算法导论复习资料

算法导论复习资料

一、选择题：第一章的概念、术语。

二、考点分析：

1、复杂度的渐进表示，复杂度分析。

2、正确性证明。

考点：1）正确性分析（冒泡，归并，选择）；2）复杂度分析（渐进表示O，Ｑ，©，替换法证明，先猜想，然后给出递归方程）。

循环不变性的三个性质：

1）初始化：它在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的；

2）保持：如果在循环的某一次迭代开始之前它是正确的，那么，在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确；

3）当循环结束时，不变式给了我们一个有用的性质，它有助于表明算法是正确的。

插入排序算法：

INSERTION-SORT(A)

1 for j ←

2 to length[A]

2 do key ←A[j]

3 ▹Insert A[j] into the sorted sequence A[1，j - 1].

4 i ←j - 1

5 while i > 0 and A[i] > key

6 do A[i + 1] ←A[i]

7 i ←i - 1

8 A[i + 1] ←key

插入排序的正确性证明：课本11页。

归并排序算法：课本17页及19页。

归并排序的正确性分析：课本20页。

3、分治法（基本步骤，复杂度分析）。——许多问题都可以递归求解

考点：快速排序，归并排序，渐进排序，例如：12球里面有一个坏球，怎样用最少的次数找出来。（解：共有24种状态，至少称重3次可以找出不同的球）

不是考点：线性时间选择，最接近点对，斯特拉算法求解。

解：基本步骤：

一、分解：将原问题分解成一系列的子问题；

二、解决：递归地解各子问题。若子问题足够小，则直接求解；

三、合并：将子问题的结果合并成原问题的解。

复杂度分析：分分治算法中的递归式是基于基本模式中的三个步骤的，T(n)为一个规模为n的运行时间，得到递归式

T(n)=Q(1) n<=c

T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) n>c

附加习题：请给出一个运行时间为Q(nlgn)的算法，使之能在给定的一个由n个整数构成的集合S 和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。

4、动态规划（最优子结构性质，自底向上填表计算最优解值（即最长公共子序列），导出最优解）。

考点：最优子结构性质，自底向上填表计算最优解值，导出最优解。

a）动态规划算法设计的4个步骤：1）描述最优解的结构；2）递归定义最优解的值；3）按自底向上的方式计算最优解的值；4）由计算出的结果构造一个最优解。

b）最优子结构遵循的共同模式：1）问题的一个解可以是做一个选择，做这种选择可能会

得到一个或多个有待解决的子问题；2）假设对一个给定的问题，已知的是一个可以导致最优解的选择，不必关心如何确定这个选择，尽管假定它是已知的；3）在已知这个选择后，要确定哪些子问题会随之发生，以及如何最好地描述所得到的子问题的空间；4）利用一种“剪切粘贴法”，来证明在问题的一个最优解中，使用的子问题的解本身也必须是最优的。备注：A problem exhibits optimal substructure if an optimal solution to the problem contains within it optimal solutions

to subproblems.

Whenever a problem exhibits optimal substucture it is a good clue that dynamic programming might apply.

c ）最长公共子序列的算法：这里以两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}为输入，注意课本211页的自底向上填表方法。

LCS-LENGTH(X, Y) 注：此程序运行时间为O （mn ），每个表项的计算时间为O （1） 1 m ← length[X]

2 n ← length[Y]

3 for i ← 1 to m

4 do c[i, 0] ← 0

5 for j ← 0 to n

6 do c[0, j] ← 0

7 for i ← 1 to m

8 do for j ← 1 to n

9 do if xi = yj

10 then c[i, j] ← c[i - 1, j - 1] + 1

11 b[i, j] ← “="

12 else if c[i - 1, j] ≥ c[i, j - 1]

13 then c[i, j] ← c[i - 1, j]

14 b[i, j] ← "↑"

15 else c[i, j] ← c[i, j - 1]

16 b[i, j] ← " ← "

17 return c and b

PRINT-LCS(b, X, i, j) 注：此程序运行时间为O （m+n ）

1 if i = 0 or j = 0

2 then return

3 if b[i, j] = "="

4 then PRINT-LCS(b, X, i - 1, j - 1)

5 print xi

6 elseif b[i, j] = "↑"

7 then PRINT-LCS(b, X, i - 1, j)

8 else PRINT-LCS(b, X, i, j - 1)

d ）矩阵链乘法的算法：参照课本上的矩阵链表得出矩阵相乘的最小算法。

}

],1[],[{m in ],[1j k i j

k i p p p j k m k i m j i m -<≤+++=