2019届福建省福州第一中学高三上学期开学质检数学(理)试题
福建省福州第一中学2019届高三上学期开学质检数学(理)试题
福州一中2019届高三理科数学期初调研试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数z，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞0} D．A∩B＝∅3．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．4．已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a5．如图，八边形ABCDEFGH是一个正八边形，若在正八边形内任取一点，则该点恰好在四边形ACEG内的概率是（）A．B．C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，若此三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．32πB．50πC．72πD．98π7．某校高三年级有1000名学生，其中理科班学生占80%，全体理科班学生参加一次考试，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），若考试成绩不低于60分为及格，则此次考试成绩及格的人数约为（）（参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974）A．778 B．780 C．782 D．7848．已知函数f（x）＝cos（），把函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则下面结论正确的是（）A．函数g（x）是偶函数B．函数g（x）的最小正周期是4πC．函数g（x）在区间[π，3π]上是增区数D．函数g（x）的图象关于直线x＝π对称9．中国古代数学名著《九章算术》中的“蒲莞生长”是一道名题根据该问题我们改编一题：今有蒲草第一天长为三尺，莞草第一天长为一尺，以后蒲草的生长长度遂天减半，莞草的生长长度逐天加倍，现问几天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍，以下给出了问题的四个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A．2.6日B．3.0日C．3.6日D．4.0日10．在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD 分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（）A．1 B．C．D．11．倾斜角为的直线经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）与g（x）＝3elnx+mx的图象有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（0，）C．（﹣1，3）D．（0，3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为．14．在（x）6的展开式中，x3的系数为．15．已知抛物线C1的顶点在坐标原点，准线为x＝﹣3，圆C2：（x﹣3）2+y2＝1，过圆心C2的直线l与抛物线C1交于点A，B，l与圆C2交于点M，N，且|AM|＜|AN|，则|AM||BM|的最小值为．16．已知数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝a n+6n+3，数列{b n}满足b n＝n．，则数列{b n}的最大项为第项三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）若a，b，求边c的长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的点，且EA＝EB ＝ED＝AB，延长CE交AD于点F．（1）若G为PD的中点，求证平面P AD⊥平面CGF；（2）若AD＝AP＝6，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．19．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），左、右顶点分别为M，N，点P是E 在第一象限上的任意一点，且满足k PM•k PN＝8．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线PN与双曲线E的渐近线在第四象限的交点为A，且△P AF的面积不小于3，求直线PN 的斜率k的取值范围．20．某水产养殖户在鱼成熟时，随机从网箱中捕捞100尾鱼，其质量分别在[4，4.5），[4.5.5），[5.5.5），[5.5，6），[6，6.5），[6.5，7]（单位：斤）中，经统计得频率分布直方图如图所示（1）现按分层抽样的方法，从质量为[4.5，5），[5，5.5）的鱼中随机抽取5尾，再从这5尾中随机抽取2尾，记随机变量X表示质量在[4.5，5）内的鱼的尾数，求X的分布列及数学期望．（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，该养殖户还未捕捞的鱼大约还有1000尾，现有两个方案：方案一：所有剩余的鱼现在卖出，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤10元，质量高于5.5斤的鱼售价为每斤12元方案二：一周后所有剩余的鱼逢节日卖出，假设每尾鱼的质量不变，鱼的数目不变，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤15元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾22元；质量高于5.5斤的鱼售价为每斤16元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾24元通过计算确定水产养殖户选择哪种方案获利更多？21．已知函数f（x）＝e x．（1）若f（x）的图象在x＝a处切线的斜率为e﹣1，求正数a的值；（2）对任意的a≥0，f（x）＞2lnx k恒成立，求整数k的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线的方程为2ρcosθ+5ρsinθ﹣8＝0，曲线E的方程为ρ＝4cosθ．（1）以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，分别写出直线l与曲线E的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线E交于A，B两点，点C在曲线E上，求△ABC面积的最大值，并求此时点C的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]设函数f（x）＝|3x﹣4|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若存在实数x满足ax+a≥f（x）成立，求实数a的取值范围．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．D2．C3．C4．B5．A6．B7．C8．C9．C10．B11．D12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．由z＝3x+2y得y x，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y x由图象可知当直线y x经过点A时，直线y x的截距最小，此时z也最小，由，解得A（﹣1，﹣1）将A（﹣1，﹣1）代入目标函数z＝3x+2y，得z＝﹣5．14．由题意T r+1•x6﹣r•••x6﹣r•••．∵6r＝3，解得r＝2．∴x3的系数为．15．设抛物线的方程：y2＝2px（p＞0），由准线方程x＝﹣3，可得3，即p＝6，抛物线的标准方程为y2＝12x，焦点坐标F（3，0），圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的圆心为（3，0），半径为1，由直线AB过抛物线的焦点，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），由ρ，可得，|AM||BM|＝|AF|﹣1（|BF|+1）＝|AF||BF|＝3（）（|AF||BF|）＝3（）3（2）6，当且仅当|BF|＝2|AF|＝9时取得等号，则|AM||BM|的最小值为6．16．数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝a n+6n+3，则a n+1﹣a n＝6n+3，整理得a n﹣a n﹣1＝6（n﹣1）+3，…a2﹣a1＝6×1+3，利用叠加法得到a n﹣a1＝6（1+2+…+n﹣1）+3（n﹣1），解得a n＝3（n﹣1）（n+1），故，所以足b n＝n．．＞即＞，整理得＞，即＜，当＞n≥1时，b n单调递增，当＞时，单调递减，n＝10时，b10＝110•（）9，n＝11时，b11＝132•（）10，＞1，即b11＞b10，故当n＝11时，数列{b n}存在最大项为第11项．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（1）∵，∴，∴可得cos A，由A∈（0，π），可得A．（2）∵a，b，A，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：21＝3+c2﹣2，即c2﹣3c﹣18＝0，∴解得c＝6，或﹣3（舍去）．18．（1）证明：在△BCD中，EB＝ED＝EC＝BC，∴∠BCD，∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，∴∠FED＝∠FEA＝∠AEB，EC＝EA，∴∠FED＝∠FEA，ED＝EA，∴EF⊥AD，AF＝DF，∵PG＝DG，∴FG∥P A，∵P A⊥平面ABCD，∴GF⊥平面ABCD，∴GF⊥AD，∵GF∩EF＝F，∴AD⊥平面CFG，∵AD⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面CGF．（2）解：由（1）知∠BCD，∵△DAB≌△DCB，∴AB⊥AD，∵AD＝AP＝6，，，∴AB＝2，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，6），B（0，2，0），C（3，3，0），D（6，0，0），（0，2，﹣6），（3，3，﹣6），（6，0，﹣6），设平面BCP的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，﹣1），设平面DCP的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，1），设平面BCP与平面DCP所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ．∴平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值为．19．（1）设P（x0，y0），则k PM，k PN，∴k PM•k PN8，即8x02﹣8a2，又P（x0，y0）是双曲线上的点，∴1，即y02x02﹣b2，∴8，又双曲线的右焦点为（3，0），∴a2+b2＝9．∴a2＝1，b2＝8，∴双曲线的方程为：x21．（2）由（1）可知N（1，0），双曲线的过第四象限的渐近线方程为y＝﹣2x，设直线PN的方程为：x＝my+1，则直线PN的斜率为k，显然m＞0．联立方程组，可得y A，联立方程组，可得y P，∴S△P AF（y P﹣y A），令3，解得m，∴0＜，即0＜k．20．（1）质量在[4.5，5）和[5，5.5）的鱼尾数比为0.2：0.3，即2：3．故按分层抽样的方法，从质量为[4.5，5），[5，5.5）的鱼中随机抽取5尾，质量在[4.5，5）的鱼有2尾，质量在[5，5.5）的鱼有3尾，故X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），X的分布列为：EX＝012．