各种分布白噪声的产生
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3、各种分布白噪声的产生
均匀分布白噪声的产生
1、物理方法
2、数学方法 线性同余法、联合法、反馈位移寄存器法
非均匀分布白噪声的产生
1、理论方法 反变换法、舍选抽样法、复合法、变换法、查表法
2、常用的连续分布及其产生
均匀分布、指数分布、 正态分布、 对数正态分布、威布尔分布、 瑞利分布
3、常用的离散分布及其产生
保证所得到的随机数循环周期有足够长。若所使用的随机数总数不超
过伪随机数序列的循环周期时，使用要求即可得到满足。理论定量分 析结果表明，为保证随机数学期望的最大容量（对应循环周期）、独
立性及均匀性，递推公式及其有关参数的正确选择是极为重要的。
2016/7/5 哈尔滨工业大学电子工程系 5
均匀分布白噪声的产生
常用的连续分布及其产生——假设随机数r ~ U[0, 1]已产生
1、均匀分布U[a, b] — Uniform Distribution
2016/7/5
哈尔滨工业大学电子工程系
18
非均匀分布白噪声的产生
常用的连续分布及其产生——假设随机数r ~ U[0, 1]已产生
2、指数分布E(β) – Exponential Distribution
FSR法的优点在于算法简单，所产生随机数与具体的计算机及其字 长无关。
应用实例：雷达相位编码信号的产生（伪随机码）
2016/7/5 哈尔滨工业大学电子工程系 10
均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
3、反馈位移寄存器法（FSR：Feedback Shift Register）
n级线性移位寄存器的输出序列是一个周期序列，其最大可能周 期是N=2n-1，这样的序列称wenku.baidu.com最大长度序列或M序列，其中1元素比0 元素的个数多1，即0、1的个数分为(N-1)/2、(N+1)/2。
3、反馈位移寄存器法（FSR：Feedback Shift Register）
实验表明用同余发生器得到的随机数构造的随机向量序列经常有明
显的规律性。1965年Tausworthe提出用模2线性循环产生均匀随机数 的方法。Toothill，Robinson和Adams于1971年给出了FSR发生器的
另一种描述方法，适用于编制程序。
4、变换法 利用变换关系从一种分布的随机数产生另一种分布的随机数，前述 的反变换法是此法特例。 设Y = g(X)，其反函数为X = g-1(Y) = h(Y)，则所得随机变量Y的概 率密度函数为： fY(y) = fX[h(y)] ∙ |h'(y)| 式中fX(x)为随机变量X的概率密度函数，上标撇号表示一阶导数。如果 取Y=r ~ U[0, 1]，函数g(∙)为随机变量X的概率分布函数F(∙)，则函数 h(∙)=F-1(∙)，此即反变换法。
上述图书集中讨论不同分布随机数（白噪声）的产生，系统而全面。
各种分布白噪声产生的重要性
蒙特卡洛方法的实现步骤 1、构造或描述概率过程
2、实现从已知概率分布抽样
由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因 此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量）就成为实现蒙特卡罗方
法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。
伯努利分布、离散均匀分布、几何分布、泊松分布
2016/7/5 哈尔滨工业大学电子工程系 1
主要参考图书
1. 方再根，计算机模拟和蒙特卡洛方法，北京工业学院出版社， 1988.6 2. Wolfgang Hormann et al, Automatic Nonuniform Random Variate Generation, Springer, 2004 3. J.E. Gentle, Random Number Generation and Monte Carlo Methods, 2nd Ed, Springer, 2003 4. A.M. Law, Simulation Modelling and Analysis, 3rd Ed, McGrawHill, 2000 5. Tezuka, Shu, Uniform random numbers theory and practice, Kluwer Academic Publishers, 1995 6. Dagpunar, John., Principles of random variate generation, Oxford : Clarendon Pr., 1988 7. Devroye, Luc., Non-uniform random variate generation, New York : Springer-Verlag, c1986
3、建立各种估计量
具有各种分布随机序列的模拟是计算机模拟及系统仿真的基础，广
泛地应用于雷达、通信、声呐、机械振动、核物理、自动控制、金融分 析、数值计算、贝叶斯统计等许多领域，例如雷达/声呐回波中的杂波和
噪声的模拟、机械振动噪声的模拟、随机测量误差的模拟等。
均匀分布白噪声的产生
