论述牛顿法与修正牛顿法.ppt
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用牛顿迭代法求方程的近似解课件
研究如何将牛顿迭代法与其他数值方法结合，以 获得更好的求解效果。
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阻尼牛顿法
总结词
阻尼牛顿法是一种改进的牛顿迭代法，通过引入阻尼因子来控制迭代过程中的步长，从而改善收敛性 和稳定性。
详细描述
阻尼牛顿法在每一步迭代中引入一个阻尼因子，该因子可以控制迭代过程中的步长。通过调整阻尼因 子的大小，可以有效地改善牛顿法的收敛性和稳定性，特别是在求解非线性方程时。阻尼牛顿法可以 更好地处理局部极小值和鞍点问题，提高求解精度和可靠性。
确定新的点
02
根据切线斜率和初始点的位置，确定新的迭代点。
更新切线斜率
03
根据新的迭代点，重新计算切线斜率。
判断收敛
设定收敛条件
设定一个收敛阈值，当连续两次迭代 之间的差值小于该阈值时，认为迭代 收敛。
检查收敛
在每次迭代后，检查是否满足收敛条 件，如果满足则停止迭代，否则继续 迭代计算。
04 牛顿迭代法的改进
二阶修正牛顿法
总结词
二阶修正牛顿法是在标准牛顿法基础上进行改进，通过引入二阶导数信息来加速收敛并 提高解的精度。
详细描述
二阶修正牛顿法利用二阶导数信息，在每一步迭代中构造一个更高阶的近似函数，从而 更快地逼近方程的真实解。这种方法在某些情况下可以显著减少迭代次数，提高求解效 率。然而，二阶修正牛顿法需要更多的计算资源和存储空间，因此在实际应用中需要根
用牛顿迭代法求方程 的近似解课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 牛顿迭代法的改进 • 实例演示 • 总结与展望
01 引言
牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值方法。
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阻尼牛顿法
总结词
阻尼牛顿法是一种改进的牛顿迭代法，通过引入阻尼因子来控制迭代过程中的步长，从而改善收敛性 和稳定性。
详细描述
阻尼牛顿法在每一步迭代中引入一个阻尼因子，该因子可以控制迭代过程中的步长。通过调整阻尼因 子的大小，可以有效地改善牛顿法的收敛性和稳定性，特别是在求解非线性方程时。阻尼牛顿法可以 更好地处理局部极小值和鞍点问题，提高求解精度和可靠性。
确定新的点
02
根据切线斜率和初始点的位置，确定新的迭代点。
更新切线斜率
03
根据新的迭代点，重新计算切线斜率。
判断收敛
设定收敛条件
设定一个收敛阈值，当连续两次迭代 之间的差值小于该阈值时，认为迭代 收敛。
检查收敛
在每次迭代后，检查是否满足收敛条 件，如果满足则停止迭代，否则继续 迭代计算。
04 牛顿迭代法的改进
二阶修正牛顿法
总结词
二阶修正牛顿法是在标准牛顿法基础上进行改进，通过引入二阶导数信息来加速收敛并 提高解的精度。
详细描述
二阶修正牛顿法利用二阶导数信息，在每一步迭代中构造一个更高阶的近似函数，从而 更快地逼近方程的真实解。这种方法在某些情况下可以显著减少迭代次数，提高求解效 率。然而，二阶修正牛顿法需要更多的计算资源和存储空间，因此在实际应用中需要根
用牛顿迭代法求方程 的近似解课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 牛顿迭代法的改进 • 实例演示 • 总结与展望
01 引言
牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值方法。
牛顿法ppt
改用差商 f ( xk ) − f ( xk−1 ) 代替牛顿法中的
xk − xk −1
导数有以下快速弦截法迭代公式：
xk+1 = xk − f ( xk f) −( xfk )( xk−1 ) ( xk − ) xk−1
弦线法的几何意义
xk+1 = xk − f ( xk f) −( xfk )( xk−1 ) ( xk − ) xk−1
