ch变化中的电场和磁场动生感生电动势的计算

ab = bc = R
求:金属棒中的 ε感 =?
的金属棒 ,
r ×B
o
r E外
Rh
r
r
r E内
θ
a
r dl
θ
b
r dl
c
l
R
R
解一： 感应电场分布
E内=
r 2
dB dt
E外=
R2 2r
dB dt
×
r B
o
r E外
Rh
r
r
r E内
θ
a
r dl
θ
b
r dl
c
l
R
R
E内=
r 2
dB dt
E外=
R2 2r
静电场 起源 由静止电荷激发
电 电场线为非闭合曲线 场 线 形 状
感生电场 由变化的磁场激发
电场线为闭合曲线
r B
r dB > 0
dt
r E感
静电场
感生电场
有源
∫ ∑ r
sE静
⋅
d
r S
=
1
ε0
q内
∫无源r r
sE感 ⋅ dS = 0
性质
保守
∫r
r
L E静 ⋅dl = 0
非保守（涡旋）
∫L
rr E感 ⋅ dl =−
r ⊗B
↑ vr
Me N
vr × Bra a +b
l
穿过回路 φm 不变 .
ε
= − dφm
dt
= ε MeN
+ ε NM
=0
∫ εMeN= −εNM =εMN =
N
(vr
×
r B)
⋅
r dl
∫ =
a+b
v
⋅
µ0I
cos
M
π d l=
−
µ0Iv ln a + b
,
a − b 2π l
2π a − b
dt
如果回路不闭合，需加辅助线使其闭合。
ε 大小和方向可分别确定 .
例1：长 L
以ω
的逆铜时棒针转OA动，，绕铜其棒固与定Br端垂O 直在均，匀求磁ε 场动
r B
=
中
?
⋅ ⋅ r
B
vr
ω Al
r
vr
Lr ×B
dl
o⋅
⋅
解一 ：取线元
r dl
v = ωl
( vr
×
r B
)与
r dl
同向
dε
=
(vr ×
d
(vr
×
r B)⋅
r dl
=
vBcd
=
vBr
c
+
×
r B
r
c
vr 30°
o 30°
d
a 设导线不动
∫ ε 感=
∂Br
⋅
r dS
=
k
⋅
πr
2
s ∂t
6
+
b
ε
=
ε动
+ε 感
=
vBr
−
k πr 2
6
+
自学： P 321 [例6]
例题：P 342 11 - 11
已知：I = I 0cos ω t , a , b , vr
dt
12
dt
练习：P 342 11 -10
r ×B
o
a
A aD
已知：半径 a , 磁场 dB > 0 dt
等腰梯形边长 a , 2a
求： 各边 ε感 , ε 总
2a
解： 连接 OA , OD
B
C
r E 感 ⊥ 半径
εOA = εOD = εAB = εCD = 0
取三角形回路 OAD
φm = B⋅ S∆OAD =
求：ε = ?
解： 同时存在 ε 动 , ε 感
I
b
直接由法拉第电磁感应定律求解：
a dS →vr
r B=?
dS = ?
o
x dφm = ? φm = ?
ε =?
I
b
B = µ 0I 2π x
a dS →vr
dS = adx
o
x
dφm
=
r B
⋅
d
r S
=
µ 0 Ia 2π
dx x
∫ ∫ φm =
dφm
R
or
E内
a
b
R
r E外
c
R
Q
r E感
⊥
半径
ε oa = ε oc = 0
εoac = εoa +εac +εoc = εac
通过 ∆oac 的磁通:
∫ φm =
r B
s
⋅
r dS
=
B( S∆oab
+
S扇)
=
B(
3
3 +π R2)
12
ε = − dφm =− 3 3 + π R 2 d B a : − ; c : +
= πa 2 dB − 3 a 2 dB = (π − 3 )a 2 dB
+
6 dt 4 dt 6 4 dt
练习：P 342 11 -9
已知： q = −e , r = 1.0m < R , ∆EK = 700eV
求： dφm
dt
r
, E感
解： （1）由动能定理
×R
o
r
×r
B
∆EK = A = qε = −eε
∫ εMeN= −εNM =εMN =
N
(vr
×
r B)
⋅
r dl
∫ =
a+b
v
⋅
µ0I
cos
M
πdl= −
µ0Iv ln a + b
,
a − b 2π l
2π a − b
I
⊗
r B
↑ vr
Me
o vr × Bra
N
a+b
l
UM >UN
UM
−UN
=
µ 0 Iv 2π
ln a + b a−b
,
三 .感生电动势
r Er感
L
E感
作如图环路 L
∫L
r E感
⋅
r dl
=
E感
⋅
2πr
× R
r
oBr
I
∫ ∫ = −
s
r ∂B ∂t
⋅
r dS
=
−
∫s
dB dt
dScosπ
=
dB dS
s dt
∫ r ≤ R : dBdS = dB πr 2
s dt
dt
E感
=
dB ⋅πr 2
dt
2πr
=
r 2
dB dt
∝
r
L
L
× R
r
3 a2B 4
ε AD
= ε∆OAD =
dφm
dt
=
3 a2 dB 4 dt
A→D
×
r B
取三角形回路 OBC
A B
o
a
aD
2a C
φm
=
B⋅
S扇OAD
=
πa 2
6
B
ε BC
= ε ∆OBC
=
dφm
dt
= πa2
6
dB dt
B→C
梯形回路 ABCD
ε = ε AB + ε BC + ε CD + ε DA
•产生 FεrK动的=非fr静m 电=力q:vr洛×仑B兹r 力的一个分力
r EK
=
vr
×
r B
•计算（两种方法）
（1）由电动势定义求
∫ ∫ ε 动 =
rr L EK ⋅ dl =
(vr
×
r B
)
⋅
r dl
L
∫ ε 动 =
+
(
vr
×
r B
)
⋅
r dl
−
（经内电路）
（2）由法拉第定律求 ε = − dψm
x+b
=
x
µ0 Ia dx 2π x
=
µ 0 Ia ln 2π
x+b x
=
µ 0a 2π
I 0cos ω t ⋅ ln
x+b x
I
b
φm
=
µ0a 2π
I0cosωt ⋅ ln
x
+ x
b
a
o
dS →vr x
ε = − dφm
dt
ε = µ0 I0a [ωsinωt ⋅ ln x + b + cosωt ⋅ b dx ]
求感生电场分布 .
dt
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅L⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
对称性分析（P 320 证明） 作同轴圆柱形高斯面
2R
z轴
r B
y径
x切
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
r E 感径 = 0
r E 感轴 = 0
r E感
只有以螺线管轴线为中心的圆周切向分量
感生电场线是在垂直于轴线平面内， 以轴线为中心的一系列同心圆。
= µ0 Iv ( b − b ) 2π x x + a