快速产生统计性质优良的均匀随机数是计算机模拟的基础，其
一般采用m=2k混合同余法，则由以上条件可得最大周期发生器为：
xi (4a 1) xi 1 (2b 1) (mod 2 k )
式中a、b为任意正整数
2016/7/5 哈尔滨工业大学电子工程系 6
均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
1、线性同余法(Linear Congruential Generators)
他的非均匀分布都可将均匀分布通过非线性变换得到的。
物理方法——真随机数
所谓物理方法就是在电子计算机上装一台物理随机数发生器， 它是把具有随机性质的物理过程直接在机器上变换为随机数字。例 如：以放射性物质为随机源的放射型随机数发生器、以电子管或晶 体的固有噪声为随机源的随机数发生器。主要的物理方法有： 放射性物质、电子管或晶体管噪声、锁相环噪声源、量子模型、混 沌模型 特点：可以在计算机上得到真正的随机数，但是它带来了新的问题。 由于这种随机过程是一去不复返的，不能重复出现，因此就无法再 用原来的随机数进行试算、检查或对比分析，并且对设备要求较高， 从而大大降低了这类方法的使用价值。
非均匀分布白噪声的产生
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
1、反变换法 (inversion method)
由已知的分布函数r = F(x)反过来求x。用反变换法产生随机数时， 如果F-1(x)没有解析形式，或者F(x)就没有解析形式，则可以用F-1(x)的 近似公式代替。
以[0, 1]均匀分布随机数r为基础，所有分布随机数都可通过计算或 近似计算其分布函数的反函数，用反变换法或查表法等方法产生。
2016/7/5
哈尔滨工业大学电子工程系
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
1、线性同余法(Linear Congruential Generators) 均匀分布U[0, 1]随机数的产生： yi=a· yi-1+1 (mod 231)
式中乘子a取前面优选的15种数值中任一个，种子数y0 ≠ 0 任选。
数学方法——伪随机数
1、线性同余法 (Linear Congruential Generators)
xi axi 1 c (mod m)
式中 x i 、 a 、 c 均为正整数，初值 x 0（亦称种子数） ，a 为乘子 c 0 时为乘同余法， c 0 时为混合同余法 1962年Hull和Dobell给出了混合同余法达到最大周期T=m的充要条件： (ⅰ) c与m互素； (ⅱ) 对m的任意素因子p中，有a≡1 (mod p) (ⅲ)若4是m的因子，则a≡1 (mod 4)
抽样法。该方法直观图示如下：
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哈尔滨工业大学电子工程系
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非均匀分布白噪声的产生
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
2、舍选抽样法 (rejection method) 该方法计算机实现过程如下：
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哈尔滨工业大学电子工程系
15
非均匀分布白噪声的产生
扩展：双指数分布、超指数分布、截尾指数分布
2016/7/5 哈尔滨工业大学电子工程系 19
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
3、复合法 (composition method) 1961年马萨格里亚(Marsaglia)提出用复合法产生非均匀随机数。此 法相当于先将密度函数曲线下的面积分解为几个部分，然后以各部分面 积值表示的概率去产生相应各部分密度函数的随机数，即 F(x) = ∑ pi ∙ Fi(x)
注：组合发生器并非先产生一些序列再将它们组合起来，而是在组合过程中，用到时再 产生。基于“打乱次序”原则，也可以用单个发生器产生的随机数打乱同一发生器的输 出序列，对此Bays和Durham在1976年提出一个算法。
2016/7/5 哈尔滨工业大学电子工程系 9
均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
令ri=yi/231，则R就是[0, 1]上的均匀分布随机数。 BASIC、C、MATLAB中均有产生均匀分布随机数的函数可调用： RND()、RAND()、UNIFRND()
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
2、联合法（组合发生器） 混和同余法实际上是通过同余等运算打乱数列0，1，…，m-1的次 序，来达到产生随机序列的目的。“打乱数列的次使之排列无规则”是 设计发生器的一个可依据的原则，基于此产生联合法： (1) 两个发生器的组合 Greenwood在1976年对两个混合同余法发生器使用组合方法，且两 个发生器的模都简单地取成2k，使组合后的发生器周期达到2k(2k-1)。 (2) n个发生器的组合 Salfi于1974年提出了一个较好的算法。
