华南师范大学电磁学习题课-磁场的源

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0 I ˆ ˆ ˆ B Bx i B y j 2 i R
由安培力公式可得轴线上导线单位 长度所受的力为
2 I f Il B IBˆ j 02 ˆ j R
y
• θ • • R ×I • • dθ • •• ••
dl • • • B •
0 I I 1l 方向向左 F1 B1 I1l 2a 0 I I 1l 方向向右 F2 B2 I 1l 2 (a b)
F1
I I1 a
l F2 b F4
由对称性可知，F3、F4大小相等、方向相反,叠加为零.
0 II 1lb 故矩形线圈受的磁力大小为 F F1 F2 2a(a b)
I
r
在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线 的磁通量为
dr
l
R 0 Ir ldr B dS 2 0 2R S
0 I l 4
9
8.19 如图所示，在长直电流近旁放一矩形线圈与其共 面，线圈各边分别平行和垂直于长直导线. 线圈长度 为l，宽为b，近边距长直导线距离为a，长直导线中通 有电流I. 当矩形线圈中通有电流I1时，它受的磁力的 大小和方向各如何？它又受到多大的磁力矩？ F3 解:(1)矩形线圈各边受力情况如图所示. 据安培力公式可得
0 I 0 I B2 (cos cos ) 4a 2 4a
方向垂直屏幕向外. 0 I 据磁场叠加原理可得 BP B1 B2 方向垂直屏幕向外.
4a
2
(2) 图(b)中各段电流在P点处产生的磁 场的方向都是垂直屏幕向内. 上面水平段电流在P点处产生的磁 感应强度可用课本P246公式(8.3)计算
•P
r2
l r3
I2
0 I BP 2 4.0 10 5 (T ) 2d / 2
方向垂直屏幕向外
5
(2) 由于对称性，两载流导线在图中 斜线所示面积产生的磁通量相同. I1在图中斜线所示面积产生的磁 通量，可作如下计算. 在图中斜线所示面积中取一面积元， r1 该面积元到I1的距离为r，宽度为dr,取 这面积元的正方向为向外. 那么， I1 在这面积元产生的磁通量大小为
又据并联电路的特点有 I 1 R1 I 2 R2
l2 I1 2 I2 1 O• C I
l1 AI
l1 l2 而 R1 ， R2 S S 由以上各式得 I1l1 I 2 l 2
因此
度为零.
B1 B2 由于B1和 B 2方向相反，所以环中心O处的磁感应强
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8.14 两块平行的大金属板上有均匀电流流通，面电流密 度都是j，但方向相反. 求板间和板外的磁场分布. 解：本题可利用已知场强公式和磁 j j 场叠加原理来解. • × 据课本p262公式(8.26)可得每块板的 电流在其两侧产生的磁感应强度大小 B1 B2 B1 B2 B1 B2 都是
dI
Id

• dθ • •• •• 图1
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它在半圆柱面轴线上产生的磁感应强度为
dI
Id
x
dl • • • • • θ dB • • R ×I • • dθ • •• ••
0 dI 0 Id 方向如图2所示 dB 2 2R 2 R
B y dBy 0
B
B1 B2
0 j
2
1
2
因此据磁场叠加原理可得 两板间的磁感应强度大小为 方向如图所示 两板外的磁感应强度大小为
B B1 B2 0 j
B B1 B2 0
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8.18 一塑料圆盘，半径为R，表面均匀分布电量 q. 试 证明：当它绕通过盘心而垂直于盘面的轴以角速度ω 转动时，盘心处的磁感应强度为
磁场的源 习题、例题分析
+
8.1 求下面各图中P点处的磁感应强度B的大小和方向.
I
I I a r P• r I I P• I
•
(c) (a) (b) 解:(1) (a)图中水平段电流在P点处不产生磁场，即 B1=0. 对于竖直段电流在P点处产生的磁感应强度可 用课本P246公式(8.3)计算.
P
a
I1 r
d
dr
r2
l r3
I2
0 I1 ldr d 1 B dS BdS 2r
r1 r2
积分可得I1在图中斜线所示面积产生的磁通量
1
r1
0 I 1 r1 r2 0 I1 6 1.1 10 (Wb ) ln ldr 2 r1 2r 6
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8.4 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，C两点，电流 方向如图所示. 求环中心O处的磁感应强度是多少？ 解：这是一个并联电路. 设两支路的 l1 AI l2 弧长分别为l1和l2，通过的电流分别 I1 2 I2 为I1和I2，又设环的半径为r. 1 O• C I 两根长直导线在环中心O处的磁场都 为零. I1在环中心O处的产生的磁感应强度大小为
I r P• r I I
0 I 0 I B1 (cos 0 cos ) 4r 2 4r
( b)
下面水平段电流在P点处产生的磁感应强度同样可 用课本P246公式(8.3)计算
0 I 0 I B2 (cos cos ) 4r 2 4r
0 I 1 B3 2r 2 4r
L
r
L
据安培环路定理得
r 2 0 2 I (r R) R B d r B 2 r = 0 I (r R) L 0 rI (r R) 2 2R 所以 B = 0 I (r R) 2r
8
B=
0 rI (r R) 2 2R 0 I (r R) 2r
0 q B 2R
证明:在圆盘中取一半径为r，宽度 dr 为dr的细圆环. 当这细圆环以ω的角速度绕通过盘心 且垂直于盘面的轴旋转时，其在盘心处 产生的磁感应强度大小为
q
r • R
O
dB
0 dI
2r

