期望与分布列高考试题精选
高中数学-分布列10题解析
1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每 个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校 获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结 果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望． 【答案】(1) 0.6 ；
(2)分布列见解析， E X 13 .
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ，再根据甲获得冠军则至少 获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知， X 的可能取值为 0,10, 20,30 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列， 即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ，所以甲学校获得冠军的概 率为
中抽取
6
人，则男生､女生分别抽到
2
人和
4
人，所以
P
C
2 4
C62
6 15
2 5
，所以选中的
2
人都是女生的概率为 2 . 5
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学
校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以
(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“运动达标”与“性 别”有关.
运动达标 运动不达标 总计
男生 女生
总计 (2)现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中任选 2 人进行体育运动指导，求选中的 2 人都是女生的概率. 参考数据： P( 2 k0) 0.25 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
高考中的分布列、期望、方差问题汇编
几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。
二、从不等式大小比较的角度看概率例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。
（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。
四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。
（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。
相关练习1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）511（B ）681（C ）3061 （D ）40812.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C. 192625D.2566253.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．344.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），1）求至少3人同时上网的概率；2）至少几人同时上网的概率小于0.3？6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。
高中数学分布列数学期望练习题
（17）（本小题满分13 分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90 分，70 分，60 分，40 分，30 分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级 A B C D E成绩（分）90 70 60 40 30人数（名） 4 6 10 7 3（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ A 或B”的概率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3 人，记X 表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ；（Ⅲ）从这30 名学生中，随机选取 2 人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．（16）（本小题共13 分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，3）5岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．分组（单位：岁）频数频率频率组距20,255 0.05025,30 ①0.20030,35 35 ②35,40 30 0.30020 25 30 35 40 45 年龄岁40,45 10 0.100合计100 1.0016（本小题13 分）国家对空气质量的分级规定如下表：污染指数0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市去年 6 月份30 天的空气污染指数的监测数据如下：34 140 18 73 121 210 40 45 78 23 65 79 207 81 6042 101 38 163 154 22 27 36 151 49 103 135 20 16 48根据以上信息，解决下列问题：频率分布表（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；（Ⅱ）某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天，分组频数频率7 [0,50] 1415若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX.(50,100] a x16 (100,150] 5(150,200] b y (200,250] 2115合计30 1(16) （本小题满分13 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现在可供选用的不同添加剂有6 种，其中芳香度为 1 的添加剂 1 种，芳香度为 2 的添加剂 2 种，芳香度为 3 的添加剂 3 种．根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为 3 的概率；（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；（Ⅲ）用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出的分布列，并求的数学期望 E ．。
离散型随机变量的分布列及期望(二项分布类) -2019年高考理科数学解答题训练解析版
离散型随机变量的分布列及期望（二项分布类）-2019年高考理科数学解答题训练解析版一、解答题1．某保险公司针对电动自行车车主推出甲、乙两种保险，假设某地共有20000名车主，每名车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立。
(l) 用表示该地的20000位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求的期望:(2) 设有10000人购买了甲种保险，每一份的保费为60元，根据统计，一年内甲种保险的出险率(即每位投保人出险的概率)为1%，一旦出险，保险公司赔偿出险车主5000元(每年对每一名购买了甲种保险的车主最多赔偿一次,利用附表给出的数据，估算保险公司在该保险中的获得的利润的数学期望在1OOOOO元200000元之间的概率.(利润=总保费收入一总赔偿支出)附表：【答案】（1）见解析；（2）0.252详解：(1)设为“每位车主购买甲种保险”，为“每位车主购买乙种保险”，则“每位车主既不买甲种保险又不买乙种保险”为，“每位车主不买甲种保险但买乙种保险”为，因为，故.注意到，故.(2)设出险人数为随机变量，则，利润(单位：万元)，解得，所以.点睛：（1）相互独立事件的概率的计算，需要用字母表示所考虑的随机事件；（2）离散型随机变量的概率计算，注意利用所学模型进行计算（如超几何分布、二项分布等）.2．小明和他的一些同学住在同一小区，他们上学、放学坐公交在路上所用的时间（分钟）只与路况畅通情况有关（上学、放学时的路况是一样的），小明在一年当中随机地记录了次上学（或放学）在路上所用的时间，其频数统计如下表（分钟）（1）求他上学（或放学）在路上所用时间的数学期望；（2）小明和他的另外两名同学月日彼此独立地从小区到学校去，设他们人中所用时间不超过的人数为，求的分布列及数学期望；（3）小明在某天上学和放学总共所花的时间不超过分钟的概率是多少？【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).试题解析：（1）将频率视作概率得到随机变量的分布列如下：则；（2）小明以及同学每人所用时间不超过的概率为，依题意，因此的分布列为：，；（3）小明在一天中上学，放学所花的时间总不超过分钟为事件，包括以下情况：上学，放学都是分钟；上学，放学都是分钟；上学分钟，放学分钟，上学分钟，放学分钟，上学分钟，放学分钟，上学分钟，放学分钟，共六种情况，∴.3．大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆.已知每粒豆苗种子成活的概率为（假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响）.（Ⅰ）求恰好有3株成活的概率；（Ⅱ）记成活的豆苗株数为，收成为，求随机变量分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【详解】（Ⅰ）设每株豆子成活的概率为，则所以株中恰好有3株成活的概率【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 4．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）【答案】(1) (2)见解析(3) 估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用【详解】（1）当时，当时，. 得：（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率可取，，，.，，的分布列为或依题意，（3）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），每次上下班租车的费用约为（元）一个月上下班租车费用约为，估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．【点睛】本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．5．2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图），转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动3次.方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图〕，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次.（1）若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；（2）若某顾客恰好获得1次抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望；②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】(1)1729(2) ①见解析②该顾客选择第一种抽奖方案更合算②由①知()()E X E Z >，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.（2）①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为13，每一次转盘指向20元对应区域的概率为23. 设获得现金奖励金额为X 元，则X 可能的取值为60，100，140，180.则()3032860327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()12131********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()223122140339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33311180327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为()842160100140180100279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为Y ，最终获得现金奖励金额为Z 元，则13,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()1313E Y =⨯=， 所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为()()4040E Z E Y ==（元）.②由①知()()E X E Z >，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.6．重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里+0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有ξ天为“最优选择”，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)16.96，(2) () 1.6E ξ=试题解析：（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表：估计小刘平均每天用车费用为140.2160.36180.24200.16220.0416.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）ξ可能的取值为0,1,2，用时不超过45分钟的概率为0.8， ()~2,0.8B ξ，()002200.80.20.04P C ξ==⋅=， ()111210.80.20.32P C ξ==⋅=， ()220220.80.20.64P C ξ==⋅=，()20.8 1.6 Eξ=⨯=．。
2019届高考数学分类讲解训练：专题( 分布列、期望与方差)(备战模考综合练)含解析
2019届高考数学分类讲解训练：专题( 分布列、期望与方差)(备战模考综合练)含解析专题15 分布列、期望与方差一、选择题1.【___2018届高三6月热身考】若随机变量ξ 满足P(ξ=0)=P(ξ=1)=P(ξ=2)=1/3，则下列说法正确的是A．E(ξ)=1，D(ξ)=1/3B．E(ξ)=2/3，D(ξ)=1/3C．E(ξ)=1/3，D(ξ)=2/3D．E(ξ)=1，D(ξ)=2/3答案】D解析】根据期望的定义，有E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)=1，再根据方差的定义，有D(ξ)=E(ξ^2)-[E(ξ)]^2=2/3，故选D。
2.【___2018届高三仿真考】已知甲盒子中有 1 个红球，3 个蓝球，乙盒子中有 2 个红球，2 个蓝球，同时从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取 1 个球是红球的概率记为 P1，交换后，乙盒子中含有红球的个数记为 X，则 E(X)=（）A．1.4.B．1.5.C．1.6.D．1.7答案】A解析】(a) 交换后，从甲盒子中取 1 个球是红球的概率P1=1/4+1/6=5/12.(b) 交换后，乙盒子中含有红球的个数记为X，则 X=0，1，2，3.根据全概率公式，有 P(X=0)=1/6，P(X=1)=2/6，P(X=2)=2/6，P(X=3)=1/6.故E(X)=0×1/6+1×2/6+2×2/6+3×1/6=7/3=2.33，约等于 1.4，故选A。
3.【___2018年4月高考模拟】随机变量的分布列如下：x。
-1.0.1.2P(x)。
1/4.a。
2a。
3a其中，a 成等差数列，则 P(x) 的最大值为（）A．1/4.B．1/3.C．1/2.D．2/3答案】A解析】由于 P(x) 为概率，所以0≤P(x)≤1，又因为 a 成等差数列，所以 1/4+a+2a+3a=1，解得 a=1/10，故 P(x) 的最大值为 1/4，故选A。
8.2.6(2)分布列和数学期望高考题举例
1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.2.（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（Ⅰ）设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4()112343210C C C 1C 3P A +== （Ⅱ）随机变量X 可能取值 0，1，2()222334210C C C 40C 15P X ++=== ()11113334210C C C C 71C 15P X +=== ()1134210C C 42C 15P X === 所以，X()7811515E X =+=3.【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P 所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632．4.（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1253232414331324343)(1212=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C B P ； 4132324343)(=⋅⋅⋅=C P ．所以3241125)()()(=+=+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0(=⋅⋅⋅==X P ；725144103143314131413241)1(1212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C X P ；14425313243413131434332324141)2(12=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 1211441231413243)3(12==⋅⋅⋅==C X P ； 12514460)31433241(3243)4(12==⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 411443632433243)6(==⋅⋅⋅==X P ；X 的分布列为：X 的数学期望62314455264141253121214425172501441==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．作业【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
概率统计与期望方差分布列大题拔高练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
