数值分析正交多项式
数值分析(第四版)课后习题及答案
0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j
j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk
x0
数值分析学习课件
§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。
数值分析(04)内积空间
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关 为 若 , 线 性 无 关则k R, .因 , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立 盾. ,矛
数值分析
数值分析
在不同的空间中 , Cauchy Schwarz不 等 式 有 不同的表达形式 .
x T Ax
i , j 1
xa
i
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A
x T Ax
aii xi2
i 1
n
数值分析
数值分析
( 3) f ( x ) C[a , b],
f f ( x ), f ( x ) f ( x ) dx 称 f 为[a , b]上连续函数f ( x )的内积范数。
数值分析
数值分析
前述三种空间关系
线性空间
(,)
内积 空间
|| ||
赋范线性空间
(,) || ||
1 2
数值分析
数值分析
三、内积空间中的正交系
定理1 若1 , 2 , , r是一组两两正交的非零向量, 则1 , 2 , , r 线性无关.
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
证明 : 任取实数k , 考虑内积 ( k , k ) ( , ) 2k ( , ) k 2 ( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k ( k R, 非 零), 显 然 定 理 中 等 号 成 立 之, 如 果 等 号 ;反
数值微积分---chap正交多项式定理证明
假设 n ( x)在(a, b)中只有l个根(l n), x1 , x2 ,..., xl
2 2 2 则 n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl ) = ( x)( x x1 ) ( x x2 ) ( x xl )
k 0 n
的节点xk : a x0 x1 xn b是Gauss点的充分必要条件是 : 它们是区间(a, b)上以 ( x)为权的正交多项式n 1 ( x)的n 1个根
School of mathematics and statistics
第4章 数值微积分
4.4 Gauss型求积公式与正交多项式
School of mathematics and statistics
一般地, ( k 1 , k ) (( x k ) k k k 1 , k )
__ __ __
__
__
__
__
__
(( x k ) k , k ) ( k k 1 , k ) 0 由此函数系的正交性:( k 1 , k ) 0 因此(( x k ) k , k ) 0 ,即( x k , k ) k ( k , k )
__
__
由于( x x1 ) ( x x2 )( x xl )有次数低于n次
则由正交性 ( x) n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl )=0
a
b
__
由 ( x)在(a, b)上不变号
b
a
( x) ( x)( x x1 )2 ( x x2 )2 ( x xl )2 0
jacobi正交多项式的一些性质
jacobi正交多项式的一些性质Jacobi正交多项式是一类重要的正交多项式，它们在数值分析、积分计算、物理学、金融学等领域有着广泛的应用。
Jacobi正交多项式的一些性质如下：1、Jacobi正交多项式是一类完全正交的多项式，它们满足Jacobi正交性质：$$\int_{-1}^{1}P_n^{(\alpha,\beta)}(x)P_m^{(\alpha,\beta)}(x)w(x)dx=0,\quad n\neq m$$其中$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$是Jacobi正交多项式，$w(x)$是Jacobi权函数。
2、Jacobi正交多项式的系数可以用递推公式求得：$$a_n=\frac{2n+\alpha+\beta+1}{2(n+\alpha+\beta+1)}a_{n-1}$$其中$a_n$是Jacobi正交多项式的系数，$\alpha$和$\beta$是Jacobi权函数的参数。
