八年级数学运用公式法教案

§2.3.1 运用公式法（一）
●课题
§2.3.1 运用公式法（一）
●教案背景
学生在学习本节课时，已相继学习了分解因式的意义。

提公因式法分解因式等内容。

学生已能判断一个变形式子是否为分解因式。

同时已能较熟练的运用提公因式法分解因式。

在分解因式的同时已具备一定的分析问题、解决问题的能力。

能运用分解因式解决计算题、应用题等题型。

此时适时地引入运用公式法，学生的解题思路将更开阔，方法将更灵活，这对培养学生的观察能力、逆向思维意识、整体思想等大有裨益。

●教材分析
运用公式法分解因式的关键是要正确把握公式的特征。

对于初学者来说，如何根据一个多项式的形式和特点灵活地选择一个公式，往往并不容易。

为此，教科书分2课时分别来处理平方差公式和完全平方公式的内容。

第1课时，先观察多项式x2-25，x92-y2入手，得到这些多项式所具有的平方差的特征，
再对比乘法公式，得到分解因式的平方差公式a2-b2=（a+b）(a-b)，在这一过程中让学生再次感受分解因式与整式乘法的关系。

然后再通过例1、例2由简单到复杂地学习运用平方差公式分解因式的方法。

●教学目标
（一）知识与能力
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）方法与过程
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.
（三）情感态度与价值观
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.
●教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式.
●教学难点
将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.
●教学方法
引导自学法交流法
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§2.3.1 A）
第二张（记作§2.3.1 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
Ⅱ.新课讲解
［师］1.请看乘法公式 （a +b ）（a －b ）=a 2－b 2
（1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a 2
－b 2
=（a +b ）（a －b ）
（2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解. 第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
［师］请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点.
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.
9 m 2－4n 2=（3 m ）2
－（2n ）2 =（3 m +2n ）（3 m －2n ）
3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式： （1）25－16x 2;
（2）9a 2－4
1
b 2.
解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2
=（5+4x ）（5－4x ）; （2）9a 2－4
1 b 2=（3a ）2－（
2
1b ）2
=（3a +
2
1b ）（3a －2
1b ）.
［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m +n ）2
－（m －n ）2
; （2）2x 3－8x .
解：（1）9（m +n ）2
－（m －n ）2
=［3（m +n ）］2－（m －n ）2
=［3（m +n ）+（m －n ）］［3（m +n ）－（m －n ）］ =（3 m +3n + m －n ）（3 m +3n －m +n ） =（4 m +2n ）（2 m +4n ）
=4（2 m +n）（m +2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
补充例题
投影片（§2.3.1 A）
判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.
［生］解：（1）不正确.
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.
（2）不正确.
错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√）
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×）
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×）
2.把下列各式分解因式
解：（1）a2b2－m2
=（ab）2－m2
=（ab+ m）（ab－m）;
（2）（m－a）2－（n+b）2
=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］
=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;
（3）x2－（a+b－c）2
=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］
=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;
（4）－16x4+81y4
=（9y2）2－（4x2）2
=（9y2+4x2）（9y2－4x2）
=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）
3.解：S剩余=a2－4b2.
当a=3.6,b=0.8时，
S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）
答：剩余部分的面积为10.4 cm2.
（二）补充练习
投影片（§2.3.1 B）
把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2－49（x－y）2;
（2）（x－1）+b2（1－x）;
（3）（x2+x+1）2－1.
解：（1）36（x+y）2－49（x－y）2
=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2
=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］
=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）
=（13x－y）（13y－x）;
（2）（x－1）+b2（1－x）
=（x－1）－b2（x－1）
=（x－1）（1－b2）
=（x－1）（1+b）（1－b）;
（3）（x2+x+1）2－1
=（x2+x+1+1）（x2+x+1－1）
=（x2+x+2）（x2+x）
=x（x+1）（x2+x+2）
Ⅳ.课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.
Ⅴ.课后作业
习题2.4
第1. 2. 3题。

●板书设计
§2.3.1 运用公式法（一）
一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
3.例题讲解
补充例题
二、课堂练习
1.随堂练习
2.补充练习
三、课时小结
四、课后作业
●教后反思
所得：
所失：
所改：。