从几何图形上看，上面的公式实际上是用 y = f (x) 上一系列的弦线与x轴的交点来逐步 逼近曲线与 x 轴的交点．
因此称这种方法为弦线法(弦截法或弦割法). 过两点 (x0, f (x0 )), (x1, f (x1)) 作一条直线，令y = 0（ f(x) = 0)，得与 X 轴的交点 x 作为 x1，即
= 2.506184 − 2.506184lg 2.506184 −1 ≈ lg 2.506184 + lg e
2.506184
x3= − x2 4.315377 ×10−5 > ε , x4= − x3 0.000000 < ε
∴ x ≈ 2.506184
解: (4) 用双点弦割法求此实根 同解变换 f (=x) x lg x −=1 0, [a,=b] [2,3] f (2) =2lg 2 −1 =−0.40 < 0, f (3) =3lg3−1 =0.43 > 0 ∴ f (a) f (b) < 0, 可取 x0 = 2，x1 = 3
f
y− ( x0 )
f (x1) − f (x1)
=
x − x1 x0 − x1
,
⇒
x2 =x =x1 −
f
(
f x1 )
牛顿法和拟牛顿法
解：
f x1
26
x1
x2
22
3 x1
3 x2
x1 x2 3
x2
f x2
26
x1
x2
2 2 3 x1
3x2
x1 x2 3
x1
故
f x1 x 4,6T
344,
f x2
x 4,6T
56,
f
(
x1
)
344 56
.
2 f x12
2 23
x2 2 ,
2 f x22
在确定拟牛顿方程式的Hk+1时，若矩阵Hk+1对称，则需 要待定（n+n2)/2个未知数，n个方程，所以拟牛顿方程 一般有无穷个解，故由拟牛顿方程确定的一族算法，通 常称之为拟牛顿法
拟Newton算法
1、给定初始点x0,正定矩阵H0,精度ε>0,k=0 2、计算搜索方s向k Gk f(x k ) 3、令xk+1=xk+tk.sk,其中
当H 可逆时， k
若 f(x k 1)
,停止x*
xkx+k11=;否xk则-H，k-令1.hk k
k
1,转step2
Step4:
例1. 设 f x 6 x1 x2 2 + 2 3 x1 3 x2 x1 x2 2
求在点 x1 (4, 6)T 处的搜索方向.
分析: 搜索方向
故需要写出 f ( x), 2 f ( x) 的表达式.
Sk
-H
1 k
hk
k 1
其中
H k 2f(x(k )) hk f(x(k ))
1.牛顿法几何解释
几何直观解释：最密切的二次曲线逼近
第三节 牛顿迭代法精品PPT资料
（3.12）
选择下山因子时从 开始1，逐次将 减半进行试 算，直到能使下降条件（3.10）成立为止.
第三节 牛顿迭代法
1
xk 1xkff((x xk k)) (k0,1 , ),
（2）
这就是牛顿(Newton)法.
牛顿法的几何解释.
方程 f (x的)根0 可解释x *为曲线 的交点的横坐标（图7-3).
与 y轴 f (x) x
设 是x k根 的x某*个近似值， 过曲线 y f上(x横) 坐标为 x k 的点 P引k 切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k 作1 为 x *
的新的近似值.
2
图7-3
注意到切线方程为
y f(x k ) f(x k )x ( x k ).
这样求得的值 x k 必1 满足(1），从而就是牛顿公式（2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.
牛顿法（2）的收敛性，可直接由上节定理得到，对（2） 其迭代函数为
g(x) x f (x) , f (x)
2
10 . 723837
3
10 . 723805
4
10 . 7பைடு நூலகம்3805
8
三 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点 收敛快， 牛顿法的缺点
一 每步迭代要计算 f及(xk ) ，计f (算x量k )较大
且有时 f (x计k )算较困难，
二是初始近似 只x在0 根 附x近*才能保证收敛，
如 x 0给的不合适可能不收敛.
