王健阵列天线讲义5
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(3.14)
(2.15)
式中
(3.16)
阵列天线分析与综合讲义
王建
为该单元在阵面上的位置坐标。不论行数 N x 和列数 N y 为何值，式(3.16)是相对 于阵列中心的位置坐标。坐标原点到远区场点的射线 r 的单位矢量为
ˆ=x ˆ cos ϕ sin θ + y ˆ sin ϕ sin θ + z ˆ cos θ r
, Nx −1 , Ny −1
ˆ m + yy ˆ n = xmd ˆ x + ynd ˆ y ρ mn = xx
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阵列天线分析与综合讲义
王建
图 3-3 矩形栅格排列的矩形平面阵
3.2.1 阵因子方向图函数及波束指向
1. 阵因子方向图函数
设第 mn 个单元的激励电流为 I mn ，则其远区辐射场可表示为 Emn = CI mn e − jkRmn e − jkr − jk ( Rmn − r ) = CI mn e Rmn r
一、对称振子平面阵结构及坐标系
矩形网格、矩形边界的对称振子平面阵结构及建立的坐标系如图 3-6 所示。 平面阵共有 N x 列， N y 行，列间距为 d x ，行间距为 d y 。
148
阵列天线分析与综合讲义
王建
图 3-6 对称振子平面阵结构及建立的坐标系
为了使阵列天线仅向正前方辐射，阵列的后面可加反射板。为简化分析， 反射板可看作是一金属反射面，见图 3-7。反射面与阵列表面之间的距离为 d z ， 约为中心频率对应波长 λ0 的四分之一，即 d z 像。
αx
kd x
)2 + (
αy
kd y
)2 < 1
(3.12)
当 kd x 和 kd y 给定时， α x 和 α y 将受上式限定。 由 cos ϕ 0 sin θ 0 =
S y (θ , ϕ ) =
N y −1 n =0
αx
kd x
， sin ϕ 0 sin θ 0 =
αy
kd y
和 S x (θ , ϕ ) =
(a) 二维极坐标图 (b) 三维方向图 图 3-4 矩形栅格矩形平面阵方向图
当 α x = α y = 0 时，则为侧射平面阵，其最大指向为 z 轴方向 θ 0 = 0 ； 当 α x = 0 ， α y ≠ 0 且变化时，则平面阵波束将在 yz 平面内扫描； 当 α y = 0 ， α x ≠ 0 且变化时，则平面阵波束将在 xz 平面内扫描； 当 α y ≠ 0 ， α x ≠ 0 且两者均变化时，则平面阵波束将在空间任意方向变化。 在理想情况下，平面阵波束在某一平面(xz)内扫描的情况如下图 3-5 所示。 其中图(a)为侧射情况；图(b)和(c)为扫描情况；图(d)则为极端情况，此时平面阵 两个半空间的波束交叠在一起，形成端射方向图，这种情况在实际的相控阵中 是不可能实现的。一般相控阵能做到偏离侧向 ±60o 扫描已经很难得了，而图(d) 相当于 ±90o 扫描。 因为 sin 2 θ 0 ≤ 1 ，我们定义平面阵两个半空间的波束 S x 和 S y 重合的条件为 (
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阵列天线分析与综合讲义
王建
图 3-1 几种典型平面阵形式
如果雷达采用单脉冲体制，且在俯仰和方位两个面内均要实现差方向图， 则要求平面阵列分为四个象限，如下图 3-2 所示。
图 3-2 划分为四个象限的矩形和圆形平面阵
对于矩形栅格排列的矩形平面阵，如果各单元的激励幅度按行和列是可分 离的(即对所有 m 和 n 均满足 I mn = I xm ⋅ I yn )，则平面阵的方向图就等于两个正交 的直线阵列方向图的乘积。因此，可把直线阵列的分析与综合的原理和方法直 接应用于这种平面阵。 对于圆形边界的圆形平面阵，不论采用哪种栅格排列，则可采用专用的圆 形口径综合方法来综合出口径分布。
式中，C 为与 mn 无关的单元因子，且用了关系 1/ Rmn ≈ 1/ r 。波程差为
ˆ ⋅ ρ mn = − ( xm cos ϕ + yn sin ϕ ) sin θ = − ( md x cos ϕ + nd y sin ϕ ) sin θ Rmn − r = − r
