习题五

习题五1.设二阶曲线Γ不与无穷远直线相切，证明过（虚圆点）I （1,i ,0）的与Γ相切的切线是复直线，其切点也一定是复点（不是实点）.证明：因为Γ不与无穷远直线相切，故二阶曲线方程：,03,2,1,=∑=j i j i ij x x a 02122211≠-a a a 虚圆点I （1，i ，0）的极线l 的方程为：0)()(231322121211=+++++i a a y i a a x ia a如果l 是实直线，那么l 与下列方程表示的直线为同一条：0)()(231322121211=-+-+-i a a y i a a x ia a因而必定有：02122211=-a a a ,与已知条件矛盾，因而l 是复直线。

复直线l 与Γ的交点如果是实点，则该点处的切线是实直线，它经过虚圆点I ，也必经过I 的复共轭点（虚圆点）J ，可见该切线是无穷远直线，显然不可能。

因此，I 的极线复直线l 与Γ的交点是两个复点，而且两切线也是复直线。

2.求抛物线y 2= 4x 的焦点和准线。

解：抛物线Γ的齐次方程为043122=-x x x ，虚圆点I （1，i ，0）关于Γ的极线l 的方程为：0232=-x ix ，因而可求得l 与Γ的交点是（1，0，0）和（1，2i ，-1），因此，过点I 与Γ相切的切 线除无穷远直线外，就是过I 和点（1，2i ，-1）的直线：0222321=-+x ix x 即：1=+iy x同理可求得过J （1，-I ，0）抛物线Γ的切线方程：1=-iy x 上述两直线的交点F （1，0）就是抛物线的焦点，其准线方程为：x=-1。

3.求椭圆)(12222b a by a x 〉=+ 的实焦点和准线.解：将椭圆Γ的方程化为齐次坐标式：023222221=-+x bx a x 虚圆点I （1，i ，0）关于Γ的极线方程为：02221=+bix a x 它与Γ的两交点为)1,,(222222ba ib b a a -±-±因而过I ，椭圆Γ的两切线方程为：111,11122222222=----=-+-y b a i x b a y b a i x b a 同样的方法可求得过J 点，椭圆Γ的两切线方程为： 111,11122222222=-+--=---y ba i xb a y b a i x b a 因而两实焦点为)0,(22b a -±，准线为：222b a a x -±=4.如果二阶曲线Γ的直径交Γ于两点，证明此两点处的切线平行.证明：二阶曲线Γ的直径是无穷远点关于Γ的极线。

因而过该极线与Γ的两交点的切线必相交于无穷远点，因而是平行的。

5.设二阶曲线Γ与点P 处（关于Γ）的极线交于两点T 1、T 2，则点P 与T 1、T 2的中点连线一定是二阶曲线Γ的直径.证明：如图，点P 关于Γ的极线交Γ于T 1，T 2，Q 是T 1T 2的中点，设直线T 1T 2上的无穷远点为P ∞，由于（T 1，T 2；Q ，P ∞）= -1，所以P ∞的极线过点Q ，由于点P ∞过点P 的极线，故点P ∞的级线亦过点P ，即点P ∞的极线为直线PQ ，它正好是二阶曲线Γ的直径。

6.设F 和直线l 是二阶曲线的一对焦点和准线，过F 的焦弦T 1T 2交l 于点P ，设Q 是T 1T 2的极点，则Q 一定在l 上，且△FPQ 是二阶曲线Γ的自极三角形.证明：因为点Q 为过T 1，T 2的二阶曲线的切线的交点，故点Q 关于二阶曲线的极线为T 1T 2，而点F 在直线T 1T 2上，故点Q 必过点F 的极线l ，点Q ，F 也必过点P 的极线，即直线QF 为点P 关于二阶曲线的极线。

因而△FPQ 是二阶曲线Γ的自极三角形.7.给定二阶曲线Γ的两条切线t 1、t 2，Γ的焦点为F ,设t 是Γ的一条动切线，证明：t 与t 1、t 2的两交点T 1、T 2与F 张成的角∠T 1FT 2是定角.证明：因为F 是二阶曲线的焦点，所以FI ，FJ 为二阶曲线的二切线（I ，J 为虚圆点），设t 与FI ，FJ 的交点为M 1，M 2，且令：),;,(2121M M T T =μ由教材P.41例6说明可推知,这里μ为常数,因此μ=),;,(2FJ FI FT FT 也为常数.由Laguerre 定理知∠T 1FT 2μln 21i ,是常数.8.给定二阶曲线Γ的焦点F 和它的准线l ,设弦PQ 的极点为T ,PQ 交准线l 于点R ,证明FT 、FR 平分角∠PFQ 的内外角.证明：如图，由于点F 、T 的极线皆通过点R ，所以点R 的极线为TF ，设FT 交PQ 于S ，交准线l 于T ＇，则有（P ，Q ；R ，S ）= -1，且T ＇的极线为FR ，因此FR ，F T ＇是过F 关于Γ的一对共轭直线，而F 为焦点，故必有FR ⊥F T ＇。