将牛顿法的计算结果
13
xk1
xk
f (xk) f (xk)
与前一步的近似值 x k适当加权平均作为新的改进值
x k 1x k 1 ( 1 )x k,
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
牛顿迭代法在一般情况下是收敛的，但在某些情况下可能会出现发散的情况。需要对迭代过程的收敛 性进行分析，以确保迭代法的有效性。
迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
THANKS
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多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
THANKS
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多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
牛顿第二定律-PPT课件
向右的拉力F=30N作用。
g取10m/s2，问(1)经过多长时间物体的时间变为
8m/s向右运动?
(2)这段时间内物体通过的位移是多大?
其方向如何?
υ
F
分析：物体水平向左运动时，受滑动摩擦 力和水平向右的拉力F而做匀减速运动，直 到速度为零，由于水平向右的拉力 F>μmg=20N，物体再由静止开始向右匀加 速，直到速度达到题目中的要求为止，在 物体向左运动的过程中，设其加速度为α1 ， 根据牛顿第二定律α1=(F+μmg)/m =(30+0.4×5×10)/5m/s2 =10m /s2
常数k的说法正确的是：（C D）
A、在任何情况下都等于1
B、k值是由质量、加速度和力的大小决定的 C、k值是由质量、加速度和力的单位决定的 D、在国际单位制中，k的数值一定等于1
巩固新知
2.关于物体的质量、加速度和合力之间的关系，下列说
法正确的是 （ D ）
A. 质量较大的物体加速度一定小 B. 受到合力较大的物体加速度一定大 C. 物体所受合力的方向一定与物体的运动方向相同 D. 物体所受合力的方向一定与物体加速度的方向相同
t
由s= 1αt2，所以α = 2s/t2
2
=(2×1000)/10000=0.2m/s2
由牛顿第二定律，求物体所受合外力 F合=mα， F合 =1000000×0.2=200000N 又F合=F牵-F阻，且F阻=0.005G F牵= F合+ F阻=200000 +1000000× 0.005
=2.05×105 N
kx＋μmg＝ma，a随x的增大而增大，故此过程a与v反向，物体的速 度不断减小．综上所述选项B、C正确．
变式训练1
g取10m/s2，问(1)经过多长时间物体的时间变为
8m/s向右运动?
(2)这段时间内物体通过的位移是多大?
其方向如何?
υ
F
分析：物体水平向左运动时，受滑动摩擦 力和水平向右的拉力F而做匀减速运动，直 到速度为零，由于水平向右的拉力 F>μmg=20N，物体再由静止开始向右匀加 速，直到速度达到题目中的要求为止，在 物体向左运动的过程中，设其加速度为α1 ， 根据牛顿第二定律α1=(F+μmg)/m =(30+0.4×5×10)/5m/s2 =10m /s2
常数k的说法正确的是：（C D）
A、在任何情况下都等于1
B、k值是由质量、加速度和力的大小决定的 C、k值是由质量、加速度和力的单位决定的 D、在国际单位制中，k的数值一定等于1
巩固新知
2.关于物体的质量、加速度和合力之间的关系，下列说
法正确的是 （ D ）
A. 质量较大的物体加速度一定小 B. 受到合力较大的物体加速度一定大 C. 物体所受合力的方向一定与物体的运动方向相同 D. 物体所受合力的方向一定与物体加速度的方向相同
t
由s= 1αt2，所以α = 2s/t2
2
=(2×1000)/10000=0.2m/s2
由牛顿第二定律，求物体所受合外力 F合=mα， F合 =1000000×0.2=200000N 又F合=F牵-F阻，且F阻=0.005G F牵= F合+ F阻=200000 +1000000× 0.005
=2.05×105 N
kx＋μmg＝ma，a随x的增大而增大，故此过程a与v反向，物体的速 度不断减小．综上所述选项B、C正确．
变式训练1
牛顿第二定律ppt课件
§4.3 牛顿第二定律
《运动和力的关系》
复习与回顾
实验：探究加速度与力、质量的关系
控制变量法
加速度与力的关系
a
加速度与质量的关系
a
F
a∝ F
