极值点偏移问题专题

极值点偏移问题专题(0)——偏移新花样(拐点偏移)

例1已知函数()22ln f x x x x =++,若正实数1x ,2x 满足()()12+=4f x f x , 求证:122x x +≥。

证明:注意到()1=2f ,()()()12+=21f x f x f

()()()12+=21f x f x f

()2

=

+210f x x x '+>

()22

=2f x x

''-+,()1=0f '',则(1,2)就是()f x 图像得拐点,若拐点(1,2)也就是()f x 得对称

中心,则有12=2x x +,证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移,作图如下

想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”,仍可用“对称化构造”来处理. 不妨设1201x x <≤≤,要证

()()

1221212

212x x x x f x f x +≥⇔≥-≥⇔≥- ()()

()()

11114242f x f x f x f x ⇔-≥-⇔≥+-

()()()2F x f x f x =+-,(]0,1x ∈,则

()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--⎛⎫⎛⎫=++-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

()(

)1

41102x x x ⎛⎫=--≥ ⎪ ⎪-⎝⎭

,

得()F x 在(]0,1上单增,有()()()1214F x F ≤=+=,得证。 2、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移(()00f x '=)

二次函数()()121202f x f x x x x =⇒+= 2、拐点偏移()()

00f x ''=

()()()12012022f x f x f x x x x +=⇒+=

极值点偏移问题专题(1)——对称化

构造(常规套路)

例1(2010天津) 已知函数()e x

f x x -

=.

(1)求函数()f x 得单调区间与极值;

(2)已知函数()g x 得图像与()f x 得图像关于直线1x =对称,证明:当1x >时,()()f x g x >;

(3)如果12x x ≠,且()()12f x f x =,证明:122x x +>.

()()12201

120

22f x f x x x x x x x =⇒>-⇒+>()()()120201120

222f x f x f x x x x x x x +=⇒>-⇒+>

点评:该题得三问由易到难,层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题得一般方法——对称化构造得全过程,直观展示如下:

例1就是这样一个极值点偏移问题:对于函数()e x

f x x -=,已知()()12f x f x =,12x x ≠,证

明122x x +>.

再次审视解题过程,发现以下三个关键点: (1)1x ,2x 得范围()1201x x <<<; (2)不等式()()()21f x f x x >->;

(3)将2x 代入(2)中不等式,结合()f x 得单调性获证结论. 把握以上三个关键点,就可轻松解决一些极值点偏移问题.

例2(2016新课标Ⅰ卷)已知函数()()()2

2e 1x

f x x a x =-+-有两个零点.

(1)求a 得取值范围;

(2)设1x ,2x 就是()f x 得两个零点,证明:122x x +<. 解:(1)()0,+∞,过程略;

(2)由(1)知()f x 在(),1-∞上],在()1,+∞上Z ,由()()120f x f x ==,可设121x x <<. 构造辅助函数()()()2F x f x f x =--

()()()

()()()()()()

2221e 21e 21e e x x x x F x f x f x x a x a x --'''=+-=-++-+=-- 当1x <时,10x -<,2e e

0x

x

--<,则()0F x '>,得()F x 在(),1-∞上Z ,又()10F =,故

()()01F x x <<,即()()()21f x f x x <-<.

将1x 代入上述不等式中得()()()1212f x f x f x =<-,又21x >,121x ->,()f x 在

()1,+∞上Z

,故112x x <-,122x x +<.

通过以上两例,相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造得一般步骤有所了解.

但极值点偏移问题得结论不一定总就是()1202x x x +><,也可以就是()2

120x x x ><,借鉴前

面得解题经验,我们就可给出类似得过程.

例3 已知函数()ln f x x x =得图像与直线y m =交于不同得两点()11,A x y ,()22,B x y ,求证:1221e

x x <

. 证明:(i)()ln 1f x x '=+,得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

上],在1,e

⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

上Z ;当01x <<时,()0f x <;()10f =;当1x >时,()0f x >;当0x +

→时,()0f x →(洛必达法则);当

x →+∞时,()f x →+∞,于就是()f x 得图像如下,得121

01e

x x <<<<.