（2）故按若按方案一，卖鱼所得收入为：4.25×10×1000×0.2×0.5+4.75×10×1000×0.2×0.5+5.25×10×1000×0.3×0.5+5.75×12×1000×0.8×0.5+6.25×12×1000×0.4×0.5+6.75×12×1000×0.1×0.5＝4250+4750+7875+27600+15000+4050＝63525（元），若按方案二，卖鱼所得收入为：4.25×15×1000×0.2×0.5+4.75×15×1000×0.2×0.5+5.25×15×1000×0.3×0.5+5.75×16×1000×0.8×0.5+6.25×16×1000×0.4×0.5+6.75×16×1000×0.1×0.5﹣24×1000＝6370+7125+11812.5+36800+20000+5400﹣24000＝63507（元）．∵63525＞63507，∴水产养殖户选择方案一获利更多．21．（1），∵在x＝a处切线的斜率为e﹣1，∴，又a＞0，∴a＝1；（2）由题意，＞，即＜，令，函数g（a）为一次函数，且为增函数，∴g（a）≥g（0）＝e x﹣2lnx，∴＜＞，令h（x）＝e x﹣2lnx，（x＞0），则，＞，∴函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，又x→0时，h′（x）→﹣∞，x＝1时，h′（1）＝e﹣2＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h′（x）＜0，h（x）为减函数，x∈（x0，+∞），使得h′（x）＞0，h（x）为增函数，∴，令，，，易知，函数m（x）在（0，1）上单调递减，∴m（x）＞m（1）＝2，∴＜，即k＜4，故整数k的最大值为3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（1）直线的方程为2ρcosθ+5ρsinθ﹣8＝0，转换为直角坐标方程为2x+5y ﹣8＝0，曲线E的方程为ρ＝4cosθ．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4x，转换为标准式为（x﹣2）2+y2＝4．（2）直线l与曲线E交于A，B两点，点C在曲线E上，所以圆心（2，0）到直线2x+5y﹣8＝0的距离d，所以|AB|＝2，所以．所以经过圆心且垂直于直线2x+5y﹣8＝0的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0，所以交点C的坐标满足解得，所以点C坐标为（，）．23．[选修4-5：不等式选讲]（1）f（x）＝|3x﹣4|﹣|x+1|，＞，，＜．∵f（x）＞5，∴＞＞或＞或＞＜，∴x＞5或﹣1≤x＜或x＜﹣1，∴x＜或x＞5，∴不等式的解集为{x|x＜或x＞5}；（2）由（1）知，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增，且．在直角坐标系中画出函数y＝f（x）和y＝ax+a的图象，如图所示．由图象可知当直线y＝ax+a过A（，）时，a＝﹣1，当a＝﹣2时，直线y＝ax+a与直线y＝﹣2x+5平行．∵存在实数x满足ax+a≥f（x）成立，∴由图象可知a＜﹣2或a≥﹣1，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞）．。
福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题
试卷第1页，总21页2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷1.设复数z 满足i 1i z ，则z 的共轭复数为A.1iB. 1iC.1iD.1i2.已知集合2213,20A x x Bx xx ，则A B U =A.12x xB.11x x C.211x x x ，或 D.1x x3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列na 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ，则5S A. 32 B. 31C. 64D.635. 已知sinπ162，且2θπ0,，则π3cos=A. 0B.12C. 1D.326.设抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PAl ，A 为垂足．若直线AF的斜率为3，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 837.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.32 B.16C.323D.8038.已知函数()2sinf x x0,图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2上的值域是A. 1,12B.1,1 C.0,2D.1,29. 已知g x 为偶函数，h x 为奇函数，且满足2xg x h x．若存在11x，，使得不等式0m g x h x有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35C. 1D.35第7题图。
2019年福州市质检理科试卷与解答
2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A.1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -【简解】因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则AB =A. {}12x x <<B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >- 【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1AB x x =>-，故选D ．3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20，故选C ． 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64aa a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63【简解】解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ．5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 32【简解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 83【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=， 4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为22334=4344FA ⨯=⨯．故选B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=，所以23AQ =，所以23n =±，又因为24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11423=4322PA n ⨯⨯=⨯⨯．故选B ． 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三第7题棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是 A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω．0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得 =6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ．9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 【简解】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141xy =-+为增函数，∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ．10.如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为A.22157-+ B. 23 C. 22157+ D.32【简解】连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22c QF =．由双曲线定义知122cQF a =+，在12Rt F QF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得C 的离心率22157e +=，故选C ．11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34πB.2π C.32π D.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心,1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C. 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n ++=++，则8a =A.64892- B. 32892- C. 16892- D. 7892- 【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 第10第11题图所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1lg 2lg n n b b +=，又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列. 所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n na -=-，将8n =代入，选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测数学(理科)试题(解析版)
2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟：满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解绝对值不等式，求出集合A，之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得，所以，又，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算，属于简单题目.2.已知复数满足，则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目. 3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 2B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式求出函数的导函数，把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令和，求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解. 【详解】由题意得，所以，则在点处的切线斜率为， 所以切线方程为：，即，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积， 故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线的切线方程，直线方程的点斜式，三角形的面积公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 4.已知等差数列的前项和为，且，，则A. 20B. 40C. 60D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用等差数列的性质，以及题中所给的条件，求得，之后应用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】等差数列中，前n 项和为，且， 因为由等差数列的性质可知，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题，涉及到的知识点有等差数列性质，等差数列的求和公式，属于基础题目.5.