随机误差及数据处理

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（2）误差（Error）
误差—测量值与真值之差 （3）误差的性质和分类
Δi= x i-A
•系统误差：符号和数值总保持不变，或按一定 规律。
•随机误差：就某一次具体的测量来讲其误差的 大小与正负都不确定，而在大量重 复测量中遵守统计规律的误差。
•过失误差：观察、记录、操作等错误造成的。
必须剔除的误差。 5
22
• x = x± x
(p=0.683 ,n=….)标准误差
• x = x ±0.7979 x
(p=0.574 ,n=…)平均误差
• x = x ±0.675 x
（p=0.500 ,n=…)或然误差
• 例：比较下列各组测量结果的精密度
• X1 =1.083 ±0.006 • X2 =1.083 ±0.004 • X3 = 1.083 ±0.012
积分上式
ln
f
i


1 2
k2i

c
14
•高斯分布函数的推导
f
i


c
exp
1 2
k2i

根据单峰性原理， Δ越大， p(Δ)=f (Δ) dΔ越小，即
指数项应小于零
令 1 k h2
2
f cexp h22 ………………（2）
根据有界性公理
n = 20 n=5
sx 0.042
sx 0.040
6
(4)最可信值与真值 真值——测量对象真正的数值。 最可信值——实验测量所得的最可能接近真值的值。 算术平均值——最小误差所对应的出现概率最大的值。
以后将证明最可信值就是大量重复测量的算术平均值。 因为真值是不知道的，误差因此无法求得。只能引入残 差概念对误差大小作一估计。
残差： v x x
t
p(t,t) s(t,l)dt
t
• t 由置信概率 p 和 测量次数 n 决定
n12 t 1.83 1.32
0.683
34
1.20 1.14
5 6 7 8 9 10 15 20 30
1.11 1.09 1.08 1.07 1.06 1.05 1.04 1.03 1.02
26
• 例：试比较对同一物理量作下列20次和5次等精密度测量 结果的精密度。
解误差落在某范围的概率 概率由概率密度函数在某范围内的积分求得
误差的范围: q = ± upσ
概率积分表见 p.504 , 表 10.1
例：误差落在（-σ, + σ）， 即up=1的概率为0.683
20
•标准误差的统计意义：
在一组等精密度的测量中，n个测量值有n个误差，若n很大， 则其中有68.3%的误差值落在（-σ, + σ）区间内。
dA dA
dA
dA
dA
12
•高斯分布函数的推导
dΔ为任意取定的微分量，与A无关，∴ n d ln d 0
令(1)式等于零，有
dA
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n 0
dA dA
dA
dA
或：d ln p d ln f 1 d1 d ln f 2 d2 d ln f n dn 0
误差出现于Δ2～ Δ2 +dΔ的概率 p(Δ2)=f (Δ2) dΔ
……
误差出现于Δn～ Δn +dΔ的概率 p(Δn)=f (Δn) dΔ
dΔ，
11
•高斯分布函数的推导
根据独立事件的概率乘法定理
P= p(Δ1) p(Δ2) … p(Δn) = f (Δ1) dΔ f (Δ2) dΔ … f (Δn) dΔ 两边取对数：

t
变量之二: t = x A sx
n) t n1e dt
0
T分布曲线的特征：*也是左右对称； *比高斯分布曲线“矮胖些
同样概率水平所对应的误差区间要更大些
24
高斯分布
t 分布
25
对于测量次数较少时采用
x x tSx 表示其随机误差
tξ≥1
t分布时误差在

t
s 内的概率为 x
各组等精密度测量得到的算术平均值有波动，即平均值有离散性
算术平均值的标准误差
xn
n

2 i
1
n
讨论： a. x < σ
b. n 增 加 ， 减x 小
c. 反映了 x 的离散性
d. 有68.3%的把握认为实验测得的误差不大于 x
测量结果精密度的比较
用各种不同的统计误差，在不同的概率水平下评定同一组测量 结果的离散性
例1：经典力学—天文学观察（第谷—开普勒—
牛顿）
3
只有实验观察为准确可靠时才可能发现认识或证实 某自然规律。
为了得到正确可靠的实验数据需要掌握必要的误差理 论。 • 误差理论包括： • 减少实验误差的方法——系统误差理论。 • 实验误差的数据处理——指从带有偶然性的观察值中
用数学方法导出规律性结论的过程。 在不少实验中，尤其是现代物理实验中，现象的随机 性质是十分突出的，物理过程的规律性往往被现象表面 的偶然性所掩盖，因而必须用适当的数学工具才能恰当 地设计实验，才能由观察数据得出正确的结论。
随机误差的数据处理
1
1. 测量误差及其种类 2. 随机误差与概率统计 3. 随机误差的统计表示 4. 直接测量数据的一般处理过程 5. 间接测量的误差
2
1. 测量误差及其种类 （1）误差的意义
科学实验的任务——观察自然现象，定量测 量有关物理量，并通过误差的数据处理以及 对测量结果不确定度的评估使测量的物理量 更接近于真实的值。然后通过理论分析，总 结出这些物理量之间的相互联系，得到对自 然现象本质的认识。
dA d1 dA d2 dA
dn dA
∵ Δi= x i-A
∴ di 1
dA
∴ d ln f 1 d ln f 2 d ln f n 0
d1
d 2
d n
13
•高斯分布函数的推导
或：
d
ln f 1
1d1