3、Jacobi正交多项式的零点可以用递推公式求得：$$x_n=\frac{-b_n+\sqrt{b_n^2-4a_nc_n}}{2a_n}$$其中$x_n$是Jacobi正交多项式的零点，$a_n$、$b_n$和$c_n$是Jacobi正交多项式的系数。
4、Jacobi正交多项式的最大值可以用递推公式求得：$$M_n=\frac{2n+\alpha+\beta+1}{2(n+\alpha+\beta+1)}M_{n-1}$$其中$M_n$是Jacobi正交多项式的最大值，$\alpha$和$\beta$是Jacobi权函数的参数。
以上就是Jacobi正交多项式的一些性质，它们在数值分析、积分计算、物理学、金融学等领域有着广泛的应用，为科学研究和工程应用提供了重要的理论支持。
3.2 正交多项式
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)
(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m
2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。
正交多项式模型
正交多项式模型正交多项式模型一、引言正交多项式模型是统计学中一个重要的概念，主要用于回归分析和时间序列分析等。
它利用正交性，将高维问题转化为低维问题，从而简化计算和建模过程。
本文将介绍正交多项式模型的基本概念、应用和实现方法。
二、正交多项式模型的基本概念正交多项式是一种特殊的多项式，它的各个项之间是正交的，即各项的系数互为相反数。
这种特性使得正交多项式在统计学中有广泛的应用。
正交多项式模型是指利用正交多项式来拟合数据的一类模型，具有简洁、高效和易于解释等特点。
三、正交多项式模型的应用时间序列分析：在时间序列分析中，很多数据的趋势和季节性因素可以用正交多项式来描述。
例如，使用正交多项式模型可以有效地提取时间序列中的长期趋势、季节性和周期性变化。
回归分析：在回归分析中，正交多项式模型可以用来处理自变量和因变量之间的关系，特别是当自变量之间存在多重共线性时，使用正交多项式模型可以有效地消除这种影响。
数据降维：由于正交多项式具有将高维问题转化为低维问题的特性，因此可以用于数据降维。
通过选择合适的正交多项式，可以将高维数据投影到低维空间，从而降低计算复杂度和提高可视化效果。
四、正交多项式模型的实现方法选择合适的正交多项式：根据数据的特性和问题要求，选择合适的正交多项式类型，如Legendre多项式、Chebyshev多项式等。
拟合模型：利用选定的正交多项式对数据进行拟合，通过最小二乘法或其他优化算法求解系数，得到最佳拟合模型。
预测与评估：利用拟合得到的模型进行预测，并对预测结果进行评估和比较，选择最优的模型。
五、结论正交多项式模型是一种高效、简洁和易于解释的统计模型，在回归分析、时间序列分析和数据降维等方面有广泛的应用。
通过选择合适的正交多项式类型，可以有效地提取数据中的特征和规律，为实际问题的解决提供有力支持。
未来的研究可以进一步探讨正交多项式模型的优化算法和应用领域，为更多领域的数据分析和处理提供新的思路和方法。
数值分析引论 易大义Ch3.2
， k 1
( k , k ) ( k 1 , k 1 )
且于 [ a , b ]带权函数
( x )为正交多项式组
n { k ( x )} k 0 ,（ k ( x )为首项系数
为 1的 k 次多项式） 是唯一的。
定理5 设 { k }为 [ a , b ]上带权 ( x )的正交多项式序列 式 n ( x ) 在[a,b]内恰好有n个不同的实根. 说明：用反证法利用定理3即得证. 应用：求最佳一致逼近多项式.
i0
i n 0 生成（张成）的集合. 为由 i 结论 （1 Span 0 , , n an
a i i ( x ), a i 为实数
1, x ， , x 是
n n
Span
0 , , n 的特例
（2 P ( x ) H n 为任一次数 ）
n 多项式，则
（ P , ） i
①
{ 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x )} 于 [ a ， b ] 线性无关；
n
② P(x) 证明： ①
c i i ( x )
，其中
i0
ci ( i 0 ,1 , , n ) （ i , ） i
2 n ! dx
( 2 .8 )
（1） Pn ( x ) 的首项系数 a n
则有 d dx
2n 2n
1
n
( 2 n )!
2 n! n!
，若令 ( x ) ( x 2 1 ) n ，
( x ) ( 2 n )!.
事实上， ( x )
(n)
2 nx
2n1
数值分析第8讲正交多项式 56页PPT文档
b
(k,Q k1)a (x)kQ k1d x0
(k1,2,...)
