2020年广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题

( x1 )
f
(x)
f
(x2 ) 成立，则
x1 x2 的最小值为
A． 2
B．
C． 2
D． 4
6．已知直三棱柱
ABC
A1B1C1 的体积为V
，若
P
，Q
分别在
AA1 ，CC1 上，且
AP
1 3
AA1 ，
CQ
1 3
CC1
，则四棱锥
B
APQC
的体积为
A． 1 V 6
B． 2 V 9
C． 1 V 3
D． 7 V 9
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) | 3x 6 | | x a | ， a R ．
（1）当 a 1时，解不等式 f (x) 3 ；
（2）若不等式
f
(x)
11 4x 对任意
x
4,
3 2
成立，求实数 a
的取值范围．
理科数学试题 A 第 6 页 共 6 页
7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾
分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10 位同学组成了
四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有 2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣
传小组各有 3 位同学．现从这10 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 3 t,
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
y
1
2t
（
t
为参数），曲线
C2
的参
数方程为
x
3 cos
,
y
3 tan
(
为参数，且
2
,
2
)．
（1）求曲线 C1 和 C2 的普通方程；
（2）若 A ， B 分别为曲线 C1 ， C2 上的动点，求 AB 的最小值．
．
15．已知单位向量
e1
与
e2
的夹角为
3
，若向量
e1
2e2
与
2e1
ke2
的夹角为
5 6
，则实数
k
的
值为
．
16．记数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知
an
an1 n
cos
n 2
sin
n 2
n N*
，且
m
S2019
1009
，
a1m
0 ，则
1 a1
9 m
的最小值为
．
理科数学试题 A 第 3 页 共 6 页
斜率之积为 1 ，判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明 2
理由．
理科数学试题 A 第 5 页 共 6 页
21．（12 分）
已知函数
f
x
x
4 ex3
x2
6x
，
g
x
a
1 3
x
1
ln
x
．
（1）求函数 f x 在 0, 上的单调区间；
（2）用 max m, n 表示 m ， n 中的最大值， f x 为 f x 的导数．设函数
组至少选派1人的概率为
A． 5 14
B． 9 14
C． 3 7
D． 4 7
8．已知直线 l ： y x 2 与 x 轴的交点为抛物线 C ： y2 2 px 的焦点，直线 l 与抛物线 C 交
于 A ， B 两点，则 AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为
A． 8
B． 6
C． 5
D． 4
9．等差数列{an}的前
n
项和为
Sn
，已知
a1
1 3
，
a2
a5
4
，若
Sn
4an
8
n N*
，
则 n 的最小值为
A． 8
B． 9
C．10
D．11
10．已知点 P x0, y0 是曲线 C ： y x3 x2 1上的点，曲线 C 在点 P 处的切线方程与直线
y 8x 11 平行，则
A． x0 2
B．x0
4 3
C．x0
A．3,
B． , 3
C． 0,
D． ,
4．已知 p : x 1 2 ， q : 2 x 3 ，则 p 是 q 的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
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5．设函数
f
(x)
2
cos
1 2
x
3
，若对任意
xR
都有
f
h x max f x, g x ，若 h x 0 在区间 0, 上恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）证明： 1 1 1 1 1 ln 3 n N* ．
n n1 n 2
3n 1 3n
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一 题计分．
19．（12 分）
如图 1，在边长为 2 的等边△ ABC 中，D ，E 分别为边 AC ，AB 的中点．将△ AED 沿 DE 折起，使得 AB AD , AC AE ,得到如图 2 的四棱锥 A BCDE ,连结 BD ，CE ，且 BD 与 CE 交于点 H ．
（1）求证： AH 平面 BCDE ； （2）求二面角 B AE D 的余弦值．
的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每月进行训练的天数 x
人数
x5
15
5 x 20
60
x 20
25
（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松运动训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松运动训练的人中随机抽取
A． 4042
B． 4041
C． 4040
D． 4039
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等
边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个 几何体的体积为 ，表面积为 ．
14．在
ax
1 x
x2 1 5 的展开式中， x3 的系数是15 ，则实数 a
A A
E
D
E
D
B 图1
H
C
B
C
图2
20．（12 分）
2
已知 M 过点 A 3, 0 ，且与 N ： x 3 y2 16 内切，设 M 的圆心 M 的
轨迹为曲线 C ． （1）求曲线 C 的方程；
（2）设直线 l 不经过点 B 2, 0 且与曲线 C 相交于 P ，Q 两点．若直线 PB 与直线 QB 的
1．设集合 M x 0 x 1, x R ， N x x 2, x R ，则
A． M N M
B． M N N
C． M N M D． M N R
2．若复数 z 满足方程 z 2 2 0 ，则 z3
A． 2 2
B． 2 2
C． 2 2 i
D． 2 2 i
3．若直线 kx y 1 0 与圆 x2 y2 2x 4y 1 0 有公共点，则实数 k 的取值范围是
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）
△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 c 3 ，且满足
absin C
3．
a sin A bsin B c sin C
（1）求角 C 的大小；
（2）求 b 2a 的最大值．
18．（12 分） 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，
某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动
4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率；
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100 个人中抽取12 个，再从抽取的12 个人中 随机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，求 Y 的分
布列及数学期望 E Y ．
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A． 5 4
B． 4 3
C． 5 3
D． 2
12．已知函数
f
(x)
x2
x2
x x 1,
1, x 0，若 x 0，
F x
f
x sin 2020x 1在区间1,1
上有 m 个零点 x1 ， x2 ， x3 ，„， xm ，则 f (x1) f (x2 ) f (x3) f (xm )
2或
x0
Leabharlann Baidu
4 3
D．x0
2 或
x0
4 3
理科数学试题 A 第 2 页 共 6 页
11．已知 O 为坐标原点，设双曲线 C
：x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的左，右焦点分别为 F1 ，F2 ，
点 P 是双曲线 C 上位于第一象限上的点，过点 F2 作 F1PF2 的平分线的垂线，垂足为 A ，
若 b F1F2 2 OA ，则双曲线 C 的离心率为
秘密 ★ 启用前
试卷类型： A
2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学
本试卷共 6 页，23 小题， 满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡 的相应位置上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答 在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．