0 2rdr
2r T
0qdr 2R 2
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0qdr dB 2R 2
半圆形电流在P点处产生的磁感应强度可用课本 P248公式(8.8)按比例计算
0 I
3
直屏幕向内，故据磁场叠加原理可得P 点处的磁感应强度为
由于 B1 、 B 2、 B3 方向相同，都是垂
I r P• r I
0 I 0 I B p B1 B2 B3 2 4 r 4r 0 I 2 ( 1) 方向垂直屏幕向内 4r
y
由对称性可知，无限长半圆柱面上 电流在其轴线上的磁场必沿y轴,即有
图2
0 Id 又 dBx dB sin sin 2 2 R 0 I 0 Id sin d 2 所以 B x dBx 2 R 0 2 R I 0 ˆ By ˆ ˆ 于是 B B x i j 2 i R
I
( b)
I
(3) 由于对称性，(c)图中各段电流在P点处产 生的磁场的大小、方向都相同. 因为P点到各 边的距离都是 3
P• a
r
故
0 I 9 0 I 5 BP 3 (cos cos ) 4r 6 6 2a
4
6
a
(c)
方向垂直屏幕向内
8.5 两平行直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1 = I2 = 20A,如图所示. 求： (1) 两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁 感应强度； (2) 通过图中斜线所示面积的磁通量. (设r1=r3=10cm， l=25cm) d 解:(1)如图所示，设P点与该两导线 I1 等距离. 由于两载流导线在P点处产生的磁 场大小、方向都相同，故P点处的磁 r1 感应强度大小为
x
f
图3
(2) 如图4所示，将另一无限长直导线(通有 x 大小、方向与半圆柱面相同的电流I)代替 圆柱面，产生同样的作用力. 设该导线位 y I I × • 于y轴上，并与轴线上的导线相距为d. d 2 2 0 I 0 I 图4 R 令 2 解得 d
2d
R
2
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8.29 在一对平行圆形极板组成的电容器(电容为 C=1×10－12F)上，加上频率为50Hz，峰值为1.74 ×105V的交变电压，计算极板间的位移电流的最大值. 解：设极板的面积为S，面电荷密度 为σ,极板间的电场强度为E. S σ 则极板间的位移电流为
1 1.1 10 6 (Wb )
所以通过图中斜线所示面积的磁 通量为
I1 r r1
d
dr
r2
l r3
I2
21 2.2 10 6 (Wb )
讨论

r1 r2
有人作如下计算，是否正确？
r1
0 I 1 r1 r2 0 I1 ln 2 ldr 2 2 r1 2r
8.20 一无限长薄壁金属筒，沿轴线有均匀电流流通， 面电流密度为j(A/m). 求单位面积筒壁受的磁力的大小 Rd 和方向. dl r 解：在筒壁上取一宽为dl，长为dL的 dI 电流元dI，在与其相距为r的筒壁上 j dL 取另一宽为Rdθ的无限长的电流元dI´. dI 这一宽为Rdθ的无限长的电流元dI´ 在宽为dl，长为dL的电流元dI处产生的 Rd 磁感应强度为dB，且产生的磁力为dF， • • • •• dB • • dB， dF的方向如图所示. • dθ r
0 I 1l1 l1 B1 2r 2r 4r 2
0 I 2
0 I1
方向垂直屏幕向外
I2在环中心O处的产生的磁感应强度大小为
0 I 2l2 l2 B2 方向垂直屏幕向内 2 2r 2r 4r
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0 I 1l1 方向垂直屏幕向外 B1 2 4r 0 I 2l2 方向垂直屏幕向内 B2 4r 2
E de d dE Id 0 0 E dS 0 S dt dt S dt q CU 而 E 0 0S 0S
dU 于是 I d C 设 U U m cost dt 所以极板间的位移电流的最大值为
I d max CU m CU m 2 5.5 10 5 ( A)
7
2.2 10 6 (Wb )
8.15 无限长导体圆柱沿轴向通以电流I，截面上各处 电流密度均匀分布，柱半径为R. 求柱内外磁场分布. 在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？ 解：由于电流具有轴对称性，所以磁场分 I 布也具有轴对称性. 如图所示，选一环路L环绕圆柱.
那么有 B dr B 2r
• • • dF • dl • • • • • • ••
θ
0 j R dF ddldL 方向指向dI´ 2r
2
那么，电流元dI´使单位面积筒壁受 的磁力大小为 2 2 2 j R j 0 j R dF 0 0 d d df d dldL 2r 2 2 R sin 4 sin 2 2 由对称性可知，单位面积筒壁受的磁力的垂直半径 方向的分量为零，只有沿半径方向的分量.
积分可得

q
O
dr
R
r • R
0qdr B 2 0 2R
0 q 2Baidu NhomakorabeaR
20
0 dI 0 则有 dB jRd 2r 2r 2 0 j R 0 dF dI dL dB jdl dL ddldL jRd 2r 2r
0 II 1lb F F1 F2 2a(a b) F 的方向向左
由于各力与线圈共面，所以对线圈 无力矩作用.
F3
I I1 a b F4 l F2
F1
11
8.23 如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面 导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的 电流等值反向，电流I在半圆柱面上均匀分布. I (1) 试求轴线上导线单位长度所受的力； I (2) 若将另一无限长直导线(通有大小、方向 与半圆柱面相同的电流I)代替圆柱面，产生 同样的作用力，该导线应放在何处？ 解: (1)如图1所示，建立xoy坐标系，并在在 x 半圆柱面上取一弧长为dl=Rdθ的无限长电流 dl •• • • 元. • θ • • R ×I y 这一电流元的电流为 •