中考数学常考易错点4.4多边形与平行四边形

4.4多边形与平行四边形

易错清单

1.平行四边形的性质.

【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是().

A. AE=CF

B. BE=FD

C. BF=DE

D. ∠1=∠2

【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;

B. 当BE=FD,

∵平行四边形ABCD,

∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;

C. 当BF=ED,

∴BE=DF.

∵平行四边形ABCD,

∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;

D. 当∠1=∠2,

∵平行四边形ABCD,

∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误;

【答案】 A

【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.

2.平行四边形的判定.

【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.

(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;

(2)求证:BD=MN.

【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;

(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.

【答案】(1)∵ABCD是平行四边形,

∴AD=BC,AD∥BC.

∵M,N分别是AD,BC的中点,

∴MD=NC,MD∥NC.

∴四边形MNCD是平行四边形.

(2)如图,连接ND,

∵四边形MNCD是平行四边形,

∴MN=DC.

∵N是BC的中点,

∴BN=CN.

∵BC=2CD,∠C=60°,

∴△NCD是等边三角形.

∴ND=NC,∠DNC=60°.

∵∠DNC是△BND的外角,

∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.

∵DN=NC=NB,

【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.

名师点拨

1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.

2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.

名师点拨

1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.

2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.

提分策略

1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.

由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.

【例1】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:

(1)△ABE≌△CDF;

(2)四边形BFDE是平行四边形.

【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.

(2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.

【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠A=∠C,AB=CD.

在△ABE和△CDF中,

∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,

∴△ABE≌△CDF(SAS).

(2)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC.

∵AE=CF,

∴AD-AE=BC-CF,

即DE=BF.

∴四边形BFDE是平行四边形.

2.平行四边形的判定.

利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2014·甘肃白银)D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形.

【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平

行四边形证明即可;

【答案】∵D,E分别是AB,AC边的中点,

∴DE∥GF且DE=GF.

∴四边形DEFG是平行四边形.

3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.

(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.

【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是().

A. 正三角形

B. 正六边形

C. 正方形

D. 正五边形

【解析】 A. 正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;

B. 正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;

C. 正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;

D. 正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.

【答案】 D

(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.

【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是().

A. 正方形和正六边形

B. 正三角形和正方形

C. 正三角形和正六边形

D. 正三角形、正方形和正六边形