第5讲 最短路径问题

第5讲 最短路径问题

【情景引入】如图1，有一个圆柱，它的高等于12㎝，底面半径等于3㎝，在圆柱下面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处，需要爬行的最短路是多少？

知识点一：两点之间，线段最短

回顾七年级知识点：

⑴定理：

⑵水泵原理（对称）

【例1】一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对 的顶点B 处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A 点爬到B 点，有无数条线路，蜘蛛应该沿怎样的路线上去，所走的路程才最短？最短路程是多少？

⑵ 是求线段长度的主要方法 ⑶ 是证明两直线垂直的方法之一

【变式训练】如图为一棱长为3㎝的正方体，把所有面部分为9个小正方形，其边长都是1㎝，假设一只蚂蚁每秒爬行2㎝，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？

B

A 图1 A

B 3㎝ 8㎝

【变式训练】圆柱问题

如图，有一个圆柱，它的高为12㎝，底面半径等于3㎝。在圆柱下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3）

【变式训练3】圆锥问题

如图，沿OA 将圆锥侧面剪开，展开成平面图形是扇形OAB 。

⑴扇形的弧AB 的长与圆锥底面圆周的长是怎样的关系？点A 和点B 在圆锥的侧面上是怎样的位置关系？

⑵若角∠AOB ＝90°，则圆锥底面半径r 与扇形OAB 的半径R 之间有怎样的关系？

⑶若点A 在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位，则点A 运动的最短路程应该怎样设计？若5.02＝R ，且∠AOB ＝90°，求点A 运动的最短路程。

【例2】航海问题

如图，一艘轮船以16

海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行它们离开港口一个半小时后相距多远？

A B

【变式训练3】甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行。2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C 、B 两船相距40海里问乙船的速度是每小时多少海里？

【其他题型】

【例3】为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光。如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此正南方40米处再建一幢新楼。已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？（结果精确到1米。732.13≈，414.12≈）

【变式训练1】如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离是300m 和500m ，两村庄之间的距离为d （已知22400000m d ），现要在公路上建一汽车依靠站，使两村依靠站的距离之和最小。问最小是多少？

【变式训练2】如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有

B 、

C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通。经测得∠

ABC ＝45°，∠ACB ＝30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

【变式训练3】如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一中学，AP ＝160m 。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由，如果要受影响，已知拖拉机的速度是14㎞/h ，那么学校受影响的时间是多少秒？

B

H

知识点二：构造直角三角形用勾股定理解决问题

【例4】⊿ABC 中，AB ＝12，AC ＝5，BC ＝13，求⊿ABC 的面积为多少？

【变式训练】如图所示，在⊿ABC 中，∠A ＝45°，2＝AC ，13+＝AB ，求BC 的长。

【例5】在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠A ＝135°，22+＝BC ㎝，AD ＝2㎝，求四边形ABCD 的面积。

【变式训练】如图，在⊿ABC 中，D 是AB 的中点，若AC ＝5，BC ＝12，CD ＝6.5，求AB 的长。

【例6】在等腰直角三角形ABC 中，点P 是斜边AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），试探究22PB PA +与2PC 间的数量关系，并说明理由。

【变式训练】已知⊿ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A ，求证：

BC AB BC AB ⨯-＝22

B

A P