给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②定义在上的偶函数的最大值为30；③命题“，”的否定形式是“，”.其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对于①，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于②，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于③，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果.【详解】对于①，当时，一定有，但是当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以②正确；对于③，命题“，”的否定形式是“，”，所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，将圆化为标准方程得，所以其圆心为，半径为2，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，即，整理得，因为，所以有，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，直线与圆相切的条件，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于中档题目.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分别为3、3，则输出的值为A. 143B. 48C. 16D. 5【答案】B【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为48.【详解】初始值，程序运行过程如下表所示：，，，，，不满足条件，跳出循环，输出的值为48，故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题，在解题的过程中，注意在什么情况下跳出循环，属于简单题目.8.某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的几何体的三视图，还原几何体，得出其为底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，利用面积公式求得各个侧面的面积，比较大小得出结果.【详解】分析其三视图，可以确定该几何体是底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是；；；；利用面积公式求得各侧面的面积，比较大小可知最大的是，故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，判断侧面三角形的形状，比较各三角形面积的大小，属于中档题目.9.已知点是内部一点，且满足，又，，则的面积为A. B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心，根据重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积.【详解】因为，所以O为的重心，所以的面积是面积的，因为，所以，因为，所以，所以，所以的面积为1，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题，涉及到的知识点有三角形的重心的性质，向量的数量积运算，三角形的面积公式，属于中档题目.10.已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原则，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11.如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得f（x）的分段函数式，由条件可得a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），画出g（x）的图象，结合图象可得a的范围．【详解】根据题意可知f（x），不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．【点睛】本题考查直线方程的求法，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题．12.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中的条件，结合函数的定义域，对不等式进行变形，之后将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最大值，从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立，因为，所以不等式可化为：恒成立，令，，可求得当时，，当时，，所在上单调增，在上单调减，所以，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题，在解题的过程中，将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数，利用导数研究函数的最大值，再者就是利用题的条件，大于其最大值，可以到正无穷，只有A项满足条件，从而很容易求得结果.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省福州市2019届高三上学期教学质量抽测理科数学(解析版)
离心率为（ ）
3
A．
2
6．答案：A
2
B．
3
6
C．
2
9
D．
4
解析：双曲线的渐近线方程为 y b x ，即 bx ay 0 ，圆 x2 y2 6 y 5 0 化为标准方程是 a
x2 ( y 3)2 4 ，若渐近线与此圆相切，则
3a
3a
c3
2 ，即 e ．
a2 b2 c
a2
p
p
2p 1 1 2
则 AF
, BF
, AB
, ；
1 cos
1 cos
sin2 AF BF p
（4）以 AB 为直径的圆与其准线相切，以 AF 为直径的圆与 y 轴相切．
16．函数
f
(x)
cos 2x
(sin
x
cos
x)
在区间 0, 2
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
16．答案：[ 2, )
边）；
2 2 2 （4） OA OB OC O 为△ABC 的外心；
（5）若 AP
AB
AC
, [0, ) 点 P 的轨迹经过△ABC 的内心；
AB AC
（6）若 AP
AB
AC
, [0, ) 点 P 的轨迹经过△ABC 的垂心；
AB cos B AC cos C
8．某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为（ ）
1
正视图 2
1 侧视图
1 俯视图
A． 2
B．1
3
C．
2
6
D．
2
8．答案：D
福建省2019届高三质量检查数学试卷(理)
准考证号 姓名（在此试卷上答题无效）保密★启用前普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x，则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x（3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)（5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为A.101 B.51 C.103 D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.π6B.π7C.π12D.π14（8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432（9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a （10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为 A.0>a B.10≤<a C.1≥a D.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年福建省福州市高考数学一模试卷(理科)
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A.1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则AB =A. {}12x x <<B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数1234567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2%以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64aa a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 3 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 837.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.8038.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图第7题图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2-9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 10.如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为A. 2215-+B. 23C. 2215+ D.3211.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34πB.2π C.32π D.94π 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124nn n n n a a a na n++=++，则8a =A.64892-B. 32892-C. 16892-D. 7892-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量,a b ，满足3a b b +=，则a 与b 的夹角为__________． 14. 已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是 ．15. ()()2511ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为__________． 16.已知函数()2e()ln 2ex f x a x =-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________．第10题图第11题图三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 成等差数列，且32b =． （1）求ABC △的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围． 18. （12分）如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ， Q 为PB 中点． (1) 求证：AQ ⊥平面 PBC ；(2)求二面角B PC D --的余弦值． 19.