ANSYS有限元基础教程课件 王新荣 第1章

w0
z yz zx 0
， xy ，它们仅仅是x、y两个 y 、 不为零的应变分量为 x 、 坐标的函数。 ，
（三）平面问题简化形式：
U F 外力分量： V x y 应力分量： xy
1 1 E (1 ) 1 令： D (1 )(12 ) 0 0 0
1
1
对 1 0 0 0
1 2 2(1 )
称
1 2 2(1 )
0 0 0
0 0
0
1 2 2(1 )
1.4 弹性力学基本知识
1.4.1 弹性力学的基本假设 （1）假设物体是连续的。 （2）假设物体是均匀的。 （3）假设物体是各向同性的。 （4）假设物体是完全弹性的。 （5）假设物体的位移和应变是微小的。 满足前四个假定的物体，称为理想弹性体。如全部满足这 些假设，则称为理想弹性体的线性问题，简称为线弹性问 题。
u x x y y xy u y x
3、平面问题的物理方程 （1）平面应力问题的物理方程：
x E y 2 1 xy 1 对 x 1 称 y 1 - 0 0 xy 2
T
应力分量的矩阵称为应力列阵
3、应变：
x y z 正应变：线段的每单位长度的伸缩。 剪应变：线段之间夹角的改变量称为剪应变。 xy yz zx
x y z xy yz zx
称作应变列阵
D 叫做弹性矩阵，是常数矩阵，它完全取决于弹性常数 E和 。
物理方程简记为：
D
3. 平衡方程
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 y z x yz z xz Z 0 y z x
称为载荷列阵
2、应力：物体内任一点处所有各截面上应力的大小和方向 就表示了这一点的应力状态。 通常用六个应力分量表示一点的应力状态。
x y z x y xy yz zx

z xy yz zx
x
E xy xy 2(1 ) E yz yz 2(1 ) E zx zx 2(1 )
E、 均为材料的弹性常数：
E
—材料的拉压弹性模量； —材料的泊松比。
写成矩阵的形式：
1 x 1 y z E (1 ) 1 (1 )(1 2 ) 0 xy 0 yz zx 0
单位体积上的力在3个坐标轴方向上的投影用X、Y、Z表示
1.4.4 弹性问题的能量原理
1.虚位移原理
所谓虚位移可以是任意无限小的位移，它在结构内部必须 是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件。
根据虚位移原理：若在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，
那么当虚位移发生时，外力在虚位移上做的虚功就等于应力 在虚应变上所做的虚应变能。
注意： （1）离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来。 （2）单元的类型及形状的选择。 （3）网格的大小及疏密的合理布置。 （4）用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划 分单元数目非常多而又合理，则所获得的计算结果就越逼近 实际情况。
e
2. 单元分析
——找出单元节点力和节点位移的关系式。
（1）选择位移模式 选用一种函数，来近似地表示单元内任意点的位移随坐 标变量变化的函数，这种函数称为位移模式 。 （2）建立单元刚度方程
k ee F e
式中 角标e—单元编号； e —单元的节点位移向量； F e —单元的节点力向量； k e —单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力
Kδ F
3. 整体分析 有限元法的分析过程是先分后合。即先进行单元分析， 在建立了单元刚度方程以后，再进行整体分析，把这些方程 集成起来，形成求解区域的刚度方程，称为有限元位移法基 本方程。 Kδ F 式中
K ——整体结构的刚度矩阵；
——整体节点位移向量；
F
——整体载荷向量。
1.3 有限元法的应用
1
1
1
1 1
0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
1 2 2 (1 )
0 0 0 0
1 2 2 (1 )
0 0
0
x y z xy yz 1 2 zx 2 (1 ) 0 0 0 0 0
（2）平面应变问题的物理方程
1 x E 1 y 1 1 1 2 xy 0 对 1 0 x 称 y 1 2 xy 21
1.3.1 有限元法的应用领域
应用范围极为广泛。已由杆件结构问题扩展到弹性力学问 题；由平面问题扩展到空间问题；由静力学问题扩展到动 力学问题；由固体力学问题扩展到流体力学、热力学、电 磁学问题。
1.3.2 有限元法在产品开发中的应用