又由（P ，Q ；R ，S ）= -1知（FP ，FQ ；FR ，FT ）=-1，故而FT ，FR 是∠PFQ 的内外角平分线。

9.给定非退化二阶曲线Γ和定点M ，证明过M 的Γ的弦的中点构成一条二阶曲线.证明：如图，设定点M ，过M 的弦为m ，m 上无穷远点设为∞P ，则m 被其共轭方向的直径所平分，记此直线为p （p 为∞P 的极线），可见m 与p 的交点为弦m 的中点。

当m 绕点M 变动时，∞P 沿直线∞l 变动，考虑到无穷远直线∞l 上的点的极线皆过中心C ，故p 绕中心C 变动。

因而有：线束)(m M ∧ 点列)(∞∞P l 由配极原理知：点列)(∞∞P l ∧ 线束C （p ） 所以有：线束)(m M ∧ C （p ） 根据二阶曲线的的射影定义，命题得证。

当Γ是双曲线,且定点M 在渐近线l 2上,则PM 是两线束间射影映射的自对应直线,所以f 是轴透视,两线束M(m),C(p)的交点的轨迹为两相交直线,其中一条为l 2,另一条为M 与直线l 1间的中位线l .如下图所示.10.证明圆的任意一对共轭直径相互垂直，其逆也成立. 证明：若Γ是圆，则其中心也是焦点，过中心的一对共轭直径必垂直。

反之，任意一对共轭的直径都垂直，二阶曲线不可能是抛物线（抛物线的所有直径都相互平行），故二阶曲线必有中心，而且由焦点的定义知中心也必为焦点，故此二阶曲线是圆。

[即每一过中心的直径（与共轭直径垂直）都是主直径（对称轴），所以二阶曲线一定是圆。

]11.(教材中第12题)证明任一直线交双曲线和其两渐近线形成的两线段相等.证明：如图，双曲线Γ的两条渐近线，相切于无穷远点21,T T ，相交于二阶曲线的中心S ，双曲线Γ的弦21P P 交渐近线于21,L L 。

直线21P P 交无穷远直线21T T 于R ，设弦21P P 的中点为M ，则SM 为双曲线Γ的直径，由1),;,(21-=P P M R 知，1),;,(21-=T T Q R ，若将两渐近线看作退化的二阶曲线，则显然也有1),;,(21-=L L M R ，即M 点也是21L L 的中点.12.（教材中第11题）证明双曲线Γ上任意一点M 处的切线在双曲线Γ的两渐近线间的线段以M 为中点.证明：由上题知，2211L P L P =，特别地，当弦21P P 与Γ相切，切点为P ，，则有21PL PL =，即点P 平分切线夹在两渐近线间的线段。

13.证明双曲线Γ:xy = 1上任一点M 的切线的两截距乘积是常数.证明：如图，设21,l l 为双曲线Γ的两条涟近线，显然它们为双曲线在无穷远点处的切线，设其交点为点O.二阶曲线的任一切线交21,l l 于点21,T T 在渐近线21,l l 上是一射影映射(设为f)的对应点.在21,l l 上取仿射坐标系,都以O 为坐标原点,且单位长度相等.设双曲线Γ顶点A 外的切线交21,l l 于点21,A A ,且a OA OA ==21.于是射影映射f : 21l l ∧,),;,0(),;,0(2211T A T A ∞=∞.设OT 1=x ，OT 2=y ，则上式为xy =a 2=常数.（说明：因为双曲线方程为xy=1,故切线与渐近线交点的坐标即为截距）.14.(本题有改动)证明:二阶曲线Γ是抛物线的充要条件是Γr 外切三角形的外接圆必径过Γ的焦点.证明 : 如图，二级曲线Γ为抛物线，则△FIJ 外切于Γ（I ，J 为虚圆点）.又△ABC 为Γ的一个外切三角形，因而点A 、B 、C 、F 、I 、J 必在另一个二阶曲线上。

考虑到I 、J 为虚圆点，故该二阶曲线必为圆.即△ABC 的外接圆过焦点F.反之，△ABC 为Γ的一个外切三角形，它的外接圆过点F.则A 、B 、C 、F 、I 、J 六点在一个二阶曲线（圆）上.故AB 、BC 、CA 、FI 、FJ 、IJ 必相切于另一个二阶曲线，该二阶曲线就是Γ.而IJ 为无穷远直线，FI 、FJ 为共轭直线，故Γ是抛物线，点F 为焦点.15.证明:抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线一定垂直.证明：设点P 在抛物线Γ的准线上l 上，过P 点引Γ的两切线，设两切点为T 1，T 2，由于点P 过焦点F 的极线（准线l ），所以T 1T 2过焦点F 。