1
m
a∝
1 m
一、牛顿第二定律的表达式
1、内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它 的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2、力的单位
F ＝k ma
【解析】虽然 F＝ma 表示牛顿第二定律，但 F 与 a 无关，因 a 是由 m 和 F 共同决定的，即 a∝F 且 a 与 F 同时产生、同时消失、同时存在、同时改变；
m a 与 F 的方向永远相同。综上所述，可知选项 A、B 错误，C、D 正确。 【答案】CD
二.对牛顿第二定律的理解
2、第二定律的性质 （1）因果性：F合 是 a 产生的原因 （2）矢量性：a 与 F合 的方向相同
437N
负号表示与运动方向相反
第二阶段，汽车重新起步加速,汽车水平受力如右
F合=F－F阻 =2 000N-437N=1 563N
FN
F阻
F
由牛顿第二定律得：a2
F合 m
1563 m/s2 1100
1.42m/s2
G
加速度方向与汽车运动方向相同
用牛顿第二定律解题的一般步骤
1.确定研究对象； 2.对研究对象进行受力分析 3.求出合力；(力的合成法；正交分解法)
同时消失的 B. 物体只有受到力的作用时,才有加速度,才有速度 C. 任何情况下,加速度的方向总与合外力方向相同,也总与速度的方向相
同 D. 当物体受到几个力的作用时,可把物体的加速度看成是各个力单独作
《运动和力的关系》
复习与回顾
实验：探究加速度与力、质量的关系
控制变量法
加速度与力的关系
a
加速度与质量的关系
a
F
a∝ F
1
m
a∝
1 m
一、牛顿第二定律的表达式
1、内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它 的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2、力的单位
F ＝k ma
【解析】虽然 F＝ma 表示牛顿第二定律，但 F 与 a 无关，因 a 是由 m 和 F 共同决定的，即 a∝F 且 a 与 F 同时产生、同时消失、同时存在、同时改变；
m a 与 F 的方向永远相同。综上所述，可知选项 A、B 错误，C、D 正确。 【答案】CD
二.对牛顿第二定律的理解
2、第二定律的性质 （1）因果性：F合 是 a 产生的原因 （2）矢量性：a 与 F合 的方向相同
437N
负号表示与运动方向相反
第二阶段，汽车重新起步加速,汽车水平受力如右
F合=F－F阻 =2 000N-437N=1 563N
FN
F阻
F
由牛顿第二定律得：a2
F合 m
1563 m/s2 1100
1.42m/s2
G
加速度方向与汽车运动方向相同
用牛顿第二定律解题的一般步骤
1.确定研究对象； 2.对研究对象进行受力分析 3.求出合力；(力的合成法；正交分解法)
同时消失的 B. 物体只有受到力的作用时,才有加速度,才有速度 C. 任何情况下,加速度的方向总与合外力方向相同,也总与速度的方向相
同 D. 当物体受到几个力的作用时,可把物体的加速度看成是各个力单独作
牛顿法--二阶梯度法 ppt课件
ppt课件
10
试用牛顿法
例：求目标函数 f x x x x1 x2
2 1 2 2
10x1 4 x2 60的无约束最优解， 给定初始点x
0
0 , 0.1 0
ppt课件
11
二、修正牛顿法（阻尼牛顿法）
在上面的牛顿法中，存在一个问题，由 于迭代式中没有步长因子，或者说步长 =1，所以有时函数值反而有所增大， 即 f k 1 f k 因而可能造成点列的发
ppt课件
可由 x 0
1 k f x 2
k
2 k x x
3
X f X f X X X 1 k f X X X X X 2
k k
(0) n
f
x
k
ppt课件
若满足停止迭代，否则进行（4）步
15
（4）令
s
k
H X f X
k
1
k
k
（5）从 x 出发沿牛顿方向 s 维搜索
k
进行一
(k ) (k )
min f ( x
(k )
s ) f (x
f x 4
x11 2 x21 x x 10
2 2 1 2
0
的最优解，初始点
X
0 0
T
10
-5
ppt课件
18
DFP变尺度法
由于梯度法和牛顿法具有以上的缺点，能 不能找到一种方法能拟补上两种方法的缺 点，从而综合上两种方法的各自优点，提 出了如下变尺度法的基本思路。 基本思想：在牛顿法中探索方向
第5章4节牛顿法
二是初始近似 x0 只在根 x *附近才能保证收敛，如
x0 给的不合适可能不收敛.
