ch变化中的电场和磁场动生感生电动势的计算

r B
)
⋅
d
r l
=
vB dl
= Bωldl
∫ ∫ ε = dε = L Bωldl = 1 BωL2
o
2
A+
o−
解二 ：
构成扇形闭合回路 AOCA
φm
=
BS AOCA
=
B⋅1 2
L2θ
⋅r ω A
B
L
θ
o
C
ε = dφ m = 1 BL2 dθ = 1 BL2ω
dt 2 dt 2
由楞次定律: A + , o −
第十一章 变化中的磁场和电场
结构框图
法拉第电磁感 应定律
感应电动势 的计算
磁场 能量
麦克斯韦的两 条假设
涡旋电场 位移电流
经典电磁理论 的基本方程
一 .法拉第电磁感应定律
ε = − N dφm = − dψ m
dt
dt
二 .动生电动势
• 磁场不变，导体运动引起穿过回路的磁通量变化 所产生的感应电动势叫动生电动势 .
r ⊗B
↑ vr
Me N
vr × Bra a +b
l
穿过回路 φm 不变 .
ε
= − dφm
dt
= ε MeN
+ ε NM
=0
∫ εMeN= −εNM =εMN =
N
(vr
×
r B)
⋅
r dl
∫ =
a+b
v
⋅
µ0I
cos
M
π d l=
−
µ0Iv ln a + b
,
a − b 2π l
2π a − b
•产生 FεrK动的=非fr静m 电=力q:vr洛×仑B兹r 力的一个分力
r EK
=
vr
×
r B
•计算（两种方法）
（1）由电动势定义求
∫ ∫ ε 动 =
rr L EK ⋅ dl =
(vr
×
r B
)
⋅
r dl
L
∫ ε 动 =
+
(
vr
×
r B
)
⋅
r dl
−
（经内电路）
（2）由法拉第定律求 ε = − dψm
静电场 起源 由静止电荷激发
电 电场线为非闭合曲线 场 线 形 状
感生电场 由变化的磁场激发
电场线为闭合曲线
r B
r dB > 0
dt
r E感
静电场
感生电场
有源
∫ ∑ r
sE静
⋅
d
r S
=
1
ε0
q内
∫无源r r
sE感 ⋅ dS = 0
性质
保守
∫r
r
L E静 ⋅dl = 0
非保守（涡旋）
∫L
rr E感 ⋅ dl =−
dt
12
dt
练习：P 342 11 -10
r ×B
o
a
A aD
已知：半径 a , 磁场 dB > 0 dt
等腰梯形边长 a , 2a
求： 各边 ε感 , ε 总
2a
解： 连接 OA , OD
B
C
r E 感 ⊥ 半径
εOA = εOD = εAB = εCD = 0
取三角形回路 OAD
φm = B⋅ S∆OAD =
= µ0 Iv ( b − b ) 2π x x + a
= µ0 Ivab 2πx( x + a)
r
I ×B
N
r dl
o
M
x
↑
vr
×
r B
aP
b
→v
Qx
解二： B = µ0I 2πx
dS = bdx
dφm
=
r B
⋅
r dS
=
µ0 Ibdx 2πx
r ×B
I
a
b ds → vr
ox
x
∫ ∫ φm =
r Er感
L
E感
作如图环路 L
∫L
r E感
⋅
r dl
=
E感
⋅
2πr
× R
r
oBr
I
∫ ∫ = −
s
r ∂B ∂t
⋅
r dS
=
−
∫s
dB dt
dScosπ
=
dB dS
s dt
∫ r ≤ R : dBdS = dB πr 2
s dt
dt
E感
=
dB ⋅πr 2
dt
2πr
=
r 2
dB dt
∝
r
L
L
× R
r
= πa 2 dB − 3 a 2 dB = (π − 3 )a 2 dB
+
6 dt 4 dt 6 4 dt
练习：P 342 11 -9
已知： q = −e , r = 1.0m < R , ∆EK = 700eV
求： dφm
dt
r
, E感
解： （1）由动能定理
×R
o
r
×r
B
∆EK = A = qε = −eε
dB dt
∫ ∫ ε感
=
ε ab
+ εbc
=
b
r E内
⋅
r dl
+
c
r E外
⋅
r dl
∫ ∫ =
b a
a
r dBdlcosθ
2 dt
c
+
b
R2 2r
b
d B d lcos θ
dt
×
r B
o
r E外
Rh
r
r
r E内
θ
a
r dl
θ
b
r dl
c
l
R
R
r 2 = h2 + (l − R)2 2
h = 3 R cosθ = h
1 . 导体回路不动，由于磁场变化产生的感应电动
势叫感生电动势 .
