小波变换在图像压缩中的应用

二维小波在图像压缩中的应用研究

学院：电气与自动化工程学院

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二维小波在图像压缩中的应用研究

图像压缩是将原来较大的图像用尽量少的字节表示和传输，并要求图像有较好的质量。通过图像压缩，可以减轻图像存储和传输的负担，提高信息传输和处理速度。小波变换已广泛应用到图像的各种处理环节中，这里我结合小波分析和基于小波变换的图像压缩基本原理，用Matlab 实现一个小波图像压缩算法。

1. 小波分析

1.1 一维连续小波变换

定义：设)()(2R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(ˆωψ

，当)(ˆωψ满足允许条件(完全重构条件或恒等分辨条件)

⎰=R d C ωωωψψ2

)(ˆ< ∞ (1) 时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得

)(1

)(,a

b t a t b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (2) 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为

dt a b t t f a

f b a W R b a f )()(,),(2/1,->==<⎰-ψψ (3) 其重构公式(逆变换)为

⎰⎰∞∞-∞

∞--=dadb a b t b a W a C t f f )(),(11

)(2ψψ (4) 由于基小波)(t ψ生成的小波)(,t b a ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以)(t ψ还应该满足一般函数的约束条件

⎰∞

∞-dt t )(ψ〈∞ (5)

故)(ˆωψ

是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，)(ˆωψ在原点必

须等于0，即

0)()0(ˆ==⎰∞

∞-dt t ψψ (6) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波)(t ψ的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：

∑∞∞--≤≤B A j 2

)2(ˆωψ

(7) 式中0〈A ≤B 〈∞

从稳定性条件(7)可以引出一个重要的概念。

定义(对偶小波)：若小波)(t ψ满足稳定性条件(7)式，则定义一个对偶小波)(~t ψ

，其傅立叶变换)(ˆ~ωψ由下式给出： ∑∞-∞=-=j j 2)2()

(*)(ˆ~ωψωψωψ (8)

稳定性条件(7)式实际上是对(8)式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。连续小波变换具有以下重要性质：

(1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。

(2)平移不变性：若f(t)的小波变换为),(b a W f ，则)(τ-t f 的小波变换为),(τ-b a W f 。

(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为),(b a W f ，则f(ct)的小波变换为0),,(1>c cb ca W c

f 。 (4)自相似性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相似的。

(5)冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。

小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：

(1)由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。

(2)小波变换的核函数即小波函数)(,t b a ψ存在许多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。

小波变换在不同的(a ，b)之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。

1.2 高维连续小波变换

对)1)(()(2>∈n R L t f n ，公式

⎰⎰∞∞-∞

∞--=dadb a b t b a W a C t f f )(),(11

)(2ψψ (9) 存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波)()(2n R L t f ∈使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称，

)()(ˆωηωψ

= (10) 并且其相容性条件变为

∞<=⎰∞t

dt t C 022)()

2(ηπψ (11) 对所有的)(,2n g L g f ∈。 f C db b a W b a W a da g f n <=⎰∞

+ψ),(),(01 (12)

这里，),(b a W f =〈b a ,ψ〉，)()(2/,a b t a t n b a -=-ψψ，其中0,≠∈+a R a 且n R b ∈，公式(5)也可以写为

⎰⎰∞

+-=0,11),(db b a W a

da C f b a R f n n ψψ (13) 如果选择的小波ψ不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义

))(()(11,,a

b t R a t b a -=--θθψψ (14)

这里，2,0R b a ∈>，⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=θθθθθcos sin sin cos R ，相容条件变为 ⎰⎰

∞<=∞πψθθθψπ20202)sin ,cos (ˆ)2(d r r r dr C (15) 该等式对应的重构公式为

⎰⎰⎰∞

-=020

,,31),,(2πθψθψθd b a W db a da C f b a f R (16) 对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。

2． 二维小波进行图像压缩的原理

小波变换用于图像压缩的基本思想，是用二维小波变换算法对图像进行多分辨率分解，每次小波分解将当前图像分解成四块子图，其中一块对应平滑板块，另外3块对应细节板块。由于小波变换的减抽样性质，经若干次小波分解后，平滑板块系数和所有细节板块系数生成的小波图像具有原图像不同的特性，能量主要集中在其中低频部分的平滑板块，而细节所对应的水平、垂直和对角线的能量较少，它们表征了一些原图像的水平、垂直和对角线的边缘信息，具有的事方向特性。对于所有图像，根据人眼的敏感程度不同，进行不同的量化和编码处理以达到对原图像的高压缩比，对于平滑板块大部分或者完全保留，对于高频信息根据压缩的倍数和效果要求来保留。系数编码是小波变化用于图像压缩的核心，压缩的实质实系数的量化压缩。

图像压缩经过小波变换后生成的子图像数据总量和原数据的数据总量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能，必须结合其他编码技术对小波系数编码才能实现压缩目的。所以，基于小波变化的图像压缩方法一般分为以下三个步骤：

1） 利用二维离散小波变换将图像分解为低频近似分量和高频水平、高平垂

直、高频对角细节分量。

2） 根据人的视觉特性对低频和高频分量分别做不同的量化，即压缩。

3） 利用逆小波变化重构图像，系数反量化，进行解压缩。

3.二维小波在图像压缩中应用

源程序：

close all; %关闭当前所有图形窗口，清空工作空间变量，清除工作空间所有变量 clear all;