令T 1T 2直线交l 于点Q ，考虑到点Q 既过点F 的极线（l ），又过点P 的极线（T 1T 2），所以点Q 的极线为PF .于是,FP ,FQ 为过焦点F 的一对共轭直线,因而有PF ⊥QF .作T 2Q 2⊥l ,交l 于Q 2,由于离心率e =1,故T 2F =T 2Q 2. 所以,222PFT Rt T PQ Rt ∆≅∆,即PT 2平分∠Q 2PF . 同理可得PT 1平分∠Q 2PF 的补角,因而有PT 1⊥PT 2.16.抛物线Γ上任一焦弦T 1FT 2，设焦点弦端点T 1、T 2到准线l的垂足依次是Q 1、Q 2，不用离心率e =1，证明∠Q 1FQ 2=2π.证明:如图,由 上 题, 可 得FQ 1⊥T 1P , 因而,∠T 1FQ 1=∠T 1PF , ∠T 2FQ 2=∠T 2PF ,从而可得: ∠T 1FQ 1+∠T 2FQ 2=900,所以,Q 1F ⊥Q 2F .若不用离心率e =1这一结论,可作如下证明:如图,焦 点 F ,I ,J 是 虚圆点,因而FI ,FJ 为抛物线的两条虚切线,切点(虚点)K 1,K 2连线是Γ的准线l ,过焦点F 的弦FT 1T 2,直径T 1C ∞,T 2C ∞都垂直于准线l ,交l 于点Q 1,Q 2,则有:(FQ 1,FQ 2;FI,FJ)=( Q 1, Q 2; K 1,K 2)=( C ∞T 1, C ∞T 2; C ∞K 1, C ∞K 2)= (K 2T 1, K 2T 2; K 2K 1, K 2F )= (T 1, T 2; Q , F )= -1.由Laguerre 定理, ∠Q 1FQ 2=2π.17.用第8题和16题证明抛物线的离心率e =1.证明:如图,作为第8题的特殊情形,必有PF ⊥T 1T 2,由第16题得∠Q 1FQ 2=2π,设点M 是弦T 1T 2的中点,直径PM(P 点的极线过直线T 1T 2上无穷远点,故T 1T 2上无穷远点的极线过点P,亦过点M,可见PM 为T 1T 2上无穷远点的极线,故而为抛物线的直径)垂直于准线l,从而点P 为Q 1Q 2的中点.在Rt △Q 1FQ 2中,PF=PQ 1=PQ 2,又PF ⊥T 1T 2,由此可推得: Rt △PFT 1≌Rt △PQ 1T 1,T 1F=T 1Q 1,同理可得: T 2F=T 2Q 2,可见e=1. 18.证明中心二阶曲线Γ的相互垂直两切线的交点轨迹是一圆.证明:先考虑中心曲线为椭圆的情形,双曲线的情形可类似证明.如图,设过P 点的两条切线相互垂直,切点分别为T ＇,T.过焦点F ＇分别作两切线的垂线F ＇H ＇、FH ,并延长使F ＇H ＇=H ＇M ＇，F ＇H =HM .则PF ＇=PM ＇=PM ,且容易得到P 、M ＇、M 三点共线.连接F ＇T,FT,TM .则∠F ＇HT =∠HTM .又由定理5.3.8,PT 平分∠F ＇TF 的外角,可见F 、T 、M 三点共线.故FM =F ＇T +FT =A ＇A .取F ＇F 中点O ,则有:POF OF PO OF PO PF ∠⋅-+=cos 2222F PO F O PO F O PO F P '∠'⋅-'+='cos 2222∴22222222PM PF F P PF OF OP +='+=+∴22222222PM PF F P PF OF OP +='+=+=FM 2=2A A '即,OP 2=2221OF A A -'=常数.所以P 点的轨迹是圆. 19.证明定理5.3.9证明：在双曲线Γ上任取一点P ，过点P 引Γ的切线，交实轴于点R ，分别交过顶点A ＇，A 双曲线Γ的切线于点M ＇，M .过点P引实轴的垂线,交双曲线于点Q,交实轴于点S.考虑到PQ为点R的极线,故而有(R,S;A,A＇)= -1.以MM＇为直径的圆交实轴于点F＇、F,由引理5.3.2知点F＇、F为双曲线的焦点. 由(R,S;A,A＇)= -1知，（R，P；M，M＇）= -1.容易证明:过P点双曲线的法线(交实轴于点N)为点R关于以MM＇为直径的圆的极线.故而有:(R,N;F,F＇)= -1,从而可得(PR,PN;PF,PF＇)= -1,考虑到PR⊥PN,则PR,PN是∠APA＇的内外角平分线.20.设抛物线Γ的焦点为F,M是顶点A切线上任一点，则连线MF垂直于过M切于Γ的另一切线（不是F A）.证明: 如图，设过M点的抛物线的切线切Γ于点N，交准线于点P，焦点弦NFN＇交抛物线于N＇，由第15题知N＇P为Γ的过点N＇点的切线，且与PN垂直。