数值分析正交多项式

( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
1)m
]
dn1 dx n 1
[(
x
2
1)n
]dx
(1)m
1 2mn m!n!
其中 p0( x) 1，p1( x) 0，
n ( xpn, pn ) /( pn, pn ), n ( pn , pn ) /( pn1, pn1)，n 1,2, ,
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;
二、勒让德多项式
区间[1,1]上带权( x) 1的正交多项式
Pn( x)
1 2n
n!
dn dxn
[( x 2
1)n ],
(n 0,1,2, )
称为n次 Legendre多项式 .
其首项系数an
2n (2n 1) 2n n!
(n
1)
(2n)! 2n ( n! )2
.
首项系数为1的勒让德多项式为
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x,L xn,L }利用逐个
正交化手续立得正交多项式序列:
p0( x) 0,
pn( x)
xn
n1( xn,
j0 ( pj,
p p
j j
) )
p
j
,
n 1,2, .
(2.3)
性质：
注意：这些多项
(1) pn( x)的首项系数为1.
式是线性无关的
(2)Qn( x) Hn均可表为p0( x), p1( x), , pn( x)的线性组合. (3)当k j时，( p j , pk ) 0,且pk ( x)与任一次数小于k的多
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1, , (2.4)
代入 x cos , 即得递推关系式.
(2) 正交性
0, m n,
11
1
1
x
2Tm
(
x)Tn
(
x
)dx
/
2, ,
m n 0, m n 0.
(2.12)
(3) 奇偶性 Tn( x)当n为奇数时为奇函数，且只含x的奇次幂; 当n为偶数时为偶函数，且只含x的偶次幂.
(4) Tn( x)在[1,1]上有n个不同的零点
x)
2n 1 n1
xPn (
P1( x) x,
x)
n
n
1
Pn1(
x),
(n
1,2,
)
(2.9)
可得
P2( x)
1 (3 x2 2
1),
P3( x)
1 (5 x3 2
3 x ),
三、切比雪夫多项式
区间为[1,1],权函数为( x) 1 ，序列{1, x, xn, }
1 x2
正交化所得正交多项式称为n次切比雪夫多项式.
(2.10)
切比雪夫多项式的性质: (1) 递推关系
TTn0(1x( x)
1, )2
T1( xTn (
x) x)
x, Tn1(
x
).
Tn( x)的最高次幂xn的系数为2n1,(n 1).
事实上，只需由
(2.11)
cos(n 1) 2cos cos n cos(n 1) , n 1.
可表为
Tn( x) cos(narccos x), (1 x 1,n 0,1,2, )
若令x cos，则Tn( x) cos(n ),0 .
T0( x) cos(0) 1, T1( x) cos(arccos x) x, T2( x) cos(2arccos x) 2x2 1, T3( x) 4x3 3x,
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
P~n (
x)
n! (2n)!
dn dxn
[(
x2
1)n
],
(n 0,1,2, )
(2.5) (2.6)
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (
x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
设在[a,b]给定函数族0( x),1( x), ,n( x), , 且满足
11
d2m dx 2m
[(
x2
1)m
]ddxnnmm
[(
x2
1)n ]dx
(1)m
(2m)! 2mn m!
n!
dnm1 dx n m 1
[(
x2
1)n
1
]
1
0.
(ii)当m n时.
11
Pn2 (
x)dx
(1)n
(2n)! 22n ( n! )2
11(
x2
1)ndx
x s in t
(2n)! (2n n!)2
/
2 /2
cos2n1
tdt
(2n)! (2n n!)2
2 (2n)(2n 2) (2n 1)(2n 1)
2 3
2. 2n 1
(2) 奇偶性
Pn( x) (1)n Pn( x). (3) Pn( x)在(1,1)内部有n个互异的实零点. (4) 递推关系
(2.8)
Pn1(
P0( x) 1,
xk
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cos (2k 1)
2n
,
(k
1,2,
, n)
（5）Tn (x)的首项 xn的系数为2n1(n 1, 2,L ).
(i
(
x
),
k
(
x))
0, Ak
,
i
k, ik
,
(i,k 0,1,2, )
(2.2)
则称函数族{n( x)}为[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族 .
特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为标准正交函数族 .
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.