学单元整体设计的教学与实践［Ｊ］．新智慧，２０３３（１７）：７－９．［７］杜忠辉．指向核心素养培育的高中数学单元教学设计与实践［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２３（９）：４８－５０．［８］杨成兴．数学单元教学设计的基本原理与实施策略探究［Ｊ］．当代家庭教育，２０２３（２）：２３９－２４１．［９］杜志伟．基于大概念的高中数学单元整合教学设计 以复数乘法为例［Ｊ］．中学数学教学，２０２０（６）：１－４．。
浅谈数形结合思想在高中数学教学中的应用
教法研究浅谈数形结合思想在高中数学教学中的应用王宗伟摘要：“数”与“形”是数学中两个最基本、最重要的元素，在几何图形中隐藏着数量关系，数量关系可以利用图像表示出来运用数形结合思想，可以顺理成章的理解记忆数学概念，解答习题。
基于此，本文提出一系列数形结合思想在高中数学教学中的运用，旨在提升学生的思维能力，培养数学素养。
关键词：数形结合；高中数学；立体几何数形结合思想将“数”与“形”连接起来，在解决数学问题中发挥着重大的作用。
在高中数学教学过程中，教师应在教学中充分利用数形结合的方法引入数学概念，培养学生通过具体的图像理解数学概念的能力，让学生不再认为数学仅仅是抽象的学科；在课堂教学完成之后，教师也应强调让学生利用数形结合思想寻找答题思路，从而让学生拥有较强的分析能力、解决问题能力。
一、数形结合在高中数学教学与解题中的应用(一)在集合问题中的应用高中的集合学习主要是理解和掌握集合的概念和概念的应用以及对集合进行简单的交并运算，是高考中比较简单的一道题目，在学生刚接触集合概念时，教师可以在教学过程中利用图形解释集合的概念性质，例如对集合性质的讲解。
在解题过程中，对于实数的范围问题，可以用数轴表示集合；对于函数值域问题，画出函数图像，再进行交并运算。
常见还有直线与圆的交集，直线与直线的位置关系等。
(二)在函数问题中的应用高中函数包括初等函数和抽象函数，高中函数比初中函数更加复杂一些，性质更加丰富，教师在教学过程中，可以将初高中函数的学习内容进行对比，利用函数图像展现出来，帮助学生对知识点进行对比记忆。
在函数的性质教学中，教师可以利用多媒体绘制函数图像，加强学生的直观印象和加深其直观理解。
在解答函数题时，应用数形结合思想的解题方法常见有三种。
第一种是函数图像和方程的互相对应，通过图像求方程根的范围，通过方程的解画出函数的图像；第二种是在求解数列问题中，将数列转化成函数，利用函数图像进求解；第三种是不等式问题中，将不等式转化为函数的值域范围问题或者函数与函数之间比较大小问题。
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究 (5)
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。
数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。
三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。
这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。
例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。
（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。
这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。
但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。
例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。
（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。
例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。
教材研究一例
数列问题中数形结合思想的体现摘要：从课程标准出发，在数学教学中运用数形结合的形象特点，逐步训练学生的抽象思维，引导学生用对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化和发展，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观.关键词：数学教学；数形结合；对立统一；对于《数列》这一数学内容，在所有的数学教材中都将它归于代数的范畴；人们在学习《数列》或解决数列问题时，也习惯用代数的思维方式和方法.但是，如果将数形结合的数学思想渗透到这一内容中，运用数形结合的思想和方法看待和解决数列问题，往往会有事半功倍的效果.高中数学教材中对数列的本质有如下描述：从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.既然数列可以看作一列函数值，那么数列就可以用图象来表示，显然，数列的图象是一群孤立的点. 