特 别 Q k 1(x )取 j(x )： (k,j)a b(x )k(x )j(x )d x 0 (j1 ,2 ,.k . .1 )
又 (k ,k ) 2 k ( x ) 0 a b( x )2 k ( x ) d 0 x
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
Heut-lcf163
内积空间常用的范数为： u (u,u)
C[a, b]上的内积定义为：
b
(f(x )g ,(x ) ) a (x )f(x )g (x )dx
范数定义为：
f(x)
(
b
1
f2(x)dx)2
Heut-lcf163
定理3 Gram矩阵
设X为一内积空间，u1 , u2 ,...un X ,
(u1 , u1 ) (u1 , u2 ) ... (u1 , un )
G
(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
2
a
Heut-lcf163
内积空间的重要结论 定理2 Cauchy-Schwarz不等式
设X是一内积空间 u,v,， X对 ,有 (u,v)2 (u,u)(v,v)
特别地
( x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ) 2 ( x 1 2 x 2 2 x 3 2 )y 1 2 y 2 2 y 3 2
于 是 得x首 n的项 系an数 2(n2(nn!))!2 .显 然 最 高 项1 系 的勒让德多项式为
数值分析第3章
20
定义了内积的线性空间称为内积空间. 定义中（1）的右端 (u称, v为) 的(u共,轭v)， 当K为实数域R时 (u, v) .(v, u) 如果 (u, v，) 则 称0 与 正交u ，这v 是向量相互垂 直概念的推广.
b a
f
2
(
x)dx
2
33
若 0 ,1,,n是 C[a, b]中的线性无关函数族，记 span{0 ,1,,n}, 它的格拉姆矩阵为
G G(0 ,1,,n )
(0 ,0 ) (0 ,1) (0 ,n )
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(1
,
n
)
(n ,0 )
(n ,1 )
(
n
,
n
)
（1.17）
Hn span{1, x,, xn},
且 (a0 , a1,, an ) 是 p(x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
8
对连续函数 f (x) C[a,b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a,b]是无限维的，但它的任一元素 f (x) 均可用有限维的 p(x) Hn逼近，使误差
与数的乘法构成实数域上的线性空间， 记作 R n，称为 n维
向量空间.
4
对次数不超过 n( n为正整数)的实系数多项式全体，
按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域
R上一个线性空间，用
H
表示，称为多项式空间.
n
所有定义在 [a,b] 上的连续函数集合，按函数加法和
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
数值分析公式大全
数值分析，第一章1， 相对误差和绝对误差e*= x*-x;e r *=(x ∗−x)x ⁄估计值(x ∗−x)x ∗⁄ 2， 误差限和相对误差限 ε*≥|x ∗−x |εr *=ε∗|x ∗|⁄3， 有效数字官方定义：若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零有效数字共有n 位，就说x *有n 位有效数字。
表示为：x *=±10m ×（a 1+a 2×10-1+a 3×10-2+…+a n ×10-（n-1））=±a 1. a 2a 3…a n 。
其中a i 为0至9中之一，a 1不为0，m ，n 都是整数。
公式：ε*=|x −x ∗|≤12×10m−n+1相对误差限公式x *具有n 为有效数字，εr *≤12a1×10-（n-1）。
若εr *≤12（a1+1）×10-（n-1），则x *至少具有n 为有效数字。