则第 mn 个单元的远区辐射场为
=C
e − jkr S (θ , ϕ ) r
式中阵因子为
S (θ , ϕ ) =
N x −1 N y −1 m =0 n =0
∑ ∑
I mn e
jk ( md x cos ϕ + nd y sin ϕ ) sin θ
(3.1)
− jnα y
如果平面阵按列的分布为 I xm = I xm e − jmα x ，按行的分布为 I yn = I yn e
阵列天线分析与综合讲义
王建
第三章
平面阵列的分析与综合 §3.1 引言
前面两章分别介绍了直线阵列的分析与综合问题，本章讨论平面阵列的分 析与综合问题。对于常用的矩形栅格排列的矩形平面阵列来说，可把直线阵列 的分析与综合方法直接应用于平面阵。但是对于某些情况，如圆形平面阵，三 角形栅格平面阵等，则要求采用专用于平面阵列的分析与综合方法。因此本章 既要介绍如何把直线阵列的基本原理和方法直接应用于平面阵列，也将介绍平 面阵列的专用分析与综合方法。 常见的平面阵有一些基本类型，我们以栅格形式和边界形式来讨论，见如 下图 3-1。 ■基本栅格形式：包括矩形栅格、三角形栅格、同心圆环和椭圆环栅格等。 ■基本边界形式：有矩形、六边形(矩形切角形成)、圆形、椭圆形等。 矩形栅格、三角形栅格构成的平面阵，其外观可以是矩形、六边形、圆形 等。 同心圆环栅格阵列一般是圆形平面阵列。 同心椭圆环栅格阵列一般是椭圆形平面阵列。
式中， cos θ x = cos ϕ sin θ , cos θ y = sin ϕ sin θ ，则式(3.4)和(3.5)可简写作 S x (u x ) =
N x −1 m =0
(3.6)
∑ I xme jmu
N y −1 n =0
x
(3.7)
S y (u y ) =
∑
I yn e
jnu y
(3.8) sin( N y u y / 2) sin( N x u x / 2) ， S y (u y ) = sin(u x / 2) sin(u y / 2) (3.9)
(3.17)
，则 (3.2)
I mn = I xm ⋅ I yn = I xm I yn e
− j ( mα x + nα y )
式中， I xm 和 I yn 分别为沿 x 和 y 方向排列的直线阵列的幅度分布； α x 和 α y 分别 是沿 x 和 y 方向排列的直线阵列的均匀递变相位。对所有 m 和 n 满足式(3.2)的 单元电流分布我们称为可分离型分布。把它代入式(3.1)可得
S (θ , ϕ ) = S x (θ , ϕ ) ⋅ S y (θ , ϕ )
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(3.3)
阵列天线分析与综合讲义
王建
式中，
S x (θ , ϕ ) =
S y (θ ,ϕ ) =
N x −1 m =0
பைடு நூலகம்
∑I
N y −1 n =0
xm
e jm ( kd x cosϕ sinθ −α x )
(3.4)
∑I
yn
e
jn ( kd y sin ϕ sin θ −α y )
(3.5)
式(3.3)说明，矩形栅格的矩形平面阵列，如果其馈电分布是可分离型的，则该平 面阵列的阵因子方向图就是沿 x 和 y 方向排列的直线阵列阵因子方向图的乘积。 这印证了方向图相乘原理。若取
⎧ux = kd x cos ϕ sin θ − α x = kd x cosθ x − α x ⎨ ⎩u y = kd y sin ϕ sin θ − α y = kd y cosθ y − α y
Nx = Ny = 4 dx = d y = λ / 2
N x = 8, N y = 4 d x = λ / 4, d y = λ / 2
αx = α y = 0
α x = π / 3, α y = 0
α x = π / 2, α y = 0
α x = kd x , α y = 0
图 3-5 平面阵波束在 xz 平面内扫描变化情况
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(3.11)
阵列天线分析与综合讲义
王建