对于等差数列，因为其通项公式a n =a 1+(n-1)d=dn+(a 1-d),即a n 是n 的一次函数，所以，等差数列的图象是分布在直线y=dx+(a 1-d)上的一群孤立的点，并且，当d>0时，y=dx+(a 1-d)是增函数，当d<0时，y=dx+(a 1-d)是减函数.利用这些观点解决某些数列问题，既快捷又直观.例1．在等差数列{a n }中，a 1>0，且3a 8=5a 13，则S n 中最大的是（ ） A ．S 21 B ．S 20 C ．S 11 D ．S 10 分析：由3a 8=5a 13，得35138=a a ，又a 1>0,∴a 8>a 13 ,∴数列{ a n}递减，如图1，设AB=x ，由相似三角形得，535=+x x ，得x=7.5,所以a n 的图象所在直线与x 轴交点为（20.5，0），显然S n 中最大的是S 20.教学中运用数形结合的形象特点，使抽象的数学问题尽可能地形象化，逐步训练学生的抽象思维.例2．已知数列{a n }中，a 1=15,3a n+1=3a n -2 ,则该数列中相邻两项的乘积为负的项是（ ） A ．a 21和a 22 B ．a 22和a 23 C ．a 23和a 24 D ．a 24和a 25 分析：由3a n+1=3a n -2得，a n+1-a n =32-，所以公差d=32-，如图2，,DEAD BC AB = ,11532x =∴x=22.5,所以，a n 的图象所在直线与x 轴的交点为（23.5,0）,故选C.例3．已知等差数列{a n }中，第r 项的值为s ，第s项的值为r （r<s ）,求第r+s 项的值.分析：如图3，由已知，A （r,s ）、B(s,r) （r<s ）为a n 的图象上两点，所以，公差d=-1,∴DE=CA=r,所以a r+s =0.例4．若{a n }首项a 1>0，a 2003+a 2004>0, a 2003 ∙ a 2004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是（） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008分析：由已知，a 2003>- a 2004>0,所以，a n 的图象所在直线与x 轴的交点在（2003.5,2004）内，由图4易知，S 4006>0, S 4007<0,故选B.在数学教学中教师要有意识地沟通数与形之间的关系，帮助学生逐步树立起数形结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具.不仅如此，对于等差数列来说，由于其前n 项和S n =na 1+21n(n-1)d=2d n 2+(a 1-2d )n,即S n 是n 的二次函数，且缺常数项.所以S n 的图象是分布在抛物线y=2d x 2+(a 1-2d )x 上的一群孤立的点，并且当d>0时，抛物线开口向上，当d<0时，抛物线开口向下.同样，在这样的观点下，许多数列问题也可得到非常形象的解法.例5．设{a n }是等差数列，公差为d, S n 是其前n项的和，且S 5<S 6，S 6=S 7， S 7>S 8,则下列结论错误的是（ ）A ．d <0B ．a 7=0C ．S 9>S 5 D. S 6 与S 7与均为S n 的最大值分析：由S 5<S 6，S 6=S 7， S 7>S 8,知S n 的图象所在抛物线开口向下，又由,)2(212n d a n d S n -+=知d<0,如图5，显然a 7=0, S 9<S 8=S 5, S 6 与S 7与均为S n 的最大值.例6．在等差数列{a n }中，若S m =n ，S n =m （n>m ），求S m+n 的值.图5分析：由已知，A（m,n）、B(n,m)是S n图象上的两点，显然，这两点关于直线y=x对称，所以，直线AB斜率为-1，从而，点C的坐标为（m+n,0）,点D的坐标为（m+n,-m-n）；设S n所在抛物线为y=ax2+bx,因为A、B均在此抛物线上，∴am2+bm=n, an2+bn=m,∵n≠m,两式相减得，a(m+n)+b=-1,两边同乘以（m+n）得，a（m+n）2+b(m+n)=-(m+n),即点D在抛物线上，所以，S m+n=-(m+n).客观世界是一个普遍联系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着.数学自身的发展即揭示出：事物无不处于普遍联系之中. 教师用鲜活的事例，引导学生用普遍联系的观点、对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化和发展，从而对人生观、世界观正处于定型期的中学生以良好的促进作用，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观.数列问题中数形结合思想的体现榆次一中王颖。
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数形结合思想在数列问题中的体现
摘要：从课程目标出发，在数学教学中运用数形结合的形象特点，逐步训练学生的抽象思维，引导学生用对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化和发展，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观.