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
13
牛顿下山法. 牛顿法收敛性依赖初值 x0 的选取.
如果 x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
解 取初值 x0 10，对 按牛顿迭代公式迭代3 C 115 次 便得到精度为
10 6
2 3 4
的结果
1 C ( xk ). 2 xk
12
（见表5-6).
xk 1
3
牛顿下山法
牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算
f ( xk )及 f ( xk ) ，计算量较大且有时 f ( xk ) 计算较困难，
2
10
再讨论全局收敛性 1）当C>1时，f(x)=x2-C在[1,C]上满足全 局收敛性定理5，迭代法在[1,C]上全局收 敛。 2）当C<1时, f(x)=x2-C在[C,1]上满足全局 收敛性定理5，迭代法在[C,1]上全局收敛。
11
例8
求 115 .
表5 6 计算结果 k 0 1 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
于是方程 f ( x) 0 可近似地表示为
f ( xk ) f ( xk )( x xk ) 0.
1
这是个线性方程，记其根为 xk 1 ， 则 xk 1 的计算公式为
xk 1 xk f ( xk ) f ( xk ) ( k 0,1, ),
这就是牛顿(Newton)法. 牛顿法的几何解释. 方程 f ( x) 0 的根 x *可解释为 曲线 y f ( x) 与 x轴的交点的横坐标 （图5-3). 图5-3
牛顿第二定律ppt课件
把某个物体从系统中“隔离”出来，将其作为研究对象进行分析的方法称为隔
离法.
多数情况下是把力正交分解到加速度 的方向上和垂直于加速度的方向上
感谢观看
Thank you
物体位于B 点时，弹簧处于自由伸长状态
A
B
C
物体从A到B的过程中，合
力越来越小，加速度越来
m
越小，某刻合力为零，物
体速度达到峰值，后续物
体将做减速运动
学习目标
情境导入
新课讲解
小试牛刀
课堂小结
a v t
大小
与v、∆v大小无关 由 ∆v/∆t 决定
方向
与∆v方向一致
a F合 m
与 F合 成正比 与 m 成反比
比，加速度的方向跟作用力的方向相同.
（2）表达式：a F 或 F ma ，F kma（各物理量单位未知时），其中 k 为比例系数，F 指m物体所受的合力.
三个物理量对应同一研究对象
当 k = 1 时，牛顿第二定律可以表 述为 F = ma，1 N =1 kg·m/s2
学习目标
情境导入
新课讲解
蚂蚁的困惑： 从牛顿第二定律知道，无论怎样小的力都可以使物体产生加速度，可是蚂 蚁无论怎样用力都推不动一块放在水平地面上的砖头，牛顿第二定律是否错了？
这里的 F 指的 是合力
静摩擦力f 推力F
咦， F＝ma，
加速度去哪 了？
学习目标
情境导入
新课讲解
小试牛刀
课堂小结
合外力决定加速度的大小和方向
物体质量一定时，物体受到的合外力越大，物体的加 速度就越大，但是物体速度不一定越大
在竖直方向有 FT cosθ ＝ mg （1）
Fx
牛顿法
3
又因
(x*) f (x*) ,
f (x*)
k x*)2
f (x*) . 2 f (x*)
例7 用牛顿法解方程
xex 1 0.
解 这里牛顿公式为
xk 1
xk
xk e xk 1 xk
,
取迭代初值 x0 ，0.迭5 代结果列于表7-5中.
解 先求出三种方法的迭代公式：
（1） 牛顿法
xk 1
xk
xk2 2 . 4 xk
18
（2） 用（4.13）式
xk 1
xk
xk2 2 . 2 xk
（3） 用（4.14）式
xk 1
xk
xk
( xk2 2) xk2 2
.