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
在计算机上用数学方法产生随机数，是目前使用较广，发展较快
的一种方法。它利用数学递推公式来产生随机数，通常把这样得到的 随机数称为伪随机数。
由于这种方法属于半经验性质，只能近似地具备随机性质。但是
只要产生伪随机数的递推公式选得较好，由此产生的随机数序列的独 立性是可以近似得到满足的。而且只要公式的参数选得适当，就可以
3、反馈位移寄存器法（FSR：Feedback Shift Register）
x1 x2
x n 1
xn
f ( x1 , x2 , , xn )
n级线性移位寄存器的反馈函数、特征函数可定义为：
f ( x1 , x2 , , xn ) ci xi
i 1 n
f ( ) ci i
i 1
n
式中ci=0或1，反馈函数或特征函数完全刻划了对应的线性移位寄存器的反馈功能。
理论上，为了产生M序列，设计线性移位寄存器的问题在原则上可归结 为找本原多项式的问题。目前对于n<=168的本原多项式已有表可查。
丁石孙，线性移位寄存器序列，上海科学技术出版社，1982
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输出 1级 2级 3级
模2加法器 三级线性反馈移位寄存器
考虑如上图所示的三级线性反馈移位寄存器，初始状态设为111， 则输出M序列为1110010，长度为N=23-1=7。
注：线性移位寄存器的初始状态不能全为零。
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
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非均匀分布白噪声的产生
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
2、舍选抽样法 (rejection method) 1951年，冯•诺依曼(Von Neuman)提出用舍选抽样法产生随机数。
但有时此法效率很低，为提高抽样效率，在此基础上产生了推广的舍选
非均匀分布白噪声的产生
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
5、查表法
将连续概率分布以离散分布逼近，则查表法可用来产生连续随机 数。此法优点是计算速度很快，缺点是连续分布函数离散化引入误差。
1
F(x )
0.5
x
f(x )
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哈尔滨工业大学电子工程系
x
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非均匀分布白噪声的产生
均匀分布白噪声的产生
1、物理方法
2、数学方法 线性同余法、联合法、反馈位移寄存器法
非均匀分布白噪声的产生
1、理论方法 反变换法、舍选抽样法、复合法、变换法、查表法
2、常用的连续分布及其产生
均匀分布、指数分布、 正态分布、 对数正态分布、威布尔分布、 瑞利分布
3、常用的离散分布及其产生
保证所得到的随机数循环周期有足够长。若所使用的随机数总数不超
过伪随机数序列的循环周期时，使用要求即可得到满足。理论定量分 析结果表明，为保证随机数学期望的最大容量（对应循环周期）、独
立性及均匀性，递推公式及其有关参数的正确选择是极为重要的。
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均匀分布白噪声的产生
常用的连续分布及其产生——假设随机数r ~ U[0, 1]已产生
1、均匀分布U[a, b] — Uniform Distribution
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非均匀分布白噪声的产生
常用的连续分布及其产生——假设随机数r ~ U[0, 1]已产生
2、指数分布E(β) – Exponential Distribution
FSR法的优点在于算法简单，所产生随机数与具体的计算机及其字 长无关。
应用实例：雷达相位编码信号的产生（伪随机码）
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
3、反馈位移寄存器法（FSR：Feedback Shift Register）
n级线性移位寄存器的输出序列是一个周期序列，其最大可能周 期是N=2n-1，这样的序列称wenku.baidu.com最大长度序列或M序列，其中1元素比0 元素的个数多1，即0、1的个数分为(N-1)/2、(N+1)/2。
3、反馈位移寄存器法（FSR：Feedback Shift Register）
实验表明用同余发生器得到的随机数构造的随机向量序列经常有明
显的规律性。1965年Tausworthe提出用模2线性循环产生均匀随机数 的方法。Toothill，Robinson和Adams于1971年给出了FSR发生器的
另一种描述方法，适用于编制程序。