概率统计与期望方差分布列大题拔高练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．指标值抗体合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计a=的独立性检验，判断能否认为注射(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X=99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.0242．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望．3．（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i 次答题所得分数)N (i X i *∈的数学期望为()i E x .①写出()1i E X -与()i E x 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若()100i E x >，求i 的最小值.4．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm ），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x 和方差2s ．（用每组的中点代表该组的均值）(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布()2,N μσ，用直方图的平均数估计值x 作为μ的估计值 μ，用直方图的标准差估计值s 作为σ估计值 σ．（i ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了()3,3μσμσ-+之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.8 1.20.95 1.01 1.23 1.12 1.330.97 1.210.83利用 μ和 σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ii ）若设备状态正常，记X 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在()3,3μσμσ-+之外的零件个数，求()1P X ≥及X 的数学期望．参考公式：直方图的方差()221n i i i s x x p ==-∑，其中i x 为各区间的中点，i p 为各组的频率．参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈，0.105≈0.110≈，90.99730.9760≈，100.99730.9733≈．5．（2023·江苏·统考一模）某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a %，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n 人一组进行分组，将各组n 个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n 个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若0.2a =，20n =，试估算该小区化验的总次数；(2)若0.9a =，每人单独化验一次花费10元，n 个人混合化验一次花费9n +元.求n 为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.（注：当0.01p <时，()11np np -≈-）6．（2023·江苏·统考一模）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为()01p p <<，黄政/孙艺赢的概率为1p -，且每场比赛相互独立．(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率()f p ；(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设12p =，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X 的分布列．8．（2023·江苏·二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()Eξ；(2)某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2Pη=．9．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且 6.1σ=，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生女生合计并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=；()330.9973P X μσμσ-≤≤+=.()()()()()()22n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.82810．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员M 都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为35和25，且每场比赛中犯规4次以上的概率为14．(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；(2)用X 表示比赛结束时比赛场数，求X 的期望；(3)已知球员M 在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：50.980.904≈，110.980.801≈.12．（2023·福建福州·统考二模）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P（μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．13．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用()P X k =表示这10名学生中恰有k 名学生的成绩在[]90,100上的概率，求()P X k =取最大值时对应的k 的值；(3)从测试成绩在[]90,100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．15．（2023·山东聊城·统考一模）某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：思想政治地理化学生物物理类100120200180历史类1201406080(1)利用上述样本数据填写以下22⨯列联表，并依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．科类生物学科选法选不选合计物理类历史类合计(2)假设该校高一所有学生中有35的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为15，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为110．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值()E X．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.0010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.82816．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.17．（2023·湖北·统考模拟预测）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ为样本平均数的估计值，13σ≈，试估计初试成绩不低于88分的人数；(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及均值．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=．18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x （2015年记为1x =，2016年记为2x =，以此类推）与发展总指数y 存在线性关系．(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X 表示赋分之和，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程y bx a =+$$$，其中a y bx =-$$，()()()121n ii i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑ ，()()81228.9i i i x x y y =--=∑，119.05y =．19．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．(1)求这10名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布2(,)N μσ．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求X 的分布列及数学期望．附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；(2)经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .21．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某学校食堂中午和晩上都会提供,A B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A 类套餐的概率为23，选择B 类套餐的概率为13；在中午选择A 类套餐的前提下，晩上还选择A 类套餐的概率为14，选择B 类套餐的概率为34；在中午选择B 类套餐的前提下，晩上选择A 类套餐的概率为12，选择B 类套餐的概率为12.(1)若同学甲晩上选择A 类套餐，求同学甲中午也选择A 类套餐的概率；(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择B 类套餐的人数为X ，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X 的分布列及数学期望.22．（2023·湖南·校联考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540i i x x =-=∑，()502118930i i y y =-=∑，其中,i i x y 分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，1i =，2，…，50，y 与x 的相关系数0.45r ≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考。
高三数学分布列和期望
课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令x 为本场比赛的局数,求x 的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （x ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。
因而局乙队胜。
因而P （x ＝4）＝222230.60.40.6C ´´´＋222230.40.60.40.3744C ´´´=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。
因而局甲胜或乙胜。
因而P （x ＝5）＝22240.60.40.6C ´´´＋22240.40.60.40.3456C ´´´=所以x 的概率分布为的概率分布为x 34 5P0.28 0.3744 0.3456x 的期望E x ＝3×P （x ＝3）＋4×P （x ＝4）＋5×P （x ＝5）＝4.0656变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率．次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率；次停止的概率； (ii )记5次之内次之内((含5次)摸到红球的次数为x ，求随机变量x 的分布列及数学期望E x ．解：解：(Ⅰ) 333512140333243C æöæö´´´=ç÷ç÷èøèø(Ⅱ)（i ）2224121833381C æöæö´´´=ç÷ç÷èøèø(ii)随机变量x 的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得，得()505132013243P C xæö==´-=ç÷èø；()41511801133243P C x æö==´´-=ç÷èø()232511802133243P C xæöæö==´´-=ç÷ç÷èøèø()323511173133243P C x æöæö==´´-=ç÷ç÷èøèø（或()328021731243243P x +´==-=） 随机变量x 的分布列是的分布列是x0 1 2 3P32243 80243 80243 17243x 的数学期望是的数学期望是32808017131012324324324324381E x =´+´+´+´=热点题型2 随机变量x 的取值范围及分布列[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值x （元）的概率分布列和期望x E . 解法一：解法一： （Ⅰ）324515121026=-=-=CC I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）x 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P x x x x x 且故x 有分布列：列：从而期望.161516015250151205210310=´+´+´+´+´=x E 解法二：解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P（Ⅱ）x 的分布列求法同解法一的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值x E =2×8=16（元）.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为02，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：求： （Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）个工作日内利润的期望（保留两位有效数字） 解：以x 表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则x ~B （5，0 2）).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=´´==-k C k P k k k x（Ⅰ）2108020)2(3225»´´==C P x（Ⅱ）以h 表示利润，则h 的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5»====x h P P.410.08.02.0)1()5(4115»´´====C P P x h .205.08.02.0)2()0(3225»´´====C P P x h .057.0)2()1()0(1)3()2(»=-===-=³=-=x x x x h P P P P P h \的概率分布为的概率分布为\利润的期望=10×0 328+5×0 410+0×0 205－2×0 057≈5 2（万元）x0 10 20 50 60P3152151152151h 10 5 0 －2P 0 328 0 410 0 205 0057[样题3] (2005年高考·江西卷·理19) A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，一张卡片，否则否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设x 表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求x 的取值范围；的取值范围； （2）求x 的数学期望E x .解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则ïîïí죣=+=-915||x x n m n m ，可得：，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当x x x x ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====´==C P P x x.322756455964571615;64556451611)9(=´+´+´==--==x x E P变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。
高考数学分布列专题及答案
分布列1．(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。
（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。
在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．．（本小题满分14分）分布列参考答案1．(本小题满分14分)解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= 2．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分3.解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。
(完整版)期望与分布列高考试题精选