（12分）最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都过月收入13的在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[)03，，[)36，，[)69，，[)912，，[]1215，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：月收入 [)03，[)36，[)69，[)912，[]1215，户数38272492（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M 的概率；（2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的22⨯列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关. 幸福指数低 幸福指数高总计甲小区租户 乙小区租户总计第18题()2P K k ≥0.10 0.010 0.001 k2.7066.63510.828参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20. （12分）已知圆O ：222x y r +=，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短半轴长等于圆O 的半径，且过C 右焦点的直线与圆O 相切于点132D ⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线l 与圆O 相切，且与C 相交于,A B 两点，求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值. 21. （12分） 已知函数()()()ln 11xf x a x a x=-+∈+R ，2m 12e e ()x g x x +=-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，[]12,0,e x x ∀∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. 22. [选修44-：坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为123x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当AB OP =时，求a 的值. 23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷1.因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1A B x x =>-，故选D ．3.A 中的m 值应为12;B 中应为380人;C 是正确的;D 中的分段间隔应为20，故选C ．4.解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ． 5. 解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为3 2FQ =， 60AFQ ∴∠=， 4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为22334=4344FA =B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF 的斜率为3， 2FQ =，60AFQ ∴∠=，所以23AQ =23n =±24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11423=4322PA n ⨯⨯=⨯⨯．故选B ． 7.由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω． 0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得 =6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ．9. 由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141x y =-+为增函数，∴max231415x⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ． 10.连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22cQF =．由双曲线定义知122c QF a =+，在12Rt F QF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得C 的离心率22157e +=，故选C ． 11.正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心,1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C. 12. 因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 第10第11题图所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1lg 2lg n n b b +=，又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列.所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n na -=-，将8n =代入，选A. 法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
2019年福州市质检理科数学试卷
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数1234567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 326.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥错误！未找到引用源。
福建省福州市2019届高三上学期质量抽测数学(理科)试题
福建省福州市2019届高三上学期质量抽测数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解绝对值不等式，求出集合A，之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得，所以，又，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算，属于简单题目.2.已知复数满足，则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据求导公式求出函数的导函数，把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令和，求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解.【详解】由题意得，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为：，即，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线的切线方程，直线方程的点斜式，三角形的面积公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和为，且，，则A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】首先利用等差数列的性质，以及题中所给的条件，求得，之后应用等差数列的求和公式求得结果.【详解】等差数列中，前n项和为，且，因为由等差数列的性质可知，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题，涉及到的知识点有等差数列性质，等差数列的求和公式，属于基础题目.5.给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②定义在上的偶函数的最大值为30；③命题“，”的否定形式是“，”.其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对于①，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于②，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于③，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果.【详解】对于①，当时，一定有，但是当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以②正确；对于③，命题“，”的否定形式是“，”，所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，将圆化为标准方程得，所以其圆心为，半径为2，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，即，整理得，因为，所以有，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，直线与圆相切的条件，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于中档题目.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分别为3、3，则输出的值为A. 143B. 48C. 16D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为48.【详解】初始值，程序运行过程如下表所示：，，，，，不满足条件，跳出循环，输出的值为48，故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题，在解题的过程中，注意在什么情况下跳出循环，属于简单题目.8.某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的几何体的三视图，还原几何体，得出其为底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，利用面积公式求得各个侧面的面积，比较大小得出结果.【详解】分析其三视图，可以确定该几何体是底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是；；；；利用面积公式求得各侧面的面积，比较大小可知最大的是，故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，判断侧面三角形的形状，比较各三角形面积的大小，属于中档题目.9.已知点是内部一点，且满足，又，，则的面积为A. B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心，根据重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积.【详解】因为，所以O为的重心，所以的面积是面积的，因为，所以，因为，所以，所以，所以的面积为1，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题，涉及到的知识点有三角形的重心的性质，向量的数量积运算，三角形的面积公式，属于中档题目.10.已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原则，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11.如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得f（x）的分段函数式，由条件可得a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），画出g （x）的图象，结合图象可得a的范围．【详解】根据题意可知f（x），不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．【点睛】本题考查直线方程的求法，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题．12.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中的条件，结合函数的定义域，对不等式进行变形，之后将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最大值，从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立，因为，所以不等式可化为：恒成立，令，，可求得当时，，当时，，所在上单调增，在上单调减，所以，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题，在解题的过程中，将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数，利用导数研究函数的最大值，再者就是利用题的条件，大于其最大值，可以到正无穷，只有A项满足条件，从而很容易求得结果.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年5月福州一中高三模拟考试理科数学参考答案