4， 病态问题的条件数，相对误差比值x 的扰动Δx=x-x*，误差为Δx x，函数值f （x*）的相对误差= f （x ）−f （x∗）f （x ）相对误差比值为：|f （x ）−f （x∗）f （x ）|/|Δx x|≈|xf ‘（x ）f （x ）|=Cp （也称为条件数）第二章：插值法 1， 多项式插值P （x ）为n 阶多项式，P （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，a i 为实数。
解法：a 解方程组：Aa=y ，其中A=[1x 0⋯x 0n1x 1⋯x 1n ⋮1⋮x n ⋱⋯⋮x nn ]，a=[a 0a 1⋮a n ]，y=[y 0y 1⋮y n] 2， 拉格朗日插值【1】 线性插值L1=y k l k +y k+1l k+1插值基函数l k =x−x k+1xk −x k+1，l k+1=x−x kxk+1−x k【2】 抛物线插值L2=y k l k +y k+1l k+1+y k+2l k+2插值基函数l k =(x−x k+1)(x−x k+2)(xk −x k+1)(x k −x k+2)，l k+1=(x−x k )(x−x k+2)(x k+1−x k )(x k+1−x k+2)，l k+2=(x−x k )(x−x k+1)(x k+2−x k )(x k+2−x k+1)【3】 N 次插值多项式（通解）Ln=y 0l 0+y 1l 1+y 2l 2+…+y n l nl k =(x−x 0)…(x−x k−1)(x−x k+1)…(x−x n )(xk −x 0)…(x k −x k−1)(x k −x k+1)…(x k −x n )设ωn+1（x ）=(x −x 0)…(x −x k−1)(x −x k+1)…(x −x n )有ω`n+1（x k ）=(x k −x 0)…(x k −x k−1)(x k −x k+1)…(x k −x n ) 有Ln （x ）=∑y kωn+1（x ）(x−x k )ω′n+1（x k ）n k=0余项公式N 次插值多项式的余项形式 R n =f （x ）-Ln （x ）=f (n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1（x ）=K(x) ωn+1（x ）, ξ∈(a,b)ξ的位置未知，但有截断误差限： |R n (x)|≤M n+1(n+1)!|ωn+1(x)|,M n+1=max a≤x≤b|f (n+1)(x)| 3， 均差（差商）一阶均差；f[x 0，x k ]=f (x k )−f(x 0)x k −x 0二阶均差：f[x 0,，x1，x k ]=f[x 0，x 1]−f[x 0，x k ]x k −x 1高阶均差：f[x 0,，x1，…，x k ]=f[x 0，x 1，…，x k−1]−f[x 0，…，x k−2，x k ]x k −x k−1性质：1，k 阶均差可表示为函数值f （x 0），f （x 1），…，f （x n ）的线性组合2，对称性，与节点次序无关 3，【前后项】f[x 0,，x1，…，x k ]=f[x 1，…，x k ]−f[x 0，…，x k−1]x k −x 04，※n 阶均差与导数的关系：f[x 0,，x1，…，x k ]=f (n )(ξ)n!，ξ∈[a ，b]。
数值计算方法_正交多项式
数值计算方法_正交多项式正交多项式是数学中的一类特殊的多项式函数。
这些多项式函数在一定的定义域上满足正交性的性质，即在一定的权函数下，两个不同的正交多项式的内积为0。
正交多项式在数学分析、数值计算和物理学等领域中有着广泛的应用和重要的作用。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
它们各自的定义域、权函数和正交性条件不同，因此在不同的问题中可以选择不同的正交多项式来进行数值计算和求解。
以勒让德多项式为例，其定义域为闭区间[-1,1]，权函数为常数函数1、勒让德多项式满足以下正交性条件：∫[-1, 1] P_n(x) P_m(x) dx = 0 (n ≠ m)其中P_n(x)表示勒让德多项式的n次多项式。
这意味着在权函数为常数函数1的条件下，两个不同次数的勒让德多项式在[-1,1]上的内积为0，即满足正交性的性质。
正交多项式的正交性给数值计算带来了很大的便利。
通过使用正交多项式可以将一些数学问题转化为多项式的相关计算，进而简化问题的求解过程。
例如，利用正交多项式可以将函数在一定区间上的积分转化为多项式系数的线性组合，从而通过计算多项式系数来估计函数的积分值。
在实际的数值计算中，正交多项式也可以用于数据拟合、插值、逼近等问题。
在确定了问题的定义域、权函数和正交性条件之后，可以通过计算相关的正交多项式系数来求解问题的数值解。