期望与分布列高考试题精选一．解答题（共20小题）1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300500作物产量（kg）概率0.50.5610作物市场价格（元/kg）概率0.40.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．7．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[50，150），[150，250），[250，350），[350，450），[450，550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值．（i）求日需求量X的分布列；（ii）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？8．已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，4，5的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列．9．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示：性别年龄性别女性合计[18，25）18040220[25，35）360240600[35，50）40100140[50，80）202040合计6004001000（1）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35）内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列．10．某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员．（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数ξ的分布列与期望．11．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别候车时间（单位：min）人数一[0，5）1二[5，10）5三[10，15）3四[15，20）1（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．12．数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．13．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．14．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．15．某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．16．在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X：①求X的分布列；②求X的数学期望．17．一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．18．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．（1）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分．求得分ξ的分布列和数学期望．19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．20．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V．现有..三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H 指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．（Ⅰ）求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．期望与分布列高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122 P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k 局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：X2345PE（X）=2×+3×+4×+5×=．3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300500作物产量（kg）概率0.50.5610作物市场价格（元/kg）概率0.40.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P （）P （）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P （）P（B）+P（A）P （）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X4000 2000 800P0.30.50.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）==P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==X的分布列为X0123PEX=6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x1234P7．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[50，150），[150，250），[250，350），[350，450），[450，550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值．（i）求日需求量X的分布列；（ii）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为（0.0025+0.0015）×100=0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P=0.4×0.4×（1﹣0.4）+（1﹣0.4）×0.4×0.4=0.192．…（3分）（2）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，P（X=100）=0.0010×10=0.1；P（X=200）=0.0020×10=0.2；P（X=300）=0.0030×10=0.3；P（X=400）=0.0025×10=0.25；P（X=500）=0.0015×10=0.15；所以X的分布列为：X100200300400500P0.10.20.30.250.15…（6分）（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取﹣100，700，1500，此时Y1的分布列为：Y1﹣7001500100P0.10.20.7此时利润的期望值E（Y1）=﹣100×0.1+700×0.2+1500×0.7=1180；…（8分）当每日进货400公斤时，利润Y2可取﹣400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：40012002000Y2﹣400P0.10.20.30.4此时利润的期望值E（Y2）=﹣400×0.1+400×0.2+1200×0.3+2000×0.4=1200；…（10分）因为E（Y1）＜E（Y2），所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…（12分）8．已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，4，5的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列．【解答】解：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：．（2）由题意得X 的可能取值为，，，=，=，=，=，∴X的分布列为：XP9．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示：性别女性合计性别年龄[18，25）18040220[25，35）360240600[35，50）40100140[50，80）202040合计6004001000（1）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35）内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列．【解答】解：（1）因为年龄在[25，35）人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为，所以抽取的10人中男性，女性人数分别为．（2）由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4，所以4人中恰有2女性使用者的概率为．（3）由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为，所以随机变量ξ服从二项分布，即，，，所以ξ的分布列为：ξ01234P10．某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员．（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数ξ的分布列与期望．【解答】解：（1）设事件A表示“选派的4人中至多有1人能打边后卫”，则P（A）==，事件B表示“选派的4人中至少有2人能打边后卫”，∴P（B）=1﹣P（A）=1﹣=．（2）ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）===，P（ξ=1）===，P（ξ=2）===，∴ξ的分布列为：ξ012PEξ=1×+2×=．11．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别候车时间（单位：min）人数一[0，5）1二[5，10）5三[10，15）3四[15，20）1（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）候车时间少于10分钟的人数为60×（+）=36（人）．（Ⅱ）设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P（A）=1﹣=．（Ⅲ）X的可能值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为X123P∴EX=+2+3×=．12．数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为，所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3．…（3分）（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，…（5分）来自同一所中学的取法共有．…（7分）所以．答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X的可能取值为0，1，2，…（9分），，．…（12分）所以X的分布列为：X012P…．（14分）13．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．【解答】解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则，，，，，则X的分布列为：X01234P设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，则X=0，X=1，X=2，…，X=n，这n+1个互斥事件的和事件，则n01234P（X≤n）1∵，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；（2）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，P（Y=18）=P（X=0），，；则Y的分布列为：Y18138P则；故该厂获利的均值为．14．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．【解答】解：（1）由题意甲获胜的概率：p=+=．（2）由题意知投篮结束时甲的投篮次数X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=++=，∴X的分布列为：X123PEX==．15．某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为A，B，C，D．由题意知A，B，C，D相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得：P（F）=1﹣P（CD）…（3分）=…（4分）（II）X的所有可能取值为0，1，2，3，4．…（5分），，，，．所以，X的分布列是：X01234P…（12分）X的数学期望…（13分）16．在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X：①求X的分布列；②求X的数学期望．【解答】解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件A k（k=0，1，2，3）．①．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）②．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）．①X的分布列为X012P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②X的数学期望．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）17．一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=．B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）==．A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=．（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=．进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望EX==．。
新课标高考期望与方差经典高考题
期望与方差1.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．3.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．4.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．5.（20XX年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,+道此次调题工作结束.试题库中现共有n m试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.(Ⅰ)求2=+的概率;X n(Ⅱ)设m n=,求X的分布列和均值(数学期望).6.（20XX年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:ξ-,求随机(Ⅲ)用,X Y X Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||变量ξ的分布列与数学期望Eξ.本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kkk ξ，分布列为说明：n 次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P所以ξ 的分布列为说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +1. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+= 所以ξ的分布列为ξ0 2 4p827 40811781随机变量ξ的数学期望84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=.。
高考数学 题型通关21讲第7讲 分布列与数学期望(原卷版)
第7讲 分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型 类型一：利用古典概型求概率1．10月1日,某品牌的两款最新手机（记为W 型号,T 型号）同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部）,得到如表（Ⅰ）若在10月1日当天,从A ,B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算,W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>,试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示,结论不要求证明）2．为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成如图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者． （1）从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）3．已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元）,求X的分布列和数学期望．类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率 4．电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =,2,3,4,5,6)．写出方差1D ξ,2D ξ,3D ξ,4D ξ,5D ξ,6D ξ的大小关系．5．设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ,求0X =,1X =,2X =,3X =时的概率(0)P X =,(1)P X =,(2)P X =,(3)P X =．（2）设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率．类型三：利用条件概率公式求概率6．如图所示,质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发,规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点P前进一步（如由A到)B；当正方体上底面出现的数字是2,质点P前两步（如由A到)D．在C,当正方体上底面出现的数字是3,质点P前进三步（如由A到)质点P转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止．（1）求点P恰好返回到A点的概率；（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中,用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数,求ξ的分布列及数学期望．mm对工期的影响如下表：X<900300700X<7009002 6 10历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求：()I工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率．类型四：利用统计图表中的数据求概率8．某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处有关．如理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位：C)果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）,当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时,Y的数学期望达到最大值？9．某贫困地区共有1500户居民,其中平原地区1050户,山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况,从而更好地实施“精准扶贫”,采用分层抽样的方法,收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据,得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示）,其中样本数据分组区间为(0,0.5],(0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]．如果将频率视为概率,估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中,有5户山区家庭的年收入超过2万元,请完成2017年家庭收入与地区的列联表,并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++02)k高考预测二：超几何分布和二项分布 类型一：超几何分布10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望；()ii 设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率．11． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物． 