组合优化报告-最短路问题总结
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题.
（2）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题.
（3）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.
2.2基Biblioteka Baidu定理
定理2.2.1（握手定理） 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则
定理2.2.2图中次数为奇数的结点有偶数个．
定理2.2.3在任何有向图中，所有的入度之和等于所有结点的出度之和．
定理2.2.4有n个结点的无向完全图Kn的边数为n(n-1)/2．
定理2.2.5在具有n个结点的简单图G=<V,E>中，若从结点vj到结点vk有一条路，则从结点vj到结点vk有一条长度不大于n-1的路．
弧立结点:图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．
零图:全由孤立结点构成的图称为零图．
自回路（环）:关联于同一结点的一条边称为自回路或环．
重边（平行边）:在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．
多重图:含有重边的图称为多重图．
线图：非多重图称为线图．
定义2.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．
定理2.2.7一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．
定理2.2.8在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都在也只在一个强（弱）分图中．
定理2.2.9在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都处在一个或一个以上的单向分图中．
定理2.2.10（Whitney）对于任何一个图G，有
（4）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径.
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”.最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法.
3.1Dijkstra算法
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径.主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止.Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低.Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等.
定义2.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是两个图．
(1)若V’V且E’E，则称G’是G的子图；
(2)若V’V或E’E,则称G’是G的真子图；
(3)若V’=V和E’E,则称G’是G的生成子图；
(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；
定义2.1.7（k-正则图） 若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．
定义2.1.8（赋权图） 赋权图G是一个三重组<V，E，g>或四重组<V，E，f，g>，其中V是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．
定义2.1.9（补图） 设图G=<V，E>有n个顶点，图H=<V，E’>也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H= ，显然，G= ．
无向边、端点:若图中的边e所对应的结点偶对是无序的，则称e是无向边（简称棱）．a，b称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．
有向图:每一条边均为有向边的图称为有向图．
无向图:每一条边均为无向边的图称为无向图．
底图:如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．
简单路径：若序列中所有的边e1，e2,….,en均互不相同，则称此路径为简单路径．
基本路径：若序列中所有的点v0，v1，…，vn均互不相同，则称此路径是基本路径．
回路：若v0=vn，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．
简单回路：没有相同边的回路称为简单回路．
基本回路（圈）：各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．
定义2.1.20（边集、割边、桥）设无向图G=<V,E>为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该结点为割边（或桥）．
定义2.1.21（连通度）若G为无向连通图，则称(G)=min{|E1|E1是G的一个边割集}为G的边连通度．规定：非连通图的边连通度为0．若(G)k，则称G为k边-连通图．
1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时发挥出越来越大的作用在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一.最短路问题是图论理论的一个经典问题.寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路.最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等.
定义2.1.5（二部图） 设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个Vi（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=<V1,V2，E>．
定义2.1.6（完全图） 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为Kn．
定义2.1.15（连通分支） 设G=<V,E>是图，连通关系的商集为{V1,V2,…,Vm}，则其导出的子图G(Vi)（i=1,2,…m）称为图G的连通分支（图），将图G的连通分支数记作W（G）．
定义2.1.16（单向连通、强连通、弱连通）在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；如果图的底图（在图G中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G是弱连通的．
定义2.1.12(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，vnV，e1，e2,….,enE，其中ei是关联于结点vi-1，vi的边，交替序列v0e1v1e2…envn称为联结v0到vn的路径（或称路）．v0与vn分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．
孤立点：长度为0的路定义为孤立点．
k(G)(G)(G)
其中k(G)、(G)、(G)分别为G的点连通度、边连通度和最小度．
定理2.2.11一个连通无向图G中的结点v是割点的充分必要条件是存在两个结点u与w，使得结点u与w的每一条路都通过v.
3
在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短.最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础，最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点，很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中.经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现.
2
2.1基本概念
图:图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组
定义2.1.22（邻接矩阵）设G=<V，E>是一个简单图，其中V={v1，v2，…，vn}，则n阶方阵A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵．其中各元素
最短路径的数学模型：给定一个网络N（有向或无向赋权图），u0与v0是N中指点的两个顶点，在N中找一条从u0到v0且权最小的路．
规定N中的一条路P的权w(P)称为p的长度．若N中存在从u到v的路，则将N中从u到v且权最小的路称为u到v的最短路，其长度称为u到v的距离，记为dN（u,v）．
定义2.1.3（结点的度数、最大度、最小度） 图G=<V，E>中，与V中结点v（vV）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v).记（G）= max{deg(v)|vV（G）}，（G）= min{deg(v)|vV（G）}，分别称为G=<V，E>的最大度和最小度．
定义2.1.4（出度、入度、度数） 在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．
定义2.1.1图G是一个三元组<V（G），E（G），G>，其中V（G）是一个非空的结点集（或称顶点集），E（G）是边集，G是从边集E（G）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．
图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．
有向边、端点:若图中的边e所对应的结点偶对是有序的，记为<a，b>，则称e是有向边（简称弧）．a，b分别称为弧的始点与终点，并均称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．
1
图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等.这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意.在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题.