同时，正交多项式的性质还可以用于数值解的稳定性分析和误差估计，提高数值计算的精度和效率。
总之，正交多项式是数值计算中一类重要的数学工具。
通过合理选择不同的正交多项式，可以简化问题的求解过程，并得到更加准确和稳定的数值解。
因此，正交多项式在数值计算中具有广泛的应用前景。
新编文档数值分析第8讲正交多项式精品文档PPT课件
G
(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
(un , un )
G非奇 异 u1,u2,.u .n.线性无关
Heut-lcf163
第2节 正交多项式
Heut-lcf163
一、正交多项式的概念
定义 若f(x)，g(x)C0a,b，(x)为a,b上的权函
HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
heut-liucf163 heut08yjs163
第三章 函数逼近
函数逼近
1
函数逼近的基本概念
正交多项式的基本概念
正交函数系的性质
正交多项式的构造
函数的最佳平方逼近
Heut-lcf163
第1节 函数逼近的基本概念
Heut-lcf163
函数逼近
则｛S, •｝称为赋范线性空间。 内积与内积空间 N维数量空间内积
(x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 . .x .n y n (x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3
Heut-lcf163
推而广之 设 X是数 K域 (或 RC）上的线性 u空 ,v间 X, ， 有 K中一个数与为 之(u对 ,v)它 ,应满 ，足 记以下
（ 1） (u,v)(v,u)
(2)(u,v)(u,v) (3)(uv,w)(u,w)(v,w) u,v,wX,K
(4)(u,v)0,当 且 仅 u0当 时(u， ,u)＝ 0
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
Heut-lcf163
laguerre正交多项式
laguerre正交多项式摘要：1.引言guerre正交多项式的定义guerre正交多项式的性质guerre正交多项式的应用5.总结正文：1.引言Laguerre正交多项式是一类在数学和物理学中具有重要应用的正交多项式。
它们以法国数学家Charles Hermite的名字命名，并由Laguerre在研究一些特殊问题时独立发现。
本文将介绍Laguerre正交多项式的定义、性质以及应用。
guerre正交多项式的定义Laguerre正交多项式是一类形如：$$L_n^m(x) = sum_{k=0}^{n} binom{n+m-k-1}{n-k} x^k$$其中，$n$和$m$为非负整数，$binom{n+m-k-1}{n-k}$为组合数。
这些多项式在$x=1$时归一化，即$lim_{xto 1} L_n^m(x) = 1$。
guerre正交多项式的性质Laguerre正交多项式具有以下几个重要性质：(1) 递归关系：$$L_n^m(x) = frac{1}{n!} frac{d^n}{dx^n} [x^m e^{-x}]$$(2) 正交关系：$$int_0^infty L_n^m(x) L_k^m(x) e^{-x} dx = delta_{n,k}$$其中，$delta_{n,k}$为克罗内克（Kronecker）符号，当$n=k$时为1，当$neq k$时为0。
(3) 幂级数展开：对于任意非负整数$m$，Laguerre正交多项式可以展开为幂级数：$$L_n^m(x) = sum_{k=0}^{n} binom{n+m-k-1}{n-k} frac{(-1)^k}{k!}x^{m+k}$$guerre正交多项式的应用Laguerre正交多项式在数学和物理学中具有广泛应用，例如：(1) 量子力学：Laguerre正交多项式可以用于描述量子力学中的简并态和纠缠态，以及量子化学中的分子轨道。
(2) 数值分析：Laguerre正交多项式可以用于构建高效的数值积分方法，例如Gauss-Laguerre积分方法。
数值分析正交多项式
数值分析正交多项式数值分析是数学的一门分支，研究数值计算的方法和算法，并通过数学模型和近似计算方法对实际问题进行数值求解。
在实际科学计算中，往往会涉及到函数的近似、方程的求解、积分和微分等问题，数值分析的研究便是对这些问题进行建模和求解的过程。
在数值分析中，正交多项式是一类重要的函数族，其在数值逼近、插值、积分等问题中具有重要的应用。