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的 2.5PM监测数据如茎叶图所示．（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 2.5PM日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记ξ表示抽到 2.5PM监测数据超标的天数,求ξ的分布列及期望．类型二：二项分布12．某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖；若只有1个红球,则获得二等奖；若没有红球,则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为X,求X的分布列、数学期望和方差．13．近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数(,)AirQualityIndex AQI是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI 大小分为六级,0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；151~200为中度污染；201~300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(100)AQI 的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究,求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为ξ,求ξ的概率分布列和数学期望．高考预测三：概率与其他知识点交汇 类型一：以其他知识为载体14．已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行,则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．15．从集合{1M =,2,3,4,5,6,7,8,9}中抽取三个不同的元素构成子集1{a ,2a ,3}a ． （1）求对任意的i 和(1j i =,2,3,1j =,2,3,)i j ≠满足||2i j a a -的概率；（2）若1a ,2a ,3a 成等差数列,设其公差为(0)ξξ>,求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．类型二：构造递推关系求概率问题16．为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0i p i =,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=,2,⋯,7),其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==．假设0.5α=,0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=,1,2,⋯,7)为等比数列； ()ii 求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．17．从原点出发的某质点M ,按向量(0,1)a =移动的概率为23,按向量(0,2)b =移动的概率为13,设M 可到达点(0,)(1n n =,2,3,)⋯的概率为n P ． （1）求1P 和2P 的值；（2）求证：2111()3n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式．类型三：利用导数研究概率问题18．某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品．检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<,且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()()f p f p 的最大值点0p （即()f p 取最大值时对应的p 的值）．（2）现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以（1）中确定的0p 作为p 的值,已知每件产品的检验费用为3元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用 ()i 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X 求()E X ； ()ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验？19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装,每箱80个,每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测,如检测出不合格品,则更换为合格品．检测时,先从这一箱水果中任取10个作检测,再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为(01)p p <<,且各个水果是否为不合格品相互独立．（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ,求()f p 取最大值时p 的值0p ；（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个,结果恰有2个不合格,以（Ⅰ）中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为 1.5元,若有不合格水果进入顾客手中,则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用∈．a N(*)（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？高考预测三：决策问题20．某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购买机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个300元．在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X的分布列；（2）若要求()0.5P X n,试确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n=之中选其一,应选用哪个？n=与20高考预测四：正态分布21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s ==≈,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1i =,2,⋯,16． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=,160.99740.9592≈,0.09．22．从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为,这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s①利用该正态分布,求(187.8212.2)P Z << ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用 ①的结果,求EX2.44≈,若2~(,)z n μσ,则()0.6826p Z μσμσ-<<+=,(22)0.9544p Z μσμσ-<<+=．。
207高考复习---概率、随机变量分布列、期望方差
2017高考复习---概率、随机变量分布列、期望方差1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．2．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．3．设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=．4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=，则4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．8．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．10．有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．11．为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．12．随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是．每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=．15．从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．16．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．18．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．19．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．20．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是．21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为．23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．24．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为．2017年03月25日茅盾中学09的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共24小题）1．（2012•温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为15分．【分析】设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为﹣15，0，15，30，分别求出P（X=﹣15），P（X=0），P（X=15），P（X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．【解答】解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为﹣15，0，15，30，P（X=﹣15）==，P（X=0）==，P（X=15）==，P（X=30）==，∴EX=﹣15×+0×+15×+30×=15．∴该学生在面试时得分的期望值为15分．故答案为：15．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率计算公式的灵活运用．2．（2016春•松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的未知量p．【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）Eξ=300，Dξ=200∴Eξ=300=np，①；Dξ=200=np（1﹣p），②．可得1﹣p==，∴p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．3．（2013春•渭滨区校级期末）设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=．【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】解：∵随机变量X服从二项分布B（6，），∴P（X=3）=C36（）3×（1﹣）3=．故答案为：．【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．【分析】确定X的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X的数学期望【解答】解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．随机地取出两个球，共有：=15种，∴P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，故EX=1×+2×+3×+4×+5×=．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1×a+1×c=c﹣a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．6．（2014•余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=，则x+y=．【解答】解：由题意可得：2x+y=1，Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（1﹣2x）=2．∴方差Dξ==（1﹣2）2x+（2﹣2）2（1﹣2x）+（3﹣2）2x．化为，解得，∴=．∴=．故答案为．【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．7．（2015春•淮安校级期末）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，得分的随机变量ξ=4，6，8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．8．（2001•江西）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是 1.2．【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．【解答】解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，∴P（ξ=0）==0.1，P（ξ=1）==0.6P（ξ=2）==0.3∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2．故答案为：1.2．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．9．（2012•浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题中ξ的取值可能是0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可【解答】解：由题ξ的取值可能是0，1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6×6=36 故P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=所以ξ的分布列为=故答案为【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．10．（2013•浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．【分析】由题意知小张摸一次得分X的可能取值是0，，50，100，当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．【解答】解：由题意知小张摸一次得分X的可能取值是0，，50，100，当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10个球中取5个共有C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（X=100）==，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50）==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．11．（2013•西湖区校级模拟）为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．【解答】解：由题意，ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ 0 1 2 3P∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（2011•海珠区一模）随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是．X ﹣1 0 1P a ca和c，再利用方差公式求方差即可．【解答】解：由题意：，解得：所以DX=故答案为：【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．13．（2012•浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ=1.5，则a的值等于0.5．ξ0 1 2 3P 0.1 a b 0.2分布列的性质建立方程求解即可．【解答】解：由题意可得：⇒．故答案为：0.5．【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．14．（2011•宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=1．【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．【解答】解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则，，，Eξ==1．故答案为：1【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．15．（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．16．（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．17．（2015•江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．【分析】由组合知识求出从4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从5个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于5的情况有（2，4），（3，4）共2种取法．所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．18．（2010•江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n；（2）算出事件A中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件A的概率，即P（A）=．19．（2009•安徽）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．20．（2011•鼓楼区校级模拟）从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是．【分析】由题意抽两次且属于有放回的抽样，利用计数原理及古典概型随机事件的概率公式即可求出．【解答】解：由题意属于有放回的抽样，因为从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，即抽两次，所以利用分步计数原理可得总数为：5×5=25，即：“取出的两张卡片的数字之和恰好的等于4为事件A”：事件A的个数为：（4，0），（0，4），（2，2），（1，3），（3，1）共5个，利用古典概型随机事件的概率公式及得：P（A）=．故答案为：【点评】此题考查了有放回的抽样，古典概型随机事件的概率公式及分步计数原理．21．（2011•江西校级模拟）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从4个数字中各选一个数字，共有4×4种结果，满足条件的事件是|a﹣b|≤1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从4个数字中各选一个数字，共有4×4=16种结果，满足条件的事件是|a﹣b|≤1，可以列举出所有的满足条件的事件，当a=1时，b=1，2，当a=2时，b=1，2，3当a=3时，b=2，3，4当a=4时，b=3，4总上可知共有2+3+3+2=10种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．22．（2012•东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到6m﹣3n=0即n=2m，列举出所有的结果数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6=36种结果，满足条件事件是向量=（m，n）与=（3，6）共线，即6m﹣3n=0，∴n=2m，满足这种条件的有（1，2）（2，4）（3，6），共有3种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．23．（2013•西湖区校级模拟）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有22=4中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．24．（2011•卢湾区一模）在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为．【分析】根据这位考生只会答5道题中的3道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进行求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．【解答】解：从5道备选试题中随机抽出3道题共有：C53==10种情况其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有：C31=3种情况即这位考生不及格的概率为故这位考生能够及格的概率P=1﹣=故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．。
