期望与分布列高考试题精选

期望与分布列高考试题精选

一．解答题（共20小题）

1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的

同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．

（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：

作物产

300500

量（kg）

概率0.50.5

作物市

610

场价格

（元

/kg）

概率0.40.6

（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的

概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；

白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．

（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

7．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[50，150），[150，250），[250，350），[350，450），[450，550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；

（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个

值．

（i）求日需求量X的分布列；

（ii）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？

8．已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将口

袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，4，5的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉．

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列．

9．自20XX年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针

对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，

结果如表所示：

性别

年龄

性别女性合计

[18，25）18040220

[25，35）360240600

[35，50）40100140

[50，80）202040

合计6004001000

（1）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35）内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？

（2）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列．

10．某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员．

（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；

（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数ξ的分布列与期望．11．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：

组别候车时间（单位：

min）

人

数

一[0，5）1

二[5，10）5

三[10，15）3

四[15，20）1

（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；