1

d ln f 2


f()d c exp h 22 d 1


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•高斯分布函数的推导
根据对称性公理


2 f( )d 2c exp h22 d 1
0
0
∵ dh hd ， d 1 dh
h
c exp h 22
lnP=ln f (Δ1) + ln f (Δ1) + … +lnf (Δn) dΔ+nln(dΔ) 对于各组等精度的测量中，哪一组测量数据对应出现的 概率最大？显然，测量数据偏离A越大的数据组出现的 概率越小，测量数据组中偏离A最小的数据但出现的概 率最大。因此dp/dA=0，上式对A求导
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n n d lnd (1)
NA
N N
例：有红、黄、蓝、白、黑五色子，每次抽1只，抽了N
次，出现红子的次数Nr，那么出现红子的概率为
lim P(r)
Nr
N N
8
•随机变量
若一定条件下某观察值的出现是一随机事件，那么这一观 察值就是随机变量。（在相同条件下，由于偶然因素变量可能 不同值，但这些值落在某个范围内的概率是确定的）如：概率 服从高斯分布。例：用秒表测量单摆的振动时间T。
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B. 随机误差的定量描述 为了引入与精密度常数和测量误差有直接关系的参
数来标志随机误差的离散性
•标准误差（随机误差的一种基本的表示方法） P499/-5~p500
n

2i 1
1
n
2h
σ越小，h越大
h 2
2
高斯分布函数的另一种表示（一种以误差和标准误差表示的高斯
分布函数）
f (
f h exp h22 10
•高斯分布函数的推导
对某物理量（x）作n次等精度测量
x1,x2,x3,……,xn
Δ1,Δ2,Δ3, …… ,Δn
设真值为A， Δi=xi－A
测量误差分布于Δi～ Δi + dΔ的概率取决于f (Δi) 及
即
p(Δi)=f (Δi) Leabharlann BaiduΔ
∴误差出现于Δ1～ Δ1 +dΔ的概率 p(Δ1)=f (Δ1) dΔ
随机误差服从高斯分布时，大量等精密度独立测量的结果 服从三条概率论公理：
有界性：随机误差的绝对值不超过某一定界限。 对称性：绝对值相同的正、负误差出现的概率相同。 单峰性：绝对值大的误差出现的概率小，绝对值小的误差出现概率大。绝对值最小
的误差出现概率最大。
A. 高斯分布函数的导出（p.495-498）
∵正态分布概率密度函数f(Δ)的推导引用了三条公理，∴其 结果也满足三公理： a. f(Δ)是e的负指数函数， 越小， f(Δ)越大
Δ=0时， f(Δ)为极大——单峰性。
b. f(Δ)是以Δ2为指数的函数，±Δ对应的f(Δ)相等——对称性。
c. f(Δ)是e2函数，随Δ增大， f(Δ)迅速减小——有界性。
(p =0.683 ,n =15 )
(p =0.3108 ,n =15) (p =0.9907 ,n =15)
• X1 p=0.683 up =1 x =0.006 • X2 p=0.3108 up =0.4 x =0.010 • X3 p=0.9907 up =2.6 x =0.005
2d2

2





d ln f n
ndn


n
0
由于
n
i 0
i1
（随机误差的对称性）
所以为使以上两式成立
d ln f 1 d ln f 2 d ln f n k
1d1
2d2
ndn
（常数）
即 d ln f i kidi
4) 以残差表示的误差公式
vi xi x
s
v2 i
x
n 1
sx

v2 i
n(n 1)
23
5) t分布函数 P511/1
有限次测量时，随机误差服从t分布
( 1 )
s( t , )
)
2 )( 1
t2
1
)2
2

变量之一 ： l = n –1 （自由度）
•极限误差
up σ= （-3σ, + 3σ）,
p = 0.9973
•平均误差 up σ= ±0.7979σ ,
p=0.575
•或然误差 up σ= ±0.675σ ,
p = 0.5
2) 最可信值：等精密度独立测量列的算术平均值
E=Σ(xi / n ) = x
（p.506 , 式10.21）
21
3) 算术平均值的精密度估计
(3)测量的准确度、精密度与精确度
• 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统 误差的 大小。
• 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映偶 然误差大小。
• 精确度——准确度和精密度的结合。
精密度较好 精密度最差 精密度最好 准确度较好 准确度最好 准确度最差 精确度最好 精确度居中 精确度最差
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2. 随机误差与概率统计
（1）研究随机误差的意义
一切测量中，随机误差是无法避免的，利用随机误
差理论对测量数据进行处理可减小随机误差对测量结果
的影响并估计出误差的大小。
（2）有关概率统计的几个基本概念
概率：一定条件下的N次试验（测量）中，事件A发生了
NA次，事件A的概率为P(A)
lim P(A)
•概率密度函数
当随机变量为连续时，定义f(Δ)= dp(x)
d
为概率密度 函数
(p.494)
•意义：随机变量的值落入某一值附近无限小区间的 概率等于
变量取该值时的概率密度与此无限小误差区间的乘积。
归一化条件：

f ( )d 1

9
（3）随机误差的统计分布 p495
随机误差服从的统计分布规律有：高斯分布、二项式分布、 泊松分布、均匀分布……t分布。 • 高斯分布 p495/13
h
dh 1
2
0

∵ exp x 2 dx

0
2
∴ c 1 h2 2
c h
代入（2）式

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• 高斯分布函数的推导
f h exp h22 ……..高斯分布函数 h = π1/2 f ( 0 ) ……..精密度常数
h决定了曲线的峰高，即最小误差出现的概率密度。



exp(
2 2
)
18
• σ越小，f(Δ) ~ Δ曲线越陡，h（精密度）也越 高
• σ与Δ的区别
•
σ
• 衡量测量列的离散度
Δ
与真值的具体的偏差
• 有确定的值（对一测量列）
对一测量列，可大可小，
可正可负。
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3. 随机误差的统计表示
1) 置信概率与置信区间（讨论σ的统计意义） 测量中不仅要知道某测量列的误差范围，还需要了