高考数学复习专题 分布列与期望及决策问题(学生版)
专题35分布列与期望及决策问题【高考真题】1．(2022·全国甲理)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．2．(2022·北京)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证【知识总结】离散型随机变量X 的分布列为则，(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n .(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )．【题型突破】1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的．(1)求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率；(2)记随机变量X 表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个)，求X 的分布列与均值．2．有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立．(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率；(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求E (X )．3．某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金．其他不中奖，没有奖金．(1)求员工A 中二等奖的概率；(2)设员工A 中奖奖金为X ，求X 的分布列；(3)员工B 是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B 中奖奖金的期望．4．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为12，m ，14．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为112． (1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m 的值；(2)三个团队有X 个在两年内出成果，求X 的分布列和均值．5．随着社会的发展，一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世界五百强企业M 的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M 的线上招聘，并均已通过了资料初审环节．假设甲通过笔试、面试的概率分别为12，13；乙通过笔试、面试的概率分别为23，12；丙通过笔试、面试的概率与乙相同． (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M 正式录取的概率；(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M 决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X 元，求X 的分布列和均值．6．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望．7．下象棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛．现某班有12位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛(规则采用“中国数目法”，没有和棋)，即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下(每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3∶0，3∶1，3∶2三种赛式)．9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分．第10轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为23，丙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)①在第10轮比赛中，甲所得积分为X ，求X 的分布列；②求第10轮结束后，甲的累计积分Y 的均值；(2)已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛(“提前一轮”即比赛进行10轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．8．一款小游戏的规则如下：每轮游戏都要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个都是红球”出现3次，则获得200分；若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次，则获得20分；若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．(1)求一轮游戏中获得20分的概率；(2)很多玩过这款小游戏的人发现，很多轮游戏后，所得的分数与最初的分数相比，不是增加而是减少了，请运用概率统计的相关知识解释这种现象．9．“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为12，每局比赛结果相互独立． (1)求4局比赛决出胜负的概率；(2)设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为X ，求X 的分布列及数学期望．10．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？11．(2021·新高考全国℃)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝p i(i＝0，1，2，3).(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)＞1时，p＜1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．12．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验．对于两组白鼠，当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8.①求证：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．13．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．14．已知某高中高三年级共有20个班，共1 000人，其中男生600人，女生400人．现在从该校高三学生中抽取10%的学生进行玩游戏时间的调查．设置方案如下：一个罐子中放置了大小、质地相同的20个红球，20个白球，被抽查的同学首先从该罐子中随机抽取一个球，看过颜色后放回，若抽到红球回答问题1，若抽到白球回答问题2，学生只需要对一个问题回答“是”或者“否”即可．问题1：你的性别是否为男生？问题2：你周末打游戏的时长是否在3小时及以上？(1)应该抽取多少学生？若用分层抽样的抽样方法，如何抽取这10%的学生？(2)最终有40张答卷回答“是”，请估计该高中高三年级有多大占比的学生周末打游戏的时长在3小时及以上．15．某公司为了切实保障员工的健康安全，决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查，为此需要抽取全公司m 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血样分别化验，这时需要化验m 次．方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血样混合在一起进行化验，如果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验1k次)；否则，呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血样总共需要化验k ＋1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的化验结果相互独立．(1)设方案②中，某组k 个人中每个人的血样化验次数为X ，求X 的分布列；(2)设m ＝1 000，p ＝0.1，试求方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(结果保留整数)16．某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为12，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为12． (1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；(2)现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用)．试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？17．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．18．某公司为了切实保障员工的健康安全，决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查，为此需要抽取全公司m 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血样分别化验，这时需要化验m 次．方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血样混合在一起进行化验，如果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验1k次)；否则，呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血样总共需要化验k ＋1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的化验结果相互独立．(1)设方案②中，某组k 个人中每个人的血样化验次数为X ，求X 的分布列；(2)设m ＝1 000，p ＝0.1，试求方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(结果保留整数)19．某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有14的概率出现 自动运行故障．此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该维护人员无法对其他设备进行维护．工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到维护人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立．(1)若安排1名维护人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；(2)设该工厂有甲、乙两个车间．甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2名维护人员，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2名维护人员共同负责维护．若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较甲、乙两个车间生产稳定性的高低．20．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度．为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r(0<r<1)，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)当r＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更换设备硬件的总费用为8万元；方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护的总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策．。
高考复习数学期望试题及详解
考点自测1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A. 65B.65C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1.s 2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2.答案 D2．已知X 的分布列为 X －1 0 1P 12 13 16 设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．A.73B ．4C ．－1D ．1 解析E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73. 答案 A3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ 7 8 9 10P x 0.1 0.3 y已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.②由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.答案 A4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )．A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6， D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧ n ＝8，p ＝0.2.答案 A5．(2010·上海)随机变量ξξ 7 8 9 10P 0.3 0.35 0.2 0.15该随机变量ξ的均值是________． 解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案 8.26．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________. 解析 ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370； P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140. ∴E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34. 答案 347．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(胜利)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(胜利)的次数，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，35， 从而有E (ξ)＝np ＝4×35＝125. 答案 125考向一 离散型随机变量的期望和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率A 1和B 1 23 13A 2和B 2 2% 35 A 3和B 3 25 35 (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事务的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最终依据期望的定义求期望． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0. P (X ＝3)＝23×25×25＝875， P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875， P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P (X ＝0)＝13×35×35＝325； 依据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325. X 的分布列为X 0 1 2 3P 325 25 2875 875 Y 的分布列为Y 3 2 1 0P 325 25 2878 875(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝15； 因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315. 2.广东17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成果的频率分布直方图如图4所示，其中成果分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之186分布列期望与方差