2019年5月福州一中高三模拟考试理科数学参考答案一．选择题（每题5分，共60分）二．填空题（每题5分，共20分） 13.3π14.2- 15.3 16.6 三．解答题（必考题每题12分，选考题每题10分）17.解：（1）易得λ=2a ，13+=λa ，λ24=a ..............................（2分） 1a ，2a ，4a 成等比数列4122a a a ⋅=∴，λλ212⋅=∴，2=∴λ或0=λ（舍去）2=∴λ..............................（4分）（2）方法一：2=λ ，121+=+∴+n a a n n ..............................（5分） n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++⋅⋅⋅++++=- )12(1173-+⋅⋅⋅+++=n22)123(22n n n n+=-+=..............................（8分） n 为奇数时，)()()(154321n n n a a a a a a a S ++⋅⋅⋅+++++=- )12(13951-+⋅⋅⋅++++=n22)121(212n n n n +=-++=..............................（11分） 综上，{}n a 的前n 项和.22nn S n +=..............................（12分） 方法二：2=λ ，121+=+∴+n a a n n由⎩⎨⎧+=++=++++3212211n a a n a a n n n n ，得，22=-+n n a a ..............................（6分）n 为奇数时，n n a a n =⋅-++=2)121(1..............................（8分） n 为偶数时，n na a n =⋅-+=2)12(2..............................（10分）n a n =∴..............................（11分）22nn S n +=∴..............................（12分）方法三：2=λ ，121+=+∴+n a a n n0)1(1=-++-∴+n a n a n n ..............................（7分）设n a b n n -=01=+∴+n n b bn n b b -=∴+1，0111=-=a b ，0=∴n b ，n a n =∴..............................（10分）22nn S n +=∴..............................（12分）18.解：（1） CD ∥平面PAB ，⊂CD 平面ABCD ，面 PAB 面AB ABCD = CD ∴∥AB ..............................（1分） BC AB ⊥∴设E 为AB 边的中点，连结PE DE ,；CD AB 2= ，∴四边形BCDE 为平行四边形 DE AB ⊥∴..............................（2分） 又 PAB ∆为等边三角形PE AB ⊥∴..............................（3分） E PE DE =⊥∴AB 面PDE ..............................（4分） PD AB ⊥∴..............................（5分） （2） ⊥AB 面PDE ，⊂AB 平面ABCD ∴面⊥PDE 面ABCD在面PDE 中，作DE PF ⊥于点F ，∴⊥PF 平面ABCD ..............................（6分）以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴，方向为z 轴建立空间直角坐标系 如图所示. 则)0,2,2(A ，)0,2,0(B ，)0,0,1(D ，)23,21,1(P ........................（7分）则，)23,23,1(--=AP ，)0,2,1(= 设),,(z y x =为平面PAD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--0202323y x z y x ， 取)33,1,2(-=..............................（8分） 显然，)1,0,0(=为平面ABCD 的法向量..............................（9分）则，.4133433311433==++==..............................（11分） 因为二面角B AD P --显然为锐角，所以，二面角B AD P --的余弦值为.41..............................（12分）19.（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=， 满意的客户人数2500.51000.32000.67000.33500.2555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，................（2分） 故所求概率为5551111600320=．..............................（3分） （2）0ξ=，1，2．..............................（4分）设事件A 为“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B 为“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A 、B 为独立事件． 根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2．则()()()()()()0110.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=⨯=；..............................（5分） ()()()()()()()()()()111P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=+=-+-0.50.80.50.20.5=⨯+⨯=；..............................（6分）()()()()20.50.20.1P P AB P A P B ξ====⨯=．..............................（7分）ξ的分布列为................................................................................................................................................（8分）ξ的期望()00.410.520.10.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．..............................（9分）（3）13245D D D D D ηηηηη>>=>．..............................（12分）20.解：（1）设以AE 为直径的圆的圆心为O '，半径为r ，则r O O -='2， 由4)2(222=-+='+=+r r O O EA EB EA 所以，EA EB +为定值..................................（2分） 由AB EB EA >=+4................................（3分）所以，点E 的轨迹为以B A ,为焦点的椭圆，................................（4分） 则1,42==c a ，3222=-=∴c a b所以，点E 的轨迹方程为：.13422=+y x ................................（5分） （2）方法一：设1:-=my x l MN ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去x 得，096)43(22=--+my y m 易得，.0>∆⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+∴439436221221m y y m m y y ...............................（6分）D 为PQ 的中点，PQ OD ⊥∴，OD ∴∥MNOMN DMN S S ∆∆=∴...............................（7分）设),(),,(2211y x N y x M则，2122122124)(11y y y y m y y m MN -++=-+=4336)436(12222+++⋅+=m m m m43)1(1222++=m m ..............................（8分） 又O 到l 的距离211md +=所以，d MN S OMN⋅=∆21431622++=m m ..............................（9分） 设t m =+21，则1≥t 所以，tt t t S OMN 1361362+=+=∆ 记,13)(tt t f +=)(t f 在[)+∞,1上递增，4)1()(min ==f t f ， 所以，OMN S ∆的最大值为2346=，即，DMN ∆的面积的最大值为.23.........................（12分）方法二：前面同法一21221214)(2121y y y y y y OA S OMN -+=-⋅=∆ 4336)436(21222+++=m m m 431622++=m m ...............................（9分） 下同法一.方法三：前面同法一由1:-=my x l MN ，则)1(:+-=x m y l PQ由⎩⎨⎧+-==+)1(422x m y y x ，消去y 得，042)1(2222=-+++m x m x m 易得，.0>∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=+∴12122212221m m y y m m x x ，则)1,1(222+-+-m m m m D 所以，点D 到l 的距离为112+m所以，d MN S DMN⋅=∆21431622++=m m 下同法一.方法四：前面同法一 点D 到l 的距离为222221111mm m OD OA DA +=+-=-=所以，DA MN S DMN⋅=∆21431622++=m m下同法一.方法五：当l 斜率存在时， 设)1(:+=x k y l MN ，.0≠k由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(13422x k y y x ，消去y 得， 01248)43(2222=-+++k x k x k 易得，.0>∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+∴2221222143124438k k x x k k x x ...............................