赶上火车的概率

赶上火车的概率

摘要

本文是关于火车从一个站到另一个站时，乘客能不能赶上火车的概率计算，在现实生活中，赶火车是很常见的事情，而对于能不能赶上火车也是大家比较重视的问题。为了计算赶上火车的概率，本文采用了随机系统模拟的方法，根据题目已经给出的时间和相关频率，并对多个随机因素进行假设简化，利用MATLAB 编程，通过模拟算法，编写系统模拟程序，实现对赶火车问题的系统模拟，最终得到赶上火车的概率。

关键字：随机系统模拟概率模拟算法MATLAB

1问题提出

如图，一列火车从A 站开往B 站，某人每天赶往B 站上这趟火车。他已了解到：

（1）火车从A 站到B 站的运行时间是均值为30分钟，标准差为2分钟的随机变量；

（2）火车在下午大约1点离开A 站，离开时刻的频率分布如下：

出发时刻 午后1:00 午后1:05 午后1:10 频率

0.7

0.2

0.1

此人到达B 站的时刻频率分布为：

时刻 午后1:28 午后1:30 午后1:32 午后1:34 频率

0.3

0.4

0.2

0.1

问他能赶上火车的概率是多少？

2问题分析及变量说明

明确问题：他能及时赶上火车的概率是多少？ 建模方向（思路）：

1分析法：用概率统计知识建立分析模型求解析解。 2模拟法：用概率统计知识建立模型，通过模拟求解近似解。

即先建立模拟模型，然后通过计算机模拟得到问题的近似解。在同样条件下多次试验，计算他能及时赶上火车的频率。 能及时赶上火车的充要条件是：

213T T T +<

即213T T T <-

A

B

人

火车

其中:

1T :火车从A 站出发的时刻； 2T :火车的运行时间； 3T :他到达B 站的时刻。

3模型假设

1假设1T ，2T ，3T 都是相互独立的随机变量;

2将午后1时记为t=0，设火车运行时间2T 服从正态分布：2T ~N （30，22）。

4模型建立

很显然，他能及时赶上火车的条件是：213T T T +<。 能否赶上火车化的概率等于}{213T T T P +<。

为了简化计算，将下午1点记为初始时刻。1T 和3T 的分布律如下：

1T /min

0 5 10 )(t P

0.7

0.2

0.1

3T /min

28 30 32 34 )(t P

0.3

0.4

0.2

0.1

为了模拟随机变量。如果r 为在)1,0(均匀分布的随机数，为了模拟随机变量

31,T T ，可以通过如下方法：

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤<≤<≤=1

9.0,109.07.0,57.00,01r r r t ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤<≤=0

.19.0,349.07.0,327

.03.0303

.00,283r r r r t ， 其中，1t 和3t 分别用来模拟随机变量1T 和3T 。

5模拟算法

变量说明：

K：临时变量，存储当前累计模拟次数

Count：存储赶上火车的次数

第1步：输入模拟次数n；

第2步：k=1，count=0；

第3步：当k<=n，执行第4步，否则执行第12步；

第4步：生成均匀分布随机数赋给r；

第5步：由r及公式确定

T模拟火车出发时刻；

1

第6步：生成均匀分布随机数赋给r；

第7步：由r及公式确定T3模拟人达到时刻；

第8步：生成正态分布随机数T2模拟火车运行时间；

第9步：IF T1+T2>T3,count=count+1，END；

第10步：k=k+1；

第11步：执行第3步；

第12步：输出赶上火车频率p=count/n。

6模拟结果

命令行中输入以下语句：

sim_train

运行结果输出：

输入模拟次数：100

prob =

0.6302

此次运行结果显示赶上火车的近似概率为0.6左右。下面列表给出多次运行模拟程序的结果。

序号模拟次数近似概率p

1 1000 0.6280

2 1000 0.6920

3 1000 0.6530

4 5000 0.6490

5 5000 0.6260

6 5000 0.6288

7评价与改进方法

为了计算赶上火车的概率，本文采用了随机系统模拟的方法。如果能够从模型出发，对赶上火车的概率进行近似计算，然后与模拟结果进行对比，这样模拟会更有说明力。

8参考文献

[1] 司守奎,孙玺菁.数学建模算法与应用.北京:国防工业出版社.2011.

[2] 李桂成.计算方法.北京:电子工业出版社.2005.

[3] 杨启凡.数学建模.杭州:浙江大学出版社.2000.

9附录

%sim_train.m

total=input('输入模拟次数：');

count=0;

for i=1:total,

%模拟随机变量t1（火车从A站出发的时刻）

rt1=rand;

if rt1<0.7

T1=0;

else if rt1>=0.7 & rt1<0.9

T1=5;

else

T1=10;