A. B. C. D.
9.已知某口袋中有 个白球和 个黑球（ ）．现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）．记换好球后袋中白球的个数是 ，若 ，则
A. B. C. D.
10.如果某射射手每次射击击中目标的概率为 ，每次射击的结果相互独立，那么他在 次射击中，最有可能击中目标的次数是
32.一个口袋里装有大小相同的 个小球，其中红色、黄色、绿色的球各 个，现从中任意取出 个小球，其中恰有 个小球同颜色的概率是．若取到红球得 分，取到黄球得 分，取到绿球得 分，记变量 为取出的三个小球得分之和，则 的期望为．
33.如图所示， ， 两点间有 条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为 ， ， ， ， ．现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为 ，则 ．
A. B. C. 或 D.
11.口袋中有 个形状和大小完全相同的小球，编号分别为 ， ， ， ， ，从中任取 个球，以 表示取出球的最小号码，则
A. B. C. D.
12.设 是一个离散型随机变量，其分布列为
则 等于
A. B. C. D.
13.已知随机变量 满足 ， ， ．若 ，则
A. ，
B. ，
C. ，
A. B. C. D.
二、填空题（共20小题；共100分）
21.一个机床有 的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率是 ，加工零件B时，停机的概率是 ，则这个机床停机的概率为．
22.在 ， ， ， ， 这 个数字中任取 个，则这 个数字之积的数学期望是．
23.设盒中有 个球，其中 个是白球， 个是黑球，从中任取 个球，则取到的白球数 的数学期望 ．
【真题分类汇编】：离散型随机变量的分布列、期望与方差(2018-2022五年新高考真题)-普通用卷
考点32：离散型随机变量的分布列、期望与方差一、单选题（本大题共1小题，共4.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设0<a <1.随机变量X 的分布列是X 0a1P13 13 13则当a 在(0,1)内增大时，(A. D(X)增大B. D(X)减小C. D(X)先增大后减小D. D(X)先减小后增大二、填空题（本大题共3小题，共18.0分）2. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)= ，E(ξ)= ．3. 袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ；若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m −n = ，E(ξ)= ．4. 盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ=0)= ，E(ξ)= ． 三、解答题（本大题共12小题，共151.0分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）5. (本小题12.0分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=−1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1−p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m):甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25;乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23;丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX:(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)9. (本小题12.0分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X=2)；(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率．11. (本小题12.0分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p i(i=0,1,2,3)．(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+ p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．13. (本小题14.0分)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采用k合1检测法，即将k个人的拭子样本合并检测；若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测；现有100人，已知其中2人感染病毒．(Ⅰ) ①若采用10合1检测法，且两名患者在同一组，求总检测次数；，求检测次数X的分布列和数学 ②已知10人分一组，两名感染患者在同一组的概率为111期望E(X).(Ⅱ)若采用5合1检测法，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．.假定甲、乙两位同学到校情况设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(Ⅰ)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(Ⅱ)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．16. (本小题13.0分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查随机变量的分布列及方差，考查学生的运算求解能力，属于较易题.解题时应先求期望，将方差表示为关于a 的二次函数，再利用二次函数在给定区间的单调性，判断方差取值的增减性． 【解答】解：由题意可得，E(X)=13(a +1)， 所以D(X)=(a+1)227+(1−2a)227+(a−2)227=6a 2−6a+627=29[(a −12)2+34]，所以当a 在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大， 故选D ．2.【答案】1635127【解析】 【分析】本题考查了古典概型概率的求法，离散型随机变量及其分布，离散型随机变量的期望的求法，属于中档题． 【解答】解：从七张卡片中抽取三张，抽取方法数为C 73=35种;分类讨论： ①当ξ=1时，要在剩下六张卡片中选两张，共C 62=15种选法，则P(ξ=1)=37; ②当ξ=2时，有两种情况.若数字2的卡片有且仅有一张，则要在剩下四张卡片中选两张，共2⋅C 42=12种选法：若数字2的卡片有两张，则要在剩下四张卡片中选一张，共C 41=4种选法.则P(ξ=2)=1635; ③当ξ=3时，要在剩下三张卡片中选两张，共C 32=3种选法则P(ξ=3)=335; ④当ξ=4时，要在剩下两张卡片中选两张，共C 22=1种选法，则P(ξ=4)=135; 因此：P(ξ=2)=1635，E(ξ)=1×37+2×1635+3×335+4×135=127．3.【答案】189【解析】 【分析】本题主要考古典概型的概率公式和组合公式及随机变量ξ的期望问题，属于基础题． 根据古典概型的概率公式即可列式求得m ，n 的值，再根据随机变量ξ的分布列即可求出E(ξ). 【解答】 解：P(ξ=2)=C 42C m+n+42=6C m+n+42=16⇒C m+n+42=36，所以m +n +4=9，取出的两个球一红一黄的概率：P =C 41⋅C m1C m+n+42=4m 36=m 9=13，∴m =3，所以n =2，则m −n =1．由于P(ξ=2)=16，P(ξ=1)=C 41⋅C 51C 92=4×536=59，P(ξ=0)=C 52C 92=1036=518∴E(ξ)=16×2+59×1+518×0=13+59=89． 故空1答案为：1；空2答案为：89．4.【答案】131【解析】 【分析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望．由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P(ξ=0)、P(ξ=1)和P(ξ=2)，再求E(ξ)的值．【解答】解：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；计算P(ξ=0)=14+14×13=13；P(ξ=1)=1 2×13 +14×23×12+24×13×12=13；P(ξ=2)=1−13−13=13；所以E(ξ)=0×13+1×13+2×13=1．故答案为13；1．5.【答案】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P(X=0)=1−0.8=0.2，P(X=20)=0.8×(1−0.6)=0.32P(X=100)=0.8×0.6=0.48，所以X的分布列为：(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48= 54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y=0)=1−0.6=0.4，P(Y=80)=0.6×(1−0.8)=0.12，P(Y=100)=0.6×0.8=0.48，则Y的期望为E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，因为E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题． (1)由已知可得，X 的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列； (2)由(1)可得E(X)，若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的累计得分，Y 的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E(Y)，比较E(X)与E(Y)的大小，即可得出结论．6.【答案】(1)解：X 的所有可能取值为−1，0，1．P(X =−1)=(1−α)β，P(X =0)=αβ+(1−α)(1−β)，P(X =1)=α(1−β)， ∴X 的分布列为：(2)(i)证明：∵α=0.5，β=0.8， ∴由(1)得，a =0.4，b =0.5，c =0.1．因此p i =0.4p i−1+0.5p i +0.1p i+1(i =1,2,…,7)，故0.1(p i+1−p i )=0.4(p i −p i−1)，即p i+1−p i =4(p i −p i−1)， 又∵p 1−p 0=p 1≠0，∴{p i+1−p i }(i =0,1,2,…,7)为公比为4，首项为p 1的等比数列； (ii)解：由(i)可得，p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0=p 1(1−48)1−4=48−13p 1，∵p 8=1，∴p 1=348−1，∴p 4=(p 4−p 3)+(p 3−p 2)+(p 2−p 1)+(p 1−p 0)+p 0=44−13p 1=1257． 由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解析】本题主要考查数列的应用，考查离散型随机变量的分布列，属于较难题．(1)由题意可得X 的所有可能取值为−1，0，1，求出P(X =−1)，P(X =0)，P(X =1)的值，则X 的分布列可求；(2)(i)由α=0.5，β=0.8结合(1)求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1，得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1)，由p 1−p 0=p 1≠0，即可得解；(ii)由(i)可得，p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0，利用等比数列的前n项和与p8=1，得p1=348−1，进一步求得p4=1257，即可求解．7.【答案】解：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，则f(p)=C202p2(1−p)18，∴f′(p)=C202[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C202p(1−p)17(1−10p)，令f′(p)=0，得p=0.1，当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0，f(p)单调递增，当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0，f(p)单调递减，∴当p=0.1时，f(p)取得极大值，也为最大值，则f(p)的最大值点p0=0.1．(2)(i)由(1)知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490；(ii)如果对余下的所有产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E(X)=490>400，∴应该对余下的所有产品进行检验．