当给定间距 d x 和 d y ，给定均匀递变相位 α x 和 α y 和工作频率 f，则平面阵的 波束指向( θ 0 , ϕ 0 )就确定了。 对自由空间中的平面阵，其阵因子有两个波束，一个指向 z>0 的半空间；一 个指向 z<0 的半空间，如下图 3-4 所示。
Emn = CI mn e − jkr jk ( md x cos ϕ + nd y sin ϕ ) sin θ e r
N x −1 N y −1 m =0 n =0
整个平面阵列的远区辐射场为
ET = ∑∑ Emn
m n
e − jkr =C r
∑ ∑
I mn e
jk ( md x cos ϕ + nd y sin ϕ ) sin θ
S (θ , ϕ ) = S x (θ , ϕ ) ⋅ S y (θ , ϕ )
=
N x −1 m =0
∑ I xme
jmkd x (cos ϕ sin θ − cos ϕ 0 sin θ 0 )
⋅
N y −1 n =0
∑
I yn e
jnkd y (sin ϕ sin θ − sin ϕ 0 sin θ 0 )
N x −1 m =0
∑ I xme jm( kd cosϕ sinθ −α ) ，
x x
∑
I yn e
jn ( kd y sin ϕ sin θ −α y )
，平面阵阵因子可写作
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阵列天线分析与综合讲义
王建
Nx = N y = 4 dx = dy = λ / 2
Nx = N y = 4 dx = dy = λ / 2
λ0 / 4 。阵列单元为半波振子，其
全长约为 L = λ0 / 2 。 由于有反射面， 则在计算阵列方向图时要考虑阵列单元的镜
图 3-7 平面阵和反射面模型立体图及第 mn 个单元的镜像法示意
由图 3-7 可得第 mn 个单元的坐标位置矢量为： ˆ m + yy ˆ n ρ mn = xx 该单元镜像的坐标位置矢量为 ˆ ˆ ˆ2d z ρ′ mn = xxm + yyn − z N −1 ⎧ xm = ( m − x )d x , m = 0,1, 2,..., N x − 1 ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ y = ( n − N y − 1) d , n = 0,1, 2,..., N y − 1 n y ⎪ ⎩ 2
对于均匀平面阵， I xm = I yn = 1 ，则 S x (u x ) = S (θ , ϕ ) =
sin( N x u x / 2) sin( N y u y / 2) ⋅ sin(u x / 2) sin(u y / 2)
2. 平面阵波束指向
指方向图最大值对应的角度方向。设行间距和列间距 d x 和 d y 均按抑制栅瓣 条件选取，则 S x (ux ) 和 S y ( u y ) 都只有一个主瓣。当 ux = kd x cos ϕ sin θ − α x = 0 时， S x (ux ) 出现最大值，此时 θ = θ 0 , ϕ = ϕ 0 为波束指向，得
cos ϕ 0 sin θ 0 =
αx
kd x
(3.10a)
同样，当 u y = kd y sin ϕ sin θ − α y = 0 时， S y ( u y ) 出现最大值，得 sin ϕ 0 sin θ 0 =
αy
kd y
(3.10b)
两式联立求解得
α yd x ⎧ ϕ tan = 0 ⎪ α xd y ⎪ ⎨ ⎪sin 2 θ = ( α x ) 2 + ( α y ) 2 0 ⎪ kd x kd y ⎩
(3.13)
实用中的平面阵列天线一般希望电磁能量在阵列前方形成有效辐射，而在 背面方向无辐射。实现这种情况主要有两种方法 (1) 采用单向辐射单元天线。如喇叭天线、开口波导、八木天线，微带天线 等； (2) 在阵列背面离阵面一定距离( λ / 4 )安装反射栅网。如对称振子等作阵列 单元时。
3.2.2 带反射板的对称振子平面阵
§3.2 矩形栅格排列的矩形平面阵列
设有一个 N x × N y 单元的矩形栅格矩形平面阵列， 放置在 xy 平面内， 行间距 为 d x ，列间距为 d y ，如图 3-3 所示。第 mn 个单元的坐标位置为
⎧ xm = md x , ⎨ ⎩ yn = nd y ,
位置矢量为
m = 0,1, 2, n = 0,1, 2,
