点线面之间的关系

点线面之间的关系

一．选择题（共8小题）

1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）

A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC

2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）

A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB

C．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角

3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥β

C．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；

D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．

5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）

A．B．C．

D．

二．填空题（共4小题）

9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是．

10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为边CC1、B1C1的中点，点G、H分别在AA1、D1A1上，且满足AA1=3AG，D1H=2HA1，则异面直线EF、GH所成角的余弦值为．

11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二

面角等于°．

12．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．

三．解答题（共6小题）

13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．

求证：（1）CD⊥PD；

（2）平面EFG∥平面PAD．

14．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．

15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，M是AA1上一点，且AM=tAA1．

（1）求证：BC1∥平面A1CD；

（2）若3AB=2AA1，当t为何值时，B1M⊥平面A1CD？

17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．

（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；

（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．

18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点

（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C （Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．

点线面之间的关系

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）

A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC

【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，

∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，

∴A1B1⊥BC1，

∵A1B1∩B1C=B1，

∴BC1⊥平面A1ECB1，

∵A1E⊂平面A1ECB1，

∴A1E⊥BC1．

故选：C．

法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，

则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），

=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），

=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），

∵•=﹣2，=2，=0，=6，

∴A1E⊥BC1．

故选：C．

2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）

A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB

C．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角

【解答】解：由题意画出如下图形：

A．因为AD∥A1D1，

所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而

，所以C错；

D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正确．

故选：D．

3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥β

C．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

【解答】解：A中，b可能在α内；

B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交（不垂直）；

C中，a可能在α内；

D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β．

故选：D．

4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）