【解析】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)求出f(p)=C202p2(1−p)18，则f′(p)=C202[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C202p(1−p)17(1−10p)，进行求解即可；(2)(i)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180,0.1)，再由X= 20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E(X)；(ii)如果对余下的所有产品作检验，求出这一箱产品所需要的检验费与E(X)进行比较，即可判断．8.【答案】解：(1)由题意得：设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件A．比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80，9.70.9.55，9.54四个．所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4(2)X所有可能取值为0，1，2，3．甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4．乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则P(B)=0.5．丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则P(C)=0.5．P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15，P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4，P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35，R(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1，EX=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4;(3)丙获得冠军的概率估计值最大．【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题．9.【答案】解：(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16，P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06．即X的分布列为期望E (X )=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13．【解析】本题考查相互独立事件的概率、离散型随机事件的分布列与均值，属中档题．10.【答案】解：(1)设双方10：10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k =1,2,3,…)，则P(X =2)=P(A 1A 2)+P(A 1−A 2−)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1−)P(A 2−) =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5；(2)P(X =4且甲获胜)=P(A 1−A 2A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=P(A 1−)P(A 2)P(A 3)P(A 4)+P(A 1)P(A 2−)P(A 3)P(A 4) =(0.5×0.4+0.5×0.6)×0.5×0.4=0.1．【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查推理能力与计算能力，是中档题． (1)设双方10：10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k =1,2,3,…)，则P(X =2)=P(A 1A 2)+P(A 1−A 2−)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1−)P(A 2−)，由此能求出结果；(2)P(X =4且甲获胜)=P(A 1−A 2A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=P(A 1−)P(A 2)P(A 3)P(A 4)+P(A 1)P(A 2−)P(A 3)P(A 4)，由此能求出事件“X =4且甲获胜”的概率．11.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部， 第四类电影中获得好评的电影有200×0.25=50部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率为： P(A)=502000=0.025；(Ⅱ)设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”， 第四类获得好评的有：200×0.25=50部， 第五类获得好评的有：800×0.2=160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率： P(B)=50×(800−160)+(200−50)×160200×800=0.35；(Ⅲ)由题意知，定义随机变量如下： ξk ={0 , 第k 类电影没有得到人们喜欢1 ,第k 类电影得到人们喜欢 ，则ξk 服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4，D(ξ1)=(1−0.4)2×0.4+(0−0.4)2×0.6=0.24． 第二类电影：E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2，D(ξ2)=(1−0.2)2×0.2+(0−0.2)2×0.8=0.16． 第三类电影：E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15，D(ξ3)=(1−0.15)2×0.15+(0−0.15)2×0.85=0.1275． 第四类电影：E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.25，D(ξ4)=(1−0.25)2×0.25+(0−0.25)2×0.75=0.1875．第五类电影：E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2，D(ξ5)=(1−0.2)2×0.2+(0−0.2)2×0.8=0.16．第六类电影：E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1，D(ξ5)=(1−0.1)2×0.1+(0−0.1)2×0.9=0.09．∴方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系为：D(ξ6)<D(ξ3)<D(ξ2)=D(ξ5)<D(ξ4)<D(ξ1).【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)先求出总的电影部数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解；(Ⅱ)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有50部，第五类获得好评的有160部，即可得解；(Ⅲ)由题意知，则ξk服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差，即可得解．12.【答案】(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1．(2)设f(x)=p3x3+p2x2+(p1−1)x+p0，因为p3+p2+p1+p0=1，故f(x)=p3x3+p2x2−(p2+p0+p3)x+p0，若E(X)≤1，则p1+2p2+3p3≤1，故p2+2p3≤p0．f′(x)=3p3x2+2p2x−(p2+p0+p3)，因为f′(0)=−(p2+p0+p3)<0，f′(1)=p2+2p3−p0≤0，故f′(x)有两个不同零点x1,x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)时，f′(x)>0；x∈(x1,x2)时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)上为增函数，在(x1,x2)上为减函数，若x2=1，因为f(x)在(x2,+∞)为增函数且f(1)=0，而当x∈(0,x2)时，因为f(x)在(x1,x2)上为减函数，故f(x)>f(x2)=f(1)=0，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，若x2>1，因为f(1)=0且在(0,x2)上为减函数，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，综上，若E(X)≤1，则p=1．若E(X)>1，则p1+2p2+3p3>1，故p2+2p3>p0．此时f′(0)=−(p2+p0+p3)<0，f′(1)=p2+2p3−p0>0，故f′(x)有两个不同零点x3,x4，且x3<0<x4<1，且x∈(−∞,x3)⋃(x4,+∞)时，f′(x)>0；x∈(x3,x4)时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞,x3)，(x4,+∞)上为增函数，在(x3,x4)上为减函数，而f(1)=0，故f(x4)<0，又f(0)=p0>0，故f(x)在(0,x4)存在一个零点p，且p<1．所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，此时p<1，故当E(X)>1时，p<1．(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代后必然临近灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后还有继续繁殖的可能．【解析】本题是对离散型随机变量和导数的综合考查，属于拔高题．(1)利用公式计算可得E(X)．(2)利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点．(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明．13.【答案】(Ⅰ) ①共检测20次； ②E(X)=320，X的分布列为：11(Ⅱ)E(X)<E(Y).【解析】(1)利用等差数列的通项公式列出关于首项和公差的方程组解出首项和公差，进而可得到其通项公式；(2)先利用条件求出等比数列{b n}的首项和公比，然后利用求和公式即可解决；【解析】(Ⅰ) ①共两轮检测，第一轮分10组检测10次，第二轮对患者组检测10次，共检测20次； ②由上述可知，若在同一组需要检测20次，不在同一组需要检测30次，即X可能取值为20，30，则P(X=20)=111，P(X=30)=1011；所以X的分布列为：则E(X)=20×111+30×1011=32011．(Ⅱ)E(X)<E(Y).14.【答案】解：(1)由题意得：从全校学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100−5−30−25=40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p=40100=0.4．(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在(0,1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在(0,1000]的有10人，超过1000元的有15人，P(X=0)=1830×1025=180750=625，P(X=1)=1830×1525+1230×1025=390750=1325，P(X=2)=1230×1525=180750=625，∴X的分布列为：数学期望E(X)=0×625+1×1325+2×625=1．(3)不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p=C33C303=14060，虽然概率较小，但发生的可能性为14060．故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)从全校学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E(X)．(3)求出随机抽查的3人他们本月的支付金额都大于2000元的概率，根据概率的意义即可判断．15.【答案】解：(I)甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X ～B(3,23)，从而P(X =k)=C 3k(23)k (13)3−k ，k =0，1，2，3．E(X)=3×23=2；(II)设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y ，则Y ～B(3,23)，且M ={X =3,Y =1}∪{X =2,Y =0}， 由题意知{X =3,Y =1}与{X =2,Y =0}互斥， 且{X =3}与{Y =1}，{X =2}与{Y =0}相互独立， 由(I)知，P(M)=P({X =3,Y =1}∪{X =2,Y =0})=P({X =3,Y =1})+P({X =2,Y =0}) =P(X =3)P(Y =1)+P(X =2)P(Y =0)=827×29+49×127=20243． 【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力，属于中档题．(I)甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X ～B(3,23)，可求分布列及期望；(II)设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y ，则Y ～B(3,23)，且M ={X =3,Y =1}∪{X =2,Y =0}，由题意知{X =3,Y =1}与{X =2,Y =0}互斥，且{X =3}与{Y =1}，{X =2}与{Y =0}相互独立，利用相互对立事件的概率公式可求．16.【答案】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数， 随机变量X 的取值为：0，1，2，3，P(X =k)=C 4k ⋅C 33−k C 73，k =0，1，2，3．所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A =B ∪C ，且P(B)=P(X =2)，P(C)=P(X =1)， 故P(A)=P(B ∪C)=P(X =2)+P(X =1)=67． 所以事件A 发生的概率：67．【解析】本题考查分层抽样，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．(1)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；(2)若(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数的可能值，求出概率，得到随机变量X 的分布列，然后求解数学期望；(ii)利用互斥事件的概率加法公式求解即可．。