(3.14)
(2.15)
式中
(3.16)
阵列天线分析与综合讲义
王建
为该单元在阵面上的位置坐标。不论行数 N x 和列数 N y 为何值，式(3.16)是相对 于阵列中心的位置坐标。坐标原点到远区场点的射线 r 的单位矢量为
ˆ=x ˆ cos ϕ sin θ + y ˆ sin ϕ sin θ + z ˆ cos θ r
, Nx −1 , Ny −1
ˆ m + yy ˆ n = xmd ˆ x + ynd ˆ y ρ mn = xx
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王建
图 3-3 矩形栅格排列的矩形平面阵
3.2.1 阵因子方向图函数及波束指向
1. 阵因子方向图函数
设第 mn 个单元的激励电流为 I mn ，则其远区辐射场可表示为 Emn = CI mn e − jkRmn e − jkr − jk ( Rmn − r ) = CI mn e Rmn r
一、对称振子平面阵结构及坐标系
矩形网格、矩形边界的对称振子平面阵结构及建立的坐标系如图 3-6 所示。 平面阵共有 N x 列， N y 行，列间距为 d x ，行间距为 d y 。
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图 3-6 对称振子平面阵结构及建立的坐标系
为了使阵列天线仅向正前方辐射，阵列的后面可加反射板。为简化分析， 反射板可看作是一金属反射面，见图 3-7。反射面与阵列表面之间的距离为 d z ， 约为中心频率对应波长 λ0 的四分之一，即 d z 像。
αx
kd x
)2 + (
αy
kd y
)2 < 1
(3.12)
当 kd x 和 kd y 给定时， α x 和 α y 将受上式限定。 由 cos ϕ 0 sin θ 0 =
S y (θ , ϕ ) =
N y −1 n =0
αx
kd x
， sin ϕ 0 sin θ 0 =
αy
kd y
和 S x (θ , ϕ ) =
(a) 二维极坐标图 (b) 三维方向图 图 3-4 矩形栅格矩形平面阵方向图
当 α x = α y = 0 时，则为侧射平面阵，其最大指向为 z 轴方向 θ 0 = 0 ； 当 α x = 0 ， α y ≠ 0 且变化时，则平面阵波束将在 yz 平面内扫描； 当 α y = 0 ， α x ≠ 0 且变化时，则平面阵波束将在 xz 平面内扫描； 当 α y ≠ 0 ， α x ≠ 0 且两者均变化时，则平面阵波束将在空间任意方向变化。 在理想情况下，平面阵波束在某一平面(xz)内扫描的情况如下图 3-5 所示。 其中图(a)为侧射情况；图(b)和(c)为扫描情况；图(d)则为极端情况，此时平面阵 两个半空间的波束交叠在一起，形成端射方向图，这种情况在实际的相控阵中 是不可能实现的。一般相控阵能做到偏离侧向 ±60o 扫描已经很难得了，而图(d) 相当于 ±90o 扫描。 因为 sin 2 θ 0 ≤ 1 ，我们定义平面阵两个半空间的波束 S x 和 S y 重合的条件为 (
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图 3-1 几种典型平面阵形式
如果雷达采用单脉冲体制，且在俯仰和方位两个面内均要实现差方向图， 则要求平面阵列分为四个象限，如下图 3-2 所示。
图 3-2 划分为四个象限的矩形和圆形平面阵
对于矩形栅格排列的矩形平面阵，如果各单元的激励幅度按行和列是可分 离的(即对所有 m 和 n 均满足 I mn = I xm ⋅ I yn )，则平面阵的方向图就等于两个正交 的直线阵列方向图的乘积。因此，可把直线阵列的分析与综合的原理和方法直 接应用于这种平面阵。 对于圆形边界的圆形平面阵，不论采用哪种栅格排列，则可采用专用的圆 形口径综合方法来综合出口径分布。
式中，C 为与 mn 无关的单元因子，且用了关系 1/ Rmn ≈ 1/ r 。波程差为
ˆ ⋅ ρ mn = − ( xm cos ϕ + yn sin ϕ ) sin θ = − ( md x cos ϕ + nd y sin ϕ ) sin θ Rmn − r = − r
则第 mn 个单元的远区辐射场为
=C
e − jkr S (θ , ϕ ) r