ε
= − dψ
dt
=− d dt
∫s
r NB
⋅
r dS
=
−
N
∫s
∂Br ∂t
⋅
r dS
2 . 产生感生电动势的非静电力： （变化的磁场激发的）感生电场
∫ ∫ 由ε 感电动=势定L E义r K：⋅
r dl
=
rr LE感 ⋅ dl
两种电场比较
6. 感生电动势的计算
两种方法：
r 1 . 由电动势定义求（ E 感 已知或易求 ）
∫ ε感 =
rr E感 ⋅dl
L
或
∫+
ε感 =
rr E感 ⋅ dl
−
（经内电路）
∫ 2 . 由法拉第定律
ε感
=
− dψ m
dt
=
−N
∂Br
⋅
r dS
∂t
若导体不闭合，需加辅助线构成闭合回路 .
例：在上题螺线管截面内放置长 2R
2
r
ε ∫ ∫ = 感
R 0
h 2
dBdl dt
+
2R R2h R2
dB dt
h2
dl + (l −
R )2
2
= 3 R 2 dB + πR 2 dB = 3 3 +π R2 dB
4 dt 12 dt
12 dt
a: − ; c: +
解二 ：连接 oa ,oc , 形成闭合回路 ∆oac
×
r B
r E内
x+b
=
x
µ0 Ia dx 2π x
=
µ 0 Ia ln 2π
x+b x
=
µ 0a 2π
I 0cos ω t ⋅ ln
x+b x
I
b
φm
=
µ0a 2π
I0cosωt ⋅ ln
x
+ x
b
a
o
dS →vr x
ε = − dφm
dt
ε = µ0 I0a [ωsinωt ⋅ ln x + b + cosωt ⋅ b dx ]
dt
如果回路不闭合，需加辅助线使其闭合。
ε 大小和方向可分别确定 .
例1：长 L
以ω
的逆铜时棒针转OA动，，绕铜其棒固与定Br端垂O 直在均，匀求磁ε 场动
r B
=
中
?
⋅ ⋅ r
B
vr
ω Al
r
vr
Lr ×B
dl
o⋅
⋅
解一 ：取线元
r dl
v = ωl
( vr
×
r B
)与
r dl
同向
dε
=
(vr ×
ab = bc = R
求:金属棒中的 ε感 =?
的金属棒 ,
r ×B
o
r E外
Rh
r
r
r E内
θ
a
r dl
θ
b
r dl
c
l
R
R
解一： 感应电场分布
E内=
r 2
dB dt
E外=
R2 2r
dB dt
×
r B
o
r E外
Rh
r
r
r E内
θ
a
r dl
θ
b
r dl
c
l
R
R
E内=
r 2
dB dt
E外=
R2 2r
例2 . P 342 11 -6
如图所示，一矩形导线框在无限长载流导线I 的场
中向右运动，求其动生电动势。
解一： B = µ0 I 2πx
方向 ⊗ I
vr
×
r B
=
µ 0 Iv
方向
↑
2π x
×
r B
↑
vr
×
r B
N aP
r dl
b
→v
∫ ε动 =
(vr
×
r B)⋅
r dl
L
o
M
x
Qx
∫ ∫ =
N
(vr
求感生电场分布 .
dt
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅L⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
对称性分析（P 320 证明） 作同轴圆柱形高斯面
2R
z轴
r B
y径
x切
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
r E 感径 = 0
r E 感轴 = 0
r E感
只有以螺线管轴线为中心的圆周切向分量
感生电场线是在垂直于轴线平面内， 以轴线为中心的一系列同心圆。
2π
x
( x + b)x dt
= µ 0 I 0a [ω sin ω t ⋅ ln x + b + bv cos ω t ]
2π
x (x + b)x
第一项：ε 感
第二项：ε 动
N
∫
r ∂B S ∂t
r ⋅dS
特点 不能脱离源电荷存在 可以脱离“源”在空间传播
对场中电 荷的作用
联系
r
r
F静 = qE
r
F感 作为产生
静
ε
感
r
r
F感 = qE 感
的非静电力，可以引起导体中
电荷堆积，从而建立起静电场 .