在现代产品开发过程中，CAD/CAE/CAM 已成为基本工 具，作为 CAE工具重要组成之一的有限元法，更是成为产品 开发必不可少的工具。CAD工具用于产品结构设计，形成产 品的数字化模型。有限元法则用于产品性能的分析与仿真， 帮助设计人员了解产品的物理性能和破坏的可能原因，分析 结构参数对产品性能的影响，对产品性能进行全面预测和优 化，帮助工艺人员对产品的制造工艺及试验方案进行分析设 计。实际上，当前有限元法在产品开发中的作用，已从传统 的零部件分析、校核设计模式发展为与计算机辅助设计、优 化设计、数字化制造融为一体的综合设计。有限元法已成为 提高产品设计质量的有效工具。
1.4.2 弹性力学的基本变量
1、外力：作用于物体的外力。 （1）体积力（简称体力）：分布在物体体积内的力。 如：重力、惯性力等 （2）表面力（简称面力）：分布在物体表面上的力。 如：流体压力、接触压力等。 （3）集中力
U T F V U V W W
（5）有限元法的未来：面对21世纪全球在经济和科技 领域的激烈竞争，基础产业的产品设计和制造需要引入 重大的技术创新，高新技术产业更需要发展新的设计理 论和制造方法。这一切都为以有限元法为代表的计算力 学提供广阔施骋的天地，并提出了一系列新的课题。
1.1.2 有限元法的基本思想
“化整为零，集零为整”。 也就是将一个原来连续的物体假想地分割成由有限个单 元所组成的集合体，简称“离散化”。然后对每个单元进行 力学特征分析，即建立单元节点力和节点位移之间的关系。 最后，把所有单元的这种关系式集合起来，形成整个结构的 力学特性关系，即得到一组以节点位移为未知量的代数方程 组。处理后即可求解，求得结点的位移，进一步求出应变和 应力。
有限元方法：
从选择基本未知量的角度来看，可分为3类： 1、位移法：以节点位移为基本未知量的求解方法称为位 移法。本课程讲授的内容 2、力法：以节点力为基本未知量的求解方法称为力法； 3、混合法：一部分以节点位移，另一部分以节点力作为 基本未知量的求解方法称为混合法。
1.2 有限元法的基本步骤
1、结构的离散化 ——把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。
u 位移分量： v x 应变分量： y xy
1、平衡微分方程：
x yx x y X 0 y xy Y 0 x y
2、几何方程：
4、位移：在载荷作用下，物体内各点之间的距离改变称为位移。 物体内某一点的位移记为：
u T u w w
称为位移列阵或位移向量
1.4.3 弹性力学的基本方程
1、几何方程——应变与位移关系
u x x y y w z z u xy y x w yz z y w u zx x z
网格划分中的每一个小部分称为单元。
网格间相互联结点称为节点。
网格与网格的交界线称为边界。 显然，图中的节点数是有限的，单元数目也是有限的，这就是 “有限元”一词的由来。
1.1.3 有限元法的特点
1、理论基础简明，物理概念清晰。 它解决问题的途径是物理模型的近似，而在数学上则 不作近似处理。 2、灵活性和适用性兼备。 3、该法在具体推导运算中，广泛采用了矩阵方法。
即虚功方程
1.4.5 弹性力学的平面问题
一般可以分为两类：一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。
（一）平面应力问题
是指所研究对象是等厚度薄板。它在z方向上的尺寸很 小，外载荷方向沿板面方向，且沿z为均匀分布，因此可以 认为板面上应力分量等于零，这种问题称为平面应力问题。
y
z zx zy 0
2、物理方程——应力与应变关系
E (1 ) ( x y z) (1 )(1 2 ) 1 1 E (1 ) y ( x y z) (1 )(1 2 ) 1 1 E (1 ) z ( x y z) (1 )(1 2 ) 1 1
（1）四十年代初：出现了其基本思想，但未重视； （2）五十年代中期：利用其思想对飞机结构进行矩阵分析。 （3）1960年：首次取名“有限元法”， 广泛用于求解弹性力学的平面应力问题；
（4）近 几十年：随着电子计算机的飞速发展，有限元法如 虎添翼。在国内外已经有许多大型通用的有限元分析程序可 供使用。一批由专业软件公司研制的大型通用商业软件公开 发行和被应用，如：ANSYS，NASTRAN，ASKA，SAP 等。
ANSYS有限元基础教程
王新荣 初旭宏 主编
2011年6月
第 1章
1.1 有限元法的产生
绪
论
传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效 分析。为了正确、合理地确定最佳设计方案，需要寻 求一种简单而又精确的数值计算方法。有限元法正是 适应这种要求而产生和发展起来的。
1.1.1 有限元法的发展过程
y
t 2 t 2
y 、 xy ， 不为零的应力分量为 x 、
ห้องสมุดไป่ตู้
它们仅仅是x、y两个坐标的函数。
o x
z
图1-10 平面应力问题与非平面应力问题
图1-11 平面应力问题实例
（二）平面应变问题 当物体在z轴方向的尺寸很长，只作用有平行于横截面 且不沿长度方向变化的载荷，可认为，沿z轴方向的位移分量 等于零，这种问题称为平面应变问题。