取初值 x0 ，1.5计算结果如表7-7.
表7 7 三种方法数值结果
k xk
0
0.5
开始值，用弦截法求得的结果见表7-8，
比较例7牛顿法的计算结果可以看出， 1
0.6
弦截法的收敛速度也是相当快的.
2
0.56532
7
以上两式相除得
xk 1 xk 1
C C
xk xk
2
C C
.
据此反复递推有
xk 1 xk 1
C C
x0 x0
2k
C C
.
记
q x0 C , x0 C
整理（4.6）式，得
（4.6）
8
q 2k xk C 2 C 1 q2k .
对任意 x0，总0有 ，q故由1上式推知，当 时 xk ，C即迭代过程恒收敛.
x即4 为 的x *近似. 一般情况只要能使条件（4.10）成立，
则可得到
lim
又因
(x*) f (x*) ,
f (x*)
k x*)2
f (x*) . 2 f (x*)
例7 用牛顿法解方程
xex 1 0.
解 这里牛顿公式为
xk 1
xk
xk e xk 1 xk
,
取迭代初值 x0 ，0.迭5 代结果列于表7-5中.
解 先求出三种方法的迭代公式：
（1） 牛顿法
xk 1
xk
xk2 2 . 4 xk
18
（2） 用（4.13）式
xk 1
xk
xk2 2 . 2 xk
（3） 用（4.14）式
xk 1
xk
xk
( xk2 2) xk2 2
.
取初值 x0 ，1.5计算结果如表7-7.
表7 7 三种方法数值结果
k xk
0
0.5
开始值，用弦截法求得的结果见表7-8，
比较例7牛顿法的计算结果可以看出， 1
0.6
弦截法的收敛速度也是相当快的.
2
0.56532
7
以上两式相除得
xk 1 xk 1
C C
xk xk
2
C C
.
据此反复递推有
xk 1 xk 1
C C
x0 x0
2k
C C
.
记
q x0 C , x0 C
整理（4.6）式，得
（4.6）
8
q 2k xk C 2 C 1 q2k .
对任意 x0，总0有 ，q故由1上式推知，当 时 xk ，C即迭代过程恒收敛.
x即4 为 的x *近似. 一般情况只要能使条件（4.10）成立，
则可得到
lim
数值分析4牛顿迭代法课件
x1
x0
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x0 x1
x1比x0更接近于x*
02:12
4/25
应用——求正数平方根算法
设C > 0, x C
x2 – C = 0
令 f(x) = x2 – C , 则
xn1
xn
xn2 C 2 xn
f ( x) 2x
xn1
1 2 [xn
C ]
xn
02:12
5/25
1.414213562373095 2.22e-016
1.414213562373095 2.22e-016
02:12
6/25
收敛性: (1) 符合不动点框架
(2) 从序列收敛的角度(单调有界序列)
xn1
2
1 2 [xn
2 xn
]
2
1
[ 2
xn
2 xn
]2
1 2 xn
( xn
2 )2
只要x0 0, xn 2 (n 1) (有界)
x0, x1, x2,···, xn, ···
02:12
3/25
设 x*是方程 f(x)=0 的根, x0是x*的近似值。
在 x0 附近对函数做局部线性化
化难为易
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )化繁为简
f(x) = 0
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0
代入牛顿迭代格式
xn1
xn
f (xn ) f ( xn )
x1 x0
xn1
xn
f
( xn
f (xn ) ) f ( xn1 )
牛顿法—用导数方法求方程的近似解 PPT
2.740740740 740741
2.714669624 579535
精确度
0.333333333333333 0.094594594594595 0.009603789693283
5
2.71875
0.031 25
6
2.703125
0.015 625
7
2.7109375
0.007 812 5
牛顿法的程序框图
计算 次数
K
0
-2或者2
精确度
1
2
3
4
对比二牛分顿法和法牛的顿优法同点学：们速能找度出快牛顿法的优点
