习题和答案

第三章 习题

1. 考虑如下贝叶斯博弈：（1）自然决定支付矩阵（a ）或(b)，概率分别为u 和1u -；（2）参与人1知道自然的选择，即知道自然选择支付矩阵（a ）或(b)，但是参与人不知道自然的选择；（3）参与人1和参与2同时行动（参与人1选择T 或B 时不知参与人的选择，参与人2选择L 或R 不知参与人1的选择）。给出这个博弈的扩展式表述并求纯战略贝叶斯均衡。

2. 考虑如下扰动的性别战博弈,其中i t 服从[]0,1的均匀分布, 01ε<<，1t 和2t 是独立的, i t 是参与人i 的私人信息。 a.求出以上博弈所有纯战略贝叶斯均衡。

b.证明当0ε→时，以上贝叶斯均衡和完全信息的混合战略纳什均衡相同。

3. 考虑如下标准式博弈的均衡，存在的唯一纳什均衡就是每个参与人i 都以1/2的概率选择H 。利用海萨应纯化定理，构造一个扰动的不完全信息博弈，其纯战略贝叶斯纳什均衡收敛于以下完全信息的混合战略均衡（Gibbons 书中习题3.5）。

4. 在一个5人参加的私人价值的一级价格拍卖中0.82i i b v =+是贝叶斯纳什均衡，

i b 是参与i 的叫价，i v 是参与人i 的价值信息，独立的服从于[]6,7的均衡分布。利用显示原理构造一个直接机制，均衡结果与以上贝叶斯纳什均衡完全相同。

5. 一个垄断企业的成本函数为().c q q k θ=+,其中q 是产量，θ为边际成本，k 是固定成本。假定θ是私人信息，固定成本k 和市场需求()q q p =是共同信息。考虑如下直接机制{(),(),},p T θθθ其中p 为政府规定的价格，T 是政府对企业的补偿，θ是企业自己报告的成本。

a.证明如果(),(),p T k θθθ==则企业会谎报边际成本。

b.在()p θθ=时，如何规定()T θ才能诱使企业说实话。

6. 两个企业同时决定是否进入一个市场。企业i 的进入成本[0,)i θ∈∞是私人信息，

i θ是服从分布函数()i F θ的随机变量以及分布密度()i f θ严格大于零，

并且1θ和2θ两者独立。如果只有一个企业进入，进入企业i 的利润函数m i πθ-；如果两

个企业都进入，则企业i 的利润函数为d i πθ-；如果没有企业进入，利润为零。假定m π和d π是共同知识，且0m d ππ>>，计算贝叶斯均衡并证明对称均衡是唯一的。

7. 考虑如下结构的非对称信息的古诺博弈。市场逆需求函数p a Q =-，企业的成本函数为11(c q q ⋅为企业1的产量水平）；企业2的成本函数为22c q ⋅2(q 为企业

2的产量水平)，2c 可能取值为2(1,2,3,4)i c i =。企业2知道2c 确切取值，但是企业1不知道其确切值，只知道22i c c =的概率为0.25。现在假定两个企业同时

选择产量水平，且以上博弈结构是共同知识，求解均衡时企业的产量的水平。

8. 考虑如下非对称信息的产品差异化的伯川德博弈：企业i 的市场需求

i i i j q a p b p =--⋅，两个企业生产成本都为零；1b 取值是H b 或L b 且0H L b b >>，且1H b b =的概率为θ，而2(1)H L b b b θθ=+-；1b 是企业1的私人信息，2b 是共同信息。现假定两个企业同时选择价格，以上博弈结构是共同知识，求解以上博弈的贝叶斯纳什均衡（摘自Gibbons 书上习题3.3）。

9. 考虑两个参与人的公共物品供模型。参与人1和2同时决定是否提供某项公共物品，提供公共物品是0—1决策。如果任何一个参与人i 已经提供公共物品，则每个参与人j 都可以得到效用4。参与人i 提供公共物品成本i c 是在都定义域为 [], c c ，分布函数为(.)F 的随机变量，而且提供成本是参与人私人信息（摘自Tirole 和Fudenberg 例子6.1）。

a.如果成本服从[]2, 6 均匀分布，求解其对称均衡。

b.证明如果满足条件44(4), 4c F c c ≥-≤≤，证明以上博弈存在非对称均衡。

10.考虑n 个参与人的公共物品供模型。所有参与人同时决定是否提供某项公共物品，提供公共物品是0—1决策。如果任何(1)k k n <≤个或者以上的参与人已经提供公共物品，则每个参与人j 都可以得到效用1，否则就是0。参与人i 提供公共物品成本i c 是在都定义域为 []0, 2上的均匀分布的随机变量，而且提供成本是参与人私人信息，求出两个对称贝叶斯纳什均衡（改自Tirole 和Fudenberg 练习6.1）。

11.在2n +人参加的私人价值拍卖，参与人的类型i V 都服从[]0,M 上的均匀分布，

参与人的类型i V 是私人信息，i V 的分布是共同知识。 a.如果实行一级价格拍卖，则求对称的贝叶斯纳什均衡。 b.如果实行二级价格拍卖，则求其贝叶斯纳什均衡。 c.在以上两种类型拍卖中，证明拍卖人的期望收入相同。

12. 在一个三人参加的一级价格拍卖中，参与人i 的类型i t 都服从[]0,2 的均匀分布，

而且12t t 、和3t 的分布独立。i t 是参与人i 的私人信息，即参与人i 只知道i t 的确切值，而不知道)j t j i ≠（确切值，仅仅知道j t 的分布。（根据Myerson 书中练习3.7和3.8加以改编）。

a.如果2(0, 1,2,3)i i V t i λλ=⋅+>=，其中i V 表示物品对参与人i 的价值，则求解此时对称的贝叶斯纳什均衡。

b.如果(0, ,,1,2,3,)i i j k V t t t i j k i j k λλ=⋅++>=≠≠，其中i V 表示物品对参与人 i 的价值，则求解此时对称的贝叶斯纳什均衡。

c.a 中标价高于b 中的，说明理由。

13. 考虑一个离散两个参与的一级价格私人价值拍卖。物品对于参与人i 的私人价值

i V 是私人信息，i V 都取两个值：,, θθθθ<。参与人1的私人价值1V θ=的概率是1F ，参与人1的私人价值2V θ=的概率是2F ，以上信息都是共同知识。根据拍卖理论求出以上博弈的贝叶斯纳什均衡。