4、变换法 利用变换关系从一种分布的随机数产生另一种分布的随机数，前述 的反变换法是此法特例。 设Y = g(X)，其反函数为X = g-1(Y) = h(Y)，则所得随机变量Y的概 率密度函数为： fY(y) = fX[h(y)] ∙ |h'(y)| 式中fX(x)为随机变量X的概率密度函数，上标撇号表示一阶导数。如果 取Y=r ~ U[0, 1]，函数g(∙)为随机变量X的概率分布函数F(∙)，则函数 h(∙)=F-1(∙)，此即反变换法。
上述图书集中讨论不同分布随机数（白噪声）的产生，系统而全面。
各种分布白噪声产生的重要性
蒙特卡洛方法的实现步骤 1、构造或描述概率过程
2、实现从已知概率分布抽样
由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因 此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量）就成为实现蒙特卡罗方
法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。
伯努利分布、离散均匀分布、几何分布、泊松分布
2016/7/5 哈尔滨工业大学电子工程系 1
主要参考图书
1. 方再根，计算机模拟和蒙特卡洛方法，北京工业学院出版社， 1988.6 2. Wolfgang Hormann et al, Automatic Nonuniform Random Variate Generation, Springer, 2004 3. J.E. Gentle, Random Number Generation and Monte Carlo Methods, 2nd Ed, Springer, 2003 4. A.M. Law, Simulation Modelling and Analysis, 3rd Ed, McGrawHill, 2000 5. Tezuka, Shu, Uniform random numbers theory and practice, Kluwer Academic Publishers, 1995 6. Dagpunar, John., Principles of random variate generation, Oxford : Clarendon Pr., 1988 7. Devroye, Luc., Non-uniform random variate generation, New York : Springer-Verlag, c1986
3、建立各种估计量
具有各种分布随机序列的模拟是计算机模拟及系统仿真的基础，广
泛地应用于雷达、通信、声呐、机械振动、核物理、自动控制、金融分 析、数值计算、贝叶斯统计等许多领域，例如雷达/声呐回波中的杂波和
噪声的模拟、机械振动噪声的模拟、随机测量误差的模拟等。
均匀分布白噪声的产生
快速产生统计性质优良的均匀随机数是计算机模拟的基础，其
一般采用m=2k混合同余法，则由以上条件可得最大周期发生器为：
xi (4a 1) xi 1 (2b 1) (mod 2 k )
式中a、b为任意正整数
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
1、线性同余法(Linear Congruential Generators)
他的非均匀分布都可将均匀分布通过非线性变换得到的。
物理方法——真随机数
所谓物理方法就是在电子计算机上装一台物理随机数发生器， 它是把具有随机性质的物理过程直接在机器上变换为随机数字。例 如：以放射性物质为随机源的放射型随机数发生器、以电子管或晶 体的固有噪声为随机源的随机数发生器。主要的物理方法有： 放射性物质、电子管或晶体管噪声、锁相环噪声源、量子模型、混 沌模型 特点：可以在计算机上得到真正的随机数，但是它带来了新的问题。 由于这种随机过程是一去不复返的，不能重复出现，因此就无法再 用原来的随机数进行试算、检查或对比分析，并且对设备要求较高， 从而大大降低了这类方法的使用价值。
非均匀分布白噪声的产生
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
1、反变换法 (inversion method)
由已知的分布函数r = F(x)反过来求x。用反变换法产生随机数时， 如果F-1(x)没有解析形式，或者F(x)就没有解析形式，则可以用F-1(x)的 近似公式代替。
以[0, 1]均匀分布随机数r为基础，所有分布随机数都可通过计算或 近似计算其分布函数的反函数，用反变换法或查表法等方法产生。
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
1、线性同余法(Linear Congruential Generators) 均匀分布U[0, 1]随机数的产生： yi=a· yi-1+1 (mod 231)
式中乘子a取前面优选的15种数值中任一个，种子数y0 ≠ 0 任选。
数学方法——伪随机数
1、线性同余法 (Linear Congruential Generators)
xi axi 1 c (mod m)
式中 x i 、 a 、 c 均为正整数，初值 x 0（亦称种子数） ，a 为乘子 c 0 时为乘同余法， c 0 时为混合同余法 1962年Hull和Dobell给出了混合同余法达到最大周期T=m的充要条件： (ⅰ) c与m互素； (ⅱ) 对m的任意素因子p中，有a≡1 (mod p) (ⅲ)若4是m的因子，则a≡1 (mod 4)