吗？ f ( x ) x3 20 牛顿法
二分法
计算次数 K
中点值
1
2.5
2
2.75
3
2.625
精确度
0.5 0.25 0.125
4
2.6875
0.062 5
计算 次数
K
0 1
2
3
2
3.000000000 000000
给定精度
和初始值
0
x0
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1Βιβλιοθήκη x0x302x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1 计算当前精度: x1 x0
x0
No
0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
Matlab软件
1、牛顿法的基本步骤是什么？ 2、牛顿法的优点和缺点是什么？
K 0 1 2 3
4
5
2或者4
f xk
f xk 精确度
计算 次数
K 0 1
2.714669624 579535
精确度
0.333333333333333 0.094594594594595 0.009603789693283
5
2.71875
0.031 25
6
2.703125
0.015 625
7
2.7109375
0.007 812 5
牛顿法的程序框图
计算 次数
K
0
-2或者2
精确度
1
2
3
4
对比二牛分顿法和法牛的顿优法同点学：们速能找度出快牛顿法的优点
吗？ f ( x ) x3 20 牛顿法
二分法
计算次数 K
中点值
1
2.5
2
2.75
3
2.625
精确度
0.5 0.25 0.125
4
2.6875
0.062 5
计算 次数
K
0 1
2
3
2
3.000000000 000000
给定精度
和初始值
0
x0
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1Βιβλιοθήκη x0x302x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1 计算当前精度: x1 x0
x0
No
0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
Matlab软件
1、牛顿法的基本步骤是什么？ 2、牛顿法的优点和缺点是什么？
K 0 1 2 3
4
5
2或者4
f xk
f xk 精确度
计算 次数
K 0 1
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.,
13
为了克服牛顿法的上述缺陷，可以通过在迭代 中引入步长因子和一维搜索加以解决，即令
x(k1) x(k) (k)[H (x(k) )]1f (x(k) ) 3
式中，
(k
)
------一维搜索所得的最优步长因子。
因而将
向。
s(k) H(x(k) ) 1f (x(k) )
称为牛顿方
.,
12
5、修正牛顿法
当目标函数为非二次函数时，目标函数在 xk
点展开所得的二次函数是该点附近的一种近似表 达式，所求的极小点，当然也是近似的，需要继
续迭代。但是当目标函数严重非线性时，用式[2]
进行迭代则不能保证一定收敛，即在迭代中可能 会出现 f (x(k1) ) f (x(k ) ) ，所得到的下一点不 如原来的好。这和初始点的选择是否恰当有很大 的关系。
及其逆矩阵 H (x(k) ) 1 。
三 构造搜索方向
s(k) H(x(k) ) 1f (x(k) )
.,
8
四 沿 s(k)方向进行一维搜索，得迭代点
x(k1) x(k ) s(k )
五 收敛判断：
▪ 若 f (x(k1) ) ，则 x(k1) 为近似最优点，迭代停止，
输出最优解 xmin x(k 1)和 f (xmin) f (x(k1) ) 终止计算。
x12 2 f
x2 x1
2 f
x1x2
2 f
2 1
1
2
H
(
x(0)
)
1
1 3
2 1
1 2
x22
故 s(0) H (x(0) ) 1f (x(0) )
1 3
2 1
1 10
2
4
1 3
24
18
8 6
(3)极小值
x1
x(0)
s (0) (0)
0 0
8 1* 6
8 6
min f (x) 8