实例：
已知半径R 的长直螺线管中电流随时间线性变化，
使管内磁感应强度随时间增大： dB = 恒量 > 0
d
(vr
×
r B)⋅
r dl
=
vBcd
=
vBr
c
+
×
r B
r
c
vr 30°
o 30°
d
a 设导线不动
∫ ε 感=
∂Br
⋅
r dS
=
k
⋅
πr
2
s ∂t
6
+
b
ε
=
ε动
+ε 感
=
vBr
−
k πr 2
6
+
自学： P 321 [例6]
例题：P 342 11 - 11
已知：I = I 0cos ω t , a , b , vr
R
or
E内
a
b
R
r E外
c
R
Q
r E感
⊥
半径
ε oa = ε oc = 0
εoac = εoa +εac +εoc = εac
通过 ∆oac 的磁通:
∫ φm =
r B
s
⋅
r dS
=
B( S∆oab
+
S扇)
=
B(
3
3 +π R2)
12
ε = − dφm =− 3 3 + π R 2 d B a : − ; c : +
≈ 111(V ⋅ m−1 )
讨论 ε 动 , ε 感 同时存在的情况 .
例：P 342 11 - 8
a
×
r B
r
c
vr 30°
o 30°
d
b
设
r B
不变：
已知：Br , dB = k > 0
dt
∠aob = 60°
,r
, vr
求：回路 codc 中 ε = ?
解： 同时存在 ε 动 , ε 感
∫ ε动 =
××
由法拉第电磁感应定律
ε = − dφm
dt
∴ dφm = −ε = ∆EK = 700eV = 700(V)
dt
e
e
（2）由对称性：
r 电子轨道上 E感 的大小相等，
指向与电子速度相反
由电动势定义：
∫ ε =
r
E
L
感
⋅
d
r l
=
E 感 ⋅ 2πr
×R
o
r
×r
B
× r×
E感
E感
=
ε 2πr
=
700 2 × 3.14 × 1
r
B
r ≥ R:
∫ dBdS = dB πR2
s dt
dt
E感
=
dB ⋅πR2
dt
2πr
=
R2 2r
dB dt
∝
1 r
注意：
（1）只要有变化磁场，整个空间
就存在感生电场
r > R处 B ≡ 0, dB = 0但
dt
r E感 ≠0
E感
∝r ∝1/ r
r
oR
（2）求感生电场分布是一个复杂问题，只要求本题 这种简单情况 .
dφm
=
µ 0 Ib 2π
x+a dx = µ0Ibln x + a
x x 2π
x
ε动
= − dφm
dt
= − dφm
dx
dx dt
=2πµx0(Ixva+ba )
方向
v
例3. P 342 11 - 5
已知： I , a , b , vr
I
求： ε 动 , U M − U N o
解： 连接 MN 构成闭合回路，
3 a2B 4
ε AD
= ε∆OAD =
dφm
dt
=
3 a2 dB 4 dt
A→D
×
r B
取三角形回路 OBC
A B
o
a
aD
2a C
φm
=
B⋅
S扇OAD
=
πa 2
6
B
ε BC
= ε ∆OBC
=
dφm
dt
= πa2
6
dB dt
B→C
梯形回路 ABCD
ε = ε AB + ε BC + ε CD + ε DA
×
r B)
⋅
r dl
+
P
(vr
×
r B)
⋅
r dl
Q
+∫
(vr
×
r B)
⋅
r dl
M
+∫
(vr
×
r B)
⋅
r dl
M
θ =0
N θ =π 2 P θ =π
Q θ =π 2
∫ ε动 =
(vr
×
r B)
r ⋅ dl
L
∫ ∫ b
=
0
µ0 Ivdl + 0+ b
2πx
0
[− µ0Ivdl ] + 0 2π ( x + a)
求：ε = ?
解： 同时存在 ε 动 , ε 感
I
b
直接由法拉第电磁感应定律求解：
a dS →Biblioteka Baidur
r B=?
dS = ?
o
x dφm = ? φm = ?
ε =?
I
b
B = µ 0I 2π x
a dS →vr
dS = adx
o
x
dφm
=
r B
⋅
d
r S
=
µ 0 Ia 2π
dx x
∫ ∫ φm =
dφm
∫ εMeN= −εNM =εMN =
N
(vr
×
r B)
⋅
r dl
∫ =
a+b
v
⋅
µ0I
cos
M
πdl= −
µ0Iv ln a + b
,
a − b 2π l
2π a − b
I
⊗
r B
↑ vr
Me
o vr × Bra
N
a+b
l
UM >UN
UM
−UN
=
µ 0 Iv 2π
ln a + b a−b
,
三 .感生电动势