（6分）D 为PQ 的中点，PQ OD ⊥∴，OD ∴∥MN OMN DMN S S ∆∆=∴...............................（7分）设),(),,(2211y x N y x M则，2122122124)(11x x x x kx x k MN -++=-+=222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+-⋅+= 2243)1(12kk ++=..............................（8分） 又O 到l 的距离21kkd +=所以，d MN S OMN ⋅=∆21224316k k k +⋅+=..............................（9分） 设t k =+243，则.3>t所以，215)311(427)123(494)32(922222++-=+--=--=∆t t t t t t S OMN 因为,3110<<t 492<∴OMN S ，23<∴OMN S ，当l 斜率不存在时，易得，OMN S ∆23=，所以，OMN ∆的面积的最大值为.23即，DMN ∆的面积的最大值为.23........................（12分）21解：（1）a x x x f -+-='1ln )(.............................（1分） 设a x x x g -+-=1ln )(xxx x g -=-='111)(，令0)(='x g ，得1=x )1,0(∈x ，0)(>'x g ，)(x g 递增；),1(+∞∈x ，0)(<'x g ，)(x g 递减.a g x g -==∴)1()(max .............................（2分） ①当0≤-a ，即0≥a 时，0)(≤x g ，即0)(≤'x f ，所以，)(x f 递减，)(x f 无极值，不合题意，舍去...........（3分） ②当0>-a ，即0<a 时， 则0)1(>g101<<-a e ，01ln )(1111<-=-+-=----a a a a e a e e e g 0)1()(1<⋅∴-g e g a∴)(x g 在)1,0(有唯一零点.1x .............................（4分）又 11>-ae，且a a a a e a a e e e g ------=-+-=1111)1(21ln )(设a e a a h ---=1)1(2)(，022)(1>->-='-e e a h a)(a h ∴在)0,(-∞上递增，02)0()(<-=<∴e h a h . 0)1()(1<⋅∴-g e g a∴)(x g 在),1(+∞有唯一零点.2x .............................（5分） 从而，)(,0)(),,0(1x f x f x x <'∈递减； )(,0)(),,(21x f x f x x x >'∈递增； )(,0)(),,(2x f x f x x <'+∞∈递减；所以，21,x x x x ==为)(x f 的两个极值点，符合题意. 综上，).0,(-∞∈a .............................（6分） （2）方法一：不妨设2110x x <<<，a x x a x x x g --+-=-+---=-1)2ln(1)2()2ln()2(11111 0)(1='x f ，∴a x x =+-1ln 11， ∴22ln )2ln()2(1111-+--=-x x x x g记10,22ln )2ln()(<<-+--=x x x x x F ，0)2()1(22121)(2<--=+--='x x x x x x F ，)(x F ∴递减，0)1()(=>∴F x F所以，0)2(1>-x g ，即0)2(1>-'x f ，.............................（8分） )(,0)(),,(21x f x f x x x >'∈递增 ∴211210x x x <-<<<)()2(21x f x f <-∴.............................（9分） )2()()()(1121x f x f x f x f -+>+∴设10),2()()(<<-+=x x f x f x ϕ)2()()(x f x f x -'-'='ϕ[]a x x a x x -+-----+-=1)2()2ln()1(ln22)2ln(ln +---=x x x .............................（10分）0)2()1(22211)(2>---=---=''x x x x x x ϕ)(x ϕ'∴递增，0)1()(='<'ϕϕx)(x ϕ∴递减，02)1(2)1()(>-==>a f x ϕϕ .0)()(21>+∴x f x f .............................（12分）（2）方法二：不妨设2110x x <<<，)2121ln ()2121ln ()()(222221211121+--++--=+ax x x x ax x x x x f x f ......................（7分）由,0)(0)(21⎩⎨⎧='='x f x f 有,1ln 1ln 2211⎩⎨⎧=+-=+-a x x a x x .............................（8分）∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---=+21)1(ln 21ln )()(111211121x x x x x x x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---+21)1(ln 21ln 2222222x x x x x x )2121()2121(222121+-++-=x x x x .............................（10分） .0)1(21)1(212221>-+-=x x .............................（12分） 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）曲线1C 的普通方程为1)1(22=-+y x ，............................（1分） 即，0222=-+y y x由θρρsin ,222==+y y x ，得曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=.........................（3分）曲线2C 的极坐标方程为θρ22sin 18+=8sin 222=+∴θρρ由y y x =+=θρρsin ,222，得曲线2C 的直角坐标方程为.14822=+y x ..................（5分） （2）设),(),,(αραρN M N Mααρρ222222sin 18)sin 2(++=+=+∴N M ON OM ............................（6分） 42843224sin 18)sin 1(4sin 18sin 42222-=-≥-+++=++=αααα............（8分）当且仅当12sin 2-=α时等号成立，............................（9分）所以，22ON OM +的最小值为.428-............................（10分） 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）解：（1）方法一：原不等式等价于41212≥++-x x ............................（1分）①21≥x 时，原不等式化为：44≥x ，得，1≥x ............................（2分） ②2121<<-x 时，原不等式化为：42≥，得，∅∈x ............................（3分）③21-≤x 时，原不等式化为：44≥-x ，得，1-≤x ............................（4分） 综上：(][)+∞-∞-∈,11, x .............................（5分）方法二：设)1()()(++=x f x f x h ，则，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4)(x x x x x x h ............................（2分）作出)(x h y =的图像，............................（4分）由图像可得：(][)+∞-∞-∈,11, x ......................（5分）（2）方法一：)1()()1()(22222)(++⋅≥+=x f x f x f x f x g)1()(22++=x f x f121222++-=x x)12()12(22+--≥x x4222==............................（7分）当且仅当),1()(+=x f x f 且0)12)(12(≤+-x x ，即0=x 时，等号成立，................（9分） 故，()g x 的最小值为4.............................（10分）方法二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤+<<-+≥+=+=---+-+-+-21,222121,2221,2222)(1221122112121212x x x x g x x x x x x x x ............................（6分）①21≥x 时，)(x g 递增，5)21()(min ==g x g ；............................（7分）②2121<<-x 时，422222)(21221==⋅≥+-x x x g ，当且仅当0=x 等号成立，4)(min =∴x g ；............................（8分）③21-≤x 时，)(x g 递减，5)21()(min =-=g x g .............................（9分）综上，4)(min =x g ............................（10分）。
福建省福州市2018～2019学年高三上学期质量抽测数学(理科)试题(解析版)
绝密★启用前福建省福州市2019届高三上学期期末质量抽测数学试题（理科）（解析版）（完卷时间：120分钟：满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解绝对值不等式,求出集合A,之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得,所以,又,所以,故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算,属于简单题目.2.已知复数满足,则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则,求出复数z,再应用复数的模的运算公式,求得结果.【详解】由,得,所以,故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则,还有复数的模,属于简单题目.3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据求导公式求出函数的导函数,把代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化简,分别令和,求出切线与坐标轴的交点坐标,再代入面积公式求解.【详解】由题意得,所以,则在点处的切线斜率为,所以切线方程为：,即,令,得,令,得,所以切线与坐标轴围成三角形的面积,故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线的切线方程,直线方程的点斜式,三角形的面积公式,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和为,且,,则A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】首先利用等差数列的性质,以及题中所给的条件,求得,之后应用等差数列的求和公式求得结果.【详解】等差数列中,前n项和为,且,因为由等差数列的性质可知,所以,故选B.。
福建省福州市2019届高三质检数学(理科)试题及答案