3.1.1Dijkstra算法思想
Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中.在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度.此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度.
奇圈（偶圈）：长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．
定义2.1.13（可达、连通） 在图G=<V,E>中，设有结点vj与vk，若从vj到vk存在任何一条路径，则称结点vk从结点vj可达，也称结点vj与vk是连通的．
定义2.1.14（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．
(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，vV’时有[u，v]E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．
定义2.1.11(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]E，当且仅当[f(a)，f(b)]E’，并且[a，b]和[f(a)，f(b)]有相同的重数，则称G和G’是同构的．
定义2.1.17（极大强连通子图、极大单向连通子图、极大弱连通子图、强分图、单向分图、弱分图）在简单有向图G=<V，E>中，G’是G的子图，如G’是强连通的（单向连通的，弱连通的），且没有包含G’的更大的子图G’’是强连通的（单向连通的，弱连通的），则称G’是极大强连通子图（极大单向连通子图，极大弱连通子图）又叫强分图（单向分图，弱分图）．
定理2.2.5推论在一个具有n个结点的图G=<V,E>中，如果从结点vj到结点vk有一条路，则从结点vj到结点vk必有一条长度小于n的通路．
定理2.2.6在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条回路，则经v有一条长度不超过n的回路．
定理2.2.6推论在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条简单回路，则经v有一条长度不超过n的基本回路．
定义2.1.18（点割集、割点）设无向图G=<V,E>为连通图，若有点集V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．
定义2.1.19（点连通度）若G为无向连通图且不含Kn为生成子图，则称k(G)=min{|V1|V1是G的一个点割集}为G的点连通度（简称连通度）．规定：完全图Kn的点连通度为n，n1．非连通图的点连通度为0．若k(G)k，则称G为k-连通图．
（2）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题.
（3）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.
2.2基Biblioteka Baidu定理
定理2.2.1（握手定理） 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则
定理2.2.2图中次数为奇数的结点有偶数个．
定理2.2.3在任何有向图中，所有的入度之和等于所有结点的出度之和．
定理2.2.4有n个结点的无向完全图Kn的边数为n(n-1)/2．
定理2.2.5在具有n个结点的简单图G=<V,E>中，若从结点vj到结点vk有一条路，则从结点vj到结点vk有一条长度不大于n-1的路．
弧立结点:图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．
零图:全由孤立结点构成的图称为零图．
自回路（环）:关联于同一结点的一条边称为自回路或环．
重边（平行边）:在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．
多重图:含有重边的图称为多重图．
线图：非多重图称为线图．
定义2.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．
定理2.2.7一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．
定理2.2.8在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都在也只在一个强（弱）分图中．
定理2.2.9在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都处在一个或一个以上的单向分图中．
定理2.2.10（Whitney）对于任何一个图G，有
（4）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径.
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”.最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法.
3.1Dijkstra算法
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径.主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止.Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低.Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等.
定义2.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是两个图．
(1)若V’V且E’E，则称G’是G的子图；
(2)若V’V或E’E,则称G’是G的真子图；
(3)若V’=V和E’E,则称G’是G的生成子图；
(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；
定义2.1.7（k-正则图） 若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．
定义2.1.8（赋权图） 赋权图G是一个三重组<V，E，g>或四重组<V，E，f，g>，其中V是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．
定义2.1.9（补图） 设图G=<V，E>有n个顶点，图H=<V，E’>也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H= ，显然，G= ．
无向边、端点:若图中的边e所对应的结点偶对是无序的，则称e是无向边（简称棱）．a，b称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．
有向图:每一条边均为有向边的图称为有向图．
无向图:每一条边均为无向边的图称为无向图．
底图:如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．
简单路径：若序列中所有的边e1，e2,….,en均互不相同，则称此路径为简单路径．
基本路径：若序列中所有的点v0，v1，…，vn均互不相同，则称此路径是基本路径．
回路：若v0=vn，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．
简单回路：没有相同边的回路称为简单回路．
基本回路（圈）：各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．
定义2.1.20（边集、割边、桥）设无向图G=<V,E>为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该结点为割边（或桥）．
定义2.1.21（连通度）若G为无向连通图，则称(G)=min{|E1|E1是G的一个边割集}为G的边连通度．规定：非连通图的边连通度为0．若(G)k，则称G为k边-连通图．
1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时发挥出越来越大的作用在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一.最短路问题是图论理论的一个经典问题.寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路.最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等.
