第5讲 最短路径问题
《最短路径问题》课件
查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路
程最短？
l1
∙B ∙A
l2
解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点B关于直线l2的对称
A′ C
点B′；
B ∙
l1
（3）连接A′B′，分别交直线
∙A D
l2
l1，l2于点C，D，连接AC，BD.
B′
所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点
A
B
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边
形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
M
线l1，l2的对称点A1，B1，连 接A1B1分别交直线l1，l2于点M， N，则点M，N即为所求.
B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.
随堂练习
1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B， 有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶 D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树 顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞 行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于 点E，则点E即为所求.
同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以
将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直
线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性
《最短路径问题》PPT课件教学
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
《最短路径问题》PPT课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
最短路径问题 ppt课件
B
A
●P
l
A’●
课课堂堂小小结结 巩固练习
两点之间，线段最短; 轴对称、线段的垂直平 ★思考：本题运用了 分线的性质、 转化思想、模型思.想
几何画板
上次更新: 2020年4月14日星期二
随堂练习二
中学数学复习——最短路径问题
最短路径问题 1. 架桥问题：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上 造
使得四边形MNEF的周长最小？如果存在，请在图中确定点M、N 随温堂故练而习知一新 的位置，若不存在，请说明理由。
温探故究而（知一新）二
随探堂究练（习二二） 探拓究展（探二索） 范中例考学链习接 课课堂堂小小结结 巩固练习
几何画板
F1
●
M●
●
N
x
● E1
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中学数学复习——最短路径问题
温探故究而（知一新）二
随探堂究练（习二二） 探拓究展（探二索） 范中例考学链习接 课课堂堂小小结结 巩固练习
几何画板
F1
●
M●
●
N
x
● E1
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中学数学复习——最短路径问题
课堂小结
最短路径问题
温温故故而而知知新新一
说说你的收获……
随温堂故练而习知一新 考察知识点：两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等；；
温故而知新一 随堂练习一
温探故究而（知一新）二 随探堂究练（习二二） 探拓究展（探二索）
在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一 所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短， 试确定候车亭P的位置。
A P
l
范中例考学链习接 课课堂堂小小结结
最短路径问题的求解PPT精选文档
.
3
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
.
2
最短路径问题的求解
二、 启发式搜索 在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开 的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答 案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
.
12
最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径） 例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两 城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
.
11
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
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图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
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第5讲 最短路径问题
【情景引入】如图1，有一个圆柱，它的高等于12㎝，底面半径等于3㎝，在圆柱下面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处，需要爬行的最短路是多少？
知识点一：两点之间，线段最短
回顾七年级知识点：
⑴定理：
⑵水泵原理（对称）
【例1】一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对 的顶点B 处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A 点爬到B 点，有无数条线路，蜘蛛应该沿怎样的路线上去，所走的路程才最短？最短路程是多少？
⑵ 是求线段长度的主要方法 ⑶ 是证明两直线垂直的方法之一
【变式训练】如图为一棱长为3㎝的正方体，把所有面部分为9个小正方形，其边长都是1㎝，假设一只蚂蚁每秒爬行2㎝，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？
B
A 图1 A
B 3㎝ 8㎝
【变式训练】圆柱问题
如图，有一个圆柱，它的高为12㎝，底面半径等于3㎝。
在圆柱下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3）
【变式训练3】圆锥问题
如图，沿OA 将圆锥侧面剪开，展开成平面图形是扇形OAB 。
⑴扇形的弧AB 的长与圆锥底面圆周的长是怎样的关系？点A 和点B 在圆锥的侧面上是怎样的位置关系？
⑵若角∠AOB ＝90°，则圆锥底面半径r 与扇形OAB 的半径R 之间有怎样的关系？
⑶若点A 在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位，则点A 运动的最短路程应该怎样设计？若5.02＝R ，且∠AOB ＝90°，求点A 运动的最短路程。
【例2】航海问题
如图，一艘轮船以16
海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行它们离开港口一个半小时后相距多远？
A B
【变式训练3】甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行。
2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C 、B 两船相距40海里问乙船的速度是每小时多少海里？
【其他题型】
【例3】为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光。
如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此正南方40米处再建一幢新楼。
已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？（结果精确到1米。
732.13≈，414.12≈）
【变式训练1】如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离是300m 和500m ，两村庄之间的距离为d （已知22400000m d ），现要在公路上建一汽车依靠站，使两村依靠站的距离之和最小。
问最小是多少？
【变式训练2】如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有
B 、
C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通。
经测得∠
ABC ＝45°，∠ACB ＝30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
【变式训练3】如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一中学，AP ＝160m 。
假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由，如果要受影响，已知拖拉机的速度是14㎞/h ，那么学校受影响的时间是多少秒？
B
H
知识点二：构造直角三角形用勾股定理解决问题
【例4】⊿ABC 中，AB ＝12，AC ＝5，BC ＝13，求⊿ABC 的面积为多少？
【变式训练】如图所示，在⊿ABC 中，∠A ＝45°，2＝AC ，13+＝AB ，求BC 的长。
【例5】在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠A ＝135°，22+＝BC ㎝，AD ＝2㎝，求四边形ABCD 的面积。
【变式训练】如图，在⊿ABC 中，D 是AB 的中点，若AC ＝5，BC ＝12，CD ＝6.5，求AB 的长。
【例6】在等腰直角三角形ABC 中，点P 是斜边AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），试探究22PB PA +与2PC 间的数量关系，并说明理由。
【变式训练】已知⊿ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A ，求证：
BC AB BC AB ⨯-＝22
B
A P。