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足i 1i z ⋅=-，则的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D.z z {}n a n n S6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF的斜率为PAF △的面积为A.B. C.8D. 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.8038.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2-9.已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 10.如图，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则的离心率为A.B. 23C. D.3211.如图，以棱长为1的正方体的顶点A正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 第7题图第10题图第11题图A.34πC. 32πD.94π 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n++=++，则8a =A.64892-B.32892-C.16892-D.7892-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量,a b r r，满足a b += ，则与的夹角为__________．14.已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是．15. ()()2511ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为__________． 16.已知函数()2e()ln 2e x f x a x =-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （12分）ABC △的内角，，的对边分别为，，．若角，，成等差数列，且b =（1）求ABC △的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围．ab A B C a bc A B C如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点． (1) 求证：AQ ⊥平面 PBC ； (2)求二面角B PC D --的余弦值．第18题最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[)03，，[)36，，[)69，，[)912，，[]1215，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M 表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M 的概率；（2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的22⨯列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.附：临界值表参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20. （12分）已知圆O ：222x y r +=，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短半轴长等于圆O 的半径，且过C 右焦点的直线与圆O 相切于点12D ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线l 与圆O 相切，且与C 相交于,A B 两点，求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值.21. （12分） 已知函数()()()ln 11xf x a x a x=-+∈+R ，2m 12e e ()x g x x +=-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，[]12,0,e x x ∀∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. 22. [选修44-：坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线与曲线C 交于,A B 两点.（1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当AB OP =时，求a 的值.23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. （1）求集合；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.xOy l x l l M2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足i 1i z ⋅=-，则的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i - 【简解】因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1A B x x =>-U ，故选D ．3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20，故选C ． 4.等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63z z {}n a n n S【简解】解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ． 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1D. 【简解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为PAF △的面积为A.B. C.8D. 【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF的斜率为，2FQ =，60AFQ ∴∠=o，4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △224FA =B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF的斜率为2FQ =，60AFQ ∴∠=o ，所以AQ =n =±24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11422PA n ⨯⨯=⨯⨯B ． 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω．0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得=6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ． 9.已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35-第7题【简解】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141x y =-+为增函数，∴max231415x⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ． 10.如图，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则的离心率为A. B. 23C. D.32【简解】连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22c QF =．由双曲线定义知122cQF a =+，在12Rt FQF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得的离心率27e +=，故选C ．11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A.34πC. 32πD.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心, 1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C.12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n++=++，则8a =A.64892- B.32892- C.16892- D.7892-【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+， 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C C 第10第11题图所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n nb a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1l g 2l g n n b b +=，又111l g l g 2l g 3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列.所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n n a -=-，将8n =代入，选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
【市级联考】福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测数学(理科)试题(解析版)
2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟：满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解绝对值不等式，求出集合A，之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得，所以，又，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算，属于简单题目.2.已知复数满足，则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据求导公式求出函数的导函数，把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令和，求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解.【详解】由题意得，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为：，即，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线的切线方程，直线方程的点斜式，三角形的面积公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和为，且，，则A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】首先利用等差数列的性质，以及题中所给的条件，求得，之后应用等差数列的求和公式求得结果.【详解】等差数列中，前n项和为，且，因为由等差数列的性质可知，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题，涉及到的知识点有等差数列性质，等差数列的求和公式，属于基础题目.5.给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②定义在上的偶函数的最大值为30；③命题“，”的否定形式是“，”.