定义2.1.5（二部图） 设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个Vi（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=<V1,V2，E>．
定义2.1.6（完全图） 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为Kn．
定义2.1.15（连通分支） 设G=<V,E>是图，连通关系的商集为{V1,V2,…,Vm}，则其导出的子图G(Vi)（i=1,2,…m）称为图G的连通分支（图），将图G的连通分支数记作W（G）．
定义2.1.16（单向连通、强连通、弱连通）在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；如果图的底图（在图G中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G是弱连通的．
定义2.1.12(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，vnV，e1，e2,….,enE，其中ei是关联于结点vi-1，vi的边，交替序列v0e1v1e2…envn称为联结v0到vn的路径（或称路）．v0与vn分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．
孤立点：长度为0的路定义为孤立点．
k(G)(G)(G)
其中k(G)、(G)、(G)分别为G的点连通度、边连通度和最小度．
定理2.2.11一个连通无向图G中的结点v是割点的充分必要条件是存在两个结点u与w，使得结点u与w的每一条路都通过v.
3
在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短.最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础，最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点，很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中.经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现.
2
2.1基本概念
图:图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组
定义2.1.22（邻接矩阵）设G=<V，E>是一个简单图，其中V={v1，v2，…，vn}，则n阶方阵A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵．其中各元素
最短路径的数学模型：给定一个网络N（有向或无向赋权图），u0与v0是N中指点的两个顶点，在N中找一条从u0到v0且权最小的路．
规定N中的一条路P的权w(P)称为p的长度．若N中存在从u到v的路，则将N中从u到v且权最小的路称为u到v的最短路，其长度称为u到v的距离，记为dN（u,v）．
定义2.1.3（结点的度数、最大度、最小度） 图G=<V，E>中，与V中结点v（vV）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v).记（G）= max{deg(v)|vV（G）}，（G）= min{deg(v)|vV（G）}，分别称为G=<V，E>的最大度和最小度．
定义2.1.4（出度、入度、度数） 在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．
定义2.1.1图G是一个三元组<V（G），E（G），G>，其中V（G）是一个非空的结点集（或称顶点集），E（G）是边集，G是从边集E（G）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．
图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．
有向边、端点:若图中的边e所对应的结点偶对是有序的，记为<a，b>，则称e是有向边（简称弧）．a，b分别称为弧的始点与终点，并均称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．
1
图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等.这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意.在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题.
3.1.1Dijkstra算法思想
Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中.在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度.此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度.
奇圈（偶圈）：长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．
定义2.1.13（可达、连通） 在图G=<V,E>中，设有结点vj与vk，若从vj到vk存在任何一条路径，则称结点vk从结点vj可达，也称结点vj与vk是连通的．
定义2.1.14（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．
(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，vV’时有[u，v]E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．
定义2.1.11(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]E，当且仅当[f(a)，f(b)]E’，并且[a，b]和[f(a)，f(b)]有相同的重数，则称G和G’是同构的．
定义2.1.17（极大强连通子图、极大单向连通子图、极大弱连通子图、强分图、单向分图、弱分图）在简单有向图G=<V，E>中，G’是G的子图，如G’是强连通的（单向连通的，弱连通的），且没有包含G’的更大的子图G’’是强连通的（单向连通的，弱连通的），则称G’是极大强连通子图（极大单向连通子图，极大弱连通子图）又叫强分图（单向分图，弱分图）．
定理2.2.5推论在一个具有n个结点的图G=<V,E>中，如果从结点vj到结点vk有一条路，则从结点vj到结点vk必有一条长度小于n的通路．
定理2.2.6在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条回路，则经v有一条长度不超过n的回路．
定理2.2.6推论在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条简单回路，则经v有一条长度不超过n的基本回路．
定义2.1.18（点割集、割点）设无向图G=<V,E>为连通图，若有点集V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．
定义2.1.19（点连通度）若G为无向连通图且不含Kn为生成子图，则称k(G)=min{|V1|V1是G的一个点割集}为G的点连通度（简称连通度）．规定：完全图Kn的点连通度为n，n1．非连通图的点连通度为0．若k(G)k，则称G为k-连通图．