式中阵因子为
S (θ , ϕ ) =
N x −1 N y −1 m =0 n =0
∑ ∑
I mn e
jk ( md x cos ϕ + nd y sin ϕ ) sin θ
(3.1)
− jnα y
如果平面阵按列的分布为 I xm = I xm e − jmα x ，按行的分布为 I yn = I yn e
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第三章
平面阵列的分析与综合 §3.1 引言
前面两章分别介绍了直线阵列的分析与综合问题，本章讨论平面阵列的分 析与综合问题。对于常用的矩形栅格排列的矩形平面阵列来说，可把直线阵列 的分析与综合方法直接应用于平面阵。但是对于某些情况，如圆形平面阵，三 角形栅格平面阵等，则要求采用专用于平面阵列的分析与综合方法。因此本章 既要介绍如何把直线阵列的基本原理和方法直接应用于平面阵列，也将介绍平 面阵列的专用分析与综合方法。 常见的平面阵有一些基本类型，我们以栅格形式和边界形式来讨论，见如 下图 3-1。 ■基本栅格形式：包括矩形栅格、三角形栅格、同心圆环和椭圆环栅格等。 ■基本边界形式：有矩形、六边形(矩形切角形成)、圆形、椭圆形等。 矩形栅格、三角形栅格构成的平面阵，其外观可以是矩形、六边形、圆形 等。 同心圆环栅格阵列一般是圆形平面阵列。 同心椭圆环栅格阵列一般是椭圆形平面阵列。
式中， cos θ x = cos ϕ sin θ , cos θ y = sin ϕ sin θ ，则式(3.4)和(3.5)可简写作 S x (u x ) =
N x −1 m =0
(3.6)
∑ I xme jmu
N y −1 n =0
x
(3.7)
S y (u y ) =
∑
I yn e
jnu y
(3.8) sin( N y u y / 2) sin( N x u x / 2) ， S y (u y ) = sin(u x / 2) sin(u y / 2) (3.9)
(3.17)
，则 (3.2)
I mn = I xm ⋅ I yn = I xm I yn e
− j ( mα x + nα y )
式中， I xm 和 I yn 分别为沿 x 和 y 方向排列的直线阵列的幅度分布； α x 和 α y 分别 是沿 x 和 y 方向排列的直线阵列的均匀递变相位。对所有 m 和 n 满足式(3.2)的 单元电流分布我们称为可分离型分布。把它代入式(3.1)可得
S (θ , ϕ ) = S x (θ , ϕ ) ⋅ S y (θ , ϕ )
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(3.3)
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式中，
S x (θ , ϕ ) =
S y (θ ,ϕ ) =
N x −1 m =0
பைடு நூலகம்
∑I
N y −1 n =0
xm
e jm ( kd x cosϕ sinθ −α x )
(3.4)
∑I
yn
e
jn ( kd y sin ϕ sin θ −α y )
(3.5)
式(3.3)说明，矩形栅格的矩形平面阵列，如果其馈电分布是可分离型的，则该平 面阵列的阵因子方向图就是沿 x 和 y 方向排列的直线阵列阵因子方向图的乘积。 这印证了方向图相乘原理。若取
⎧ux = kd x cos ϕ sin θ − α x = kd x cosθ x − α x ⎨ ⎩u y = kd y sin ϕ sin θ − α y = kd y cosθ y − α y
Nx = Ny = 4 dx = d y = λ / 2
N x = 8, N y = 4 d x = λ / 4, d y = λ / 2
αx = α y = 0
α x = π / 3, α y = 0
α x = π / 2, α y = 0
α x = kd x , α y = 0
图 3-5 平面阵波束在 xz 平面内扫描变化情况
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当给定间距 d x 和 d y ，给定均匀递变相位 α x 和 α y 和工作频率 f，则平面阵的 波束指向( θ 0 , ϕ 0 )就确定了。 对自由空间中的平面阵，其阵因子有两个波束，一个指向 z>0 的半空间；一 个指向 z<0 的半空间，如下图 3-4 所示。