关键词：数学教学；数形结合；对立统一；
对于数列问题，人们习惯用代数的思维方式和方法解决.但是，如果将数形结合的数学思想渗透到数列问题中，运用数形结合的思想和方法看待和解决数列问题，往往会有事半功倍的效果.
高中数学教材中对数列的本质有如下描述：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
既然数列可以看作一列函数值，那么数列就可以用图象来表示，显然，数列的图象是一群孤立的点.对于等差数列，因为其通项公式a n =a 1+(n-1)d=dn+(a 1-d),即a n 是n 的一次函数，所以，等差数列的图象是分布在直线y=dx+(a 1-d)上的一群孤立的点，并且，当d>0时，y=dx+(a 1-d)是增函数，当d<0时，y=dx+(a 1-d)是减函数.利用这些观点解决某些数列问题，既快捷又直观.
例1．在等差数列{a n }中，a 1>0，且3a 8=5a 13，则S n 中最大的是（） A ．S 21B ．S 20C ．S 11D ．S 10 分析：由3a 8=5a 13，得
3
5
138=a a ，又a 1>0,∴a 8>a 13,∴数列{a n }递减，如图1，设AB=x ，由相似三角形得，5
35=+x x ，得x=7.5,所以a n 的图象所在直线与x 轴交点为（20.5，0），显然S n 中最大的是S 20.
教学中运用数形结合的形象特点，使抽象的数学问题尽可能地形象化，逐步训练学生的抽象思维. 例2．已知数列{a n }中，a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负的项是（） A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25
图1
分析：由3a n+1=3a n -2得，a n+1-a n =32-
，所以公差d=3
2-，如图2，,DE
AD BC AB =Θ,11532
x =∴x=22.5,所以，a n 的图象所在直
线与x 轴的交点为（23.5,0）,故选C.
例3．已知等差数列{a n }中，第r 项的值为s ，第s 项的值为r （r<s ）,求第r+s 项的值.
分析：如图3，由已知，A （r,s ）、B(s,r)（r<s ）为a n
的图象上两点，所以，公差d=-1,∴DE=CA=r,所以a r+s =0.
例4．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，
a 2003+a 2004>0,a 2003?a 2004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是（）
A ．4005
B ．4006
C ．4007
D ．4008
分析：由已知，
a 2003>-a 2004>0,所以，a n 的图象所在直线与x 轴的交点在（2003.5,2004）内，由图4易知，S 4006>0,S 4007<0,故选B.
在数学教学中教师要有意识地沟通数与形之间的关系，帮助学生逐步树立起数形结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具.
不仅如此，对于等差数列来说，由于其前n 项和
S n =na 1+21n(n-1)d=2d n 2+(a 1-2
d
且缺常数项.所以S n y=
2d x 2+(a 1-2
d )x 抛物线开口向上，当d<0这样的观点下，例5．设{a n }的和，且S 5<S 6，S 6=S 7，S 7>S 8,A ．d <0B ．a 7=0C ．S 9>S 5D.S 6与S 7与均为S n 的最大值
分析：由S 5<S 6，S 6=S 7，S 7>S 8,知S n 的图象所在抛物线开口向下，又由,)2
(212n d a n d S n -+=知
d<0,如图5，显然a 7=0,S 9<S 8=S 5,S 6与S 7与均为S n 的最大值.
例6．在等差数列{a n }中，若S m =n ，S n =m （n>m ），求S m+n 的值.
图5
分析：由已知，A（m,n）、B(n,m)是S n图象上的两点，显然，这两点关于直线y=x对称，所以，直线AB斜率为-1，从而，点C的坐标为（m+n,0）,点D的坐标为（m+n,-m-n）；设S n 所在抛物线为y=ax2+bx,因为A、B均在此抛物线上，∴am2+bm=n,an2+bn=m,∵n≠m,两式相减得，a(m+n)+b=-1,两边同乘以（m+n）得，a（m+n）2+b(m+n)=-(m+n),即点D在抛物线上，所以，
S m+n=-(m+n).
客观世界是一个普遍联系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着.数学自身的发展即揭示出：事物无不处于普遍联系之中.教师用鲜活的事例，引导学生用普遍联系的观点、对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化和发展，从而对人生观、世界观正处于定型期的中学生以良好的促进作用，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观
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