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期望与分布列高考试题精选一．解答题（共20小题）1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300500作物产量（kg）概率0.50.5610作物市场价格（元/kg）概率0.40.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．7．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[50，150），[150，250），[250，350），[350，450），[450，550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值．（i）求日需求量X的分布列；（ii）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？8．已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，4，5的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列．9．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示：性别女性合计性别年龄[18，25）18040220[25，35）360240600[35，50）40100140[50，80）202040合计6004001000（1）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35）内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列．10．某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员．（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数ξ的分布列与期望．11．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别候车时间（单位：min）人数一[0，5）1二[5，10）5三[10，15）3四[15，20）1（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．12．数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．13．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．14．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．15．某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．16．在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X：①求X的分布列；②求X的数学期望．17．一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．18．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．（1）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分．求得分ξ的分布列和数学期望．19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．20．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V．现有..三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．（Ⅰ）求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．期望与分布列高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k 表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：X2345PE（X）=2×+3×+4×+5×=．3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300500作物产量（kg）概率0.50.5610作物市场价格（元/kg）概率0.40.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P （）P （）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P （）P（B）+P（A）P （）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X4000 2000 800P0.30.50.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C 2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）==P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==X的分布列为X0123PEX=6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x1234P7．某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元．根据以往的销售情况，按[50，150），[150，250），[250，350），[350，450），[450，550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值．（i）求日需求量X的分布列；（ii）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为（0.0025+0.0015）×100=0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P=0.4×0.4×（1﹣0.4）+（1﹣0.4）×0.4×0.4=0.192．…（3分）（2）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，P（X=100）=0.0010×10=0.1；P（X=200）=0.0020×10=0.2；P（X=300）=0.0030×10=0.3；P（X=400）=0.0025×10=0.25；P（X=500）=0.0015×10=0.15；所以X的分布列为：X100200300400500P0.10.20.30.250.15…（6分）（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取﹣100，700，1500，此时Y1的分布列为：Y1﹣7001500100P0.10.20.7此时利润的期望值E（Y1）=﹣100×0.1+700×0.2+1500×0.7=1180；…（8分）当每日进货400公斤时，利润Y2可取﹣400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：40012002000Y2﹣400P0.10.20.30.4此时利润的期望值E（Y2）=﹣400×0.1+400×0.2+1200×0.3+2000×0.4=1200；…（10分）因为E（Y1）＜E（Y2），所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…（12分）8．已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，4，5的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列．【解答】解：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：．（2）由题意得X 的可能取值为，，，=，=，=，=，∴X的分布列为：XP9．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示：性别女性合计性别年龄[18，25）18040220[25，35）360240600[35，50）40100140[50，80）202040合计6004001000（1）采用分层抽样的方式从年龄在[25，35）内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列．【解答】解：（1）因为年龄在[25，35）人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为，所以抽取的10人中男性，女性人数分别为．（2）由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4，所以4人中恰有2女性使用者的概率为．（3）由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为，所以随机变量ξ服从二项分布，即，，，所以ξ的分布列为：ξ01234P10．某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员．（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数ξ的分布列与期望．【解答】解：（1）设事件A表示“选派的4人中至多有1人能打边后卫”，则P（A）==，事件B表示“选派的4人中至少有2人能打边后卫”，∴P（B）=1﹣P（A）=1﹣=．（2）ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）===，P（ξ=1）===，P（ξ=2）===，∴ξ的分布列为：ξ012PEξ=1×+2×=．11．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别候车时间（单位：min）人数一[0，5）1二[5，10）5三[10，15）3四[15，20）1（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）候车时间少于10分钟的人数为60×（+）=36（人）．（Ⅱ）设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P（A）=1﹣=．（Ⅲ）X的可能值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为X123P∴EX=+2+3×=．12．数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为，所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3．…（3分）（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，…（5分）来自同一所中学的取法共有．…（7分）所以．答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X的可能取值为0，1，2，…（9分），，．…（12分）所以X的分布列为：X012P…．（14分）13．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．【解答】解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则，，，，，则X的分布列为：X01234P设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，则X=0，X=1，X=2，…，X=n，这n+1个互斥事件的和事件，则。