正交多项式是指在一些特定的区间上，相互之间满足其中一种正交条件的多项式函数。
这些多项式函数一般具有良好的数学性质，如稳定性、收敛性、插值性质等，能够用于解决连续函数逼近、曲线拟合、数值积分等问题。
常见的正交多项式有勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
下面简要介绍一下这些常见的正交多项式。
1. 勒让德多项式：勒让德多项式是最早被研究的正交多项式，其形式为Pn(x)=An(x)xn+An-1(x)xn-1+...+A1(x)x+A0(x)，其中An(x)为系数函数，满足勒让德多项式的正交性质：∫Pm(x)Pn(x)dx=0 (m≠n)。
勒让德多项式在数值计算中广泛应用于多项式插值和函数逼近等问题。
2.拉盖尔多项式：拉盖尔多项式是一类特殊的勒让德多项式，定义在区间[0,+∞)，其形式为L(x)=e^(-x)x^n/n!，其中n为非负整数。
拉盖尔多项式在物理学中的量子力学和热力学等问题中有重要应用。
3. 埃尔米特多项式：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式，其形式为Hn(x)=(-1)^ne^(x^2)d^n(e^(-x^2))/dx^n，满足埃尔米特多项式的正交性质：∫Hm(x)Hn(x)e^(-x^2)dx=0 (m≠n)。
埃尔米特多项式在量子力学和量子力学等领域的波函数展开中有广泛应用。
4. 切比雪夫多项式：切比雪夫多项式是在区间[-1,1]上的正交多项式，其形式为Tn(x)=cos(n·arccos(x))，满足切比雪夫多项式的正交性质：∫Tm(x)Tn(x)(1-x^2)^(-1/2)dx=0 (m≠n)。
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似 解与精确解之间的误差。
近似值的误差：（.为准确值）：e*-x*-x近似值的误差限一： 1疋近似值相对误差（较小时约等）近似值相对误差限 ：函数值的误差限 :苗⑺“ Ifool 叱）近似值；一士心:化叙…®）"八■有n 位有效数字:第二章：插值法P (对J =0.1/*%?] Oo + %呵+…+偽！曙=九 % +如股+…+ %!珥=Y1 % +舸斗1 +…+ %坊=儿 2•拉格朗日插值 (x- x k )6J n+1(x k ) .次插值基函数: (X- x)-(x-x fc -i)(x-曲十 1)…a — X JJ ) (Xk - X 0)-(X k - X k_i) (x k - x k¥1)-(x k - X…)1•多项式插值其中:P(x) = a()+ OjX + …+ a n ^I>k — O.L —.n = _xl(r -n+l引入记号:^n+l(X)={X-Xo)(A?-粗)…(#- Xj余项：=f(x} - SG)=:;:;詁+W > 5 e 3：3•牛顿插值多项式： ^nW = /（^0）+f 必珀（"叼）+・”+/■［和巧严如（龙-坯”心-*_』〔阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边） ：店”“皿］丿杯Fmr gd余项:4•牛顿前插公式（令心'小，计算点值，不是多项式）：PQ +t h ）=/o +帧 + 忖A 讥 + - + 心1）：：*%°〔阶差分：AVo = A n "7i -余项：严（和E 3J5•泰勒插值多项式:•阶重节点的均差:6.埃尔米特三次插值：p （x ） -f （^X Q ）十打和尤』仗—如+f 1叼公1也］（JC-衍）（工一 Xi ） +人（尤-叼）（黑-衍）o — x 2）其中，A 的标定为：咋沪f （社）7.分段线性插值:第三章：函数逼近与快速傅里叶变换p n (x) = 7(X Q ) + f(x Q )(x -和)+ “•+警(U血屯“匈1.-:-属于’.维空间：5(玄)=。
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第八章 矩阵特征值计算 1.格什戈林圆盘：以 为圆心，以 为半径的所有圆盘
2. 的每个特征值必属于某个圆盘之中：
3. 有 个圆盘组成一个连通的并集 ， 与和余下 的 个特征值。 4.幂法：
设 的特征值满足条件： 任取非零向量 ，构造向量序列， 假设：
个圆盘是分离的，则 内恰包含
第七章 非线性方程与方程组的数值解法 1.二分法：1）计算 在有根区间 的端值 ,
2）计算区间中点值
3）判断 2.不动点迭代法：
或者