抽样法。该方法直观图示如下：
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非均匀分布白噪声的产生
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
2、舍选抽样法 (rejection method) 该方法计算机实现过程如下：
2016/7/5
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15
非均匀分布白噪声的产生
扩展：双指数分布、超指数分布、截尾指数分布
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理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
3、复合法 (composition method) 1961年马萨格里亚(Marsaglia)提出用复合法产生非均匀随机数。此 法相当于先将密度函数曲线下的面积分解为几个部分，然后以各部分面 积值表示的概率去产生相应各部分密度函数的随机数，即 F(x) = ∑ pi ∙ Fi(x)
注：组合发生器并非先产生一些序列再将它们组合起来，而是在组合过程中，用到时再 产生。基于“打乱次序”原则，也可以用单个发生器产生的随机数打乱同一发生器的输 出序列，对此Bays和Durham在1976年提出一个算法。
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
令ri=yi/231，则R就是[0, 1]上的均匀分布随机数。 BASIC、C、MATLAB中均有产生均匀分布随机数的函数可调用： RND()、RAND()、UNIFRND()
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
2、联合法（组合发生器） 混和同余法实际上是通过同余等运算打乱数列0，1，…，m-1的次 序，来达到产生随机序列的目的。“打乱数列的次使之排列无规则”是 设计发生器的一个可依据的原则，基于此产生联合法： (1) 两个发生器的组合 Greenwood在1976年对两个混合同余法发生器使用组合方法，且两 个发生器的模都简单地取成2k，使组合后的发生器周期达到2k(2k-1)。 (2) n个发生器的组合 Salfi于1974年提出了一个较好的算法。
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
在计算机上用数学方法产生随机数，是目前使用较广，发展较快
的一种方法。它利用数学递推公式来产生随机数，通常把这样得到的 随机数称为伪随机数。
由于这种方法属于半经验性质，只能近似地具备随机性质。但是
只要产生伪随机数的递推公式选得较好，由此产生的随机数序列的独 立性是可以近似得到满足的。而且只要公式的参数选得适当，就可以
3、反馈位移寄存器法（FSR：Feedback Shift Register）
x1 x2
x n 1
xn
f ( x1 , x2 , , xn )
n级线性移位寄存器的反馈函数、特征函数可定义为：
f ( x1 , x2 , , xn ) ci xi
i 1 n
f ( ) ci i
i 1
n
式中ci=0或1，反馈函数或特征函数完全刻划了对应的线性移位寄存器的反馈功能。
理论上，为了产生M序列，设计线性移位寄存器的问题在原则上可归结 为找本原多项式的问题。目前对于n<=168的本原多项式已有表可查。
丁石孙，线性移位寄存器序列，上海科学技术出版社，1982
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输出 1级 2级 3级
模2加法器 三级线性反馈移位寄存器
考虑如上图所示的三级线性反馈移位寄存器，初始状态设为111， 则输出M序列为1110010，长度为N=23-1=7。
注：线性移位寄存器的初始状态不能全为零。
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均匀分布白噪声的产生
数学方法——伪随机数
2016/7/5
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非均匀分布白噪声的产生
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
2、舍选抽样法 (rejection method) 1951年，冯•诺依曼(Von Neuman)提出用舍选抽样法产生随机数。
但有时此法效率很低，为提高抽样效率，在此基础上产生了推广的舍选
非均匀分布白噪声的产生
理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
5、查表法
将连续概率分布以离散分布逼近，则查表法可用来产生连续随机 数。此法优点是计算速度很快，缺点是连续分布函数离散化引入误差。
1
F(x )
0.5
x
f(x )
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