Emn = CI mn e − jkr jk ( md x cos ϕ + nd y sin ϕ ) sin θ e r
N x −1 N y −1 m =0 n =0
整个平面阵列的远区辐射场为
ET = ∑∑ Emn
m n
e − jkr =C r
∑ ∑
I mn e
jk ( md x cos ϕ + nd y sin ϕ ) sin θ
S (θ , ϕ ) = S x (θ , ϕ ) ⋅ S y (θ , ϕ )
=
N x −1 m =0
∑ I xme
jmkd x (cos ϕ sin θ − cos ϕ 0 sin θ 0 )
⋅
N y −1 n =0
∑
I yn e
jnkd y (sin ϕ sin θ − sin ϕ 0 sin θ 0 )
N x −1 m =0
∑ I xme jm( kd cosϕ sinθ −α ) ，
x x
∑
I yn e
jn ( kd y sin ϕ sin θ −α y )
，平面阵阵因子可写作
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Nx = N y = 4 dx = dy = λ / 2
Nx = N y = 4 dx = dy = λ / 2
λ0 / 4 。阵列单元为半波振子，其
全长约为 L = λ0 / 2 。 由于有反射面， 则在计算阵列方向图时要考虑阵列单元的镜
图 3-7 平面阵和反射面模型立体图及第 mn 个单元的镜像法示意
由图 3-7 可得第 mn 个单元的坐标位置矢量为： ˆ m + yy ˆ n ρ mn = xx 该单元镜像的坐标位置矢量为 ˆ ˆ ˆ2d z ρ′ mn = xxm + yyn − z N −1 ⎧ xm = ( m − x )d x , m = 0,1, 2,..., N x − 1 ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ y = ( n − N y − 1) d , n = 0,1, 2,..., N y − 1 n y ⎪ ⎩ 2
对于均匀平面阵， I xm = I yn = 1 ，则 S x (u x ) = S (θ , ϕ ) =
sin( N x u x / 2) sin( N y u y / 2) ⋅ sin(u x / 2) sin(u y / 2)
2. 平面阵波束指向
指方向图最大值对应的角度方向。设行间距和列间距 d x 和 d y 均按抑制栅瓣 条件选取，则 S x (ux ) 和 S y ( u y ) 都只有一个主瓣。当 ux = kd x cos ϕ sin θ − α x = 0 时， S x (ux ) 出现最大值，此时 θ = θ 0 , ϕ = ϕ 0 为波束指向，得
cos ϕ 0 sin θ 0 =
αx
kd x
(3.10a)
同样，当 u y = kd y sin ϕ sin θ − α y = 0 时， S y ( u y ) 出现最大值，得 sin ϕ 0 sin θ 0 =
αy
kd y
(3.10b)
两式联立求解得
α yd x ⎧ ϕ tan = 0 ⎪ α xd y ⎪ ⎨ ⎪sin 2 θ = ( α x ) 2 + ( α y ) 2 0 ⎪ kd x kd y ⎩
(3.13)
实用中的平面阵列天线一般希望电磁能量在阵列前方形成有效辐射，而在 背面方向无辐射。实现这种情况主要有两种方法 (1) 采用单向辐射单元天线。如喇叭天线、开口波导、八木天线，微带天线 等； (2) 在阵列背面离阵面一定距离( λ / 4 )安装反射栅网。如对称振子等作阵列 单元时。
3.2.2 带反射板的对称振子平面阵
§3.2 矩形栅格排列的矩形平面阵列
设有一个 N x × N y 单元的矩形栅格矩形平面阵列， 放置在 xy 平面内， 行间距 为 d x ，列间距为 d y ，如图 3-3 所示。第 mn 个单元的坐标位置为
⎧ xm = md x , ⎨ ⎩ yn = nd y ,
位置矢量为
m = 0,1, 2, n = 0,1, 2,