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3.不动点迭代法收敛：
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4. 在 上存在不动点 ：（压缩映射）
5. 不动点迭代法收敛性：满足上条，则不动点迭代法收敛，误差为：
7.复合求积公式：
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复合梯形公式： 复合辛普森公式：
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8.高斯求积公式（求待定参数 和 ）： （1）求高斯点（ ）：令
与任何次数不超过 的多项
式 带权 正交，即则 。
，由 个方程求出高斯点
（2）求待定参数 ： 9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为 式的高斯点。
数值分析-第五版-考 试总结
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第一章：数值分析与科学计算引论 截断误差：近似解与精确解之间的误差。 近似值的误差 （ 为准确值）：
近似值的误差限 ：
近似值相对误差 （ 较小时约等）：
近似值相对误差限 ：
函数值的误差限 近似值
： 有 n 位有效数字：
1.多项式插值 其中：
第二章：插值法
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第三章：函数逼近与快速傅里叶变换 1. 属于 维空间 ：
radau多项式
radau多项式摘要：I.引言- 介绍Radau 多项式- 阐述其在数值分析中的应用II.Radau 多项式的定义和性质- Radau 多项式的定义- 重要的Radau 多项式性质III.Radau 多项式在数值分析中的应用- 求解常微分方程- 插值和拟合- 数值积分IV.Radau 多项式的优缺点- 优点- 缺点V.结论- 总结Radau 多项式的重要性和应用- 展望Radau 多项式在数值分析中的未来研究正文：I.引言Radau 多项式是一类在数值分析中具有重要应用的多项式。
本文将介绍Radau 多项式的定义和性质，以及在数值分析中的应用。
II.Radau 多项式的定义和性质Radau 多项式是由德国数学家Hermann Minkowski 在1904 年提出的一类正交多项式。
Radau 多项式的定义如下：设实数a 和b，Radau 多项式P_n(x) 是关于x 的正交多项式，满足以下条件：1.P_n(a) = 12.P_n(b) = 03.∫[a, b] P_n(x) dx = 0 (n≠0)Radau 多项式具有以下重要的性质：1.递归关系：P_n(x) = (x - a) P_{n-1}(x) - n P_{n-2}(x) (n ≥ 2)2.边界条件：P_n(a) = 1，P_n(b) = 03.线性无关：Radau 多项式在[a, b] 上线性无关III.Radau 多项式在数值分析中的应用Radau 多项式在数值分析中有广泛的应用，包括：1.求解常微分方程：Radau 多项式可以用于求解常微分方程，例如，在Radau 方法中，使用Radau 多项式作为基函数，可以有效地求解一阶和二阶常微分方程。
2.插值和拟合：由于Radau 多项式在[a, b] 上线性无关，因此可以用于插值和拟合问题。
例如，在Radau 插值法中，使用Radau 多项式作为基函数，可以实现高精度的插值和拟合。
3.数值积分：Radau 多项式可以用于数值积分，例如，在Radau 求和法中，使用Radau 多项式作为基函数，可以实现高精度的数值积分。
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(2)Qn( x) Hn均可表为p0( x), p1( x), , pn( x)的线性组合. (3)当k j时，( p j , pk ) 0,且pk ( x)与任一次数小于k的多
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1, , (2.4)
(i
(
x
),
k
(
x))
0, Ak
,
i
k, ik
,
(i,k 0,1,2, )
(2.2)
则称函数族{n( x)}为[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族 .