1 (x x(k ) )T H (x(k ) )( x x(k ) ) 2
.,
4
对x求导，其极值点必满足一阶导数为零，所以，
(x) f (x) f (x(k) ) x x(k) H (x(k) ) 0 x
得到
xmin x(k) H (x(k) ) 1f (x(k) )
[1]
▪ 若不满足，令k=k+1，转第二步继续迭代。
.,
9
例：
用牛顿法求函数 f (x) x12 x22 x1x2 10 x1 4x2 60 的极小值。
解：
(1)取初始点
x(0)
0 0
(2)计算牛顿方向
f
(x) 22xx12xx21140
xx(0)
10
4
.,
10
2 f
H (x(0) )
牛顿法与修正牛顿法
.,
1
1 、思想来源 2、基本思想 3、迭代步骤
牛顿法和 修正牛顿法
4、优缺点 5、修正牛顿法 6、评价
.,
2
1、思想来源
▪ 梯度法相邻两次搜索方向总是相互正交，搜索路线 呈锯齿形，使得其在极小点附近，收敛速度越来越 慢。人们试图找到这样一种方向：它直接指向最优 点，使得从任意选定的初始点出发，沿此方向迭代 一次就能达到极小点。
步长因子 (k ) 1
s(k) H (x(k) ) 1f (x(k) )
x(k 1) x(k ) s(k )
比 ，
牛顿法的 迭代算式
其中 S (k) 称为牛顿方向。
.,
7
3、迭代步骤
一 给定初始点 x(0)，计算精度ε，令k=0；
二 计算 x(k) 点的梯度 f (x(k) ) 、 H (x(k) )
.,
11
4、优缺点
▪ 数学分析表明，牛顿法具有很好的局部收敛性质，对
二次函数来说，仅一步就达到优化点，
▪ 但对一般函数来说，在一定条件下，当初始点的选取
充分接近目标函数的极小点时，有很快的收敛速度，但若 初始点选取离最小点比较远，就难保证收敛；
▪ 牛顿法必须求一阶、二阶导数及求逆阵，这对较复杂
的目标函数来说，是较困难的。
式中， H (x(k) ) 1 为Hessian矩阵的逆矩阵。
.,
5
▪ 在一般情况下，f (x) 不一定是二次函数，因而 xmin 也不可能是 f (x）的极值点。
x x 但是在 （k ) 点附近，函数 (x) 和 f (x) 是近似的，所以可以用 (k1) 点作为
下一次迭代，即得
x(k1) x(k ) [H (x(K ) )]1f (x(k ) ) [2]
经过这种修改后的算法称为修正牛顿法。也称
牛顿方向法or阻尼牛顿法。
.,
14
举例：用修正牛顿法求解下列无约束优化问题，已知
x0 (1,
解：
因为
所以
1)T , 0.1. f (x) x12 2x22 2x1x2 4x2
f
(x)
2 [
x1
2x2
4 ];
H
(
x
(0
)
)
[
2
2 ]
2x1 4x2
▪
如果目标函数 f (x) 是正定二次函数，那么 H (x) 是个常矩阵，逼近式[1] 是准确 的。因此由 x(k ) 点出发只要迭代一次既可以求 f (x) 的极小点。
.,
6
[2] 式与一维搜索公式 x(k1) x(k) (k)s(k)
较，则有搜索 方 向 s(k) H(x(k) ) 1T f (x(k) )
2 4
f
(x(0) )
4 [ ];[H
2
(x(0)
)]1
1 [1
1
2 1
]
22
1 s(0) [H (x(0) )]1f (x(0) ) [ 1
1
2 1
4 ][ ]
2
3 [] 1
22
.,
15
由修正牛顿法，得
x(1)
x(0)
s(0)
13
[ ][ ]
1 3
[ ]
带入原函数
1 1 1
f (x(1) ) (1 3 )2 2(1 )2 2(1 3 )(1 ) 4(1 3 ) ( )
对 求导'( ) 6(1 3 ) 4(1 ) 6(1 ) 2(1 3 ) 12 0
解得 1
代入 因为
x (1)
x(0)
s(0)
13
[ ][ ]
1 3
[ 1) ) 8
f
(x(1) )
0 [ ],||
f
.,
3
2、基本思想
在求目标函数 f (x)的极小值时，先将它在 x(k ) 点附近展开
成泰勒级数的二次函数式，然后求出函数的极小值点，并以此点作
为欲求目标函数的极小值点 x* 的一次近似值。
设目标函数是连续二阶可微的，将函数在点 x(k ) 按泰勒级数
展开，并取到二次项：
f (x) (x(k) ) f (x(k) ) [f (x(k) )]T (x x(k) )