其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对于①，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于②，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于③，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果.【详解】对于①，当时，一定有，但是当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以②正确；对于③，命题“，”的否定形式是“，”，所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，将圆化为标准方程得，所以其圆心为，半径为2，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，即，整理得，因为，所以有，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，直线与圆相切的条件，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于中档题目.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分别为3、3，则输出的值为A. 143B. 48C. 16D. 5【答案】B【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为48.【详解】初始值，程序运行过程如下表所示：，，，，，不满足条件，跳出循环，输出的值为48，故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题，在解题的过程中，注意在什么情况下跳出循环，属于简单题目.8.某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的几何体的三视图，还原几何体，得出其为底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，利用面积公式求得各个侧面的面积，比较大小得出结果.【详解】分析其三视图，可以确定该几何体是底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是；；；；利用面积公式求得各侧面的面积，比较大小可知最大的是，故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，判断侧面三角形的形状，比较各三角形面积的大小，属于中档题目.9.已知点是内部一点，且满足，又，，则的面积为A. B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心，根据重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积.【详解】因为，所以O为的重心，所以的面积是面积的，因为，所以，因为，所以，所以，所以的面积为1，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题，涉及到的知识点有三角形的重心的性质，向量的数量积运算，三角形的面积公式，属于中档题目.10.已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原则，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11.如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得f（x）的分段函数式，由条件可得a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），画出g（x）的图象，结合图象可得a的范围．【详解】根据题意可知f（x），不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．【点睛】本题考查直线方程的求法，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题．12.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中的条件，结合函数的定义域，对不等式进行变形，之后将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最大值，从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立，因为，所以不等式可化为：恒成立，令，，可求得当时，，当时，，所在上单调增，在上单调减，所以，所以的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题，在解题的过程中，将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数，利用导数研究函数的最大值，再者就是利用题的条件，大于其最大值，可以到正无穷，只有A项满足条件，从而很容易求得结果.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019届福建省福州第一中学高三上学期开学质检数
学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 若复数z，则复数z在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2. 设集合，，则（）
A．B．
C．D．
3. 在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则
（）
A．B．C．D．
4. 已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
5. 如图，八边形ABCDEFGH是一个正八边形，若在正八边形内任取一点，则该点恰好在四边形ACEG内的概率是（）
A．B．C．D．
6. 某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，若此三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）
A．32πB．50πC．72πD．98π
7. 某校高三年级有1000名学生，其中理科班学生占80%，全体理科班学生参加一次考试，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），若考试成绩不低于60分为及格，则此次考试成绩及格的人数约为（）
（参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974）A．778 B．780 C．782 D．784
8. 已知函数f（x）＝cos（），把函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则下面结论正确的是（）
A．函数g（x）是偶函数
B．函数g（x）的最小正周期是4π
C．函数g（x）在区间[π，3π]上是增区数
D．函数g（x）的图象关于直线x＝π对称
9. 中国古代数学名著《九章算术》中的“蒲莞生长”是一道名题根据该问题我们改编一题：今有蒲草第一天长为三尺，莞草第一天长为一尺，以后蒲草的生长长度遂天减半，莞草的生长长度逐天加倍，现问几天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍，以下给出了问题的四个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）
A．2.6日B．3.0日C．3.6日D．4.0日
10. 在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（）
A．1
B．C．D．
11. 倾斜角为的直线经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
12. 已知函数f（x）与g（x）＝3elnx+mx的图象有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（）
C．（﹣1，3）D．（0，3）A．（﹣3，）B．（﹣1，）
二、填空题
13. 若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为_____．
14. 在（x）6的展开式中，x3的系数为_____．
15. 已知抛物线C1的顶点在坐标原点，准线为x＝﹣3，圆C2：（x﹣3）2+y2＝1，过圆心C2的直线l与抛物线C1交于点A，B，l与圆C2交于点M，N，且|AM|
＜|AN|，则|AM||BM|的最小值为_____．
16. 已知数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝a n+6n+3，数列{b n}满足b n＝
n，则数列{b
}的最大项为第_____项
n
三、解答题
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
．
（1）求角A；
（2）若a，b，求边c的长．
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD 上的点，且EA＝EB＝ED＝AB，延长CE交AD于点F．
（1）若G为PD的中点，求证平面PAD⊥平面CGF；
（2）若AD＝AP＝6，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．
19. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），左、右顶点分别为M，N，点P是E在第一象限上的任意一点，且满足k PM?k PN＝8．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线PN与双曲线E的渐近线在第四象限的交点为A，且△PAF的面积不小于3，求直线PN的斜率k的取值范围．
20. 某水产养殖户在鱼成熟时，随机从网箱中捕捞100尾鱼，其质量分别在[4，4.5），[4.5.5），[5.5.5），[5.5，6），[6，6.5），[6.5，7]（单位：斤）中，经统计得频率分布直方图如图所示
（1）现按分层抽样的方法，从质量为[4.5，5），[5，5.5）的鱼中随机抽取5尾，再从这5尾中随机抽取2尾，记随机变量X表示质量在[4.5，5）内的鱼的尾数，求X的分布列及数学期望．
（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，该养殖户还未捕捞的鱼大约还有1000尾，现有两个方案：
方案一：所有剩余的鱼现在卖出，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤10元，质量高于5.5斤的鱼售价为每斤12元
方案二：一周后所有剩余的鱼逢节日卖出，假设每尾鱼的质量不变，鱼的数目不变，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤15元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾22元；质量高于5.5斤的鱼售价为每斤16元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾24元通过计算确定水产养殖户选择哪种方案获利更多？
21. 已知函数f（x）＝e x．
（1）若f（x）的图象在x＝a处切线的斜率为e﹣1，求正数a的值；
（2）对任意的a≥0，f（x）＞2lnx k恒成立，求整数k的最大值．
22. 在极坐标系中，直线的方程为2ρcosθ+5ρsinθ﹣8＝0，曲线E的方程为ρ＝4cosθ．
（1）以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，分别写出直线l与曲线E的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线E交于A，B两点，点C在曲线E上，求△ABC面积的最大值，并求此时点C的直角坐标．
23. 设函数f（x）＝|3x﹣4|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若存在实数x满足ax+a≥f（x）成立，求实数a的取值范围．。