特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为标准正交函数族 .
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
(2.10)
切比雪夫多项式的性质: (1) 递推关系
TTn0(1x( x)
1, )2
T1( xTn (
x) x)
x, Tn1(
x
).
Tn( x)的最高次幂xn的系数为2n1,(n 1).
事实上，只需由
(2.11)
cos(n 1) 2cos cos n cos(n 1) , n 1.
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
设在[a,b]给定函数族0( x),1( x), ,n( x), , 且满足
代入 x cos , 即得递推关系式.
(2) 正交性
0, m n,
11
1
1
x
2Tm
(
x)Tn
(
x
)dx
/
2, ,
m n 0, m n 0.
(2.12)
(3) 奇偶性 Tn( x)当n为奇数时为奇函数，且只含x的奇次幂; 当n为偶数时为偶函数，且只含x的偶次幂.
(4) Tn( x)在[1,1]上有n个不同的零点
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
1)m
]
dn1 dx n 1
[(
x
2
1)n
]dx
(1)m
1 2mn m!n!
xk
cos (2k 1)
2n
,
(k
1,2,
, n)
（5）Tn (x)的首项 xn的系数为2n1(n 1, 2,L ).
x)
2n 1 n1
xPn (
P1( x) x,
x)
n
n
1
Pn1(
x),
(n
1,2,
)
(2.9)
可得
P2( x)
1 (3 x2 2
1),
P3( x)
1 (5 x3 2
3 x ),
三、切比雪夫多项式
区间为[1,1],权函数为( x) 1 ，序列{1, x, xn, }
1 x2
正交化所得正交多项式称为n次切比雪夫多项式.
可表为
Tn( x) cos(narccos x), (1 x 1,n 0,1,2, )
若令x cos，则Tn( x) cos(n ),0 .
T0( x) cos(0) 1, T1( x) cos(arccos x) x, T2( x) cos(2arccos x) 2x2 1, T3( x) 4x3 3x,
二、勒让德多项式
区间[1,1]上带权( x) 1的正交多项式
Pn( x)
Байду номын сангаас
1 2n
n!
dn dxn
[( x 2
1)n ],
(n 0,1,2, )
称为n次 Legendre多项式 .
其首项系数an
2n (2n 1) 2n n!
(n
1)
(2n)! 2n ( n! )2
.
首项系数为1的勒让德多项式为
11
d2m dx 2m
[(
x2
1)m
]ddxnnmm
[(
x2
1)n ]dx
(1)m
(2m)! 2mn m!
n!
dnm1 dx n m 1
[(
x2
1)n
1
]
1
0.
(ii)当m n时.
11
Pn2 (
x)dx
(1)n
(2n)! 22n ( n! )2
11(
x2
1)ndx
x s in t
(2n)! (2n n!)2
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x,L xn,L }利用逐个
正交化手续立得正交多项式序列:
p0( x) 0,
pn( x)
xn
n1( xn,
j0 ( pj,
p p
j j
) )
p
j
,
n 1,2, .
(2.3)
性质：
注意：这些多项
(1) pn( x)的首项系数为1.
式是线性无关的
其中 p0( x) 1，p1( x) 0，
n ( xpn, pn ) /( pn, pn ), n ( pn , pn ) /( pn1, pn1)，n 1,2, ,
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;
P~n (
x)
n! (2n)!
dn dxn
[(
x2
1)n
],
(n 0,1,2, )
(2.5) (2.6)
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (
x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
/
2 /2
cos2n1
tdt
(2n)! (2n n!)2
2 (2n)(2n 2) (2n 1)(2n 1)
2 3
2. 2n 1
(2) 奇偶性
Pn( x) (1)n Pn( x). (3) Pn( x)在(1,1)内部有n个互异的实零点. (4) 递推关系
(2.8)
Pn1(
P0( x) 1,